Ajustements 2 non-linéaires
Minimisation du 2
ij j
i
i j
i i
i i
a C x f
a x f y
x f
) (
) 0 (
) (
2On ne peut solutionner analytiquement
Algorithme
• Calcule localement le
2et son gradient
– On calcule numériquement les C
ij• Change les paramètres dans la direction inverse du gradient
• Recalcule et réitère jusqu’à ce que le
2ne
diminue presque plus
Près du minimum du 2
• Développement parabolique
ij j
i j i
i j i j
j
i i i
i
a a
a a
a a a
a a a
2 1 2
2 2
2 2 2 2
2 0
2 1 2 1
2 1
est la matrice de courbure du
2lsqcurvefit
• Moindres carrés non-linéaires
• Erreurs non considérées (
i= 1)
• On cherche la solution itérativement
• Nécessite un point de départ (a )
Moindres carrés pondérés
• On construit soi-même le
2• On minimise
2avec fminunc
• x = fminunc(chi2,x0)
i i
i
i y
x
f 2
2 ( )
Distribution 2
• Soit f(x) la vraie fonction,
• Les mesures y
isont en moyenne à une distance
ide la courbe
• En moyenne,
2= n
• Si on refait souvent les mesures, on obtient
une distribution du
2Distribution 2
• Si on réajuste m paramètres de f(x) sur les données,
• Le
2va diminuer
1
2 2 2 2
m n
n
2normalisé
Distribution 2
• La distribution
2est donnée par
2
2
2 2
2
2
) 2 2 ( 12 2 2
)
; (
)
; (
2 ) (
2 )
; (
d p
P
n p e
x
Distribution 2 cumulative
Ajout d’un terme ?
• Le
2s’améliore avec m
• Il faut voir si m + 1 améliore significativement l’ajustement
• On compare
2pour m et m + 1
2
1
F
Test F
• En fait, on considère l’amélioration relative du
2• F
est petit si l’ajout d’un terme est inutile
2 2 2
2 2
) 1 /(
) (
) 1 (
) (
