Ajustements 2

Ajustements ²

Position du problème

• On a n points expérimentaux (x_i, y_i, _i)

• À ajuster sur une fonction f(x,a_k)

• Les a_k représentent m paramètres ajustables

• m < n

Minimisation du ²

) 0 (

) (

) 0 (

) 2 (

) (

1

2 1

2 2

1 2 2

 



























 

 















 











 

 





 



 















n

i j

i i

i i

n

i j

i i

i i

j

n

i i

i i

a x f y

x f

a x f y

x f a

y x

f







 

m équations, m inconnus

2 types de fonctions

• Linéaires dans les paramètres

Polynômes

• Solution analytique

) exp(

) log(

) (

...

2 3 3 2

2 1

1

x b

x a

x f

f a f

a f

a f













2 types de fonctions

) exp(

)

( x ax

f 

Non linéaires dans les paramètres

Solution numérique

Fonctions linéaires

   























 

 











i k i

ij ik k

i i

ij

i ij i

i i

i ij

i i

i ij

i i i

ij j

i

j

j j ji ij

j j j i

i

j j j

C C a x C

f x C

C f y

x C f y

a C x f

a C

C a x

C a x

f

x C a x

f

2 2

2 2

2

) ) (

( ) 0

( ) (

) ( )

(

) ( )

(











m équations, m inconnus

     

   _{k jk}   _j

n T

k k jk

k i i

ij ik j

Y M

a

C C

M

a M

C a Y C

1

2 32

22 12

2

/ 1 ...

0 0

0

...

...

...

...

...

0 ...

/ 1 0

0

0 ...

0 /

1 0

0 ...

0 0

/ 1

 



























 









  











Solution

• Les a_k sont les paramètres les plus probables pour nos mesures

• On suppose que les vrais paramètres sont des a_k’

• M^1 est la matrice de corrélation

 

 ^{1 2 2}

1

) (

) )(

(

) )(

(

k kk

k k

k k

k kk k

kl l

l k

kl k

s a

a a

a a

a M

s a

a a

a M



 



 

 





 

 









Ajustement d’un polynôme

• p = polyfit(x,y,n)

• f=polyval(p,x)

• plot(x,f)

• chi2=0

• for i=1:10

• chi2=chi2+(y(i)-f(i))^2

• end

• chi2n(n+1)=chi2

² en fonction de n paramètres

Moyenne pondérée

• On cherche la moyenne qui décrit le mieux un ensemble de données

• On cherchera la valeur qui minimise le ²

• Soit ensemble de valeurs x₁, x₂ ... x_n

• Avec les incertitudes ₁, ₂ ... _n

• On cherche µ qui minimise le ²





































 











 













 











  

 



 







 



  







 



  

i i

i

i i

i i

i

i i

i

i i i

i

i i

i

x µ

x µ

µ x

µ x

µ

µ x

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1 0

0 1 2

2









 





 

Incertitude sur la moyenne

• On utilise la formule de propagation

 



  

























 



























 



 







 

i i

i i

j j

i i

i

i

j j

i i

i i

x x

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

1

1 1 1

1

 









 

 































i i

i i

xi

µ

2 2

1



