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(1)

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Les boules !

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Fin de partie

Magazine trimestriel n° 54 Octobre–Décembre 2004

ISSN 1142-2785 – 8 Euros e

a Qu

d r a t

(2)

Les boules !

par Jean-Baptiste Hiriart-Urrutyet Michel Pradel

Nous étudions le comportement en fonction de la dimension n d’éléments des boules associées aux normes.1, .2et.deRn, tels que le nombre de sommets, le diamètre et le volume. Le cas du volume de la boule-unité associée à la norme euclidienne .2deRnest exploré en détail.

I Introduction

Ce sont dans les formations de mathématiques de niveau Bac+2 ou Bac+3 que les étudiants sont mis face aux trois normes de base.1,.2et.deRn et aux boules-unités qui leur sont associées :

B1(n) :=

x=(x1, . . . ,xn)∈Rn| n

i=1

|xi| ≤1

, (1) B2(n) :=

x=(x1, . . . ,xn)∈Rn| n

i=1

xi2≤1

, (2) B(n) := x=(x1, . . . ,xn)∈Rn| max

i=1,...,n|xi| ≤1

. (3) Pour soutenir leur intuition et les guider dans les cal- culs, il leur est souvent conseillé – avec raison – de faire des dessins, c’est-à-dire de s’appuyer sur ce qui est observable lorsque la dimension n vaut 1, 2 ou 3. Toutefois, lorsque n ≥ 4 et, plus spécifique- ment, quand n −→ ∞, l’aspect et le comportement d’éléments de ces boulesBi(n), tels que le nombre de sommets ou le volume, ne sont pas si faciles à devi- ner et s’avèrent, parfois,contraires à l’intuition. Dans cette note, nous illustrons cet état de fait par quelques exemples, notamment en considérant le comporte- ment du volume deB2(n) avec n. Ces « bizarreries » lorsque n −→ ∞ sont aussi une préparation à la di- mension infinie, contexte qui ne manque pas de dé- router les étudiants de prime abord.

Notations. Rn est muni du produit scalaire cano- nique noté., . ; la norme euclidienne associée est no- tée .2; les deux autres normes.1 et. de Rn sont celles (usuelles) que l’étudiant-lecteur connaît, et qui apparaissent dans les définitions (1) et (3).

*Université Paul Sabatier de Toulouse.

Par volume (ou volumen-dimensionnel) deBi(n) nous entendons la mesure de Lebesgue deBi(n).

Si C est une partie convexe compacte non vide deRn, lafonction d’appuiσCdeCest définie comme suit :

d∈Rn−→σC(d) := max

xCx,d . (4) Dans la définition deσC(d), prendre le maximum de x,d « pour xC» revient au même que « pour x sommet (ou point extrémal) deC».

LorsqueC etDsont deux parties convexes com- pactes (non vides) de Rn telles queCD (c’est la seule situation que nous considérerons), la distance dite de HausdorffentreCetDest

H(C,D) :=max

xD d(x,C), (5) où d(x,C) désigne la distance de x à C. Il s’avère qu’il y a une manière agréable (et facilitant les calculs) d’exprimer∆H(C,D) à l’aide des fonctions d’appui de CetD(voir la figure 1) :

H(C,D) := max

d2=1D(d)−σC(d)}. (6) Pour ce type de résultats, voir le chapitre C de [2] par exemple.

II Les boules B

1

(n) et B

(n)

II.1 La boule-unitéB1(n)

La boule-unité B1(n) est un polyèdre convexe compact de Rn dont voici quelques éléments carac- téristiques :

• B1(n) a exactement 2n sommets, ceux repérés par (0, . . . ,±1, . . . ,0).

(3)

Octobre–Décembre 2004 9

HH

Y AAAAAA *

@@R d

d

d C

σC(d)

@@

@@

@@

@@

@

d

@@R d

@@R HH

HH H

HH H

C

D

Illustration de (6)

Figure 1. La fonction d’appui, la distance de Hausdorff.

• La fonction d’appui deB1(n) est

d=(d1, . . . ,dn)∈Rn−→σB1(n)(d)= max

i=1,...,n|di|, c’est-à-dired.

• Le diamètre de B1(n) est constant et vaut 2 (c’est la distance entre deux sommets opposés).

• B1(n) peut être partitionné en 2n simplexes (dans chaque orthant deRn), chacun de volume

1

n!; le volume totalV1(n) deB1(n) est donc V1(n)= 2n

n!· (7)

Ainsi, V1(n) décroît avecn, tend vers 0 quand n−→+∞, et même

+∞

n=1

V1(n)=e2−1=6,389 056. (8)

II.2 La boule-unitéB(n)

La boule-unité B(n) est un polyèdre convexe compact deRndont on donne également quelques élé- ments caractéristiques :

• B(n) a exactement 2n sommets, ceux repérés parx=(x1, . . . ,xn) avecxi∈ {−1,+1}pour tout i=1, . . . ,n.

• La fonction d’appui deB(n) est

d =(d1, . . . ,dn)∈Rn−→σB(n)(d)=

i=1,...,n

|di|, c’est-à-dired1.

• Le diamètre deB(n) est 2√

n(c’est la distance entre deux sommets opposés), il tend vers +∞

quandn−→+∞.

• Le volumeV(n) deB(n) est

V(n)=2n, (9) il tend donc vers+∞quandn−→+∞.

Bien que « duales l’une de l’autre », notamment vialeurs fonctions d’appui, les boulesB1(n) etB(n) ont des éléments dont le comportement quand n −→ +∞est radicalement différent. Observons tout d’abord que la distance de Hausdorff entre B1(n) et B(n) tend vers+∞quandn −→ +∞. En effet, sui- vant ce qui a été rappelé en (6),

H

B1(n),B(n)

= max

d2=1



n i=1

|di| − max

i=1,...,n|di|

 ; ce maximum est atteint end=

1

n, . . . , 1n , d’où

H(B1(n),B(n))= n−1

n · (10) En ce qui concerne le nombre de sommets en fonc- tion de n, il y a une différence notable entre B1(n) etB(n), différence qui ne se perçoit pas pourn ≤3.

Lorsquencroît, le nombre de sommets deB1(n) croît de manièrelinéaire(en passant deRnàRn+1on ajoute en fait deux nouveaux sommets), tandis que le nombre de sommets deB(n) croîtexponentiellement(en pas- sant deRn àRn+1 on reproduit deux copies des som- mets précédents). La figure 2 illustre ce procédé :

En tirant l’élastique AB (boule B1(1)) de chaque côté dans la dimension ajoutée, on crée la membraneABCD(bouleB1(2)) ; en écartant cette membrane dans la dimension ajoutée, on crée le solideABCDEF(bouleB1(3)).

En copiant deux fois le segment AB ( bouleB(1)) dans la dimension ajoutée, on crée la plaque A1B1A2B2 ( bouleB(2)) ; en duplicant deux fois cette plaque dans la dimension ajoutée, on crée le solide A1B1A2B2A3B3A4B4 ( bouleB(3)).

En optimisation combinatoire où on peut avoir à minimiser une fonction coût sur les sommets deB1(n) ou deB(n), on parle de « croissance polynomiale » dans le premier cas et « d’explosion combinatoire » dans le deuxième.

(4)

A B

A B A B

D

C

A B

D

C E

F

A1 A2

B1 B2

A1 A4

B1 B4

A2

x1

x1

x1

x1

x1

x1

x2

x2

x2

x2

x3

x3

Figure 2. Évolution avec la dimension des sommets deB1(n) etB(n).

III La boule B

2

(n)

III.1 Premières observations

La boule-unitéB2(n) est intermédiaire entreB1(n) et B(n) puisque B1(n) ⊂ B2(n) ⊂ B(n). Le comportement de ses éléments caractéristiques quand n −→ +∞est-il plus proche de celui des éléments de B1(n) ou de celui deB(n) ?

Premières observations :

• B2(n) est une partie convexe compacte parfaite- ment « lisse », au sens où tous les points de sa fron- tière (la sphère-unité donc) sont des points extrémaux (i.e.aucun de ces points ne se trouve à l’intérieur d’un segment de droite contenu dansB2(n)).

•La fonction d’appui deB2(n) est

d=(d1, . . . ,dn)∈Rn−→σB2(n)(d)= n

i=1

di2, c’est-à-dired2.

•Le diamètre deB2(n) est constant et vaut 2 (c’est la distance entre deux points extrémaux opposés).

•Distances de HausdorffàB1(n) etB(n).

Selon (6),

H(B1(n),B2(n))= max

d2=1





n

i=1

di2− max

i=1,...,n|di|

,

H(B2(n),B(n))= max

d2=1





n i=1

|di| − n

i=1

di2

, et il n’est pas difficile de montrer que le maxi- mum dans ces expressions est également atteint en

d=

1

n, . . . , 1n , d’où :

H(B1(n),B2(n))=1− 1

n −→n→∞1, (11)

H(B2(n),B(n))= √

n−1−→n→∞+∞. (12) Le volume deB2(n) a, lui, un comportement curieux en fonction den; il mérite qu’on s’y attarde un peu.

III.2 Variation du volume deB2(n) en fonction de n

Les techniques de calcul du volume deB2(n) sont variées et classiques dans un cours de Calcul intégral : coupes deRn en Rn2 ×R2 ou Rn1 ×R et intégra- tions par couches successives (d’où relations de ré- currence et utilisations du théorème de Fubini) ; trans- formations par passages aux coordonnées polaires ou sphériques (et utilisation de propriétés des détermi- nants), etc. Une autre méthode, mise au goût du jour plus récemment, fait appel à la transformation de Laplace [3]. Quoi qu’il en soit, le résultat est le sui- vant :

V2(n)= πn2 Γn

2+1 = 2πn2 nΓn

2

, (13) oùΓdésigne la fonction gamma d’Euler

Γ(x)=

+∞

0

ettx1dtpour tout x>0

.

Dans une forme plus édulcorée, V2(2p)= πp

p!, V2(2p+1)= 2p+1πp

(2p+1)(2p−1). . .5.3.1· (14)

(5)

Octobre–Décembre 2004 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 2 3 4 5 6

s s

s

s s s

s s

s s

s s

s s s s s s s s

V2(n) ( symbole:)

c c

c c

c c c c c c c c c c c c c c c c

V1(n) ( symbole:)

Figure 3. Évolution avec la dimension du volume deB1(n) et deB2(n).

Grâce à la formule de Stirling (Γn

2+1

∼ √ πnn

2e

n2 quandn−→ ∞) on voit que

V2(n)−→0 quandn−→ ∞. (15) Plus curieuse est la variation de V2(n) avec n.

L’étude des quotients V2(2p)/V2(2p+1) et V2(2p− 1)/V2(2p) conduit au résultat suivant :

V2(n) croît avecnjusqu’àn =5, décroît avecn pourn≥5.

Ainsi, maxn1V2(n) = V2(5) = 815π2. Pourquoi ce rôle particulier dévolu à n = 5 ? Mystère... Si on compare V2(n) au volumeV1(n) de la boule-unité B1(n) (voir Sect. II.1), on note que V1(n)/V2(n) −→

0 quandn−→ ∞. La figure 3 représente les variations deV2(n) etV1(n) en fonction den.

Il vient de (14) que la série de terme général V2(2p), p ≥ 1, est convergente, avec

p=1V2(2p) = eπ − 1. En raison de la décroissance de V2(n) pour n ≥ 5 on a donc que la série de terme général V2(n), n ≥ 1, est convergente. Quelle est donc sa somme ? Il ne reste plus qu’à sommer lesV2(2p+1), p ∈ N. La technique pour cela est la même que pour som- mer tous lesV2(n),n≥ 1, et c’est donc cette dernière somme que nous allons calculer. Le résultat présenté ci-dessous n’est pas nouveau, il figure dans [1] et [4], entre autres.

Théorème. Soit V2r(n) le volume d’une boule de rayon r >0pour la norme.2. Alors

n=1

V2r(n) = eπr2

2 r

0

e−πt2dt+1

−1

= 2eπr2 r

−∞e−πu2du−1

= 2eπr2 +∞

r

e−πv2dv−1.

(16)

Ainsi, n=1

V2(n) = eπ−1+2eπ 1

0

e−πt2dt

= 44,999 326.

(17) Démonstration. Bien évidemment V2r(n) = V2(n)rn. On va donc considérer la série entière de terme gé- néral V2(n)rn, et faire apparaître sa somme θ(r) :=

n=1V2(n)rn comme solution d’un problème de Cauchy scalaire.

On a : θ(r)=

n=1

πn2 Γn

2+1nrn1 =2+

n=2

πn2 Γn

2+1nrn1 (18)

puisque Γ3

2

= 12Γ1

2

= 2π

. En faisant le change- ment d’indices m = n−2 dans (19), et sachant que Γ(x+1)= xΓ(x), on arrive à

θ(r)=2+2πr(1+θ(r)).

Comme θ(0) = 0, la résolution de l’équation diffé- rentielle ci-dessus conduit à la première expression de (17). Les deux autres variantes résultent du fait que

+∞

−∞ e−πt2dt=2 +∞

0

e−πt2dt=1.

Références

[1] L. Badger, « Generating the measure ofn-balls », Amer. Math. Monthly107(2000) 256–258.

[2] J.-B. Hiriart-Urruty and C. Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, Grundlehren Text Editions, Springer, 2001.

[3] J.B. Lasserre, « A quick proof for the volume of n-balls », Amer. Math. Monthly 108 (2001) 768-769.

[4] D.J. Smith and M.K. Vamanamurphy, « How small is the unit ball? », Math. Magazine 62 (1989) 101–107.

(6)

Q U A D R A T U R E Q U A D R A T U R E

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