Devoir surveillé n˚3 - 25/11/2016

Terminale S

Devoir surveillé n˚3 - 25/11/2016

EXERCICE 1 (5 points)

Résoudre dans C les équations suivantes d’inconnues z.

1. (2 + 4i)z + 5 = (5 + i)z + 3i.

2. 3(1 + i)z = 1 − iz

• • •

EXERCICE 2 (6 points)

On considère le nombre complexe Z définie de la façon suivante :

Z = z

+ 4z + zz +

où z est le conjugué du nombre complexe z.

1. Si l’on note x + iy l’écriture algébrique de z (x et y réels), prouver que l’écriture algébrique de Z est 2x

+ 4x +

+ i(2xy + 4y).

2. Si Re(z) = −

, le nombre complexe Z est-il imaginaire pur ? Pour tout y ∈ R , le nombre z = −

+ iy permet-il à Z d’être imaginaire pur ?

3. Donner tous les nombres complexes z rendant Z imaginaire pur.

4. Déterminer les nombres complexes z qui permettent à Z d’être réel.

• • •

EXERCICE 3 (6+1 points)

Soit f la fonction définie sur [ − 1; 2] par : f (x) = x √ 4 − x

On note C

la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O; − → i ; − → j ).

1. (a) Justifier que la fonction f est dérivable sur [ − 1; 2[.

(b) BONUS : Prouver que f (x) − f (2) x − 2 = − x

r

2 + x

2 − x , pour tout x ∈ [ − 1; 2[.

(c) En déduire l’étude de la dérivabilité de f en 2.

2. Montrer que, pour tout x ∈ [ − 1; 2[, f

(x) = 2(2 − x

)

√ 4 − x

. 3. En déduire les variations de f sur [ − 1, 2].

4. Déterminer l’équation de d, la tangente à C

en O.

• • •

EXERCICE 4 (14 points)

Soit la fonction f définie sur R \{ 1 } par :

f(x) = x

+ 1 x − 1 . On note C

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit u la fonction définie sur R par : u(x) = 2x

− 4x

+ 2x − 1.

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1. Déterminer u

, puis dresser le tableau de variation de la fonction u sur R . On donne u 1

3

= − 19 27 . 2. Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet sur R une unique solution α comprise entre 1 et 2.

3. Déterminer un encadrement à 10

près de α.

4. Déterminer le signe de la fonction u sur R . Partie B : Étude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f en + ∞ , en −∞ et en 1.

2. Montrer que pour tout x ∈ R \{ 1 } , f

(x) = u(x) (x − 1)

. 3. En déduire le tableau de variation de f .

Partie C : Position de deux courbes à l’infini et position relative 1. On note P la parabole représentant la fonction carrée. Calculer lim

x→+∞

f (x) − x

. Comment peut-on interpréter graphiquement ce résultat ?

2. On considère l’algorithme ci-contre.

Que calcule cet algorithme ? Qu’affiche-t-il comme résultat ?

Variables : X nombre entier X prend la valeur 2

Tant que 1

X − 1 > 10

faire X prend la valeur X + 1 Fin Tant que

Afficher X

• • •

EXERCICE 5 (6.5+2 points)

On étudie les oscillations (supposées non amorties) d’un pendule élastique vertical constitué d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k, auquel on accroche un solide de masse m = 0, 1 kg.

Le ressort s’allonge et un équilibre est atteint. Puis, on étire le ressort verticalement et on le lâche.

La position du centre d’inertie du solide est repérée par x (en mètres) en fonction de t (en secondes).

Un enregistrement de 3 secondes a donné la représentation graphique suivante :

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D’après le graphique ci-dessous, on prend comme valeur : x(0) = 0, 1 et x

(0) = 0.

1. Pour t > 0, on définit la fonction x par :

x(t) = α sin(2πt + ϕ) avec 0 6 ϕ 6 π et α est un nombre réel strictement positif.

(a) Pour tout t de [0; + ∞ [, calculer x(t + 1). Que peut-on en déduire sur la périodicité de la fonction x ?

(b) Déterminer α et ϕ.

2. Étudier le signe de x

(t) sur [0; 1]. En déduire les variations de x sur [0; 1].

3. BONUS : L’équation que vérifie l’abscisse x du centre d’inertie du solide, appelée équation diffé- rentielle, s’écrit :

mx

(t) + kx(t) = 0 , où x

désigne la fonction dérivée de la fonction x

. Calculer la valeur de la constante de raideur k du ressort.

• • •

EXERCICE 6 (2.5+2 points)

On considère la fonction h définie sur R par

h(x) = (sin(x) + cos(x))

1. Après avoir justifié rapidement la dérivabilité de h sur R , calculer h

(x) pour tout x réel.

2. BONUS : Déterminer les valeurs de ] − π; π] pour lesquelles h

(x) s’annule.

Rappel : quelques formules de trigonométrie pouvant être utiles

• ∀ x ∈ R , sin

(x) + cos

(x) = 1 ;

• ∀ x ∈ R , sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ;

• ∀ x ∈ R , sin(x +

) = cos(x).

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