SELECTION FESIC

CPE Lyon – EI Purpan – EPMI – ESA – ESCOM – ESEO – HEI – ISA – ISARA-Lyon – ISEN Brest –ISEN Lille – ISEN Toulon – ISEP – LASALLE Beauvais

SELECTION FESIC

ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2010

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Samedi 22 mai 2010 de 14h. à 16h.30

INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS

L'usage de la calculatrice est interdit ainsi que tout document ou formulaire.

L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage, seuls les 12 premiers seront corrigés.

Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse).

Toute réponse exacte rapporte un point.

Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point.

L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.

Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).

L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis.

INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE REPONSES

Les épreuves de la Sélection FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes :

Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.

1. Collez l Cette étiqu bien ces in Exemple :

2. Noirciss

Pour modi réponse pa zone tramé première ré

Attention annuler vo feuille pou

l’étiquette c uette, outre nformations.

sez les case

ifier une ré ar un double ée (zone de éponse est a

: vous ne otre réponse urra vous êtr

code-barres le code-bar .

es correspon

Faire éponse, il n e marquage droite). La annulée. Le V

disposez q e comme in re fournie p

qui vous se rres, porte v

ndant à vos r

e

ne faut ni r (cocher F e réponse fig s réponses p

F

que d'une s ndiqué ci-de

ar le surveil

era fournie ( vos nom, p

réponses :

raturer, ni g et V) puis re gurant dans

possibles so V

seule feuille essus. Toute

llant.

(le code doi rénom, num

Ne pas f gommer, ni eporter la no

la zone tram ont :

F

vrai faux abste abste vrai faux abste e de répons efois, en ca

it être dans l méro de tab

faire

i utiliser un ouvelle répo mée n'est pri

ention ention

ention ses. En cas as de force

l’axe vertic ble et matièr

n effaceur.

onse éventu ise en comp

s d'erreur, v majeure, u

al indiqué).

re. Vérifiez

Annuler la uelle dans la pte que si la

vous devez une seconde . z

a a a

z e

Sé

CPE

Ex

On a) b) c) d)

Ex

On rep a) b) c) d)

Ex

On da So

a) b) c) d)

lection FES

E Lyon – EI Purpan –

xercice n°

n considère D = ]–1;

f est pair f est décr Quel que

xercice n°

n considère présentant f f est cont f est dériv C possède Quel que

xercice n°

n considère ans un repèr oit F la fonc

On a f (e Si t[1; e F(e^π) rep y = 0.

Quel que

SIC 2010

EPMI – ESA – ESCO

°1

la fonction 1[.

re.

roissante su e soit le réel

°2

la fonction f dans un rep

tinue en 0.

vable sur  e la même d e soit le réel

°3

la fonction e orthonorm tion définie

) = 2

. e^π], alors on présente l'ai e soit x  1,

OM – ESEO – HEI –

f définie pa

ur D.

l b, l'équatio

n f définie su père du plan

^–* et sur  droite pour l x, on a f (x

n f, définie s mal du plan.

e sur [1; +

n a f (t)  0.

ire de la sur on a F’(x) 

ISA – ISARA-Lyon –

ar f (x) = l 2 1

on f (x) = b p

ur  par: f ( n.

+* et, pour x asymptote e x)  1.

sur [1; +[

.

[ par F(x) =

.

rface limité

 1.

– ISEN Brest – ISEN L



 







 x x 1

ln 1 . O

possède l'u

(x) = x x 1) ( 

x  0, f '(x) en + et en

par: f (t) =

=



1^{x f}(^t)^d^t

ée par la co

Lille – ISEN Toulon –

On appelle

unique solut

ex

) ^1 si x 

est du signe –.

= sin(ln t). O t.

urbe C et le

Epre

– ISEP – LASALLE B

D l'ensembl

ion x = ₂

2 b b

e e

0 et f (0) =

e de x.

On appelle C

es droites d'

euve de Ma

Beauvais

le de défini

1 1



 .

0. On appe

C la courbe

'équations x

athématiqu

pag tion de f.

elle C la cou

représentan

x = 1, x = e^π ues.

ge1 rbe

nt f

π et

Sé

Ex

On On rep La

a) b) c) d)

Ex

a) b) c) d)

lection FES

xercice n°

n considère n appelle  présenté ci- a droite Δ es

La courb ) lim (

0 x x f

x

La courb On a f "(

xercice n°



⁷ 

5x dx



0¹(2x^5 x

x

lim(

0





Soit f la f f est dériv

SIC 2010

°4

une fonctio

 la courbe dessous la c st la tangent

be Γ de f est ) 1. be  possède

0) = 1.

°5

x = 12.

d )

5 e^x x = 5

x e^x 1) )(

1 

= fonction déf vable sur 

on f définie e représenta

courbe C de te à C au po

t symétrique

e une et une

5e – 3.

= 2.

finie sur  p

 et, pour x

et deux fois ant f et C l f ': C est sym int d'absciss

e par rappor

e seule tang

par f (x) = x

, on a f ’

s dérivable la courbe r

métrique pa se 0.

rt à l'axe de

gente parall

x²sin²x.

(x) = 2xsin² sur . représentant ar rapport à

es ordonnée

èle à l'axe d

2x + x²cos²x

t la fonctio l'origine du

es.

des abscisse

x.

on dérivée f u repère.

es.

f ' de f. Onn a

Sé

CPE

Ex

a)

b)

c)

d)

lection FES

E Lyon – EI Purpan –

xercice n°

On consi {(A, 2), (D, 2)}.

On veut suivant:

«G est le K et L. O Ce raison On consi On veut c

«On a I + ln 12 – ln Ce raison On consi représent On cherc le raisonn

«On sait plus on a d'équatio Ce raison On consi courbe re On cherc raisonnem

«Pour to d'après le plus, f f '(x) = 2 x  2xsin f '(x) n'a possède p Ce raison

SIC 2010

EPMI – ESA – ESCO

°6

idère un tétr (B, 1)}, L

montrer qu e barycentre On en déduit nnement est idère les deu

calculer I et + J =



ln^ln2⁸e

e

x x

n 6 = ln 2. O nnement est idère la fonc tant f dans u che à savoir nement suiv que lim (

00

 f

x x

a 

 x x f

x x

) lim (

00

on x = 0.»

nnement est idère la fon eprésentant f che à savoir ment suivan ut x  0, o e théorème f est d





 



 x

x x1 sin



 



 x

n 1 < –x pas de limi pas de tange nnement est

OM – ESEO – HEI –

raèdre ABC le barycent ue les point e de {(I, 4), t que I, J, K t exact.

ux intégrale t J. On tient

 

 d 4

4 x

x x

= On en dédui

t exact.

ction f, défi un repère du r si C possèd vant:

0 )

(x  (lim



  x

f(0)

t exact.

nction f défi f dans un re r si C possè nt:

on a: –1  des gendarm dérivable



x x1cos

2 2

si x < 0. D ite quand x ente au poin t exact.

ISA – ISARA-Lyon –

CD. On appe tre de {(C, ts I, J, K e (J, 2)} et d K et L sont co

es I =



ln^ln2⁸e e

x x

t pour cela l ln 8 – ln 2 = it I =

4 2 ln 7

nie sur ⁺ p u plan.

de ou non u mite de référ

. On en dé

nie sur  p epère ède ou non



 



 x sin 1  mes, lim (

0 f

x

sur ^–*





 



 x

x 2 si 1

Donc lim2

0 x

x

tend vers 0 nt d'abscisse

– ISEN Brest – ISEN L

elle I le mili 1), (D, 2)}

et L sont co de {(K, 3), (

oplanaires.»

 

 d 4 3 x

x x

et le raisonnem

= 2ln 2. De et J =

4 2 ln

par: f (x) = x une demi-ta

rence). Com éduit que C p

par: f (x) =

une tangen 1, donc –x²

0 )

(x  . Co et sur





 





x cos in 1

1 0 sin 



 



 x x

0. Donc f n e 0.»

Lille – ISEN Toulon –

ieu de [AD]

} et G le ba oplanaires.

(L, 3)}. Don

»

J =



ln^ln2⁸

1 e^x ment suivan

plus, I – 3J .»

xln x si x >

angente au p mme f (0) = possède au p



 



 x 1x

2sin

nte au poin

2  f (x)  omme f (0) =

r ⁺*



 



 x

1 . Or on

0 . Mais com n'est pas dér

Epre

– ISEP – LASALLE B

], J celui de arycentre d On tient po nc G, I et J

 d 4 1 x. nt:

J =



ln^ln2⁸e _ e

x x

0 et f (0) = point d'absc

= 0, c'est qu point d'absc

si x  0 et f t d'abscisse x². Or lim

0 x

= 0, c'est qu et, pour n a –x  2 mme limx co

0

rivable en 0

euve de Ma

Beauvais

e [BC], K le de {(A, 2), our cela le

sont aligné

 d

4 x

x

=



^ln

0. On appe cisse 0. On t ue f est cont cisse 0 une

f (0) = 0. O

e 0. On tien lim ) (

m 0

2

0  

x  x

ue f est con x 



 



 x 1x

sin

2 



 



 x os 1 n'ex 0. On en dé

athématiqu

pag barycentre (B, 1), (C, raisonnem s, ainsi que



^lnln⁸2

) 4 n(e^x

elle C la cour tient pour c tinue en 0.

demi-tange

On appelle C

nt pour cela 0 m ²

0x  , do

ntinue en 0.

0, on

 x si x > 0 xiste pas, al éduit que C

ues.

ge3 e de

1), ment G,

8 2 =

rbe cela De ente

C la a le onc, De a 0 et lors C ne

Sé

Ex

Le A On l'é a) b) c) d)

Ex

Le On a) b) c) d)

lection FES

xercice n°

e plan comp chaque poin n appelle A

quation z' =

Pour tou L'ensemb Quel que point A, s L'ensemb

xercice n°

e plan comp n considère, Les comp Cette équ On pose z La somm

SIC 2010

°7

plexe est rap nt M d'affix A le point d

= 0.

t z différent ble E0 est ré e soit le poi soit celle d'u ble des poin

°8

plexe est rap , dans , l'é plexes –1 + uation est un

z = x + iy, x me des soluti

pporté à un r xe z, on asso d'affixe 1 e

t de 1, on a éduit à deux int M d'affix 'un élément nts M d'affix

pporté à un r équation (E) 2i et son co ne équation x et y étant ions de (E)

repère ortho ocie le point et on note

z' = z z



 1

1 ³

. x points B et

xe z appart de E0. xe z tels que

repère ortho ): z² – 2z + onjugué son n polynômia réels. Si z e est égale à

onormal



^O

t M’ d'affixe E0 l'ensem

t C symétriq tenant à E0

e z' est la

onormal



O + 1 = 0.

nt solutions ale de degré est solution

–1.



v u O;, .

e z' tel que z mble des po

ques l'un de et quel que a réunion de



v u O;, .

de (E).

é 2 qui poss de (E), alor

z' = z² + z + oints dont l

e l'autre par e soit l'entie e deux droit

ède deux so rs y² = (x –

+ 1.

l'affixe z e

r rapport à l er n, zⁿ est s tes perpend

olutions.

1)².

st solution

l'axe

 

O;u soit l'affixe diculaires.

de

. du

Sé

CPE

Ex

On On cen On res

a) b) c) d)

Ex

So On a) b) c) d)

lection FES

E Lyon – EI Purpan –

xercice n°

n considère n appelle B

ntre A et d'a n munit le spectives b,

c' + ic = 0 m

b c' '  (AM) et ( B’C’ = 2A

xercice n°

oient a e n considère

Si  est solution d Si  est d par f (x) Si  est possède a Si a = 0,

SIC 2010

EPMI – ESA – ESCO

°9

un triangle

’ l'image de angle

2



 . plan comp c, b', c' et m

0 et b' – ib = 2i

 .

(B’C’) sont AM.

°10

t  une fonc l'équation d définie par de [E].

définie par 

= be^2x soit s la fonction au point d'a alors quelle

OM – ESEO – HEI –

ABC et le p e B par la ro

plexe d'un m.

= 0.

perpendicu

ction défini différentiell r (x) = x³

(x) = e^2x, a solution de n constante abscisse 0 u

e que soit la

ISA – ISARA-Lyon –

point M mil otation de c

repère de c

ulaires.

ie et continu le [E]: y' + a – 1, alors q alors quel q

[E].

nulle et si ne tangente a fonction 

– ISEN Brest – ISEN L

lieu de [BC]

centre A et

centre A d

ue sur . ay = (x).

quel que so que soit le r

f est une s e d'équation

 définie et c

Lille – ISEN Toulon –

].

d'angle 2



dans lequel

oit le réel a réel a, il exi

solution de n y = (1 – ax

continue su

Epre

– ISEP – LASALLE B

et C’ l'imag

B, C, B’,

a, il existe u ste b tel

[E], alors x)f (0).

r , [E] pos

euve de Ma

Beauvais

ge de C par

C’ et M o

un polynôm l que la fon

la courbe ssède une so

athématiqu

pag r la rotation

ont les affix

me de degré ction f, défi représentan olution.

ues.

ge5 n de

xes

é 2, inie nt f

Sé

Ex

On

a) b) c) d)

Ex

On So a) b) c) d)

Ex

On n

On a) b) c) d)

lection FES

xercice n°

n considère

La suite u Quel que La suite u La suite u

xercice n°

n considère oit u la suite f est crois u est croi Quel que Si u est c

xercice n°

n considère

, on a un

n considère La suite v v10 = –51 Quel que Pour tou

SIC 2010

°11

la suite u d

u est géomé e soit n*

u est décroi u est conver

°12

la fonction e définie par

ssante.

issante.

e soit n, convergente

°13

la suite u

> 0.

alors la sui v est géomé 12ln 2.

e soit n, t n, on a

définie par u

étrique de ra , un =

(n n issante à pa rgente.

f, définie su r u0 = 1,5 et

on a: 1 < u_n e et si l est sa

définie par

te v définie étrique.



 n

k

vk 0

= (ln a u0u1…

u1 = 1 et, pou

aison 

 1 n )!

1 ^.

artir de n = 2

ur I = ]–;

t, pour tout n

n < 2.

a limite, alo

u0 = 2 1 et

par vn = ln

n 2)(1 – 2ⁿ).

u_n = 22n

1 .

ur tout n





2

1 n .

2.

3[ par f (x) n, un+1 =

ors l est solu

t, pour n

 

2un

n .

*, un+1 = 





= 3x 2 .

= f (un).

ution de l'éq

, un+1 =

un

n

n 



 1₂

1 .

quation f (x)

2u_n2. On ad .

) = x.

dmettra quee quel que ssoit

Sé

CPE

Ex

On







 Un ga On









a) b) c) d)

Ex

L'e On On On a) b) c) d)

lection FES

E Lyon – EI Purpan –

xercice n°

n dispose de Urne U1: Urne U2: Urne U3: Urne U4: n joueur ch agnant s'il tir n désigne pa

 l'unive pA la pro G l'événe U_i l'évén

)

1(G

p_U 

p(G) = 8 9 p(U1) =

)

2(G p_U =

xercice n°

espace est r n considère n appelle K n admet que Dans le t Les coord Une équa Une équa

SIC 2010

EPMI – ESA – ESCO

°14

e quatre urn 1 boule ble 2 boules bl 3 boules bl 6 boules ro hoisit une u re une boule ar:

ers des poss babilité con ement: «le j

ement: «le j ) 3 (

2

3 G

p_U

 8 9.

6 1.

= pG(U2).

°15

apporté à un les points A le barycent e les points A triangle AB

données de ation param ation du pla

OM – ESEO – HEI –

nes numérot eue et 3 bou

leues et 4 b leues et 5 b ouges.

urne au has e bleue; il e ibilités et p nditionnée p oueur gagn joueur choi .

n repère ort A(1, 2, 3), B tre de {(C, 1

A, B et C ne C, les média K sont (–12 métrique du

an perpendi

ISA – ISARA-Lyon –

tées de 1 à 4 ules rouges;

oules rouge oules rouge sard, puis p est perdant s la probabil par un événe ne»;

sit l'urne Ui

thonormal



B(–1, 4, 3), C 1); (D, –2)}

e sont pas a anes se coup 2, –7, 9).

segment [K culaire à (K

– ISEN Brest – ISEN L

4. Les urnes es;

es;

prélève une sinon.

lité associée ement A de U_i».



^{O;i,j,k}



^.

C(–2, 1, 3) e et J le mili alignés.

upent au poi

KJ] est











 z y x

KJ) passant

Lille – ISEN Toulon –

s sont comp

boule au h

e;

;

et D(5, 4, – ieu de [BC].

int de coord













t t

t 8 9

3 7

9 12

, où par A est 9

Epre

– ISEP – LASALLE B

osées ainsi:

hasard de c

3).

.

données (–2

ù t 

 2 ;3

0 .

9x + 3y – 8z

euve de Ma

Beauvais

:

cette urne.

2, 7, 9).

.

+ 9 = 0.

athématiqu

pag Le joueur

ues.

ge7 est

Sé

Ex

L'e On So a) b) c) d)

lection FES

xercice n°

espace est r n considère oient A(1, 1, A et B so D est perp La distan L'ensemb sphère de

SIC 2010

°16

apporté à un le plan P d' , 1), B(3, 5, ont deux poi rpendiculair nce de C à P ble des poin e diamètre

n repère ort 'équation





–3) et C(1, ints de P.

re à P. P est 5 (e nts M(x, y,

[AB].

thonormal









 z

x

y 2 1

e –4, 2).

n unités de z) tels que



^{O;i,j,k}



^.

et la droite

repère).

(x – 1)(x –

D d'équatio

– 3) + (y – n 





 0

2 z

x y

1)(y – 5) +

1.

+ (z – 1)(z ++ 3) = 0 estt la