HAL Id: hal-00086439
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00086439
Submitted on 18 Jul 2006
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Classification of local optimal syntheses for time minimal control problems with state constraints
Bernard Bonnard, Ludovic Faubourg, Emmanuel Trélat
To cite this version:
Bernard Bonnard, Ludovic Faubourg, Emmanuel Trélat. Classification of local optimal syntheses for time minimal control problems with state constraints. 2003, pp.117–122. �hal-00086439�
!"# $"
"%$ '&() *$+ "$
%$,.-0/ 12-435%$6// 12-4378 36.9 :<;+ 1=8 >68 -?@7A7
B!BC1=/8 ,.D-E,.D<1GF 7A7A7
7@HI2J<K4LM.NO@P4QGRTS.PUS0INAVW5XNZYG[4R]\UN]^N]I2\M.N^[4\T_@XN]^[4\ZJT`Q=NAaAV
bc@c$dVeOfhg=i4j.i0kVl.m.k0i4jWJnP4IGVeoRU[4I=p]NL
qq P4I2I=[4RUMGrQ.s q P4QGRTS.PUS0INLt]R
7A7uv@wxy[4I=MCHI2J<K4LeM.NO@P4QGRTS.PUS0INAVW5XNZYG[4R]\UN]^N]I2\M.N
^[4\T_@XN]^[4\ZJT`Q=NAaAVbc@c$dVeOfhg=i4j.i0kVl.m.k0i4jWJnP4IGVoRU[4I=p]NL
zt[4Q q P4QGR4rQ.s q P4QGRTS.PUS0INLt]R
7A7A7 HI2J<K4LeM.Nf[4R]J{ax=Q2MV z[ q P4RU[4\|P4J<RANcv@wWfV q [4\|L gGl.}V
~ mg=k4}ydRAa[4VoRU[4I=p]NLN]^$^[4I2Q=N
z
L{\ZRAN
z
[4\Ar^[4\T_GL{Q.s<Y2a]Q2M0Lt]R
=UUA .]0|$UG< 0A|<A{0.@GA]U{=U2 02 4{G|<e2=Ge02U< .AU22|{0=4U2
U 4 \ZJ<^N^$J<I2J<^[ z a]4I2\T_2NAaNAa T0@|{24{{222 42]0GUA4UGUUe{+.{=|{0
GU22{UU$U
a]\|[4\UNpAP4IGa]\ZRU[4J<I2\Ta]2
@=U@00UU<U2G2eU 4{2 0U
\T_2Na]^[
zTz
\ZJ<^NRANU[0p]_G[
q]z
NaN]\
0=!2]AU 0AC02|{ 4{|h]0=.{|{0=
20Ay<0|{ 0U
GU2
PAY=\ZJ<^[
z
pAP4I2\ZRUP
z
P|t$\T_2N[4\Z^PaZY2_2N]R]JTp[4RUp@tP4R$\T_2N$RANAs]N]I2\ZR]P|t[aZYG[0p]N$aA_.QG\Z\
zN
2AU20G<A{<U2G U]U]0=UUA 4{GA0U2U2A 42¡=G¢ 0=0U220A 4
.]]{A 0|{0
£
.0]2
2|{ 4 ]0GUA4 {U+UU 0U]0=UUA 4{GA2¤ 4¢.{2¥2U{=A{G{0 ¦0GUA4
4eU2 0U.U22U< 0]
§ |¨©ª @«¬ ¦© ¨
©20G U]|{04UG<$ 0A|<A{5<$UCGA]U{=U2
A{ .A|®] 0|{04 U2{G] 4 A{.U${.0|{@02|{ 4
]0GUA4T0U2|{24{{222 42UGUU
¯
°±h²C³Z°0´ µC¶·$³Z°0´¸
2Ae¹º]2»
¶
»0¼ § {U a]\|[4\UNpAP4IGa]\ZRU[4J<I2\Ta 0½
³Z°0´
¼h¾
|A{ .A|<] 4e] 4<]G{=4 0U{ 0|{0 =2]AU 0A]0=.{¿
|{0=]0=]AG{2@U202|{ 4{|$UU 0U=4= =02=G¿
0A 0] 0= U2=]|{00eA]¡=]|{0{UU2=02=G¿
0A2 40=02U 4{2 . ]0=UÀ02=]4 ]{A¿
UUA .AU20A 02G{yUª{ 02G{ 0+U20A{U
0=UU .A{UÁ§Â ©G< 022A0 .A+ .02A 4{Ã
GÄe0GUA0 04{ 0=G<@]0¿Z 02U20]Á§0§Â U02U 4{
ÅÆ Ç4ÈÊÉËÌ]ÍZÎÈÊÉÏ4Ð]ÍZÑTÈÊÐ]ÒÊÒÊÓÉZÔ4Ï4Ï0Ì]ÍZÑTÕUÖ×ÓØÕUÙÑTÍZÕÚ Ð]ÑTÈÊÌ]Ù4Ð]Ò
^$J<I2J<^$QG^Y=R]J<I=pJY zN
2=GA0G{ 0U{| .AU22|{0=
0+U2]0=UUA 4{GA
02A 4e{G{2*2U{=A{G{
2 .U0 £ 222¿|© =A0U20AÞ 0=+20yU.0U
02 4{G|<<e2AUGU@{Áß
 |$U2U2U{=A{G{0U2
. U4{G0]U0àáG2 4U!U2CUU 0U+0]U0
°
] 0
UGâ.<A]0G|{GG{|{ 0]0GU .]=4{GA{UãU2
=02=G 0A4eU2$G0 4{0{+U2=02=G 0A 2ä 4{¿
{4{2$U20AG4ÁÊå  0=Á§ ¾ Â.U2U.<A]0G|{G2¿
{|{] 0=@U=A®= .AU2eU2 0eU2@UGUU
<|{24{@{222 0=$ \T_2NP4RUM.N]RP|t\T_2NpAP4IGa]\ZRU[4J<I2\ <
]0=UU 0GeU20]G=]{2!G!G]®=G{|{0ãU2®=]U
{GU0U=AU2 0U2$]0GUA4
¶
02= 0]]¢GG<A{|<
{$U2|{GU{ 0|{0@42U2@]0=UUA 4{G æçèé½
³Z°.³
æ
´U´
4{2 0U 4{02$ =02=G 0A$ 0]@4eU2UGUU
©2y 4{2 0|{04$U2!U 4|{yA .A2 0G{CU
0=¥{Aá=02=G 0A¥G<AÞ] 0Þ=2 0A 0UU{Ã
GU2ã{G{2ê2U{=A{G{ã{U* 02G<] 0|{0ëU
{G{|{ 4<Ã*G.=AU 02Á§4 T0yG{ 02 0CUGUU
0=522]U2C{.{=|{0 GãÁ ÂU+ 4<UãÁ Â
T0$2A0G{{Uh yU 0A0$4]0¿|.{=|{0C02
©20G U]|{04UG< 0A|<A{< 4{G{+U02|{2
U=Ah 0á 02 4{G|<{áU2C] .U+4$02|{ 4]0GUA4
{U!UU 0U]0=UUA 4{GA{5.{=|{0
2A$U2
]0=UUA 4{Gh2 .50]G
AU200UA<
.âAG 0=5=U$A{ .A|Th25U5A2 020$4
].0].{2 0U UU{G{A
³T²¸A·¸
½ ´
=|{2@U20]G4=U2
]0=UUA 4{GA e 00 !.{A] 4{2 0|{0ã4U2
A .A2 0G{CUT0U2!]0=UUA 4{2áUGUU+=|{2
20A 4@T0A 2C4$U2C 4{á2A0G{$<U
A2 0A .]UU{ÃU2 PAY=\ZJ<^[ zJ<\Zya]\|[4\ZQ.aP|t+[ q P4QGI=M0[4R]
[4RUp +02=GUG{U 0G{y02U< .AU22|{0=
2]AU 0A 0=UGA{G]0=.{|{0=
©G<A{ .A|®] 0|{0y2 .={G{|{ 4<Ã+{!Á G4Â T0
UGUU({!.{=|{0
0=
©2$G{ 02 0] .U<
24hA{ 0
|UG<2 0=]0G{U@02UU=G{
.{=|{0
200UU<0A=]0G{UhG!U2y2A]{{¿
2 0AUU=GGÁ
Â
<®=2 4{$ 02G{UU2A¿ZGUA
2A0G{ )À02 .|{¿Z02|{ 4UA 4 U]U0A0]0=|<U|{2
4$]0=] 0U2 0|{0ã42 02C 0=5=02=G 0AC 0]<
4{0 =U 4<UÁ
4Â
¨
ª@ U©
l.L<m5W$NI2J<\ZJTP4IGa
]0=|<GáU2|{02|{ 4C2A0G{'T0á
U.0U
³
0
=´
|{24{{222 42UGUU
¯
°±h²C³Z°0´ µy¶·³Z°0´¸ ³ § ´
{U»
¶
»¼ §
°
¹{U5UU 0U]0=UUA 4{G
½
³Z°0´
¼¾2A½=¹è ¹G 0=®2¢G+=02=G 0A
]0=.{|{0=
°.³
¾
´±h° .¸°.³"!@´e±ã°
©2 SGN]IN]R]JTp$P4RUM.N]R 4U2]0=UUA 4{G<U2{GU0
#
U=AU2 0
· ½
±ã·²
½
±%$&$&$G±h·²'(*)
½ ± ¾
¸·²'(
½+
± ¾
¥q P4QGI=M0[4R][4RUp æçè,*-
³æ ´
< 0 0]@4U2UGUU+
20AG=]5U5 5=4{G@]0GU 4{2h{½
± ¾ Z
U2@0]G<
#
0 =02=G 0A 0] 0=$U2 .AUGA{ 0U
TG2 .A+]0GUA4e] 0y=02U<] 4{C]022UG
.âAG|{ 0|{2
#
|{U2 02G{2æçè ½
³Z°.³
æ
´U´
0=U4{0{2{UAU=]U
¶
U2{2 0@À02 0|{0
½.
'0/e±5²'
½
µC¶·²'(
½ ± ¾
á=02=G 0A$ 0]<]0GU 4{2{
½ ± ¯½
±%$&$&$G±
½.
'(
/e±
¾ ¸
0=!U2]0=UUA 4{G½
±
¾+<] 4{
Y=R]J<^[4R]
0=
U2]0=UUA 4{GA
¯
½
±$&$&$±
½ .
'(
/ ±
¾ 0A] 4{
aNUpAP4I=M0[4R]4
©2=02=G 0ATG2 .A]0GUA4<
¶ -
±%1
² ' ½
·²
½ $
@æ@çè2,*-
³æ
´A¸
æ Áʾ
¸3!
Â
= =02=G 0A 0] .AU0¿
A{ 0UyU
¶ - $2+U{GUAGG=]$U2$T4{4{2
.AU22|{0=
·²
'(
½546&78+
±
¾2A
#
<@U2$0]G4U2
]0=UUA 4{G
) Ȧ
-»:9 § T0!æ
¾
¸3!
Á{ U2ã=02=G 0A
]0GUA4=<@ .G<A|{G{
º »¶ -»;9
§
T0+æ
Áʾ
¸3!
Â
U2!=02=G 0A
]0GUA4=<@20U 0U2A 0|{2
l.L<Cc¥^[=4J<^$QG^Y=R]J<I=pJY zN>eJ<\T_a]\|[4\UNpAP4IGa]\ZRU[4J<I2\Ta
A] 4eU22]AU 0A]0=.{|{0=G2UÁÊå
Â
0=
Á§ ¾ Â
U2 0!áU2 4=Uh{ë02hUU=G ¦0=|<G
U2y|{24{+{222 42+UGUU
³ § ´ ¯
°ã±#²C³Z°0´µ
¶·$³Z°0´A¸°?@
¹
¸ »¶
»¼
§
0=5]0=|<GU2
|{{G{ 42A0G{*UUA 0=|T
°
U
°
@AU2yU2 0yæãçè
°.³
æ
´A¸
æ
Áʾ
¸3!
 <y ãG{]¿
<UãU.0U|{5{G{ 4U4{2|{0¥G<AG{A
U2á=02=G 0A½
³Z°0´¥±
¾ 05|{!æ
)3AB(
¸DC¥±
§ ¸
¸&$&$&$ ¸3E
0={ 405U2á=02=G 0A 05|{
æ
)3A
¸FC±
§ ¸
¸&$&$&$ ¸3E
0=!0A40$ .AU2U2 0
4{02@ .A=02=G 0A@ 0]4@AU22|{0=
0=
)
0AU 0|<|®=+ 0]0GU .]0 U2=]|{0C|{ « ]®=2
U2 0{U0G{ 0G
G
³Z°.¸
à
¸U¶¸IH=´±KJ
à
¸U²ëµC¶·L µMH
½ ¸
2A
JU¸ L
<@U2UU 0=G 0]A] 4{ 0@2AGG=].à<U2
. U4{G0]U0 0=
H
<U2 00A 020G{|{G{
4U2@]0=UUA 4{G ©22]AU 0A02|{ 4{|]0=.{¿
|{0= 0A0
³ § ´
©2A+]¢.<UAæCçè
H³ æ ´
¼)¾G@U=AhU2 0U2
. U4{G0]U0@U 0|<|®=
¯
à
±N1 àPO0Q
²
Q ° µC¶
Q ·
Q
°R 1:H
Q ½
Q °
³ ´
©2 02G{2+æçè
H³ æ ´
<]0G|{G20= 4{02
U2=02=G 0A$ 0]@ 0=U 0|<|®=
H³ æ ´½
³Z°.³
æ
´U´±
¾
¸TS æ
Áʾ
¸3!
Â$
³ ´
+]0GU .]0 $ U2=]|{0!|{æ
A
{U!U2
=02=G 0A0.2 40
G ³æA
µ´=±
G ³æ A
1´
à ³æ A
µ´=±
à ³æ A
1´U1:V
A Q ½
Q °
³Z°.³ æ A
´U´A¸0V
A
¼5¾
³BWG´
©202|{ 42]0GUA4G 4¢.{{Ã 4{.U 0A.¿
2AU2
0{U0G{ 0
G
³Z°.³|´A¸
à
³|´A¸U¶³|´A¸IH³|´A´±
4¢
4XY4Z G
³Z°.³|´A¸
à
³|´A¸I[=¸IH³|´U´
³ ´ G <@]0=UU 0G 0=20220 0|{0 4{02
°.³ æ ´
W$NI2J<\ZJTP4Iym0L 5]¢GUA 4< !U4{2|{0
³Z°.¸
à ´
4
U2! 0=40!À02 0|{0=
|<C] 4{
N3=0p]NZY=\ZJTP4I=[
z
G ± ¾
ë]¢GUA 4 0]5<h] 4{#q
[4I.S4s
q
[4I.S
+{h]0AAU=0=2yU G{]<U]0=UU 0G!]02¿
UA4
¶³
æ
´@±&Ce³IJ à ³æ
´A¸A·³Z°.³
æ
´U´ILU´
0y]¢GUA 4 0]
4$U2C2=]0=UUA 4{2h2A0G{<+] 4{ a]J<I.S0Q z[4R
Jà ³æ
´A¸A·³Z°.³
æ
´U´ILá±
¾ 520U
± Jà
¸A·³Z°0´IL
U2 a >eJ<\|p]_.J<I.St]QGI=p\ZJTP4I 0=$U2 a >eJ<\|p]_.J<I.SCaN]\
T0A+G+=4{GA
°
2AU202|{ 4]0GUA4e<
.<A]0G|{G20=
l.L<}uP4^@Y=QG\|[4\ZJTP4IyP|ta]J<I.S0Q
z
[4R$pAP4I2\ZRUP za
2 400
b N]^$^[l.L
³æ ´ ± Jà ³æ
´A¸A·³Z°.³
æ
´U´IL
=ëU2
U{AAG{2T2=]|{0! 4{2 0UC 4{02 +U.0U+]¢G¿
UA 4
³æ
´ã± ³à ³æ
´A¸A°.³
æ
´U´
4U252=]0=UUA 4{2
2A0G{+.U2
¯
± Jà ¸ Á
²¸A·
Â
³Z°0´IL
± Jà ¸ Á
²¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´ILµC¶UJ à ¸ Á
·¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´IL
uP4RUP zTz[4R]P<0L *|{20G{ 0$]¢GUA 4
³à ³æ
´A¸A°.³
æ
´U´
U 0U¿
<|®= 4{.U0A2A$
Jà
¸A·³Z°0´IL±%J à ¸ Á
²¸A·
Â
³Z°0´IL±
¾
Jà ¸ Á
²¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´ILµC¶UJ à ¸ Á
·¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´IL±
¾
l.L@NUP4^N]\ZR]JTppAP4^@Y=QG\|[4\ZJTP4IGa*P|t\T_2N^$Q
z
\ZJY z JZN]RAa
³BH¸3V
A´
[4I=M\T_2Nen]QGI=p\ZJTP4IypAP4I=M4J<\ZJTP4IGa
2+4U2y 4{ã]0GUU{22|{0=4Á
§ ¾ Â
<U5G¿
UA{2U2G{|{G{]
³BH¸3V
A ´
U00U2{UhU2
02 4{G|<4U2 U2=]|{0C]0=.{|{0= ©G<<2 .U
0U2]0=]240]G 0=$<A]{ 0UU$U2A{ .U¿
|®] 0|{0y4]¢GUA 4< 2 $A0{U2UA]{ 0|{0=
2U250]G+<
# ± <U! 00!U2
]022U 0|{0$00UU<40U2 0e<A]{ 0UU{UA 0U
{C2A .A0A4
³T²¸A·´
.]|{250ãU2C]0=UUA 4{G
02G{2$½
b N]^$^[g2L
@AU2U2 0U2]0=UUA 4{G2 .0]G
#(±
U2
³ § ´
{02 =02=G 0A$ 0]4
H±
Jà ¸ Á
²¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´IL µC¶
- Jà ¸ Á
·¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´IL
³Á
²¸A·
½
´A³Z°0´
³ ´
]0GU .]0GUA 0=]¿Z]¢.{=4{G
³æ A
µ´e±
³æ A
1´
³ ´
0GUA=4{G
V A ± ¯
³æ A
1´
³Á
²¸A·
½
´A³Z°.³
æ
´U´
¸ V A
±%1
¯
³æ A
µ´
³Á
²¸A·
½
´A³Z°.³ æ A
´U´
¸
©2+A 4{G{2!4$UG< 0A|<A{y<+G00UhU5U2
]0=UUA=]|{0+4U2A{.U{.0y|{02|{ 4UA 0¿
U]U0U{2=G02U<+ .AU22|{0=T0 5|{24{
{222 42]0GUA4@UGUU#{á.{=|{0
{U
02G<] 0|{0UU2U2 .]UG2U|{@A¿ZGUA2A0G{
G¤+ !©U¤ ¤|¨@U¤+N@¨© .3 äe ª
G© ¤Þ|¨ « U¤ ¨. ¨ U© G©e©
¦ ¨G©ª@|¨©
<0L<m_2NI=P4ICpAP4IGa]\ZRU[4J<I2\@pA[aN
ã]0=|<G! UGUU 4+U2hT0A ¯
°(± ² µ
¶·¸
½
³Z°0´
¼*¾
¸ »¶
»¼ § {U
°y±Þ³¸=¸
´P
¹ º
©2 4{)4UG<U]|{0!<Uy4{0U2A{ .A|®] 0¿
|{04U2502|{ 4U.GU2U2 0+ ã=4{G
°
<GG|®=!U!¾G05U2=02=G 0Ay4U2G0 4{
¦0=|<G®=]UU22=]0=UUA 4{2] .U 0= .AU2
U2 0
²¸h·¸
Á
²¸A·
Â
0Ay{2 0U{á{=G==GG 0
°
© ]0=UUA=]02|{ 4UA 4 U]U0U{=U 02¿
4{.Ã+U2+=02=G 0AC4U2yU 4@|{A .A2 0G{
UT0@U2|{]¢GU=G+UGUU |A@UUA=]U2A<
GA]U{={CÁ
Â
G2=G02U< .AU22|{0=
Z
Jà ³æ
´A¸
Á
·¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°.³
æ
´U´IL
<20 0G<UG{2y] 0
U4{0
³æ
´e±
¾U]022U@U2|{20G{ 0]0GUA4Z
¶
±K1 Jà ¸ Á
²¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´IL
Jà ¸ Á
·¸
Á
²¸A·
Â{Â
³Z°0´IL
2 40@|] .UGUÁ
W Â
u[aN@m 0Z
²
0=Á{Á
²¸A·
Â
¸A·
Â
0A0$U202=0¿
|{U$|<G{U+AU=]UU2G{ 0202A 0U
G
·¸
Á
²¸A·
Â
U2CU2|{20G{ 0 0]<@{G] 4{
|{02|{ 4
¶F
¹
u[aNl $U202=.|{U0
²
0=Á{Á
²¸A·
Â
¸A·
Â
0A{U2U 0e|<G0U2|{20G{ 0 0] <={G] 4{
|{ 4¢.{ 4
|5U2|C] .UeU2]0=UUA 4{G+»
¶
4»¼ § <20
U 00!{GUy .]02G$ 0=CU2+|{20G{ 0]0GUA4@] 0
=CUUU<]|{á .G<A|{G{+C»
¶
»9 § @U 0U2A 0|{2!
Ȧ
»
± § 0
°
020y .G<A|{G{$»
¶
» §
2 40 02U<] .U
2 0A 0=4<] .U0
C2 40U2U 0|{0
]{2|<] .U0
! "h¾ 0=
( 95¾
G.=A=4<] .U0
! 95¾$ 0=
( h¾
|ã=0UãG.=A=4<y 0=h2 0A 0=4<y] .UU2{0¿
] 4e|{02|{ 4eU.GU2U 0A02U 4{2G=|{2
0G{U2@®=]U0]G]0=.{|{0=TA0¥U2{G{2
2U{=A{G{ã 0=2=]!TA0 ]¢GUA 4{|0$U00U2
{U 0=GA¿U¦e{=AA]0=.{|{0{¥U2hG.=A¿
=4<] .U ¤0A2AA<U]{2 400
.A5]¢GUA 4@=4<]5<${G] 4{á|{02|{ 4 |
U2G.=A=4<] .Uá .A(02|{ 4+=4<]*<ã4
U2T0A, , , 2A;,
³
AU , (
AU , ´
G20U+ áU4{2|{04U25UGUU .AUGA{ 0UU
U2h]0GUA4
¶é±
§ ³
AU
¶é± 1 §
@AU
¶é±
¶ ´
|CU22 0A 0=4<] .U .Ay02|{ 4=4<]y<
2 020¿Z2 02{U! 0$.U|+U{AAG{2. 0=C2 .
U2T0A2,
( , , (
08, , ( , G==.{2y0hU2
]0G®=02A 0|{04eU2{ A .A0A
|U2]{2|T] .U0GU2|{U2 0|{0<0A{GUU<] 0U
=] 0=U@U2A@]¢.<U $]2U¿T{G]=0 $U4=4{GA
G<A] 0=!A .A2áGã 0{ .Uy|ã02|{ 4
UA 4 U]U0U{
b N]^$^[ 4L |CU2]{2|T] .U0 .Ay02|{ 4=4{¿
<]2 .+U2CT0AT,
( , , (
0=K, , ( ,
¤0A¿
40$U2A]¢.<UA C]2{G]=2A|y02|{ 4
UA 4 U]U0U{4U22A0{0=$T0A)2 40U2+U 0
G2A 0|{0
U2 424 02 4{.ÃU2]0=UUA 4{2C] .U$T0
]0=UUA 4{G@40]G
2T0U2$ 0=40U2A02U<
] .U ¨@0|<]U2 0=0U+2 0A 0=4< 0=G.=A=4<
] .U2 40@= 4{A .GUA 0U{yÁ
4Â
=e 4<U
2=GU{2U2 002 02G<] 0|{0UU2U2 .]UG2U|{
A¿ZGUAá2A0G{+@]0AAU=0=2UáU252 0A 0=4<
] .U
<0L{l _2NpAP4IGa]\ZRU[4J<INUM$YG[4RU[
q P z
JTppA[aN
ä 0U2C2=]0=UUA 4{2h2A0G{ U2!|{U2 0|{0<
A{ 0{!U22 0A 0=4<] .U |=G
² ·
Á
²¸A·
Â
T0A* TA 0@2 0
°
0=U{|{22
Á
²!·¸
Á
²¸A·
Â{Â
±
²*µ
·ãµ
½ Á
²¸A·
¸
{U
+
±
¾GU2yU.GU2|<G==20G{52=0
U2ã|{04
± (
0
°
©2ãU 4|{
A .A2 0G{U< =02=G@G@U2U2UT .]=T0AG
0],
( , h 0=P, , ( .A{GUU{0=4{G] 0y=
A .A2$G 0 0]0,
( , , (
0=$ 0 0]0, , ( , Z
95¾U2@|{{G{ 42=4<]< , ( , , (
0=U2
|{ 4¢.{ 4==4<]<0, , ( , C 0=U202=.|{U
¥¾ © +]0=UUA=]U202|{ 4U.GU2|<02
] 0C=U$ I2JzYGP4\UN]I2\^PM.N z2A 40{2A .A0A
4{20U!0A 0UU2 0
W
0A¾ |C2 0A|<]G{ 0U2
]¢.<UU=]$4|{20G{ 0.{A]|{0+<{AA]{ 0G@{yU2
02 4{G|< 0= $GG]=2AÁ
·¸
Á
²¸A·
Â{Â <ÃA] 0
=+U 00
©G<|{U2 0|{0ã<] 4{ãU2
SGNUP4^N]\ZR]JTp
^PM.N z
ã|{{ 0GG]G<]0=UUA=]U$2]¢GU 00{2
{GU+ .]02GU2]0=UUA 4{GA G<A! 0A .AU2
40]G
¤0A40U2 4®=]U$U22=.UU2 0
º
0A@U 0|<|®= 4{02$ =02=G 0A 0]0,*-]0U2 0
<
·²
½N+
±
¾+ 4{02,*- 0=CU2=02=G 0AC]0GUA4
<y .G<A|{G{! 0=á20yU 0U2A 0|{2 !2 40!U2
T4{4{22
UU<@GG]={U22 0A 0=4<] .U<
¯
±
µ
º
¯
±
§
µ
$µ
º
¯
±³
½
µC¶ ´µ
½
$µ
½ )
µ
½ º ¸ »¶
»0¼
§
{U
º
*¾G 2AU2]0=UUA 4{G<
¼*¾ 0=
U2=02=G 0A$ 0]<<GG|®=U8,*-0æeçè
³¾ ¸ æ ¸ ¾ ´
ZU2@=02=G 0A 0]e< .G<A|{G{ 0=20U 0U2A 0U¿
{22 40»½.»59 §
_2NUP4RAN]^Þj0L
¦0=|<G U2e|{e{G{{Ã 0|{02A02¿
{ T0yU2ãUGUU+
¯
°*± ²C³Z°0´µ¶·³Z°0´A¸°
¹º
¸ »¶
»¼
§
{UU25]0=UUA 4{G+½
³Z°0´
¼ê¾
°
½ ±
¾ 0= .AU2@U2@T4{4{22
³ § ´
°
² · 0=+Á
²¸A·
Â
T0A* TA 0@ 0=
Á
²!·¸
Á
²¸A·
Â{Â
±
²*µ
·ãµ
½ Á
²¸A·
Â
{U
(
95¾
³ ´
©2]0=UUA 4{G <e4=0]G
0=$@AU22|{0=
0=
º
0AU 0|<|®= 0
°
©2yU2$=02=G 0A 0]U2A020
°
<U 4e|{
02|{ 4@ 0=+0G{@U2 0],
(
<]0GU 4{2+{
U220 .G<A|{G{G0 4{½h¾ |UG<@] .U@U2
{G] 4 |{@{G{ 4U.GU2|<{U =02=G 0A 0]
<4U2T0A , (
, ,*-", , (
=2A,
³
AU , (
AU ,*-
´
G20UU4{2|{04=U2UGUU .AUGA{ 0U
UU2$]0GUA4
¶+±
§ ³
AU
¶+±%1
§ 2AU
¶+±ã¶
- ´
0=;, 0A 0]U 020GUU2=02=G 0A$ 0]
<0L<áuP4I2INUp\ZJ<I.S+\">PpAP4IGa]\ZRU[4J<I2\TaP|tP4RUM.N]R J<I!\T_2N
YG[4RU[ q P zJTppA[aN
ZU2A 0A|+]0=UUA 4{GA{C yU 42]{0G=0A¿
2.G4 ã=4{G
°
02!22+UáGA]U{=!U2
UA 0=|{|{0=|U2|]0=UUA 4{GA
=]
4{0 +00UU<20A 4eT0AéUy 02 4{.ÃU=A!
UA 0=|{|{0U00U2@{UU202|{ 4UUA 0U0
b N]^$^[ ~ L
¦0=|<GU2]0GUA4UGUU
¯
°±²(µ
¶·¸
Ȧ
».¼
§
¸°8
¹º{U+|.<U|{=]]0=UUA 4{GA
½ A
³Z°0´
¼(¾
¸;C±
§ ¸ © 00 CU 42]{0G=0A2.G
4e¾]0GU 4{G{2U22 0]4e=0U,
-
0=;,
)
-
G 0=
.AU2U2 0U,
-
G{AU2=02=G 0A½
) ± ¾ @AU2
4<U$U2 0{ A .A0A]0=.{|{0=4U $ß 0A
U 0|<|®= ©2yU2A]¢.<UA 00UU<GG]4
U2T0A+
¯
±
µ
º
¯
±
§
µ
$µ
º
¯
± ½
µy¶µ
½
µ
½
)
µ
½
º
2AU2]0=UUA 4{GA 0A4{0+G½
³Z°0´±
0=
½ )
³Z°0´e± µ
2{U
U 4
_2NUP4RAN]^Þm.k4L Zy .AU22|{0=y4: G$ 0=
.AU22|{0=
³ § ´ 0=
³ ´
4©20A)åT0=0U
]0=UUA 4{2ãUGUU 0ACU 0|<|®=G20U,
- , -