Traitement statistique du signal : applications en biologie et économie

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Traitement statistique du signal : applications en biologie et économie

Ali Hamie

To cite this version:

Ali Hamie. Traitement statistique du signal : applications en biologie et économie. Applications

[stat.AP]. Université Grenoble Alpes, 2016. Français. �NNT : 2016GREAS012�. �tel-01536106�

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THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES

Spécialité : MBS-Modèles, méthodes et algorithmes en biologie, santé et environnement

Arrêtéministériel:7août2006

Présentéepar

Ali HAMIE

Thèse dirigée par Jacques DEMONGEOT et Mustapha RACHDI

Préparée au sein du Laboratoire AGEIS (Autonomie, Gérontologie, E- Santé, Imagerie et Société)

Dans l’École Doctorale Ingénierie pour la Santé, la Cognition et l’Envi- ronnement

Traitement statistique du signal :

Applications en biologie et ´ economie

Thèse soutenue publiquement le 28 Janvier 2016, devant le jury composé de :

M. Ali Gannoun

Professeur,UniversitéMontpellier2,Rapporteur

M. Cristian Preda

Professeur,UniversitéLille2,Rapporteur

M. Ali Laksaci

Professeur,UniversitédeSidiBelAbbès(Algérie),1SÏTJEFOU

M. Jacques Demongeot

Professeur,UniversitéGrenobleAlpes,Directeurdethèse

M. Mustapha Rachdi

Professeur,UniversitéGrenobleAlpes,Directeurdethèse

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(4)

A ma m`ere et mon p`ere

A mes sœurs et mes fr`eres

A tous ceux qui me sont chers

(5)

(6)

Remerciements

Je souhaite remercier en premier lieu mes directeurs de thèse, Jacques Demongeot et Mustapha Rachdi, pour avoir suivi mes travaux de recherche tout en me laissant une très grande liberté d’action. Je leur suis particulièrement reconnaissant pour leur soutien, pour la latitude et la confiance qu’ils m’ont accordées.

Mes remerciements vont également à Ali Gannoun et Cristian Preda, Professeurs, pour avoir accepté d’examiner mon travail de thèse en tant que rapporteurs. De même, je re- mercie Ali Laksaci, Professeur, et Patrick Hanusse, directeur de recherche au CNRS, pour avoir accepté de faire partie du jury.

Cette thèse a été réalisée grâce au soutien financier de l’Université Libanaise (Liban).

Je tiens à adresser mes remerciements à cet organisme pour avoir financé mes travaux de recherche scientifique.

Je souhaiterais exprimer ma profonde gratitude envers tous mes professeurs à l’Uni- versité Libanaise, et particulièrement aux Professeurs, Hicham Abdallah et Baydaa Al Ayoubi.

Je remercie aussi de tout cœur, Hana Hazgui, Mohamad Ghassani, Ibrahim Safieddine, Abbass Raad, Mohammad Bitar, Philippe Cousin, Olivier Hansen, Caroline Messina-Dos- Santos, Caroline Zala et Ali Kassem, pour leur soutien, leur aide et leur r´econfort durant ma th`ese.

Grand merci à mes parents, mes sœurs et mes frères, pour leur soutien indéfectible

durant mes ann´ees de th`ese.

(7)

(8)

Table des mati`eres

Introduction g´ en´ erale 1

Bibliographie 4

1 Approximation par Dynalets 7

2 R´ egression expectile pour l’estimation de la ligne de base 25

2.1 Introduction . . . . 25

2.2 Sources du bruit de fond . . . . 25

2.3 Etat de l’art . . . . ´ 27

2.4 Les bases de fonctions splines . . . . 27

2.4.0.1 Splines p´enalis´ees . . . . 29

2.4.0.2 Reparam´etrisation des P-splines . . . . 30

2.5 Généralités sur la régression quantile . . . . 31

2.6 M´ethodes d’estimation de la ligne de base . . . . 32

2.6.1 M´ethode d’Eilers . . . . 32

2.6.2 R´egression quantile L

1

construite `a partir d’une base des puissances tronqu´ees . . . . 33

2.7 M´ethodes propos´ees . . . . 34

2.7.1 R´egression quantile L

2

construite `a partir d’une base de B-spline . . 34

2.7.2 R´egression quantile L

1

construite `a partir d’une base de B-spline . . 34

2.7.3 R´egression expectile . . . . 35

2.8 Applications . . . . 38

2.8.1 Donn´ees simul´ees . . . . 38

2.8.2 Donn´ees r´eelles . . . . 39

2.8.2.1 Spectres Raman . . . . 40

2.8.2.2 Spectres de masse . . . . 40

2.8.2.3 Un chromatogramme . . . . 42

2.9 Conclusion . . . . 42

Bibliographie 43

(9)

Table des mati`eres

3 M´ ethode multivari´ ee combinant ondelettes et r´ egression PLS pour le d´ ebruitage de donn´ ees issues de la spectrom´ etrie de masse 47

3.1 Introduction . . . . 47

3.2 Rappels sur les ondelettes . . . . 48

3.2.1 Analyse multir´esolution et ondelettes . . . . 48

3.2.2 Transform´ee en ondelettes discr`etes DWT . . . . 49

3.2.3 Transform´ee en ondelettes MODWT . . . . 50

3.3 D´ebruitage par seuillage de coefficients d’ondelettes . . . . 51

3.3.1 D´ebruitage par combinaison d’ondelettes et ACP . . . . 51

3.3.2 D´ebruitage par combinaison d’ondelettes et r´egression PLS . . . . . 52

3.4 Applications sur des donn´ees r´eelles . . . . 53

3.5 Conclusion . . . . 58

Bibliographie 59 4 Classification supervis´ ee de courbes par vraisemblance locale fonction- nelle 61 4.1 Rappels sur les fonctions propres et le modèle linéaire généralisé . . . . 63

4.2 Discrimination non param´etrique fonctionnelle . . . . 64

4.3 Discrimination fonctionnelle par vraisemblance locale . . . . 65

4.3.1 Choix de la semi-m´etrique . . . . 67

4.3.2 Estimation de la vraisemblance . . . . 67

4.3.3 Choix de la largeur de fenˆetre . . . . 69

4.4 Application à des données réelles et simulées . . . . 70

4.4.0.1 Donn´ees spectroscopiques NIR . . . . 70

4.4.0.2 Donn´ees spectroscopiques de masse . . . . 72

4.4.0.3 Donn´ees issues de chromatographie HPLC . . . . 72

4.4.0.4 Donn´ees simul´ees : les “waveform data” . . . . 73

4.5 Conclusion . . . . 74

Bibliographie 76 5 Relative-Error Prediction in Nonparametric Functional Statistics : Theory and Practice 79 5.1 Introduction . . . . 80

5.2 Preliminaries . . . . 82

5.3 The strong consistency . . . . 83

5.4 The uniform consistency . . . . 85

5.5 The mean squared consistency . . . . 86

5.6 The asymptotic normality . . . . 88

5.7 A simulation study . . . . 89

5.7.1 Accuracy of the relative method on a simulated data . . . . 89

5.7.2 Applications on real datasets . . . . 93

5.8 Appendix . . . . 98

Bibliographie 106

viii

(10)

Table des mati`eres

Conclusion et perspectives 109

Bibliographie g´ en´ erale 111

ix

(11)

(12)

Table des figures

2.1 Spectre Raman de la graisse de porc et une estimation de la ligne de base. 26

2.2 Base des puissances tronqu´ees sur 0, 1 ! avec ξ ✏ ♣ 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 $ . . . . . 28

2.3 Graphique sur 0, 1 ! de la base des B-Splines avec ξ ✏ ♣ 0.3, 0.6, 0.9 $ . . . . 28

2.4 La fonction de perte ψ avec τ ✏ 0.3 . . . . 32

2.5 La fonction de perte φ avec τ ✏ 0.3. . . . 32

2.6 Choix interactif par s´election visuelle : τ % & 0.001, 0.01, 0.1 ✉ . . . . 37

2.7 Un spectre Raman simul´e par le premier mod`ele. . . . 38

2.8 Le spectre Raman corrig´e par r´egression expectile. . . . 38

2.9 Un spectre Raman simul´e par le premier mod`ele. . . . 38

2.10 Le spectre Raman corrig´e par r´egression expectile. . . . 38

2.11 Les 105 spectres Raman bruts de la graisse du porc . . . . 40

2.12 Spectres Raman corrig´es . . . . 40

2.13 Evolution du RMSECV en fonction du nombre de composantes . . . . 41

2.14 Evolution du RMSEP en fonction du nombre de composantes . . . . 41

2.15 En bleu : chromatogramme, en rouge : ligne de base . . . . 42

2.16 chromatogramme corrig´e . . . . 42

3.1 Cancer du cˆolon : 5 spectres pour chaque groupe (cancer en haut, contrˆole en bas) sur la plage de valeurs m/z 900-11160 Da. . . . 54

3.2 Cancer de l’ovaire : 5 spectres pour chaque groupe (cancer en haut, contrˆole en bas) sur la plage de valeurs m/z 3000-10000 Da. . . . 55

3.3 Cancer de l’ovaire. En haut : spectre bruité sélectionné dans G1. En bas : spectre après débruitage, en prenant J ✏ 6 et H ✏ 6, respectivement comme niveau maximal et nombre de composantes PLS. . . . 56

3.4 Cancer du côlon. En haut : spectre bruité sélectionné dans G1. En bas : spectre après débruitage, en prenant respectivement J ✏ 6 et H ✏ 1 comme niveau maximal et nombre de composantes PLS. . . . 57

3.5 Boˆıtes à moustache représentant le SNR pour les deux méthodes. A gauche : cancer de l’ovaire. A droite : cancer colorectal. . . . 58

4.1 Les deux classes de donn´ees Tecator . . . . 71

4.2 Huiles analys´ees par HPLC : 10 courbes pour chaque classe . . . . 73

4.3 Donn´ees simul´ees : 20 courbes pour chaque classe . . . . 74

(13)

Table des figures

5.1 The functional regressors . . . . 89

5.2 The prediction results (predicted responses VS observed responses), obtai- ned (on the left) by LCV with respect to the MSE and (on the right) LCV with respect to the RMSE . . . . 91

5.3 The QQ-plot of the sample quantiles VS the theoretical quantiles . . . . . 93

5.4 Some curves of the monthly energy prices . . . . 94

5.5 The response variable (on the left) and the outlier detection (on the right) : the dashed line corresponds to the third quantile and the continuous line corresponds to the upper bound . . . . 94

5.6 Box plots of the RMSE (on the left) and of the MSE (on the right) : in each figure, the left column corresponds to the relative technique of estimation and the right column corresponds to the classical kernel method . . . . 95

5.7 Spectroscopic data. Sample of 108 NIR spectra . . . . 96

5.8 The distribution of 108 values of Y

1

(soil organic matter) . . . . 96

5.9 The distribution of 108 values of Y

2

(ergosterol concentration) . . . . 97

5.10 Box plots of the MSE and RMSE for Y

1

. . . . 97

5.11 Box plots of the MSE and RMSE for Y

2

. . . . 98

xii

(14)

Liste des tableaux

2.1 modèle 1 : nombre de nœuds, paramètre de lissage et RMSE avec τ ✏ 0.001 39 2.2 modèle 2 : nombre de nœuds, paramètre de lissage et RMSE avec τ ✏ 0.02 39

4.1 Donn´ees Tecator : taux d’erreur sur 100 ´echantillons de test . . . . 72

4.2 Cancer colorectal : taux d’erreur sur 100 ´echantillons de test . . . . 72

4.3 Donn´ees des huiles : taux d’erreur sur 100 ´echantillons de test . . . . 73

4.4 Donn´ees Waveform : taux d’erreur sur 500 ´echantillons de test . . . . 74

5.1 Values of the MSE and RMSE for the simulated data . . . . 91

5.2 Values of the MSE according to the number of introduced artificial outliers (first line) . . . . 92

5.3 Values of the RMSE according to the number of introducted artificial out-

liers (first line) . . . . 92

(15)

(16)

R´ esum´ e

Dans cette thèse, nous nous intéressons à développer des outils mathématiques, afin de traiter une gamme des signaux biologiques et économiques.

En premier lieu, nous proposons la transformée Dynalet, considérée comme une alter- native, pour des signaux de relaxation sans symétrie interne, à la transformée de Fourier et à la transformée ondelette. L’applicabilité de cette nouvelle approximation est illustrée sur des données réelles. Ensuite, nous corrigeons la ligne de base des signaux biologiques spectrométriques, à l’aide d’une régression expectile pénalisée, qui, sur les applications proposées, est plus performante qu’une régression quantile. Puis, afin d’éliminer le bruit blanc, nous adaptons aux signaux spectrométriques une nouvelle approche combinant on- delette, seuillage doux et composants PLS. Pour terminer, comme les signaux peuvent être considérés comme des données fonctionnelles, d’une part, nous développons une vrai- semblance locale fonctionnelle dont le but est d’effectuer une classification supervisée des courbes, et, d’autre part, nous estimons l’opérateur de régression pour une réponse scalaire positive non nulle, par minimisation de l’erreur quadratique moyenne relative. De plus, les lois asymptotiques de notre estimateur sont établies et son efficacité est illustrée sur des données simulées et sur des données spectroscopiques et économiques.

Abstract

In this thesis, we focus on developing mathematical tools to treat a range of biological and economic signals.

First, we propose the Dynalet transform for non-symmetrical biological relaxation

signals. This transform is considered as an alternative to the Fourier transform and the

wavelet transform. The applicability of the new approximation approach is illustrated

on real data. Then, for spectrometric biological signals, we correct the baseline using a

penalized expectile regression. Thus, the proposed applications show that our proposed

regression is more efficient than the quantile regression. Then to remove random noise,

we adapt to spectrometric data a new denoising method that combine wavelets, soft

thresholding rule and PLS components. Finally, note that the biological signals may be

often regarded as functional data. On one hand, we develop a functional local likelihood

aiming to perform a supervised classification of curves. On the other hand, we estimate

the regression operator with positive responses, by minimizing the mean squared relative

error. Moreover, The asymptotic distributions of our estimator are established and their

efficiency is illustrated on a simulation study and on a spectroscopic and economic data

set.

(17)

(18)

Introduction g´en´erale

Dans de nombreux domaines, tels que la biologie, la médecine, la chimiométrie, l’éco- nomie, la finance, etc., il est souvent possible de rencontrer des signaux (courbes) desquels on vise à extraire de l’information pour expliquer des processus, des phénomènes, ou bien

`a diagnostiquer des maladies, etc. Nous exposons ci-apr`es quelques exemples concrets.

Electrocardiographie : un électrocardiogramme (ECG) correspond à l’enregistrement de l’activité électrique du cœur se dépla¸cant dans le temps. Ainsi, l’ECG permet de détec- ter un trouble du rythme ou de la conduction cardiaque, il est donc un élément essentiel que ce soit dans la surveillance des patients ou dans le diagnostic des maladies cardiovas- culaires.

Protéomique clinique : dans les études protéomiques, la spectroscopie de masse, qui est une technologie émergente et présentant des applications de recherche en cancérologie et en immunologie, peut servir à identifier des protéines en fournissant des spectres de masse. Ces spectres représentent donc une mesure directe de la signature de certaines protéines issues des échantillons biologiques de patients (sérum sanguin, urine, tissus,. . . ).

Ceci permet donc d’identifier des marqueurs spécifiques et sensibles de maladies, qui se révèlent utiles au diagnostic et au pronostic des maladies humaines comme le cancer, les maladies cardio-vasculaires, neuro-dégénératives ou encore infectieuses et inflammatoires [1, chapitre 6].

Spectroscopie proche infrarouge NIR (Near-infrared spectroscopy) : cette technologie, permettant la mesure simultanée de composants chimiques et de propriétés physiques, est très utilisée dans le domaine agroalimentaire pour contrôler la qualité des produits alimentaires.

Spectroscopie RMN (Résonance Magnétique Nucléaire) : la RMN est aussi une tech- nique qui permet d’effectuer une détermination structurale de molécules, et en particulier de macromolécules biologiques : protéines, acides nucléiques.

Il est naturel donc d’utiliser des outils math´ematiques afin de pouvoir traiter et analy-

ser ces signaux. A titre d’exemple, les transform´ees de Fourier et ondelette permettent de

compresser les signaux périodiques, de manière à optimiser, en médecine clinique, l’usage

de l’information biologique, provenant d’appareils g´en´erant des spectres, et n’en retenir

(19)

Introduction g´en´erale

que la partie pertinente. De plus, parmi les techniques récentes développées dans l’ap- proximation des signaux, on peut citer aussi l’approximation d’Hanusse [2–4]. En effet, l’auteur considère des signaux périodiques simples, ayant un seul maximum et minimum par période, puis il cherche à définir des paramètres morphologiques universels, donc à

élaborer une théorie générique de l’anharmonicité. Ainsi, il décrit la dynamique de phase de la manière suivante

dΦ

dt ✏ F ♣Φ" ✏ P ♣Φ"

Q♣Φ" ,

o` u la phase Φ définit l’état interne du système, la fonction F décrit complètement les propriétés d’anharmonicité du signal, et P , Q sont respectivement des polynômes trigo- nométriques. De plus, l’auteur a trouvé la solution générale de ce type d’équation, en introduisant une nouvelle famille de fonctions trigonométriques non-linéaires, permettant d’exprimer de fa¸con simple la solution donnant la phase en fonction de temps, ou le temps en fonction de la phase, vision duale du même phénomène.

Dans le présent travail, nous envisageons de traiter, par approximation Dynalet, des signaux cardiaques ECG, des signaux vasculaires (pouls), et des signaux spectroscopiques RMN. De plus, des applications à des données économiques et spectroscopiques seront effectuées par statistique fonctionnelle. Nous visons aussi à éliminer le bruit de fond et le bruit blanc, qui peuvent affecter des signaux spectroscopiques, à l’aide des méthodes statistiques classiques.

L’un des objets de la présente thèse, est donc de proposer une alternative à la trans- formée de Fourier et à la transformée ondelette, appelée transformation Dynalet [5–9], en réalisant une expansion du signal sur une base orthogonale de solutions polynomiales approchées d’équations de Liénard adaptées au signal (par exemple, l’équation de van der Pol, pour les spectres protéiques, les spectres Raman, le signal cardiaque ECG ou le signal de pouls). Notons que le présent travail fait suite à un travail concernant les solutions ap- prochées des équations de Liénard, obtenues par décomposition potentielle-hamiltonienne [10–13]. Ce procédé s’applique particulièrement bien au cas des signaux biologiques, dont le profil temporel n’est pas fait de cycles (entretenus ou amortis) possédant une symé- trie interne, mais ayant la forme d’ondes de relaxation. Il est alors utile de rechercher le système différentiel modélisant le mécanisme de leur genèse : c’est le cas pour le système de van der Pol (un système de Liénard particulier), dans le cas des signaux respiratoires (pléthysmographie), cardiaques et vasculaires .

De plus, il est bien connu que la médecine actuelle dispose de nombreux outils biolo- giques sur lesquels elle peut baser le diagnostic et le suivi de la plupart des grandes patholo- gies. L’ensemble de méthodes du diagnostic et du suivi d’une maladie est basé pour l’essen- tiel sur les profils d’expression protéomique de cohortes de patients présentant une patho- logie donnée. Il est à noter que la protéomique désigne l’étude de l’ensemble des protéines constituant un compartiment cellulaire, une cellule, un tissu ou un organisme vivant entier et que l’identification des protéines s’effectue par la spectrométrie (de masse, de résonance RMN, infra-rouge ou proche infra-rouge (NIR), vibrationnelle Raman,. . . , cf. par exemple http://www.news-medical.net/health/Spectroscopy-Types-(French).aspx) en pro- duisant des spectres qui peuvent être bruités. Pour cette raison, le bruitage des spectres

2

(20)

Introduction g´en´erale

de masse constitue un autre sujet de la présente thèse. Il s’agit de combiner ondelettes, régression PLS et seuillage doux de Donoho.

De plus, la correction de la ligne de base, qui représente l’un des étapes indispensables lors de prétraitement des spectres, avec des pics tous positifs, tels que spectres de masse, spectres Raman et chromatogrammes, constitue un autre objet de notre travail. Nous al- lons présenter une approche basée sur régression expectile.

Enfin, en présence d’un tel échantillon de spectres, considérés comme étant des don- nées fonctionnelles, deux problèmes statistiques peuvent se poser. Il s’agit de problème de prédiction “Peut-on prédire à partir de la courbe, notée X, une autre caractéristique non fonctionnelle positive non nulle notée Y ?”. A cette fin, nous allons proposer une approche alternative à la régression à noyau de Ferraty et Vieu [14]. Cette approche est basée sur erreur relative. Par ailleurs, si la variable réponse Y est binaire, on est en présence d’un problème de classification supervisée. Une vraisemblance locale fonctionnelle sera donc présentée en vue de classer ces spectres.

Cette th`ese s’organise en 5 chapitres.

1. Le chapitre 1 reprend l’article publié dans Comptes Rendus Biologies, introduisant la transformée Dynalet et ses applications . Cette nouvelle méthode se présente comme une approche alternative à la transformée de Fourier et à la transformée ondelette.

2. Au chapitre 2, une nouvelle approche visant à corriger la ligne de base des signaux spectroscopiques est présentée. Il s’agit d’adapter une régression expectile pénalisée.

Ensuite, des applications sur des données réelles et simulées sont effectuées.

3. Le chapitre 3 est consacré au débruitage des données provenant de l’analyse par spectroscopie de masse. Nous proposons de combiner ondelettes, régression PLS et seuillage doux. Ensuite, nous appliquons cette approche à deux données réelles.

4. Quant au chapitre 4, nous nous y intéressons à discriminer en deux classes des courbes supposées des données fonctionnelles. A cette fin, une approche basée sur la vraisemblance locale est donnée. Pour terminer, nous comparons notre approche

à la méthode à noyau de Ferraty et Vieu au cas o` u la variable réponse est binaire,

à l’aide des applications sur des données réelles.

5. Enfin, le but du chapitre 5 est de prédire une variable réponse scalaire positive non nulle associé à des courbes fonctionnelles. Ainsi, dans ce chapitre, faisant l’objet d’un article publié, l’estimateur construit est basé sur une minimisation d’erreur relative quadratique moyenne. A l’aide de cet estimateur, considéré comme étant une alter- native à l’estimateur à noyau de Ferraty et Vieu, nous effectuons des applications sur des données simulées et réelles de manière à pouvoir comparer l’approche en question à celle de Ferraty et Vieu.

3

(21)

Bibliographie

[1] G. Durand and J.-L. Beaudeux, Biochimie m´edicale: marqueurs actuels et perspectives.

Lavoisier, 2011.

[2] P. Hanusse, “Théorie de l’anharmonicité des phénomènes périodiques non-linéaires,”

Résumés des exposés de la 13e Rencontre du Non-Linéaire Paris 2010, p. 24, 2010.

[3] P. Hanusse, V. In, P. Longhini, and A. Palacios, “A novel approach to anharmonicity for a wealth of applications in nonlinear science technologies,” in AIP Conference Proceedings-American Institute of Physics, vol. 1339, p. 303, 2011.

[4] P. Hanusse, “Théorie de l’anharmonicité des phénomènes périodiques non-linéaires,”

Résumés des exposés de la 15e Rencontre du Non-Linéaire Paris 2012, p. 42.

[5] J. Demongeot, O. Hansen, A. Hamie, and M. Rachdi, “Dynalets: a new tool for bio- logical signal processing,” in Marrakech International Conference on Probability and Statistics: 2nd edition, 2013.

[6] J. Demongeot, A. Hamie, A. Glaria, and C. Taramasco, “Dynalets: a new represen- tation of periodic biological signals and spectral data,” in Advanced Information Net- working and Applications Workshops (WAINA), 2013 27th International Conference on, pp. 1525-1532, IEEE, 2013.

[7] J. Demongeot, O. Hansen, A. Hamie, C. Franco, B. Sutton, and ´ E.-P. Cohen, “Dyna- lets: A new method for modelling and compressing biological signals. applications to physiological and molecular signals,” Comptes rendus biologies, vol. 337, no. 11, pp.

609-624, 2014.

[8] J. Demongeot, O. Hansen, and A. Hamie, “Dynalets: a new tool for biological signal processing,” in XIII Mediterranean Conference on Medical and Biological Engineering and Computing 2013, pp. 722-725, Springer, 2014.

[9] J. Demongeot, O. Hansen, A. Hamie, H. Hazgui, G. Virone, and N. Vuillerme, “Actime- try@ home: actimetric tele-surveillance and tailored to the signal data compression,”

in Smart Homes and Health Telematics, pp. 59-70, Springer, 2015.

[10] L. Forest, N. Glade, and J. Demongeot, “Li´enard systems and potential-hamiltonian decomposition-applications in biology,” Comptes rendus biologies, vol. 330, no. 2, pp.

97-106, 2007.

[11] J. Demongeot, N. Glade, and L. Forest, “Li´enard systems and potential-hamiltonian decomposition i-methodology,” Comptes Rendus Math´ematique, vol. 344, no. 2, pp.

121-126, 2007.

[12] J. Demongeot, N. Glade, and L. Forest, “Li´enard systems and potential-hamiltonian decomposition ii-algorithm,” Comptes Rendus Math´ematique, vol. 344, no. 3, pp. 191- 194, 2007.

4

(22)

Bibliographie

[13] N. Glade, L. Forest, and J. Demongeot, “Li´enard systems and potential-hamiltonian decomposition iii-applications,” Comptes Rendus Math´ematique, vol. 344, no. 4, pp.

253-258, 2007.

[14] F. Ferraty and P. Vieu, Nonparametric functional data analysis: theory and practice.

Springer Science & Business Media, 2006.

5

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Chapitre 1

Approximation par Dynalets

L’information biologique provenant de capteurs électrophysiologiques, comme l’ECG, les capteurs de pouls, ou d’appareils générant des signaux moléculaires, comme la spec- trométrie de masse ou la spectrométrie RMN, doit être visualisée et manipulée sous une forme compressée, de manière à optimiser son usage en médecine clinique et n’en retenir que la partie pertinente, explicative des mécanismes ayant généré le signal, en vue d’un stockage dans des bases de données scientifiques ou dans des gisements de dossiers médi- caux personnalisés. Lorsque le signal enregistré est périodique, les procédés de compression classiques que sont les transformes de Fourier et ondelettes donnent de bons résultats au niveau du taux de compression et de la qualité de la restitution, mais n’apportent en géné- ral aucune information nouvelle concernant les interactions existant entre les éléments du système vivant ayant produit le signal étudié. On définit ici une nouvelle transformation, nommée Dynalet, fondée sur les équations ordinaires de Liénard, susceptibles de modéliser le mécanisme générateur du signal ; nous proposons d’appliquer cette nouvelle technique de modélisation et de compression à des signaux biologiques périodiques réels, comme l’ECG et le pouls, ainsi qu’aux données protéiques provenant de la spectrométrie molé- culaire RMN. Dans chaque application, la reconstruction du signal d’origine (oscillations ou pic) utilisant la transformée Dynalet est comparée à celle de Fourier, en comptant le nombre de paramètres à régler pour un rapport signal sur bruit déterminé.

Dans le cas du signal prot´eique, nous proposons de convertir en son des pics du spectre

RMN, de manière à pouvoir distinguer à l’oreille des tracés indistinguables à la vue, dans

les modes de visualisation classiques. Ainsi, nous appelons cette approche le st´ethoscope

prot´eique et la restitution de l’information prot´eique sous forme sonore pourrait constituer

une “premi`ere” importante en compression et rendu de l’information m´edicale d’origine

biologique.

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Biological modelling/Biomode´lisation

Dynalets: A new method for modelling and compressing biological signals. Applications to physiological and molecular signals

Dynalets : une nouvelle me´thode de mode´lisation et compression de signaux biologiques. Applications aux signaux physiologiques et mole´culaires

Jacques Demongeot

^a,

*, Olivier Hansen

^a

, Ali Hamie

^a

, Ce´line Franco

^a

, Brian Sutton

^b

, E´lie-Paul Cohen

^a,b

aUniversite´ Joseph-Fourier,Grenoble,AGIMCNRSFRE3405,Faculte´ deme´decine,38700LaTronche,France

bKing’sCollege,Strand,LondonWC2R2LS,UnitedKingdom

ARTICLE I NFO

Articlehistory:

Received16June2014

Acceptedafterrevision19August2014 Availableonline26September2014

Keywords:

Fouriertransform Dynalettransform Signalprocessing

Heartandpulsesignalscompression Protein‘‘stethoscope’’

Motscle´s:

TransformationdeFourier TransformationDynalet Traitementdusignal

CompressiondessignauxECGetpouls

«Ste´thoscope»prote´ique

ABSTRACT

ThebiologicalinformationcomingfromelectrophysiologicsensorslikeECG,pulsesensoror frommolecularsignaldeviceslikeNMRspectrometryhastobevisualizedandmanipulated inacompressedwayforanefficientmedicalusebyclinicians,ifstoredinscientificdata basesorinpersonalizedpatientrecordsrepositories.Here,wedefineanewtransformcalled Dynalet based on Lie´nard ordinary differential equations susceptible to model the mechanismatthesourceofthestudiedsignal,andweproposetoapplythisnewtechnique firsttothemodellingandcompressionofrealbiologicalperiodicsignalslikeECGandpulse rhythm.Weconsiderthatthecardiovascularactivityresultsfromthesummationofcellular oscillatorslocatedinthecardiacsinusnodeandweshowthat,asaresult,thevanderPol oscillator(aparticularLie´nardsystem)fitswelltheECGsignalandthepulsesignal.The reconstructionoftheoriginalsignal(pulseorECG)usingDynalettransformisthencompared withthatofFourier,countingthenumberofparameterstobesetforobtaininganexpected signal-to-noise ratio. Then, we apply the Dynalet transform to the modelling and compressionofmolecularspectraobtainedbyproteinNMRspectroscopy.Thereconstruc- tionoftheoriginalsignal(peak)usingDynalettransformisagaincomparedwiththatof Fourier.Afterreconstructingvisuallythepeak,weproposetoperiodizethesignalandgiveit tohear,thewholeprocessbeingcalledtheprotein‘‘stethoscope’’.

ß2014Acade´miedessciences.PublishedbyElsevierMassonSAS.Allrightsreserved.

RE´ SUME´

L’informationbiologiqueprovenantdecapteurse´lectrophysiologiques,commel’ECG,les capteurs de pouls, ou d’appareils geńe´rant des signaux molećulaires, comme la spectrome´triedemasseoulaspectrome´trieRMN,doiteˆtrevisualiseéetmanipuleésous uneformecompresseé,demanie`rea` optimisersonusageenme´decinecliniqueetn’en

* Correspondingauthor.

E-mailaddresses:Jacques.Demongeot@agim.eu,Jacques.Demongeot@yahoo.fr(J.Demongeot).

ContentslistsavailableatScienceDirect

Comptes Rendus Biologies

w ww . sc i e nce d i re ct . co m

http://dx.doi.org/10.1016/j.crvi.2014.08.005

1631-0691/ß2014Acade´miedessciences.PublishedbyElsevierMassonSAS.Allrightsreserved.

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1. Introduction

Thedifferentwaystorepresentabiologicalsignalare aimingbothto:

explainthemechanismshavingproducedthesignal;

facilitate its use in medical applications or in life sciences.

Thebiologicalsignalscancomefromelectrophysiologic signalsensorslikeECG,arterialpulsesensors,etc.,orfrom molecular devices like massor NMR spectrometry, etc., andhavetobemodelledandcompressedforanefficient medicalusebycliniciansandtoretainonlythepertinent information about the mechanismsat the origin of the recorded signal for the researchers in life sciences, or restored to be interpreted, e.g., in telemedicine. If the recorded signal is periodic in time and/or space, the classical compression processes like Fourier and wavelet transforms give good results concerning the compressionrate,butbringingeneralnosupplementary information aboutthe interactionsbetween elements of the livingsystemproducingthestudiedsignal.Here,we define anewtransform calledDynaletbased onLie´nard differentialequations,whicharesusceptibletomodelthe mechanismthatisthesourceofthesignalandwepropose toapplythisnewtechniquetorealsignalslikeECG,arterial pulseand mass or NMR spectrometry.We will recall in Section 2the classicalFourier and wavelet Haley trans- formsfromthepointofviewofdifferentialequations,and then,wepresentinSection3theprototypeoftheLie´nard equations,i.e.thevanderPolequation.InSection4,wewill definetheDynalettransform,andthendescribeinSections 5to8thebiologicalapplications.

2. FourierandHaleywavelettransforms

TheFouriertransformcomesfromthedesireofJoseph Fourier[1],in1807,torepresentinasimplewayfunctions usedinphysics,notablyintheframeofheatpropagation

modelling. He used a base of functions made of the solutionstothesimplenot-dampedpendulumdifferential equation(cf.thetrajectoryonFig.1):

dx=dt¼y;dy=dt¼ÿv²x;

whosegeneralsolutionis:x(t)=kcosvt,y(t)=ÿkvsinvt.

Byusingthepolarcoordinatesuandrdefinedfromthe variables x and z=ÿy/v, we get the new differential system:

du=dt¼v;dr=dt¼0;

with u=arctan(z/x) and r²=x²+z². The polar system is conservative, its Hamiltonian function being defined by H(u,r)=vr. The general solution x(t)=k cosvt, z(t)=k sinvthastwodegreesoffreedom,kandv,respectivelythe amplitudeandthefrequencyofthesignal,andconstitutes anorthogonalbase,bychoosingforvthemultiples(called harmonics)ofafundamentalfrequencyv0.

After the seminal theoretical works by Meyer [2,4], Daubechies [3]and Mallat[5], Haley[6]used in 1997a simple wavelet transform for representing signals in astrophysics. He used a base of functions made of the solutions tothe dampedpendulumdifferential equation (cf.thetrajectoryonFig.1):

dx=dt¼y;dy=dt¼ÿ^ÿv²þt²xÿ2ty;

whose general solution is: x(t)=k e^ÿ^t^tcosvt, y(t)=ÿk e^ÿ^t^t(vsinvt+tcosvt).

Byusingthepolarcoordinatesuandrdefinedfromthe variables x and z=ÿy/v–tx/v, we get the differential system:

du=dt¼v;dr=dt¼ÿtr

The polar system is dissipative (or gradient), its potential function beingdefined by P(u,r)=ÿvu+tr²/2.

Thegeneralsolutionx(t)=ke^ÿ^t^tcosvt,z(t)=ke^ÿ^t^tsinvthas threedegrees offreedom,k,vand t,the lastparameter retenirquelapartiepertinente,explicativedesmećanismesayantgeńe´re´ lesignal,envue d’unstockagedansdesbasesdedonneésscientifiquesoudansdesgisementsdedossiers me´dicaux personnalise´s. Lorsque le signal enregistre´ est pe´riodique, les proce´de´s de compressionclassiquesquesontlestransformeésdeFourieretondelettesdonnentdebons re´sultatsauniveaudutauxdecompressionetdelaqualite´ delarestitution,maisn’apportent en geńe´ral aucune information nouvelle concernant les interactions existant entre les e´le´mentsdu syste`me vivant ayant produitle signal e´tudie´. On de´finit ici une nouvelle transformation, nommeé Dynalet, fondeé sur les e´quations diffe´rentielles ordinaires de Lieńard,susceptiblesdemode´liser lemećanismegeńe´rateurdusignal ;nous proposons d’appliquer cette nouvelletechnique demode´lisation et decompression a` des signaux biologiquespe´riodiquesreéls,commel’ECGetlepouls,ainsiqu’auxdonneésproteíques provenantdelaspectrome´triemolećulaireRMN.Danschaqueapplication,lareconstruction dusignald’origine(oscillationsoupic)utilisantlatransformeéDynaletestcompareéa` celle deFourier,encomptantlenombredeparame`tresa` re´glerpourunrapportsignalsurbruit de´termine´. Dansle casdusignalproteíque,apre`s la reconstruction visuelledes pics du spectreRMN,nousproposonsdelespe´riodiseretdelesdonnera` entendre,l’ensembledece processusapplicatife´tantalorsappele´ «ste´thoscope»proteíque.

ß2014Acade´miedessciences.Publie´ parElsevierMassonSAS.Tousdroitsre´serve´s.

J.Demongeotetal./C.R.Biologies337(2014)609–624 610

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being the exponential time constantresponsible for the pendulum’sdamping.

3. ThevanderPolsystem

FortheDynalettransform,weproposetouseabaseof functions made of the solutions to the relaxation pendulum’s differential equation (cf. the trajectory on Fig.1,topright),whichisaparticularexampleofthemost generalLie´narddifferentialequation:

dx=dt¼y;dy=dt¼ÿRðxÞxþQðxÞy;

which is specified in the van der Pol case by choosing R(x)=v² et Q(x)=m(1–x²/b²). Its general solution is not algebraic, but can be approximated by a family of polynomials [7–11]. The van der Pol system is a potential–Hamiltoniansystem,definedbythepotentialPvdPand HamiltonianHvdPfunctions(Fig.2,topleft),HvdPbeingfor exampleapproximatedatorder4,whenv=b=1,by:

H_vdPðx;yÞ¼ÿx²þy²=2ÿmxy=2þmyx³=8ÿmxy³=8;

whichallowsustoobtainthe equationofits limit-cycle (Fig.1,bottom):HvdP(x,y)2.024[8,11].ThevanderPol systemhasthreedegreesoffreedom,b,vandm,thelast anharmonic parameterbeingresponsiblefortheasymp- totic stabilityofthependulum’slimit-cycle,whichhasa point, but not revolution symmetry. These parameters receivedifferentinterpretations:

m appears as an anharmonic term: when m=0, the equationisthatofthesimplependulum,i.e.,asinewave oscillator, whose amplitude depends on the initial conditions. Relaxation oscillations are observed even withsmallinitialconditions(Figs.1and2),withaperiod

T equal to 2p/Imb near the bifurcation value m=0, wherebiseigenvalueoftheJacobianmatrixJofthevan derPolequationattheorigin:

J¼ 0 1

ÿv² m

:

The characteristic polynomial of J is equal to: b²– mb+v²=0, hence b=(m(m²–4v²)^1/2)/2 and T2p/ v+pm⁴/2v³:

blooks asatermof control:when x>b andy>0,the derivativeofyisnegative,actingasamoderatoronthe velocity.Themaximumoftheoscillationsamplitudeis about2b,whatevertheinitialconditionsandvaluesof theotherparametersare.Moreprecisely,theamplitude a_x(m)ofxisestimatedby2b<a_x(m)<2.024b,forevery m>0, and when m is small, a_x(m) is estimated by:

ax(m)(2+m²/6)b/(1+7m²/96)[12,13].Theamplitude ay(m)is obtainedfordy/dt=0,i.e.is approximatelyfor x=b, thena_y(m)is the dominantrootof the following algebraicequation:H_vdP(b,a_y(m))=2.024;

visa frequencyparameter:whenv>>m/2>>1,the periodTofthelimit-cycleisdeterminedmainlybythe time during which the system stays around the cubic functionwherebothxandyareO(1/m),Tbeingroughly estimated to be T2p/v, and the system can be rewritten as: dx/dt=z, dz/dt=ÿv²x+m(1–x²/ m²)zÿv²x+mz, with the change of variables:

x=mx/b,z=my/b.

4. TheDynalettransform

TheDynalettransformconsistsinidentifyingaLie´nard systembasedontheinteractionsmechanismsbetweenits

Fig.1. (Coloronline.)Topleft:asimplependulumtrajectory.Topmiddle:adampedpendulumtrajectory.Topright:vanderPollimit-cycle(m=10, v=b=1). Middle: relaxationoscillationof thevan derPoloscillator with m=5, v=b=1. Bottom:representation ofthe harmonic contour lines HvdP(x,y)=2.024fordifferentvaluesofm.

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variables(wellexpressedbyitsJacobianmatrix)analogous to those of the experimentally studied system, whose limit-cycleisthenearest(inthesenseoftheDsetorofthe mean quadratic distances between sets of van der Pol points and experimentalpoints having the same phase, sampledrespectivelyfromtheoriginalsignalandthevan derPollimit-cycle)tothesignalinthephaseplane(xOy), where y=dx/dt.WecannoticethattheJacobianinterac- tiongraphofthevanderPolsystemcontainsacoupleof positiveandnegativetangentcircuits(calledregulon[10]).

Practically, for performing the Dynalet transform, it is necessarytochoose:

theparametersvandmsuchastheperiodofthevander Pol limit-cycle equals the mean period of the original signal;

atranslationoftheoriginofaxes,inordertofixthefirst van der Pol point on its limit-cycle identified, by convention, at the first signal point (corresponding to themeanbaselinevalueoftheoriginalsignal);

a homothety on these axes defining their scales, by minimizingthedistancebetweentwosetsofpointsfrom bothvanderPolandoriginalsignals.

Byrepeatingthisprocessfor thedifferencebetween the originalsignal andthevander Pollimit-cycle, it is possibletogetsuccessivelyapolynomialapproximation

of the fundamental reconstructed signal and of its harmonics.

ThepotentialandHamiltonianpartsP_vdPandH_vdPusedfor thistransformcanbecalculatedfollowing[7–9].Forexample, for m=1 (respectively [resp.] m=2), the corresponding polynomialsarerespectivelyP₁andH₁(P₂andH₂),definedby:

P1ðx;yÞ¼ÿ3x²=4þy²=4þ3x⁴=32þy⁴=96þx²y²=16 and H₁ðx;yÞ¼ÿx²þy²=2ÿ3xy=2þ3yx³=8ÿy³x=24ÿ2

resp:P₂ðx;yÞ¼ÿ3x²=4þy²=4þ3x⁴=32þy⁴=96þx²y²=16 ÿ

andH₂ðx;yÞ¼ÿx²þy²=2ÿ3xy=8þ3yx³=8ÿy³x=24ÿ1=2Þ Usingthispotential–Hamiltoniandecomposition, itis possibletocalculateanapproximatesolutionS(ki,mi)(t)of thevanderPoldifferentialsystemcorrespondingtotheith harmonics of the Dynalet transform, as a polynomial of order2+iverifying:

dx=dt¼y and dy=dt¼ÿxþmiÿ1ÿk²_ix²y

We will search for example for the approximate solution x(t)=S(1,1)(t)as apolynomial oforder 3in the casem=1:

xðtÞ¼c0þc1tþc2t²þc3t³;yðtÞ¼c1þ2c2tþ3c3t² The polynomialcoefficients c_i’s above representboth the potential and Hamiltonian parts of the van der Pol systemandtheycanbeobtainedbyidentificationwithP1 Fig.2. (Coloronline.)Topleft:representationofthepotentialPandHamiltonianHonthephaseplaneaxis(xOy).Bottomleft:limit-cycleofthevanderPol equationfordifferentvaluesofm(from[16]).Right:isochronallandscapesurroundingthevanderPollimit-cycle(m=2,v=b=1;periodT7.642).

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and H₁ derivatives[7–11]:dx/dt=ÿ

@

^P1/

@

^x⁺

@

^H1/

@

^y, ^dy/

dt=ÿ

@

^P1/

@

^y–

@

^H1/

@

^x.^Then,^we^get:

c₀²=2þc₁²=2ÿ3c₀c₁=2þ3c₀³c₁=8ÿc₀c₁³=24¼2;

c₂c₃ÿ9c₃²=2ÿ9c₀c₂³þ9c₀c₂³=4þ27c₀²c₃²=8ÿ3 ÿc0c2c32=4ÿc24=24¼0

,c2c3ÿ27c23=2þ9c32ÿ3c32ÿ3c2c32=2ÿc24=24¼0;

which implies c₀=2, c₁=0, c₂0.46 and c₃0.04, i.e., approximately the values given in [14]. Because of the symmetryofthelimit-cycle,allthesolutions{S(k_j,m/2^j)}_j2IN are orthogonal and we can decompose any continuous functionfonthisbase,thankstotheWeierstrasstheorem.

AfirstexampleofapplicationoftheDynalettechnique canberepresentedbythemitosisrhythminlateralcellsof thecaudalfininzebrafish[16]:byusingtherelaxationwaves ofavanderPoloscillator(Fig.3),wecanfitbetterthemitosis curve(representedbytheintracellularBrDUconcentration evolutiononFig.4)thanwhenusingasinefunction.

5. Cardiovascularapplications

Weproposetoapplythisnewtechniquetorealsignals like ECG and pulse rhythm. In these both cases, the rhythmiccardiovascularactivityresultsfromthesumma- tion of cellular oscillators(Fig. 5) locatedin the cardiac sinusnode,whicharesubjecttothecontrolofthebulbar cardiovascularmoderatorand cardio-acceleratorcentres, whichmodulatethesinussignal,integratingtheinfluence of the inspiratory bulbar centre, which causes the appearanceofharmonicsinthecellularrhythm.

TheDynalettransformconsistsinidentifyingaLie´nard system that expressesinteractionsbetweenits variables through its Jacobian matrix analogous to those of the experimentally studied system,whose limit-cycle is the nearest(inthesenseofthedistanceDbetweensets,orof the mean quadratic distance between points of same phase)tothesignalpatterninthephaseplane(xOy),where y=dx/dt.

Practically,iftheLie´nardsystemisavanderPolsystem, it is necessary to execute the following transforms for gettingDynaletapproximationfromoriginalsignal:

toestimatetheparametersvandmsuchastheperiodof the van der Pol signal is equal to the mean empirical period(calculatedfortheoriginalsignal);

doatranslationoftheoriginofaxesinthephaseplane;

doahomotheticchangeofthecoordinates, inorderto matchthevanderPolsignaltotheoriginalsignal.

Thenthewholeapproximationproceduredoneforthe ECGsignal(Fig.6a)involvesthefollowingsteps:

suppress the time intervals when the signal was under the critical plateauvalue L ofthe Levy time l(e⁾ ^equal ^to ^the ^time ^interval ^during ^which ^the signal haspassedbetween0and e_. _This_step_allows obtainingtheQRScomplexoftheexperimentalECG (Fig.6bandc);

fixthevalueoftheparametermsuchastheperiodofthe vanderPolsignalisequaltotheQRScomplexduration;

Fig.4. Left:BrdUconcentrationevolutionrepresentingthemitosisrhythminlateralcellsofcaudalfininzebrafish[16],withindicationofthenadir(timeof theminimum)ofthecycle(redarrow),showingarathergoodfitwiththesinefunction(red)andabetterfitwiththevanderPolrelaxationwave(blue).

Right:samecurvefortheaxialcells,showingaphaseshiftofthenadir,duetothespatialbellshapedformofthecaudalfin.

Fig.3.RepresentationofdifferentwavesfromvanderPoloscillatorsimulations(from[15]),fromthesymmetrictype(left,form=0.4,v=1,b=4)tothe relaxationtype(right,form=4,v=1,b=4).

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Fig.5.(Coloronline.)a:vanderPolsignal[15]fitting(inblue)thesinglecardiaccellactivity[17](inwhite);b:ECGsignalsrecordedfordifferent electrophysiologicderivations(from[18]),withindication(inred)ofthebaseline.

Fig.6.(Coloronline.)a:ECGsignal(V2derivation);b:decompositionintotwotemporalprofilesrespectivelyofperiodTandT/2,whosecorresponding functionsareorthogonalfortheintegralon[0,T[ofthevectorproduct;c:representationofdifferentvanderPollimit-cycles,fordifferentvaluesofm(from m=0.01inred,tom=4,withv=b=1);d:FourierdecompositionoftheECGsignal(V5derivation),showingthereconstructionprocessuntilthe17th harmonics;e:representationofarelaxationwavefromvanderPoloscillatorsimulations[15],form=2.24,v=1.6,b=3.