Mesures de contraintes par spectroscopie et imagerie Raman dans des dispositifs micro-électroniques

HAL Id: tel-00479985

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00479985

Submitted on 3 May 2010

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Raman dans des dispositifs micro-électroniques

Eddy Romain-Latu

To cite this version:

Eddy Romain-Latu. Mesures de contraintes par spectroscopie et imagerie Raman dans des disposi-

tifs micro-électroniques. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Institut National Polytechnique de

Grenoble - INPG, 2006. Français. �tel-00479985�

Institut National Polytechnique de Grenoble

N

attribué par la biliothèque

Thèse

préparée au

Laboratoire d’Électrochimie et de Physico-chimie des Matériaux et des Interfaces

dans le cadre de l’École Doctorale Matériaux et Génie des Procédés pour obtenir le grade de

Docteur de L’INP Grenoble

Spécialité Science et Génie des Matériaux

Mesures de contraintes par

spectroscopie et imagerie Raman dans des dispositifs micro-électroniques

présentée et soutenue publiquement par

Eddy Romain-Latu

le 14 décembre 2006

Jury

M Michel Dupeux ^Président

M Olivier Thomas ^Rapporteur

M Roland Fortunier ^Rapporteur

M Michel Mermoux Directeur de thèse

M Jesse Groenen Examinateur

M Laurens Kwakman Examinateur

À Lala & à Jean

Mesures de contraintes par

spectroscopie et imagerie Raman dans des dispositifs micro-électroniques

Dont l’angle est heurté par des tourbillons de lumière

Illuminations,

A.Rimbaud

Remerciements

Mes remerciements s’adressent en particulier à mon directeur de thèse, M Michel Mermoux, qui a toujours su être enthousiaste et critique à l’égard de ces travaux. Sa bienveillance et sa confiance, et ses connaissances expérimentales et théoriques m’ont permis de mener à bien ce projet passionnant. Je lui adresse tous mes sentiments amicaux.

Ce projet, qui se situe avant tout dans un contexte industriel, doit également beaucoup à M Loek Kwakman, que je remercie vivement pour m’avoir accueilli au sein du groupe caractérisations physiques de l’Alliance Crolles 2. Son point de vue a toujours été extrêmement pertinent et précieux pour l’avancement de ces travaux.

Je souhaite remercier MM Olivier Thomas et Roland Fortunier qui ont accepté de rapporter ce travail de thèse, ainsi que M Michel Dupeux, président du jury de soutenance, et M Jesse Groenen, examinateur, pour l’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux.

Mon développement scientifique doit beaucoup à M Guy Lucazeau qui, après avoir initié ce projet, m’en a transmis les rennes avec beaucoup de sérénité. Je lui dois en outre de partager une passion forte et pérenne pour la montagne.

Je suis profondément reconnaissant à M Thierry Pagnier, qui m’a accueilli au sein de l’équipe CMESSIE, et qui a toujours su apporter des débats d’idées féconds et enrichissants. M Alexandre Crisci, ainsi que MM Noël Rosman et Denis Rouchon, ont contribué de manière importante aux questions techniques et à la bonne humeur quotidienne. Je remercie d’une manière générale tous les gens du laboratoire que j’ai côtoyés et qui ont participé à l’ambiance agréable de mes trois années de thèse.

Ma reconnaissance va également aux gens des groupes caractérisations physiques et TCAD, qui m’ont aidé dans mes travaux, et je salue en particulier Laurent Clément, mon alter ego, et Florian Cacho, qui m’ont précédé de quelques mois dans leurs thèses respectives. Je souhaite remercier très vivement M Dominique Delille, qui a été un acteur principal de cette collaboration, que ce soit sur le plan technique ou humain.

Je lui adresse toutes mes amitiés et ma sympathie.

Ma gratitude va ensuite à mes amis, qui ont une part déterminante, quoique im- matérielle, dans la réalisation de ces travaux : François, Nico et Pierre, qui ont partagé bureau, papiers envahissants et tasses à café éprouvées ; Ivan, Guy, Antoine & Aude, Gégé, Aurélie et Magali, amis et œnologues avertis pour la plupart.

Enfin je ne saurais conclure ces remerciements sans exprimer une affection toute

particulière pour mes parents et mes beaux-parents, pour ma tendre femme Lala, et

pour mon fils Jean, auxquels je dédie ce manuscrit.

4.2.5 Seconde étude : hétérostructures STI/SiGe. . . . 125

Introduction et problématique . . . 125

Expériences de profilométrie Raman . . . 125

Résultats et interprétations . . . 126

4.3 Conclusion . . . 129

Conclusion générale 131 Annexes 133 A Moyennes de Voigt-Reuss-Hill 133 B Modélisation 135 B.1 Script Ansys . . . 135

B.2 Script SciLab . . . 140

Bibliographie 152

Glossaire et notations

BiCMOS : Bipolar Complementary Me- tal Oxide Semiconductor

CBED : Convergent Beam Electron Dif- fraction

CCD : Charge Coupled Device CESL : Contact Etch Stop Layer

CMOS : Complementary Metal Oxide Semiconductor

CMP : Chemical-Mechanical Polishing CVD : Chemical Vapor Deposition DTI : Deep Trench Insulator

EBSD : Electron Back Scattered Diffrac- tion

FIB : Focused Ion Beam HD : Haute Dispersion

HDP : High Densification Plasma HOLZ : High Order Laue Zone

HREM : High Resolution Electron Mi- croscopy

HRXRD : High Resolution X-Ray Dif- fraction

IERS : Interference Enhanced Raman Scattering

LA : Longitudinal Acoustic LO : Longitudinal Optic

LOCOS : LOcal Oxidation of Silicon nMOS : n-doped Metal Oxide Semicon- ductor

PDP : Phonon Deformation Potential pMOS : p-doped Metal Oxide Semicon- ductor

PSF : Point Spread Function RIE : Reactive Ion Etching

SACVD : Sub Atmospheric Chemical Va- por Deposition

SERS : Surface Enhanced Raman Scat- tering

SGOI : Silicon Germanium On Insulator SMT : Stress Memory Technique

sSOI : strained Silicon On Insulator STI : Shallow Trench Insulator TA : Transverse Acoustic

TEM : Transmission Electron Microscopy TEOS : TetraEthOxySilane

TERS : Tip Enhanced Raman Scattering TO : Transverse Optic

UV : Ultra-Violet

XRD : X-Ray Diffraction

Notations

Les notations utilisées sont les suivantes : un tenseur de rang 4 est représenté par un

caractère majuscule 4 fois barré (par exemple C). Un tenseur de rang 2 est représenté ¯ ¯ ¯ ¯

par un caractère minuscule 2 fois barré (par exemple , ¯ ¯ d). Un vecteur est représenté ¯ ¯

par une lettre roman gras (par exemple x, P). Les scalaires sont représentés par des

caractères normaux, tels que a, α, E , Γ.

a

, a

, a

: paramètres de maille a : distance STI–grille

A : coefficient d’absorption

b : demi-largeur du faisceau laser incident b : vecteur de Burgers

c : vitesse de la lumière dans le vide C

: capacité

¯ ¯

¯ ¯

C : tenseur des rigidités d : section efficace de diffusion d

: profondeur de pénétration

¯ ¯

d : déviateur

E : énergie / module d’Young

e

, e

: polarisation incidente, diffusée E : champ électrique

f : désaccord paramétrique (déformation de Lagrange)

f : forces volumiques F : sollicitations g : densité

G : module de rigidité Gm : transconductance h : constante de Planck

h

, h

: épaisseur de la couche, du substrat I, I

: intensités diffusées

I

: courant de saturation I : matrice identité

k : constante de force K : conductivité thermique

k

, k

: vecteurs d’onde des photons inci- dents, diffusés

K : matrice de rigidité

¯ ¯

K : tenseur des constantes de forces

¯ ¯

¯ ¯

K : tenseur des constantes de forces diffé- renciées

L : largeur des lignes actives L

: longueur de grille (≡ L)

m : masse / désaccord paramétrique (dé-

formation matériau) m

: masse effective n : indice de réfraction

p, q, r : potentiels de déformation de pho- nons

p

, p

, p

: probabilités de liai- son

P : moment dipôlaire

q : charge électrique des porteurs (élec- trons ou trous)

Q : coordonnée normale de vibration q : vecteur d’onde des phonons r

: coefficients de réflexion R : rayon de courbure r : vecteur déplacement

¯ ¯

R

, R ¯ ¯

, R ¯ ¯

: tenseurs Raman s : écart-type

S, S

, T : matrices de passage

¯ ¯

¯ ¯

S : tenseur des souplesses t : temps

t

: coefficients de transmission T : température

u

: énergie élastique

u : vecteur déplacement / champ de dé- placement

v

, v

, v

: vitesse du son, longitudinale et transverse

V

, V

: potentiel de grille, potentiel de seuil

v

, v

, v

: vecteurs polarisation et vec- teurs propres

W : largeur de grille et longueur des lignes actives

x : composition des alliages Si

Ge

x, y, z : base du cristal

x

, y

, z

: base associée aux échantillons

¯ ¯

α : tenseur de polarisabilité / tenseur de dilatation thermique

¯ ¯

β : tenseur d’hyperpolarisabilité γ : énergie libre de surface δ

: delta de Kronecker

¯ ¯

: tenseur des déformations

η : viscosité

θ : demi-angle d’ouverture / angle de dif- fraction

κ : courbure

λ : longueur d’onde

λ

, λ

, λ

: valeurs propres

Glossaire et notations vii µ : mobilité des porteurs / coefficient de

Lamé / masse réduite

ν, ν

: fréquences de vibration ν : coefficient de Poisson

¯ ¯

π : tenseur de piezorésistivité

¯ ¯

σ : tenseur des contraintes

τ : temps d’interaction caractéristique porteurs–phonons

ω : nombre d’onde, également appelé fré-

quence par convention

Γ : centre de zone de Brillouin / largeur des raies de diffusion

∆, Λ, Σ : directions (vallées) de haute sy- métrie de la zone de Brillouin

∆k : matrice séculaire

∆ω : décalage en fréquence moyen (ob-

servé)

Introduction générale

La double nécessité de mesurer les contraintes pour la microélectronique

L es contraintes mécaniques sont devenues, depuis une dizaine d’années, une problématique incontournable de l’industrie microélectronique. Les contraintes mécaniques étaient avant tout perçues comme un phénomène affectant les procédés et entraînant des dysfonctionnements dans les composants. À ce titre, l’essentiel du travail d’ingénierie qui leur était consacré consistait à les supprimer. Leur perception a cepen- dant changé au cours du temps : les contraintes mécaniques, parce qu’elles modifient les propriétés des matériaux, permettent d’améliorer sensiblement les performances des composants. La maîtrise et l’exploitation de toutes les sources de contraintes mé- caniques dans l’architecture des composants constituent donc un défi majeur pour l’industrie microélectronique.

Les deux paragraphes suivants illustrent cette double problématique.

Les contraintes destructives

Les contraintes peuvent effectivement générer des défauts (dislocations, formation de cavités, fissuration et délaminage) dans les structures et rendre les circuits non fonctionnels. La figure 1 illustre certains de ces problèmes.

1 µm 0.5 µm

1 µm

a) b) c)

Fig. 1: a) Dislocations révélées par attaque chimique autour de tranchées profondes

(DTI). b) Délaminage et fissuration. c) Cavité formée dans une interconnexion cuivre.

La conception de tranchées d’isolement profondes DTI (technologie BiCMOS) et peu profondes STI (technologie CMOS) génère des contraintes qui peuvent se relaxer en créant des dislocations[1, 2]. Ces défauts provoquent généralement des courants de fuite et des courts circuits[3, 4] dans les circuits intégrés.

Sous l’action des contraintes, la formation de cavités dans les interconnexions cuivre est également observée[5, 6]. L’existence de gradients de contraintes favorise en effet la migration et la précipitation des lacunes dans le cuivre sous forme de cavités[7, 8, 9, 10].

Le délaminage (décollement des couches) est en partie causée par une distribution de contraintes importantes ; le grand nombre d’étapes de croissance des différentes couches d’un circuit intégré présente un budget de contraintes qui augmente les risques de délaminage.

Avec la diminution des dimensions des dispositifs, un nombre croissant de phéno- mènes d’endommagement liés aux contraintes apparaît. Par exemple, les structures en résines polymères de petites tailles (∼ 150 nm) s’effondrent sous l’effet des forces de capillarité[11, 12].

Les contraintes non destructives

Dans les transistors MOS (figure 2a), le courant passe de la source au drain par

STI

STI Canal

Grille

Drain Source

n⁺ n⁺

p

a) b)

k L Λ= [111] Γ ∆= [100] X

BV BC

hh^ε hh

lh^ε lh

a L_g

Fig. 2: a) Schéma d’un transistor nMOS. b) Représentation schématique de la re- distribution des sous bandes (dans la bande de valence BV) pour les trous sous l’effet d’une déformation ( hh, hh

: trous lourds et lh, lh

: trous légers) entraînant une augmentation de la mobilité.

un canal de conduction. Le courant de saturation I

dans le canal (partie active du transistor) — qui détermine directement la vitesse des circuits — est proportionnel à :

I

∝ W C

µ L

(1) où µ est la mobilité des porteurs, C

la capacité du diélectrique de grille et W et L

la largeur et la longueur de grille du transistor.

On peut donc augmenter la vitesse des circuits, c’est à dire I

, de plusieurs

manières :

Introduction générale 3 – en réduisant les dimensions du transistor, en particulier celles de la grille : cette solution, dénommée scaling, rencontre actuellement de plus en plus de difficultés (lithographie et effets parasites).

– en améliorant le couplage électrostatique entre la grille et le canal : les maté- riaux retenus (diélectriques à forte permittivité couplés à une grille métallique) rencontrent d’importants problèmes d’intégration même si la faisabilité a été démontrée.

– en améliorant la mobilité des porteurs.

Les contraintes ont une influence capitale sur ce dernier point. La mobilité des porteurs µ dans la structure de bande E(k) d’un semiconducteur est liée à leur charge q, au temps caractéristique d’interaction avec les phonons τ et à leur masse effective m

: µ = qτ

m

= qτ h

∂

E

∂k

.

La figure 2b illustre la levée de dégénérescence entre niveaux de la bande de valence BV (trous lourds et légers) sous l’action d’une contrainte élastique[13, 14]. La courbure des bandes entraîne une modification de la masse effective des porteurs, qui se traduit par une modification de la mobilité. Pour les semiconducteurs à gap indirect, la bande de conduction BC est également affectée par l’application d’une contrainte (réduction de la diffusion intervallée par les phonons).

L’influence des contraintes sur la mobilité dépend des porteurs majoritaires, et doit être examinée attentivement[15, p. 379]. Qualitativement, la mobilité des élec- trons (trous) est augmentée en appliquant une tension (compression) dans le canal pour un transistor nMOS (pMOS).

Différentes techniques d’ingénierie, présentées à la figure 3 selon deux catégories, permettent de réaliser ces états de contrainte.

La première catégorie est basée sur l’utilisation d’un substrat sur lequel le canal de silicium épitaxié est dans un état de tension biaxiale. Cette approche est valable à la fois pour les transistors nMOS et pMOS (technologies sSOI, SGOI).

La seconde catégorie concerne l’utilisation de procédés pour induire une contrainte dans le canal de silicium initialement non contraint. Par exemple, des couches (CESL) en tension et en compression déposées au dessus de la grille vont engendrer un transfert de contrainte (uniaxiale) dans le canal pour des transistors nMOS et pMOS respecti- vement. Une autre solution consiste à modifier le procédé d’élaboration des structures d’isolation STI (SACVD), de manière à induire une tension biaxiale dans le canal.

Malgré les difficultés introduites par ces nouvelles techniques, la génération contrô- lée de contraintes dans le canal du transistor est un progrès majeur pour la microélec- tronique.

La figure 4a montre un exemple de gain en I

(par rapport au transistor non

contraint) obtenu pour des couches en tension et en compression. La figure 4b montre

l’influence de la distance STI-grille a sur le gain.

Ingénierie de substrats

Substrats à base de Si_xGe_1-x

Orientation cristallographique

Massif sSOI sGOI

Contrainte bi-axiale en tension <100>

nMOS + pMOS pMOS

SiGe

massif ^{SiGe SiGe}

SiO₂ SiO₂

STI STI

Contrainte induite par le procédé

Couche d’encapsulation

SiGe localisé

CESL SMT

Tension

nMOS pMOS

S/D

Tranchées STI

SACVD / Compression

pMOS

Tension Compression Tension bi-axiale

nMOS nMOS +

pMOS

Contrainte uniforme Complexité additionnelle du procédé

Fig. 3: Les principales techniques de génération de contraintes dans un transistor MOS. Les acronymes sont explicités dans le glossaire.

0,1 1

-5 -10

0,1 1

0,01 10 10

-15 -20 -25 10 15 20

5 0

-5 -10 -15 -20 -25 10 15 20

5 0

Gain (β%) Gain (β%)

a (µ^m) L_g(µ^m)

nMOS

pMOS

nMOS

pMOS

a) b)

Fig. 4: Gain en β = W C

µ

L

obtenu a) par des couches en tension (nMOS) et en

compression (pMOS) et b) en réduisant la distance STI-grille a, d’après [16].

Introduction générale 5 Les nouvelles générations de transistors (45 nm) pour des applications basses puis- sances à faible coût utiliseront largement ces techniques de génération contrôlée de contrain tes[17]. Par conséquent, il faut être capable de mesurer localement et préci- sément les états de contraintes dans le silicium.

Techniques locales de caractérisation des contraintes

— La spectroscopie Raman

Il existe différentes techniques susceptibles de mesurer localement les contraintes[18].

La figure 5 situe les principales techniques en fonction de leur sensibilité aux dé- formations et de leur résolution spatiale, dans le cadre d’une utilisation par l’industrie microélectronique.

La diffraction des rayons X (XRD)[19, 20] est une technique extensométrique (les déformations sont déduites de la mesure des paramètres de maille du cristal) très sensible[21, 22] ( ∼ 10

). La résolution spatiale (généralement de l’ordre de quelques microns) n’est cependant pas adaptée aux dimensions des dispositifs microélectro- niques actuels. Le couplage de cette technique avec des simulations par la méthode des éléments finis[23, 24, 25] ou avec des mesures de courbure[26] permet d’étudier très précisément le comportement mécanique des matériaux structurés. La diffraction X Haute Résolution et la diffraction X cohérente[27], s’appuyant sur les développe- ments récents des sources synchrotron de troisième génération, permettent d’effectuer des mesures sur des cristaux de quelques centaines de nanomètres. Ces méthodes sont en cours de développement.

10^-3

10^-4

10^-5

10^-6

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

HREM

CBED EBSD Micro Micro- - Raman Raman

Sensibilitéaux déformations

DRX

Résolution (µm)

nano macro

g ra n d e fa ib le

DRX cohérente HRDRX

Fig. 5: Les principales techniques de caractérisation de contraintes locales. La signi-

fication des acronymes est présentée dans le glossaire.

La technique de diffraction d’électron en faisceau convergent (CBED), réalisée dans un Microscope Électronique en Transmission, bénéficie de la meilleure résolution spa- tiale (quelques nanomètres). Les mesures de contraintes par cette technique sont basées sur la position et l’élargissement des lignes de HOLZ[28, 29, 30]. Cette technique est cependant destructive et nécessite un important travail de modélisation dû aux relaxa- tions de contrainte se produisant dans les échantillons amincis[31, 32].

La technique de diffraction d’électron rétrodiffusés (EBSD) utilise un Microscope Électronique à Balayage et permet d’observer des échantillons non amincis. La réso- lution spatiale est de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres

. La sensibilité aux déformations est environ 10

[33]. La détermination des déformations est effectuée par l’analyse du cliché de diffraction (position des bandes de Kikuchi . Cette technique nécessite un traitement d’image important (filtre de Hough , corrélations) et est en cours de développement[34, 35].

La spectroscopie Raman est une technique non destructive, très sensible aux défor- mations ( ∼ 10

), qui possède une résolution spatiale sub micronique (∼ 0, 5 µm).

Les mesures de contraintes par spectroscopie Raman sont basées sur les variations des fréquences Raman des phonons optiques du silicium[36, 37]. L’utilisation de cette tech- nique dans le cadre des mesures de contraintes dans des dispositifs microélectroniques[38, 39] est présentée et développée dans ce manuscrit.

D’autres techniques, telles que la nano-indentation ou la microdiffraction de Kos- sel [40], sont également proposées pour la détermination des contraintes résiduelles avec une résolution micronique.

En marge des techniques expérimentales, la modélisation par éléments finis per- met de prédire le comportement mécanique des dispositifs. Bien que cette technique soit largement développée[41], des techniques complémentaires de caractérisation sont absolument nécessaires pour paramétrer les modèles.

Les méthodes de caractérisation de contraintes associent de plus en plus des si- mulations mécaniques par la méthode des éléments finis aux différentes techniques présentées ci-dessus.

1Cette résolution dépend du matériau

Introduction générale 7

Présentation du sujet de thèse et structure du manus- crit

Cette thèse a été effectuée dans le groupe Couches Minces et Spectroscopie des Sur- faces et des Interfaces Électrochimiques (CMESSIE) du Laboratoire d’Électrochimie et de Physico-chimie des Matériaux et des Interfaces (LEPMI) en collaboration avec l’Alliance Crolles 2 (Freescale Semiconductor) au sein du groupe de caractérisation physique.

L’objectif de ces travaux de recherche était de développer une méthode de ca- ractérisation des contraintes non destructive par spectroscopie Raman en vue d’une application dans le domaine industriel des semi-conducteurs. La problématique peut alors être formulée de la manière suivante : la résolution spatiale de la spectroscopie Raman doit être améliorée et les informations apportées par cette technique sur le tenseur de déformation doivent être complétées.

Dans ce cadre, nous avons essentiellement combiné les techniques de spectroscopie Raman UV et de simulations par la méthode des éléments finis. Nos efforts se sont également portés sur le développement de caractérisations originales, que ce soit par imagerie ou par tomographie.

Ce manuscrit est composé de quatre chapitres et présente la majorité des résultats obtenus durant ces trois années de recherche.

Dans le premier chapitre, nous présentons les propriétés du silicum ainsi que la théo- rie de l’élasticité linéaire dans le cadre desquelles s’inscrivent nos travaux. La diffusion Raman dans le cristal non déformé est ensuite traitée. Les effets des déformations sur la diffusion Raman sont finalement discutés.

Le second chapitre présente différentes techniques de spectroscopie Raman. Les notions de résolution sont illustrées à travers des caractérisations originales des struc- tures DTI. Nous montrons également les conditions expérimentales spécifiques à nos travaux. Une méthodologie associant mesures Raman et simulations est établie.

Le troisième chapitre est consacré à la mesure de contrainte dans des dispositifs simples. Les différentes sources de contraintes dans ces dispositifs sont présentées. Les contraintes induites par des couches d’oxyde sur substrat silicium sont ensuite étudiées par spectroscopie Raman et mesures de courbure. La méthode inverse basée sur la comparaison des fréquences Raman expérimentales et calculées à partir de simulations mécaniques est finalement développée pour l’étude des contraintes induites par des structures STI.

Le quatrième et dernier chapitre étend le champ d’application de cette méthode.

Des caractérisations tridimensionnelles complètes (tomographie) sont effectuées sur

des structures DTI. Les alliages SiGe sont abordés et traités du point de vue de la

diffusion Raman. Une structure simple et une structure originale utilisant ces alliages

sont ensuite étudiées par spectroscopie Raman.

Chapitre 1

La spectroscopie Raman : principes et application à la mesure de contraintes dans le silicium

Sommaire

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 10

1.1.1 Structure cristalline du silicium . . . . 10

1.1.2 Ondes vibrationnelles dans un cristal . . . . 11

1.1.3 La diffusion Raman . . . . 13

1.1.4 Modes propres de vibration et règles de sélection . . . . 16

1.1.5 Observation et intensité de diffusion . . . . 19

1.1.6 Résonance . . . . 21

1.2 Élements de la théorie de l’élasticité linéaire . . . . 22

1.2.1 Les tenseurs de déformation et de contrainte . . . . 22

1.2.2 La loi de Hooke généralisée . . . . 23

1.2.3 Représentation matricielle de Voigt . . . . 24

1.2.4 Détermination des contraintes et des déformations . . . . . 27

1.2.5 Thermo-élasticité et énergie élastique . . . . 29

1.3 Effets des déformations sur la diffusion Raman . . . . 29

1.3.1 Résolution de l’équation séculaire | ∆k − λI |= 0 . . . . 29

1.3.2 Symétrie de déformation . . . . 31

1.3.3 Changement de repère . . . . 34

1.4 Conclusion . . . . 35

C ^{e chapitre} est destiné à expliciter les divers principes et relations qui organisent le rapport des contraintes et de la spectroscopie Raman. À cet effet, une première partie est consacrée aux principes de base de la diffusion Raman. Les notions de déformations et de contraintes dans le cadre de la théorie de l’élasticité linéaire sont présentées dans la seconde partie. Enfin, les effets des déformations sur la diffusion Raman sont discutés dans une troisième partie.

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium

1.1.1 Structure cristalline du silicium

Les atomes de silicium sont liés entre eux par des liaisons covalentes ; chaque atome possède quatre liaisons et se trouve au centre d’un tétrahèdre formé par ses quatre premiers voisins (structure diamant). La maille élémentaire de cette structure possède deux atomes à partir desquels

on peut reconstituer le cristal par un ensemble de translations. Le réseau cristallin correspondant à cette structure est cubique à faces centrées (cF), représenté dans la maille conventionnelle à la figure 1.1a.

a

a) b)

x y

z

Fig. 1.1: a) Structure cristalline du silicium (réseau cF) et b) première zone de Brillouin dans le réseau réciproque cI.

Le référentiel du cristal R (O, x, y, z) dans lequel sont exprimées par convention les grandeurs physiques que nous utilisons est défini par les axes cristallins. Les vecteurs directeurs sont : x = [100], y = [010], z = [001].

Le paramètre de maille a

du cristal vaut : a

= 5, 431 Å.

À partir du réseau cristallin, on définit le réseau réciproque, qui est le système de coordonnées [énergie - vecteur d’onde] dans lequel on représente les variations des fréquences de vibrations du réseau cristallin ou de l’énergie des états électroniques en

1Par exemple les atomes situés en(0,0,0) et(¹₄,¹₄,¹₄)dans le repère du cristal.

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 11 fonction du vecteur d’onde q caractérisant la propagation de l’onde considérée (de nature vibrationnelle ou électronique)[42].

Le réseau réciproque cI associé au réseau cF est cubique centré. Sa maille élémen- taire, qui correspond à la première zone de Brillouin est également représentée sur la figure 1.1b. Elle présente un centre de symétrie Γ à l’origine (q = 0), et un certain nombre d’axes de symétrie (∆ = [100] et Λ = [111]).

1.1.2 Ondes vibrationnelles dans un cristal

Dans un cristal, le mouvement d’un atome soumis à l’agitation thermique est couplé à celui de ses voisins.

La situation la plus simple (2 atomes identiques couplés par un ressort) correspond au cas de l’oscillateur harmonique isolé. Dans ce cas, la force de rappel F s’écrit :

F = −ku (1.1)

où k est la constante de force (ou raideur du ressort), et u correspond au déplacement x à partir d’une position initiale x

(u = x − x

).

En résolvant l’équation du mouvement m u ¨ = −ku, on obtient une fréquence ca- ractéristique :

ν

= 1 2π

r k

m (1.2)

où m est la masse atomique.

La symétrie par translation du cristal implique en réalité l’existence d’ondes vibra- tionnelles délocalisées sur l’ensemble du réseau.

Pour une chaîne linéaire diatomique par exemple, les déplacements de chaque atome (distants de

) par rapport à leur position d’équilibre sont, dans la maille n, u

et u

. Les équations du mouvement s’écrivent :

m u ¨

= k(u

+ u

− 2u

) (1.3) m u ¨

= k(u

+ u

− 2u

) (1.4) En cherchant des solutions sous la forme :

u

= Q

cos(qa − 2πν

t) (1.5) u

= Q

cos(qa − 2πν

t) (1.6) où q =| q | est le vecteur d’onde de la vibration, on montre qu’il existe, avec des conditions aux limites cycliques (cristal infini), deux fréquences propres distinctes ν

et ν

pour chaque valeur de q : ν

(q) = 1

4π

k

m

2m ± p

2m

(1 + cos qa)

(1.7)

Ces relations sont appelées relations de dispersion. Les courbes de dispersion cor-

respondantes sont représentées à la figure 1.2.

π a ν(s-1)

TO

LO

LA

TA

q = Γ q = Z q quelconque

0

Branche optique

q

Branche acoustique m

k π¹

m k 2 2

1 π

Fig. 1.2: Les courbes de dispersion dans le cas de la chaîne linéaire diatomique.

Quelques modes de vibration (transverses TO, TA, et longitudinaux LO, LA) sont schématiquement représentés pour q = 0 (Γ), q =

(Z) et q quelconque.

Au centre de la zone de Brillouin (q = 0), la fréquence ν

s’annule, et la pente de la branche inférieure correspond à la vitesse de propagation du son v

le long de la chaine :

ν

= v

| q |

Il s’agit du mode acoustique. Les deux atomes de la maille vibrent en phase : on a un déplacement macroscopique du réseau (longueur d’onde infinie λ =

).

La fréquence ν

prend la valeur :

ν

= 1 π

r k m

dont l’ordre de grandeur est celui des fréquences optiques infra-rouge, d’où la dénomi- nation de mode optique. Les atomes vibrent en opposition de phase à l’intérieur de la maille.

Au bord de la zone de Brillouin (q = π

a ), les deux fréquences sont confondues : ν

= 1

2π r 2k

m

Les modes de vibration correspondants sont schématiquement représentés sur une

chaîne linéaire diatomique à la figure 1.2 aux points particuliers Γ et Z de la zone

de Brillouin. Un état de vibration intermédiaire de vecteur d’onde q quelconque est

également représenté.

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 13

0,2

0,1 0,3

Densité d’états (at.cm^-1) 0

Γ Λ= [111] L

∆= [100] X

Γ Σ= [110]

LA

TA LO

v_t v_l

Γ25’ TO

5 10 15

Fréquenceν(s-1)

Fig. 1.3: Les courbes de dispersion de phonons du silicium et la densité d’état corres- pondante, d’après [45].

Dans le cas du cristal à 3 dimensions (2 atomes par maille élémentaire), les modes propres comprennent 3 branches acoustiques et 3 branches optiques, selon que les modes de vibration sont transverses (direction de propagation perpendiculaire au mou- vement des atomes) ou longitudinaux (direction de propagation parallèle au dépla- cement des atomes). Pour des raisons de symétrie, certaines branches peuvent être confondues.

La figure 1.3 montre les courbes de dispersion du silicium ; chaque branche est caractérisée par TO (Transverse Optic ) ou LO (Longitudinal Optic) et TA (Transverse Acoustic) ou LA (Longitudinal Acoustic).

Les modes de vibration sont étroitement liés aux propriétés élastiques du cristal[43] : la vitesse du son dépend des directions de propagation de l’onde acoustique Λ, Σ et ∆.

Elle peut être exprimée à partir des constantes élastiques anisotropes C

du cristal[44]

(voir section 1.2.4) :

v

= s

C

g où g = 4

a

≈ 2, 5.10

Å

est la densité du cristal.

Dans un traitement quantique, l’énergie est quantifiée et les quanta de vibrations du réseau sont appelés phonons. Les phonons sont décrits par des ondes planes (ν

, q) et les notions précédentes restent valables.

1.1.3 La diffusion Raman

L’effet Raman, dont la prédiction théorique remonte à 1923[46], fut expérimenta-

lement mis en évidence par le physicien indien Chandrasekhara Venkata Raman en

1928[47], lauréat du prix Nobel de physique en 1930 pour cette découverte.

Lorsqu’on éclaire un cristal par un faisceau de lumière monochromatique, la lumière peut être transmise, réfléchie, absorbée ou diffusée par le milieu.

Dans le dernier cas, la diffusion est majoritairement élastique (diffusion Rayleigh) et la lumière diffusée conserve la fréquence de la lumière incidente. Pour une infime partie du faisceau incident, la diffusion est inélastique et correspond à un échange d’énergie entre le rayonnement et la matière : c’est la diffusion Raman.

Le phénomène de diffusion est lié à la polarisabilité α ¯ ¯ du cristal. Cette polarisabilité exprime la faculté du nuage électronique à se déformer. Le moment dipolaire électrique induit P sous l’effet d’un champ électrique incident E s’écrit :

P = ¯ αE ¯ (1.8)

où E = E

cos(k

.r − 2πνt). α ¯ ¯ est un tenseur

de rang 2, représenté par une matrice 3 × 3 symétrique :

¯ ¯ α =







α

α

α

α

α

α

α

α

α





 (1.9)

Les mouvements de vibration des atomes peuvent moduler la polarisabilité : pour une vibration de fréquence ν

et de coordonnée normale Q = Q

cos(q.r − 2πν

t), cette modulation peut s’écrire au 1

ordre :

α

= (α

)

+ ∂α

∂Q

0

Q (1.10)

En combinant les équations 1.8 et 1.10, nous pouvons expliciter le moment dipolaire électrique induit :

P = (α

)

E

cos(k

.r − 2πνt) (1.11)

+ 1 2

∂α

∂Q

0

Q

E

h

cos (k

+ q).r − 2π(ν + ν

)t

+ cos (k

− q).r − 2π(ν − ν

)t i L’expression du champ électrique diffusé E diff , proportionnel à P , comporte donc, outre un premier terme en cos(k

.r − 2πνt) qui correspond à la diffusion Rayleigh de fréquence ν, un second terme faisant intervenir deux fonctions sinusoïdales de fré- quences différentes. Ce deuxième terme correspond à la diffusion Raman, inélastique,

1Pour représenter certaines propriétés physiques (dans le cas des matériaux anisotropes en par- ticulier), la notion de vecteur doit être généralisée : dans l’approximation de la réponse linéaire, la grandeur physique reliant 2 vecteurs est un tenseur de rang 2 (par exempleα,¯¯ ). De manière simi-¯¯ laire, la grandeur physique reliant linéairement 2 tenseurs de rang 2 est un tenseur de rang 4 (par exemple C). Un tenseur est caractérisé par son rang, c’est à dire son nombre d’indices, son ordre¯¯¯¯ (de contravariance), c’est à dire le nombre de ses composantes contravariantes, et son type, c’est à dire la position des indices contravariants. Sa représentation dépend de la base suivant une loi de transformation caractéristique.

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 15 dont les fréquences ν + ν

et ν − ν

sont respectivement liées aux raies anti-Stokes et Stokes. Ce phénomène n’aura lieu que si la dérivée

∂α

∂Q

0

est non nulle, c’est-à-dire uniquement pour les mouvements donnant lieu à une variation de la polarisabilité du cristal (règles de sélection).

Même si l’analyse rigoureuse des processus ne peut se faire que dans le cadre de la physique quantique, le traitement classique permet de retrouver les lois de conservation pour la diffusion Raman :

k

= k

± q et ν

= ν ± ν

(1.12)

(ν, k

) caractérisent le rayonnement incident, (ν

, k

) le rayonnement diffusé et (ν

, q) la vibration du réseau. Le processus de diffusion implique ν ν

et k

≈ k

: La spectroscopie Raman est une spectroscopie de centre de zone (q ≈ 0).

La figure 1.4 page suivante représente schématiquement les transitions qui pro- duisent ces raies de part et d’autre de la raie Rayleigh, et forment le spectre Raman de l’échantillon. L’expérience historique de Raman et Krishnan , révélant sur une plaque photographique ces radiations, est reproduite en insert. On se limite généralement à la partie droite (Stokes) du spectre qui est la plus intense.

L’approche classique ne détaille pas le rôle majeur des électrons. Les fréquences des photons incidents étant bien supérieures à celles des phonons, la probabilité d’in- teraction directe photon-phonon est très faible ; cette interaction s’effectue alors par l’intermédiaire des électrons. Le processus de diffusion Raman comporte ainsi trois étapes :

– (i) une interaction photon incident-électron avec la création d’une paire électron- trou.

– (ii) une diffusion d’un membre de celle-ci par le phonon mis en jeu.

– (iii) une interaction électron-photon diffusé avec annihilation de la paire électron- trou.

L’état intermédiaire virtuel représenté à la figure 1.4 page suivante correspond à ces interactions.

Conventions et notations

En spectroscopie, les nombres d’onde sont utilisés par convention. Les relations unissant le nombre d’onde ν, la fréquence temporelle ˜ ν et la pulsation ω sont :

˜

ν(cm

) = ν(s

)

c(cm.s

) = ω

2πc = 1

λ(cm) (1.13)

La plupart des auteurs auxquels nous nous référons utilisent couramment ω pour désigner le nombre d’onde, et lui associent souvent le terme de « fréquence ». Pour res- pecter cette pratique, nous avons retenu dans ce manuscrit : ω pour le nombre d’onde.

Le recours systématique à l’unité permet d’éviter toute confusion avec la pulsation.

v= 1 v= 2 n= 1

n= 0 Diffusion Raman

Anti-Stokes

Diffusion Rayleigh (élastique)

Diffusion Raman Stokes

k

h r ν ,

q h

r

ν ,

d

d

k

h r ν ,

k

h r ν , k

h r

ν , ^{h k}

r ν ,

q h

r

ν ,

ν ν

d

d

k

h r ν ,

Fig. 1.4: Les principaux processus de diffusion Rayleigh, Raman Stokes et Anti-Stokes, illustrés schématiquement et expérimentalement par le spectre de PCl

. En insert la plaque photographique de C. V. Raman en 1928.

1.1.4 Modes propres de vibration et règles de sélection

L’analyse des vibrations du cristal peut être simplifiée si l’on tient compte de ses propriétés de symétrie. Pour le silicium, le groupe d’espace (respectivement le groupe ponctuel de symétrie) est : Fd3m (O

)[48].

La théorie des groupes permet de prédire si un mode de vibration de coordonnée normale Q est actif en spectrométrie Raman. On peut montrer que n’importe quelle dérivée

∂f(Q)

∂Q

0

est non nulle si et seulement si f (Q) et Q appartiennent à la même

représentation irréductible, c’est-à-dire se transforment de la même manière vis-à-vis

de tous les éléments de symétrie du cristal.

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 17 O

E 8C

3C

6C

6C

i 8S

3σ

6S

6σ

Activités

A

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 α

+ α

+ α

A

1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1

E

2 −1 2 0 0 2 −1 2 0 0 ^(2α

^{− α}

^{− α}

^, (α

− α

)

T

, F

3 0 −1 1 −1 3 0 −1 1 −1 (R

, R

, R

) T

, F

3 0 −1 −1 1 3 0 −1 −1 1 (α

, α

, α

)

A

1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1

A

1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 1 1

E

2 −1 2 0 0 −2 1 −2 0 0

T

, F

3 0 −1 1 −1 −3 0 1 −1 1 (T

, T

, T

) T

, F

3 0 −1 −1 1 −3 0 1 1 −1

Tab. 1.1: Table de caractères du groupe O

.

La dernière colonne de la table de caractères du groupe O

(tableau 1.1) indique à quelle espèce de symétrie appartiennent les éléments α

(i, j = x, y ou z) du tenseur de polarisabilité.

Seuls les modes symétriques, d’indice g (gerade), ont une activité Raman. Les modes acoustiques de symétrie T

par exemple correspondent à des translations d’en- semble et ne sont donc pas observables en Raman (fréquence nulle).

Les raies de diffusion Raman correspondent donc aux modes propres de vibration.

Une raie peut être caractérisée par sa fréquence ω, sa largeur Γ et son intensité I.

Les dispositifs microélectroniques qui sont étudiés par spectroscopie Raman dans ce manuscrit sont essentiellement constitués de silicium monocristallin (substrat), de silicium polycristallin et de dioxyde de silicium.

Un spectre Raman typique du silicium pur, monocristallin, est montré à la figure 1.5. Après examen de la table de caractère, il apparaît que le seul mode de vibra- tion actif du silicium est un mode optique triplement dégénéré, de symétrie T

. Les trois raies Raman correspondantes ont une fréquence propre d’environ ω

= 521 cm

(relativement à la raie Rayleigh — excitatrice).

D’autres structures peu intenses, vers 300 et 950 cm

, correspondent au spectre du

second ordre. Le processus de diffusion Raman au second ordre met en jeu 2 phonons :

les lois de conservation deviennent q

+ q

≈ 0, et n’impliquent plus de se trouver en

centre de zone. Ce spectre peut donc être interprété comme un reflet de la courbe de

densité d’état de phonons (cf figure 1.3). Ces raies ne présentent pas d’intérêt parti-

culier dans le cadre de nos travaux.

1000

500

0

Intensité(u.a.)

510 520 530

Nombre d’onde ω(cm^-1)

X 25

200 300 400

X 25

900 1000

2^ndordre 1^erordre 2^ndordre

T_2g

Fig. 1.5: Spectre Raman du silicium monocristallin.

La raie Raman du silicium polycristallin se différencie de celle du monocristal essentiellement par sa largeur accrue et sa dissymétrie. Les modes de vibration se propageant à l’infini dans le monocristal sont perturbés par les joints de grain dans un polycristal.

Une relaxation de la règle q ' 0 est permise sur l’ensemble des domaines cohérents, selon le principe d’incertitude, et la diffusion est observée pour ∆q. La forme de cette raie dépend également du temps de vie des phonons optiques[49]. Ces effets de confinement de phonons, liés à la taille de grain d

, dissymétrisent donc la raie du polycristal vers les basses fréquences. Une représentation schématique est donnée à la figure 1.6.

0 200 400 600

ΓΓΓΓ

LA TA

LO TO

poly-Si

Z

ω(cm-1)

∆ q

d

1500

1000

500

0

Intensité(u.a.)

490 500 510 520 530 540

ω^(cm-1)

poly-Si Si

Fig. 1.6: Spectre Raman du silicium polycristallin : élargissement vers les basses fré-

quences dû à la taille de grain d.

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 19 D’autres effets liés à l’anharmonicité[50, 51], tels que la température T [52] ou les déformations , peuvent également élargir les raies de diffusion.

En ce qui concerne l’oxyde de silicium, amorphe, la multiplicité des oscillateurs

« individualisés » et couplés mécaniquement tend à étaler en fréquence les modes de vibration (le spectre de la silice peut également être interprété comme étant un reflet de la courbe de densité d’état[53]) : une raie très large, peu définie, vers 450 cm

est observée. Il existe également d’autres raies vers 490, 610, 1000 cm

. Toutes ces raies sont très peu intenses, dans un rapport d’intensité

SiO2

' 200 avec celle du silicium, et ne sont donc pas observées en pratique.

1.1.5 Observation et intensité de diffusion

La section efficace de diffusion d = ∂α

∂Q détermine en partie l’intensité de diffusion Raman (règles de sélection). La polarisabilité α ¯ ¯ étant un tenseur, on peut calculer le tenseur correspondant, appelé tenseur Raman, à partir de considérations sur le groupe de symétrie[54]. Le mode de vibration T

du silicium met en jeu trois phonons de même énergie. Par conséquent, trois tenseurs Raman R ¯ ¯

(k = 1–3) représentent la contribution individuelle de chacun de ces 3 phonons. Ces tenseurs s’écrivent, dans R :

¯ ¯ R

=







0 0 0 0 0 d 0 d 0







¯ ¯ R

=







0 0 d 0 0 0 d 0 0







¯ ¯ R

=







0 d 0 d 0 0 0 0 0





 (1.14) Les vecteurs polarisations qui leur sont associés sont respectivement : v

= [100], v

= [010] et v

= [001]. Ces vecteurs représentent les directions de vibrations des atomes.

L’intensité de la radiation diffusée peut être calculée à partir de la puissance moyenne rayonnée par le dipôle oscillant induit. Les intensités relatives I

de chaque raie obéissent à la relation :

I

= C | e

R ¯ ¯

e

|

I

, k = 1–3 (1.15) où C est une constante, e

et e

sont respectivement les polarisations des champs incident et diffusé.

Il ressort de cette relation que l’activité d’un mode k donné dépend également des polarisations incidentes et diffusées. Il est par conséquent possible de sélectionner une ou plusieurs raies en particulier, en utilisant certaines configurations de polarisations.

Porto[55] a introduit des notations synthétiques pour décrire les configurations d’observation et de polarisations. Ces notations sont de la forme :

k

(e

, e

)k

La relation 1.15 est exacte dans le cas de rétrodiffusion idéale (k

= −k

).

En réalité, si k

6= k

(c’est le cas lorsque l’on utilise des objectifs pour focaliser la lumière par exemple), la réfraction par le milieu doit être prise en compte. Cette relation doit donc être modifiée selon :

I

= C | e

S

R ¯ ¯

T S e

|

I

, k = 1–3 (1.16) où S

et S sont des matrices représentant respectivement le passage de la lumière dif- fusée et incidente à travers l’interface Si/air et air/Si. T représente la réfraction de la lumière à travers cette interface (matrice de passage d’un système de coordonnées propres à la lumière incidente au référentiel du cristal). Ces matrices sont explicitées à la référence [56].

En pratique, le fort indice de réfraction n(λ) du silicium (compris entre 3,9 (λ = 647 nm) et 6,9 (λ = 363 nm)[57]) impose que la rétrodiffusion soit quasi-idéale au sein du matériau[58]. La situation est représentée à la figure 1.7.

a) b) c)

Silicium

e r

e r

Indice de réfraction n

hν(eV)

Fig. 1.7: a) Réfraction de la lumière focalisée sur un substrat silicium (la courbe n(λ) est en insert) et distributions d’intensité collectées à travers un objectif, d’après [59] : b) sans et c) avec analyseur. Les maxima d’intensité correspondent aux zones claires.

Il reste que les différentes polarisations de la lumière diffusée doivent être intégrées sur l’angle solide de collection. Les rayons marginaux sont néanmoins minoritaires[59].

Une estimation des « fuites de polarisation » correspondantes est effectuée au chapitre

2. La figure 1.7 illustre la distribution d’intensité collectée par un objectif, avec et sans

1.1 Dynamique vibrationnelle et diffusion Raman du silicium 21 analyseur. On remarque que la bande d’intensité maximale et d’égale largeur calculée dans le cas a) se rétrécit aux angles extrêmes en utilisant un analyseur : les fuites de polarisation sont alors très réduites.

Le tableau 1.2 regroupe les intensités relatives de chaque mode en fonction de différentes configurations de polarisations en rétrodiffusion utilisées dans la suite.

Configurations de polarisations I

I

I

z(x y)¯ z 0 0 d

z(x x)¯ z 0 0 0

z(x

y

)¯ z 0 0 0 z(x

x

)¯ z 0 0 d

y

(z x

)¯ y

d

d

0 y

(x

x

)¯ y

0 0 d

y

(z z)¯ y

0 0 0

Tab. 1.2: Intensité relatives I

déterminées à partir des règles de sélection pour certaines configurations de polarisations (notations de Porto) ; x

=

2

[110], y

=

√1

2

[110], z

= [001].

Pour des surfaces (001), ce qui est le cas des substrats en microélectronique, le seul mode de vibration observable est le phonon longitudinal k = 3. Pour des surfaces (110), les phonons k = 1, 2 sont observables simultanément : on ne peut pas séparer leurs contributions en contrôlant les polarisations. Ces aspects sont de première importance, et seront développés dans le cadre des mesures de contraintes.

1.1.6 Résonance

La diffusion Raman de résonance est un cas particulier de l’effet Raman qui inter- vient lorsque la longueur d’onde de la radiation excitatrice est voisine de celle d’une transition électronique du cristal.

Dans ce cas, l’état intermédiaire virtuel dans le processus Raman peut être assimilé à l’état réel excité prérésonnant ou résonnant (figure 1.8). La probabilité d’observer les transitions du processus Raman et, par conséquent, l’intensité de diffusion augmentent fortement[60].

Le gap direct du silicium se situe à une énergie de 3,5 eV (λ = 354 nm) ; un

phénomène de (pré) résonance est donc susceptible de se produire pour des longueurs

Etat fondamental Etat intermédiaire

virtuel Etat électronique

excité

a b c

Fig. 1.8: a) Raman conventionel ; b) Raman de prérésonance ; c) Raman de résonance.

d’onde excitatrices proches de 350 nm. Il est démontré par la suite comment l’on peut tirer profit de l’utilisation d’une raie UV de l’Argon (363,8 nm)[61, 62].

Effets Raman non linéaires

Dans le cadre de nos travaux, nous ne traitons que l’effet Raman spontané, au premier ordre, qui est un phénomène linéaire. À cet effet Raman classique, largement le plus étudié, s’ajoutent des effets non linéaires. En effet, lorsque le champ électrique E atteint des valeurs très élevées (c’est le cas des lasers pulsés), le dipôle induit peut être exprimé sous forme d’un développement en puissance : P = ¯ αE ¯ + ¯ βEE. . . ¯

Ces effets non linéaires sont à l’origine de techniques telles que l’effet hyper Ra- man, l’effet Raman stimulé, l’effet Raman inverse ou la diffusion Raman anti-Stokes cohérente. Le lecteur est invité à consulter les ouvrages [63, 64] pour plus de détails.

1.2 Élements de la théorie de l’élasticité linéaire

Avant de traiter les effets des déformations sur la diffusion Raman dans le silicium, il est nécessaire de préciser le cadre théorique de l’élasticité linéaire.

1.2.1 Les tenseurs de déformation et de contrainte

Une déformation locale et uniforme d’un milieu continu homogène se décrit par le tenseur de déformation ¯ ¯ ; dans le cadre de l’approximation linéaire des petites déformations, la variation relative de longueur entre deux points voisins du solide, de vecteurs déplacements u et u + du, caractérise la déformation :

=

= 1 2

∂u

∂x

+ ∂u

∂x

ou, en notations vectorielles : ¯ ¯ = 1

2 ∇

u + ∇u

(1.17)