Switching Lévy Process

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Preprint submitted on 16 Jan 2017

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Switching Lévy Process

Christiane Cocozza-Thivent

To cite this version:

Christiane Cocozza-Thivent. Switching Lévy Process. 2017. �hal-01436597�

Processus de L´evy avec changements de rythmes

Christiane Cocozza-Thivent

anciennement membre du Laboratoire d’Analyse et de Math´ ematiques Appliqu´ ees, UMR CNRS 8050

Universit´ e Paris-Est Marne-la-Vall´ ee

adresse ´ electronique : cocozza.christiane@orange.fr

Abstract

This paper introduces Switching Processes, called SP. Their constructions are inspired by the PDMP’s ones (PDMP stands for Piecewise Deterministic Markov Process). A Markov process, called the intrinsic process, replaces the PDMP’s flow.

Jumps are added ; they occur randomly as their locations ; their distributions de- pend on the process’s trajectory between them. When the intrinsic process is a Levy process, thanks to its L´ evy-Itˆ o decomposition as a semi-martingale, we obtain the expected Kolmogorov equations for the SP. The results are extended to Itˆ o-L´ evy processes, in particular to diffusion processes.

R´ esum´ e

Dans cet article, nous introduisons les processus avec changements de rythmes.

Leur construction est inspir´ ee par celle des PDMP (Piecewise Deterministic Markov Process). Ces processus, not´ es SP pour Switching Processes, sont construits ` a partir d’un processus dit intrins` eque qui remplace le flot d´ eterministe de la construction des PDMP. Des sauts sont ajout´ es ` a ce processus intrins` eque. Ils se produisent ` a des instants al´ eatoires, les lois de ces instants et leurs localisations d´ ependent de la trajectoire du processus entre ceux-ci. Lorsque le processus intrins` eque est un processus de L´ evy, son ´ ecriture comme semi-martingale (d´ ecomposition de L´ evy-Itˆ o) nous permet d’obtenir les ´ equations de Kolmogorov auxquelles on s’attend pour le SP. Les r´ esultats s’´ etendent aux processus d’Itˆ o-L´ evy et en particulier aux diffusions.

1 Construction des processus avec changements de ryth- mes

Soit ζ = (ζ(t)) t≥0 un processus c` ad-l` ag, appel´ e processus intrins` eque, que nous supposons ` a valeurs dans R ^d pour simplifier. Notons P ( R ^d ) l’ensemble des probabilit´ es sur R ^d muni de la tribu bor´ elienne. Les changements de rythmes consistent ` a lui ajouter des sauts selon un taux et un lieu de saut qui d´ ependent de l’´ etat du processus.

Le taux est caract´ eris´ e par une fonction λ : R ^d → R + et le lieu du saut par une

probabilit´ e de transition Q : R ^d → P ( R ^d ). On suppose que presque sˆ urement quelle que soit la loi initiale de ζ il existe ε > 0 tel que R ε

0 λ(ζ(v)) dv < +∞ (propri´ et´ e que doit v´ erifier un taux de hasard). Pour simplifier on suppose ´ egalement que presque sˆ urement quelle que soit la loi initiale de ζ on a R +∞

0 λ(ζ (v)) dv = +∞, ce qui entraine que pour M d´ efini ci-dessous par (1) on a M (ζ ; R ^d × R + ) = 1.

La terminologie ”changements de rythmes” (switching en anglais) provient de certaines applications. Le mod` ele que nous allons pr´ esenter permet par exemple de mod´ eliser des ph´ enom` enes dans lesquels les param` etres changent ` a certains instants al´ eatoires. Dans ce cas le processus ζ est en fait une famille de processus (ζ _i ) i∈I et apr` es un saut l’´ evolution du ph´ enom` ene qui ´ etait d´ ecrite par le processus ζ i devient r´ egie par le processus ζ _j , j ´ etant choisi selon une probabilit´ e Q qui d´ epend de i et de l’´ etat du processus ` a l’instant du saut ; des exemples sont donn´ es dans le chapitre 8 de [4]. Mais, comme indiqu´ e ci-dessus, pour simplifier nous supposons ici que ζ est ` a valeurs dans R ^d .

Dans [3], J. Bect s’int´ eresse aux processus de Markov diffusifs par morceaux, cela correspond au cas o` u le processus intrins` eque est une diffusion. De nombreux exemples d’applications sont donn´ es dans son introduction.

Posons

M (ζ ; dx, dv) = λ(ζ (v)) e ⁻

R

v

0

λ(ζ(w)) dw Q(ζ(v); dx) dv. (1) D´ efinition 1 Un processus ` a changements de rythmes (Switching Process ou SP) associ´ e ` a ζ et M d’´ etat initial x ₀ ∈ R ^d est un processus X = (X _t ) t≥0 qui peut ˆ etre construit de la mani` ere suivante :

1. soit ζ ⁽¹⁾ un processus dont la loi est la loi de ζ sachant ζ(0) = x ₀ , 2. la loi de (Y ₁ , T ₁ ) sachant ζ ⁽¹⁾ est M (ζ ⁽¹⁾ ; dx, dv),

3. pour t < T ₁ , X _t = ζ ⁽¹⁾ (t) et X _T

₁

= Y ₁ ,

on suppose construits ζ ⁽¹⁾ , . . . , ζ ⁽ⁿ⁾ , Y ₁ , T ₁ , . . . , Y _n , T _n (n ≥ 1),

4. soit ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ un processus dont la loi sachant ζ ⁽¹⁾ , . . . , ζ ⁽ⁿ⁾ , Y ₁ , T ₁ , . . . , Y _n , T _n est la loi de ζ sachant ζ (0) = Y _n ,

5. la loi de (Y _n+1 , T _n+1 − T _n ) sachant ζ ⁽¹⁾ , . . . , ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ , Y ₁ , T ₁ , . . . , Y _n , T _n est M(ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ ; dz, dv),

6. si T n ≤ t < T n+1 , X t = ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t − T n ), et X T

n+1

= Y n+1 . On pose T 0 = 0, Y 0 = x 0 .

On suppose que lim n→+∞ T n = +∞, ce qui est le cas sous l’hypoth` ese λ born´ ee que nous ferons ult´ erieurement.

2 Approche semi-r´ eg´ en´ erative

On d´ efinit le noyau de renouvellement N sur R ^d par

N (x, dy, dv) = E (M(ζ; dy, dv) / ζ(0) = x), (2) au sens o` u

Z

R

^d

× R

+

ϕ(y, v) N (x, dy, dv) = E Z

R

^d

× R

+

ϕ(y, v) M (ζ; dy, dv) / ζ(0) = x

pour toute fonction ϕ mesurable positive d´ efinie sur R ^d × R + .

Le processus (Y _n , T _n ) n≥1 est un processus de renouvellement markovien de noyau de renouvellement N et la loi de (Y 1 , T 1 ) sachant X 0 = x 0 est N (x 0 , ·, ·). Le proces- sus (X t ) t≥0 est un processus semi-r´ eg´ en´ eratif associ´ e au processus de renouvellement markovien (Y _n , T _n ) n≥1 .

Nous d´ efinissons (Z _t , A _t ) par Z _t = Y _n et A _t = t − T _n sur T _n ≤ t < T _n+1 (n ≥ 0).

Nous appelons (Z t , A t ) t≥0 le CSMP (Completed Semi-Markov Process) sous-jacent au SP (X _t ) t≥0 .

Proposition 2 Soit (X t ) t≥0 un SP associ´ e ` a ζ et M donn´ e par (1), (Z t , A t ) t≥0 son CSMP sous-jacent et (Y n , T n ) n≥1 le processus de renouvellement markovien associ´ e.

On pose N _t = P

n≥1 1 _{T

_n

_≤t} .

Soit g une fonction mesurable positive d´ efinie sur R + × R ^d et t > 0. Alors : E(g(t, X t ) / T N

t

, Z t , A t ) = ψ(T N

t

, Z t , A t ) p.s.

avec

ψ(s, z, v) = E

g(s + v, ζ(v)) e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} / ζ (0) = z

E

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} / ζ(0) = z

.

En particulier :

E(g(t, X t )) = E(ψ(T N

t

, Z t , A t )).

D´ emonstration : Posons ¯ F _z (v) = P (T ₁ > v / ζ(0) = z) = E

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} / ζ(0) = z . Soit ψ 0 une fonction mesurable positive d´ efinie sur R + × R ^d × R + . On a :

E (ψ ₀ (T _N

_t

, Z _t , A _t ) g(t, X _t )) = (3)

X

n≥0

E

1 _{T

_n

_≤t} ψ ₀ (T _n , Y _n , t − T _n ) E (g(t, ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t − T _n )) 1 _{T

_n+1

_−T

_n

_>t−T

_n

_} / Y _n , T _n )

Or :

E (g(t, ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t − T n )) 1 _{T

_n+1

_−T

_n

_>t−T

_n

_} / Y n , T n )

= E

g(t − T n + T n , ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t − T n )) M (ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ , R ^d ×]t − T n , +∞[) / Y n , T n

= ψ(T n , Y n , t − T n ) ¯ F Y

n

(t − T n ) = ψ(T n , Y n , t − T n ) P (T n+1 − T n > t − T n / Y n , T n ) En reportant dans (3), nous obtenons E(ψ 0 (T N

1

, Z t , A t ) g(t, X t )) = E(ψ 0 (T N

t

, Z t , A t ) ψ(T _N

_t

, Z _t , A _t )).

On peut appliquer au SP (X _t ) t≥0 les r´ esultats sur la convergence des processus semi-r´ eg´ en´ eratifs. Notamment, dans le cas non-arithm´ etique et sous des conditions pr´ ecis´ ees par exemple dans [1] ou [2], on obtient :

E (g(X t )) −−−→

t→∞

Z

R

^d

E Z T

1

0

g(ζ(v)) dv / ζ(0) = z) dv

m(dz) Z

R

^d

E (T ₁ / ζ(0) = z) m(dz)

= Z

R

^d

E Z

R

+

g(ζ(v)) e ⁻

R

v

0

λ(ζ(w)) dw dv / ζ(0) = z

m(dz) Z

R

^d

E Z

R

+

e ⁻

R

v

0

λ(ζ(w)) dw dv / ζ (0) = z

m(dz)

o` u m est la loi stationnaire de la chaine de Markov (Y n ) n≥1 .

3 Cas d’un processus intrins` eque markovien

Th´ eor` eme 3 Un processus ` a changement de rythmes associ´ e ` a un processus de Mar- kov ζ et ` a M donn´ e par (1) est un processus de Markov.

Ce th´ eor` eme est une cons´ equence imm´ ediate du th´ eor` eme suivant d´ emontr´ e dans [4].

Th´ eor` eme 4 On suppose que :

i. le processus ζ est un processus de Markov.

ii. pour tout s ∈ R + et toute fonction mesurable positive ϕ d´ efinie sur R ^d × R + :

Z

R

^d

× R

+

ϕ(z, v) 1 {v>s} M(ζ; dz, dv)

= M (ζ; R ^d ×]s, +∞[) Z

R

^d

× R

+

ϕ(z, v + s) M(ζ(s + · ); dz, dv), (4) iii. pour tout s ∈ R + , M (ζ ; R ^d × [0, s]) est mesurable pour la tribu engendr´ ee par

les variables al´ eatoires ζ (v), v ≤ s.

Alors le SP (X _t ) t≥0 associ´ e ` a ζ et M est un processus de Markov.

4 Cas d’un processus intrins` eque semi-martingale

Th´ eor` eme 5 Nous supposons que

M(ζ; dz, dv) = λ(ζ(v)) e ⁻

R

v

0

λ(ζ(w)) dx Q(ζ(v); dz) dv

et que λ est born´ e.

Soit (D(A ₀ ), A ₀ ) un op´ erateur sur les fonctions ` a valeurs r´ eelles d´ efinies sur R + × F , born´ ees sur [0, t] × F pour tout t > 0. Nous supposons que pour toute fonction g appartenant ` a D(A ₀ ) :

1. le processus t → g(t, ζ (t)) est une semi-martingale de la forme g(t, ζ (t)) = g(0, ζ(0)) +

Z t

0

A ₀ g(v, ζ(v)) dv + M _t ^g o` u M _t ^g est une martingale,

2. la fonction A ₀ g est born´ ee sur [0, t] × F pour tout t > 0.

Soit Ψ un SP associ´ e ` a ζ et M et g ∈ D(A ₀ ). Posons : A ˜ ₀ g(v, z) = A ₀ g(v, z) + λ(z)

Z

F

(g(v, z 1 ) − g(v, z)) Q(z; dz 1 ), On suppose que pour tout s > 0, τ _s g ∈ D(A ₀ ) et A ₀ τ _s g = τ _s A ₀ g. Alors :

E (g(t, Ψ t )) = E (g(0, Ψ 0 )) + Z t

0

E ( ˜ A ₀ g(s, Ψ s )) ds.

D´ emonstration : Nous allons nous appuyer sur la proposition 2 dont nous repre- nons les notations. Nous posons E z ( · ) = E ( · / ζ(0) = z).

Remarquons que ζ ´ etant c` ad-l` ag, {v : ζ(v − ) 6= ζ(v)} est d´ enombrable donc pour

toute fonction mesurable f : R + × R ^d → R , nous avons f (v, ζ(v − )) dv = f (v, ζ (v)) dv.

Soit g une fonction born´ ee appartenant ` a D(A ₀ ). La formule d’Itˆ o donne e ⁻

R

t

0

λ(ζ(w)) dw g(t, ζ(t)) = g(0, ζ(0)) + Z t

0

e ⁻

R

s

0

λ(ζ(w) dw A ₁ g(s, ζ(s)) ds +

Z t

0

e ^{− R}

^0s

^{λ(ζ(w) dw} dM _s ^g

avec A ₁ g(s, x) = A ₀ g(s, x) − λ(x) g(s, x), d’o` u E z

e ^{− R}

^0t

^{λ(ζ(w)) dw} g(t, ζ (t))

− g(0, z) = E z

Z t

0

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} A ₁ g(v, ζ(v)) dv

. (5) Soit N le noyau du processus de renouvellement markovien (Y _n , T _n ) n≥0 . Nous

´ ecrivons N (x, dy, dv) = 1 _R

₊

(v) dF x (v) β(x, v; dy) o` u dF x est la loi de T 1 sachant X 0 = x et β(x, v; dy) la loi de Y 1 sachant T 1 = v et X 0 = x. D’apr` es (2) nous avons :

1 _R

₊

(v) dF _x (v) = Z

R

^d

N (x, dy, dv) = E x (λ(ζ(v)) e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} ) dv, donc dF x (v) peut s’´ ecrire dF x (v) = `(x, v) e ^{− R}

^0v

^{`(x,w) dw} dv et

`(z, v) = E z

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} λ(ζ(v))

E z

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw}

≤ ||λ|| _∞ . (6) Il s’ensuit que E(N t ) < +∞ (voir par exemple [4] corollaire 5.9).

Remarquons que ¯ F z (v) = E z (e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} ) ≥ e ^−||λ||

^∞

^v . Posons ψ(s, z, v ) = E z

e ⁻

R

v

0

λ(ζ(w) dw g(s + v, ζ(v))

/ F ¯ z (v).

La fonction ψ est born´ ee sur R + × R ^d × [0, t] et compte-tenu de (5) appliqu´ e ` a τ s g, la fonction v → ψ(s, z, v) = E z

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w) dw} g(s + v, ζ(v))

/ F ¯ z (v) est absolument continue. Notons ∂ ₃ ψ ”sa” densit´ e, elle est born´ ee sur [0, A] × R ^d × [0, B] pour tous A > 0, B > 0.

Posons :

Lψ(s, z, v) = ˜ ∂ ₃ ψ(s, z, v) + Z

R

^d

(ψ(s + v, z ₁ , 0) − ψ(s, z, v)) `(z, v) β(z, v; dz ₁ ).

Le corollaire 5.21 de [4] donne :

E (ψ(T _N

_t

, Z _t , A _t )) = E (ψ(0, Z ₀ , 0)) + E Z t

0

Lψ(T ˜ _N

_s

, Z _s , A _s )

ds. (7)

La proposition 2 entraine E (ψ(T N

t

, Z t , A t )) = E (g(t, X t )).

Int´ eressons nous maintenant au deuxi` eme membre de (7). Pour (s, z) ∈ R + × R <sup>d</sup> , la fonction v → F ¯ z (v) ˜ Lψ(s, z, v) est int´ egrable sur [0, t]. Une int´ egration par parties, la relation dF z (v) = ¯ F z (v) `(z, v) dv, l’hypoth` ese A <sub>0</sub> τ s g = τ s A <sub>0</sub> g et la formule (5) appliqu´ ee ` a τ _s g entrainent :

Z t

0

F ¯ _z (v) ˜ Lψ(s, z, v) dv = Z t

0

E z

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} A ˜ ₀ g(s + v, ζ (v))

dv.

Posons ψ ₁ (s, z, v) = E z

e ^{− R}

^0v

^{λ(ζ(w)) dw} A ˜ ₀ g(s + v, ζ(v))

/ F ¯ _z (v). Pour tout t ≥ 0, R t

0 F ¯ _z (v) ˜ Lψ(s, z, v) dv = R t

0 F ¯ _z (v) ψ ₁ (s, z, v) dv et par cons´ equent, pour tout (s, z) ∈ R + × R ^d , ˜ Lψ(s, z, v) dv = ψ ₁ (s, z, v) dv. Donc pour T _n ≤ t < T _n+1 :

Z t

0

Lψ(T ˜ N

s

, Z s , A s ) ds =

n−1

X

k=0

Z T

k+1

−T

_k

0

Lψ(T ˜ k , Y k , v) dv + Z t−T

_n

0

Lψ(T ˜ n , Y n , v) dv

=

n−1

X

k=0

Z T

_k+1

−T

_k

0

ψ 1 (T _k , Y _k , v) dv + Z t−T

n

0

ψ 1 (T n , Y n , v) dv

= Z t

0

ψ 1 (T N

s

, Z s , A s ) ds.

En utilisant ` a nouveau la proposition 2 nous obtenons E R t

0 Lψ(T ˜ _N

_s

, Z _s , A _s ) ds = R t

0 E ( ˜ A ₀ g(s, X s− )) ds, d’o` u le r´ esultat.

Corollaire 6 Nous supposons que

M(ζ; dz, dv) = λ(ζ(v)) e ⁻

R

v

0

λ(ζ(w)) dx Q(ζ(v); dz) dv

et que λ est born´ e.

Soit (D(A), A) un op´ erateur sur les fonctions born´ ees ` a valeurs r´ eelles d´ efinies sur R <sup>d</sup> . Nous supposons que pour toute fonction f appartenant ` a D(A) :

1. le processus t → f (ζ(t)) est une semi-martingale de la forme f (ζ(t)) = f (ζ (0)) +

Z t

0

Af(ζ(v)) dv + M _t ^f o` u M _t ^f est une martingale,

2. la fonction Af est born´ ee sur R ^d .

Soit Ψ un SP associ´ e ` a ζ et M et f ∈ D(A). Posons : Af ˜ (z) = Af (z) + λ(z)

Z

R

^d

(f(z 1 ) − f (z)) Q(z; dz 1 ).

Alors :

E (f(Ψ _t )) = E (f (Ψ ₀ )) + Z t

0

E ( ˜ Af (Ψ _s )) ds.

Le r´ esultat suivant est une application du th´ eor` eme 5 lorsque le processus in- trins` eque ζ est un processus de L´ evy.

Corollaire 7 Soit ζ un processus de L´ evy d-dimensionnel de mesure de sauts J et de triplet (µ, C, ν ), c’est-` a-dire

ζ(t) = µ t +

√ C W t +

Z t

0

Z

{x:||x||≥1}

x J (ds, dx) + Z t

0

Z

{x:||x||<1}

x J(ds, dx) ˜ o` u W est un brownien standard de dimension d ind´ ependant de J , C une matrice de corr´ elation et J ˜ (ds, dx) = J (ds, dx) − ν(dx) ds.

Soit D(A ₀ ) l’ensemble des fonctions g = g(t, x) : R + × R ^d → R born´ ees de classe

C ^1,2 , c’est-` a-dire continˆ ument diff´ erentiable par rapport ` a la variable temporelle t et 2

fois continˆ ument diff´ erentiable par rapport ` a la variable spatiale x, et dont les d´ eriv´ ees d’ordre 1 et 2 sont born´ ees sur [0, t] × R ^d . Pour g ∈ D(A ₀ ), posons

A ₀ g(s, x) = ∂g

∂s (s, x) +

d

X

i=1

µ _i ∂g

∂x _i (s, x) + 1 2

d

X

i=1 d

X

j=1

C _i,j ∂ ² g

∂x _i ∂x _j (s, x) +

Z

R

^d

g(s, x + y) − g(s, x) −

d

X

i=1

∂g

∂x _i (s, x) y _i 1 {||y||<1}

ν(dy).

A ˜ ₀ g(s, x) = A ₀ g(s, x) + λ(x) Z

R

^d

(g(s, y) − g(s, x)) Q(x; dy).

Soit X un SP associ´ e ` a ζ et M donn´ e par (1). On suppose que λ est born´ e.

Alors pour toute fonction g appartenant ` a D(A ₀ ) : E (g(t, X t )) = E (g(0, X 0 )) +

Z t

0

E ( ˜ A ₀ g(s, X s )) ds.

D´ emonstration : La formule d’Itˆ o donne : g(t, ζ(t)) = g(0, 0) +

Z t

0

A ₀ g(s, ζ(s)) ds +

d

X

i=1

Z t

0

∂g

∂x _i (s, ζ(s − ))

d

X

j=1

σ i,j dW _s ^j

+ Z t

0

Z

R

^d

g(s, ζ (s − ) + y) − g(s, ζ (s − ))

J ˜ (ds, dy). (8) D’une part les ∂g/∂x _i ´ etant born´ es, les R t

0 (∂g/∂x _i )(s, ζ(s − )) dW s ^j sont des martin- gales. D’autre part la formule de Taylor entraine

E Z t

0

|g(s, ζ(s ₋ ) + y) − g(s, ζ(s − )| ² ν(dy) ds

≤ 4||g|| ² t ν({y : ||y|| ≥ 1}) + C t t

Z

{y:||y||<1}

||y|| ² ν(dy) < +∞

o` u C t est une constante qui d´ epend de sup _1≤i≤d sup _{s≤t,x∈ R}

d

| _∂x ^∂g

i

(s, x)|. Par cons´ equent R t

0

R

R

^d

g(s, ζ s− + y) − g(s, ζ s− )

J ˜ (ds, dy) est une martingale.

On montre de mˆ eme que A ₀ g est born´ ee sur [0, t] × R + .

En posant g(s, x) = u(t − s, x) on obtient la formule de Feynman-Kac.

Corollaire 8 (formule de Feynman-Kac) Soit ζ un processus de L´ evy d-dimen- sionnel de triplet (µ, C, ν ). Soit X un SP associ´ e ` a ζ et M donn´ e par (1). On suppose que λ est born´ e. Soit u = u(t, x) : R + × R ^d → R une fonction born´ ee de classe C ^1,2 dont les d´ eriv´ ees d’ordre 1 et 2 sont born´ ees sur [0, t] × R ^d pour tout t. On suppose que u v´ erifie

∂u

∂t (t, x) = Au(t, x) + λ(x) Z

R

^d

(u(t, y) − u(t, x)) Q(x; dy), u(0, x) = h(x), o` u

Au(t, x) =

d

X

i=1

µ i

∂u

∂x _i (t, x) + 1 2

d

X

i=1 d

X

j=1

C _i,j ∂ ² u

∂x _i ∂x _j (t, x) +

Z

R

^d

u(t, x + y) − u(t, x) −

d

X

i=1

∂u

∂x _i (t, x) y i 1 {||y||<1}

ν(dy).

alors u(t, x) = E x (h(X t )) pour tout t.

5 Cas des processus non homog` enes en temps

Lorsque ζ est solution d’une ´ equation diff´ erentielle stochastique non homog` ene ou plus g´ en´ eralement un processus d’Itˆ o-L´ evy non homog` ene en temps, on sent bien que le SP X n’est pas d´ efini correctement apr` es un saut T <sub>n</sub> (n ≥ 1) car il repart comme si celui-ci ´ etait l’instant initial. D’ailleurs on ne peut appliquer le th´ eor` eme 5 car la condition A ₀ τ s g = τ s A ₀ g n’est pas satisfaite. C’est pourquoi nous allons reprendre la d´ efinition du SP X dans ce cas et, quitte ` a ˆ etre inhomog` ene, nous allons autoriser la fonction λ et le noyau Q ` a d´ ependre du temps.

Soit λ une fonction positive d´ efinie sur R + × R ^d et Q est une probabilit´ e de transition de R + × R ^d → P ( R ^d ). Posons :

M (ζ; dz, dv) = λ(v, ζ(v)) e ⁻

R

v

0

λ(w,ζ(w)) dw Q(v, ζ(v); dz) dv.

On construit le SP inhomog` ene X de la mani` ere suivante. Notons ζ ^s,x = (ζ ^s,x (t)) t≥0

un processus dont la loi est celle de ζ(s + · ) sachant ζ (s) = x. Supposons avoir construit ζ ⁽¹⁾ , . . . , ζ ⁽ⁿ⁾ , Y 1 , T 1 , . . . , Y n , T n . Soit ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ un processus dont la loi sachant ζ ⁽¹⁾ , . . . , ζ ⁽ⁿ⁾ , Y ₁ , T ₁ , . . . , Y _n = z, T _n = s est la loi de ζ ^s,z . La loi de (Y _n+1 , T _n+1 − T _n ) sachant ζ ⁽¹⁾ , . . . , ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ , Y 1 , T 1 , . . . , Y n = z, T n = s est M(ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ ; dz, dv). Pour T n ≤ t < T n+1 on pose X t = ζ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t − T n ) et X _T

_n+1

= Y n+1 .

Si ξ = (ξ ⁽¹⁾ , ξ ⁽²⁾ ) est un processus ` a valeurs dans R + × R ^d , posons ˜ M (ξ; ds 1 , dz, dv) = M(ξ ⁽²⁾ ; dz, dv) δ _ξ

(1)

(v) (ds ₁ ). Soit ˜ ζ un processus dont la loi sachant ˜ ζ (0) = (s, x) est celle du processus t → (s + t, ζ ^s,x (t)). Le processus ˜ X = (t, X _t ) t≥0 est un SP associ´ e

`

a ˜ ζ et ˜ M v´ erifiant ˜ X ⁽¹⁾ = 0.

Dans le cas d’un SP inhomog` ene, (Y _n , T _n ) n≥1 n’est pas un processus de renou- vellement markovien. Par contre le processus ( ˜ Y _n , T _n ) n≥1 , avec ˜ Y _n = (T _n , Y _n ), est un processus de renouvellement markovien de noyau

N ˜ (s, x; ds ₁ , dx ₁ , dv) = E (M (ζ ^s,x ; dx ₁ , dv)) δ _s+v (ds ₁ ).

En appliquant le corollaire 6 au SP associ´ e ` a ˜ ζ et ˜ M on obtient la proposition suivante.

Proposition 9 On se place dans le cadre de la construction et des notations de ce paragraphe. On suppose que la fonction λ est born´ ee.

Soit (D(A ₀ ), A ₀ ) un op´ erateur sur les fonctions born´ ees ` a valeurs r´ eelles d´ efinies sur R <sup>d</sup> . Nous supposons que pour toute fonction g appartenant ` a D(A ₀ ) :

1. le processus t → g(t, ζ (t)) est une semi-martingale de la forme g(t, ζ (t)) = g(0, ζ(0)) +

Z t

0

A ₀ g(v, ζ(v)) dv + M _t ^g o` u M _t ^g est une martingale,

2. la fonction A ₀ g est born´ ee sur R ^d . Alors :

E (g(t, X t )) = E (g(0, X 0 )) + Z t

0

E ( ˜ A ₀ g(s, X s )) ds avec :

A ˜ ₀ g(s, x) = A ₀ g(s, x) + λ(s, x) Z

R

^d

(g(s, z) − g(s, x)) Q(s, x; dz).

Exemple. Lorsque les processus intrins` eques sont des processus d’Itˆ o-L´ evy qui s’´ e- crivent

dζ(t) = b(t, ζ (t − )) dt + σ(t, ζ(t − )) dW _t + Z

a(t, ζ (t − ), y) ˜ J(dt, dy)

lorsque d = 1 (on laisse le lecteur g´ en´ eraliser au cas d quelconque), on a (voir [5]) : g(t, ζ (t)) = g(0, ζ (0)) +

Z t

0

A ₀ g(s, ζ(s)) ds + Z t

0

σ(s, ζ (s − )) ∂g

∂x (s, ζ(s − )) dW s

+ Z t

0

Z

(g(s, ζ(s − )) + a(s, ζ (s − ), y)) − f (s, ζ(s − ))) ˜ J (ds, dy) o` u

A ₀ g(s, x) = ∂g

∂s (s, x) + b(s, x) ∂g

∂x (s, x) + 1

2 σ ² (s, x) ∂ ² g

∂x ² g(s, x) +

Z

R

g(s, x + a(s, x, y)) − g(s, x) − a(s, x, y) ∂g

∂x (s, x)

ν(dy).

R´ ef´ erences

[1] Alsmeyer G. On the Markov Renewal Theorem, Stoch. Proc. Appl., 50, 37-56, 1994.

une version corrig´ ee en 1998 sur http ://wwwmath.uni- muenster.de/statistik/alsmeyer/Publikationen/

[2] Alsmeyer G. The Markov Renewal Theorem and Related Results, Markov Proc. Rel. Fields, 3, 103-127, 1997.

[3] Bect J. , Processus de Markov diffusifs par morceaux : outils analytiques et num´ eriques, Th` ese de doctorat, Ecole Doctorale ”Sciences et Technologies de l’Information, des T´ el´ ecommunications et des Syst` emes”, Universit´ e Paris-Sud, 2007.

[4] C. Cocozza-Thivent Renouvellement markovien et PDMP, online at : https ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01418366

[5] Pascucci A. , PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Springer-Verlag,

2011.