ECE1 Année 2016-2017 Fiche d’exercices : Variables aléatoires Exercice 1 : (

ECE1 Année 2016-2017

Fiche d’exercices : Variables aléatoires

Exercice 1 : (∗)

Dans les cas suivants reconnaître la loi de X, donner sa loi, son espérance et sa variance.

1. Alfred achète 20 marrons à un forain. Chaque marron à la probabilité ¹₃ d’être véreux. X est la variable aléatoire égale au nombre de marrons véreux achetés.

2. Un concierge étourdi ne reconnait plus dans son trousseau la clé qui ouvre sa porte. Il a dix clés, il les essaye une a une. X est la variable aléatoire égale au nombre de tentatives effectuées lorsqu’il réussit à ouvrir sa porte.

3. On dispose de 10 dés dont 4 côtés sont numérotés 1 et les autres 0. On lance ces 10 dés simultanément.

X est la variable aléatoire égale à la somme des résultats qui apparaissent.

4. On lance un dé honnéte, jusqu’à obtenir pour la première fois le nombre 6, X est le nombre de tirages nécessaires.

5. Une urne contient dix boules numérotées de 1 à 10. On retire une à une les boules de l’urne. X est la variable aléatoire égale on numéro du tirage où l’on obtient la boule 10.

6. On sait qu’en France, il y a 10% de gauchers. SoitX la variable aléatoire égale au nombre de gauchers dans une classe de 40 élèves.

7. Dans une usine, une machine fabrique des composants électroniques. Chaque composant a la probabilité

1

100 d’être défectueux. La machine fabrique 50 composants en une heure.

X est la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux fabriqués en une heure.

8. On effectue des lancers successifs d’un dé non truqué. X est le nombre de lancers effectués lorsque l’on obtient pour la première fois deux 6 de suite.

Exercice 2 : (∗∗)

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. n joueurs lancent simultanémentn pièces équilibrées. On considère qu’un joueur gagne s’il obtient le contraire de tous les autres.

1. Les joueurs lancent leurs dés. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de joueurs obtenant « face ».

Déterminer la loi deX.

2. SoitA l’évènement « un joueur est gagnant ». Exprimer Aen fonction d’évènements relatifs à Z. En déduireP(A).

Exercice 3 : (∗∗)

Un cancre répond au hasard à un QCM de 20 questions. Chaque question a trois réponse possibles dont une seule est juste.

1. Si X est la variable aléatoire égale à la note du cancre, quelle est la loi de X ? son espérance ? 2. On suppose que le correcteur enlève ¹₂ point par réponse fausse. Soit Y la note ainsi obtenue.

EcrireY en fonction deX. En déduireE(Y).

1

Exercice 4 : (∗ ∗ ∗)

On considère une urne contenant initialement 2 boules bleues et une boule blanche. On effectue une succession de tirages avec remise dans cette urne. Et on considère un espace probabilisé (Ω,A, P) qui modélise l’expé- rience.

PARTIE I

1. On considère la variable aléatoireS₁ égale au nombre de tirages effectués lorsque l’on obtient pour la première fois la boule blanche.

Reconnaitre la loi de la variable aléatoireS₁. Donner son espérance et sa variance.

2. On note S₂ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués lorsque l’on obtient pour la deuxième fois la boule blanche.

On note de plus T₁ la variable égale à S₁ et T₂ la variable aléatoire égale au nombre de tirages supplémentaires effectués pour obtenir une deuxième boule blanche après avoir obtenu la première.

Ainsi, par exemple, si les 10 premiers tirages amènent :

bleu ; bleu ; blanc ; bleu ; bleu ; bleu ; bleu ; bleu ; blanc ; bleu on aT1=S1= 3, S2= 9etT2= 6.

(a) Déterminer la loi deT2 et donner son espérance et sa variance.

(b) Justifier brièvement que les variables aléatoiresT1et T2 sont indépendantes.

(c) Expliquer pourquoiS2=T1+T2.

En déduire la loi deS2. Et déterminer son espérance.

PARTIE II

On définit à présent, pour un entier n∈Nfixé, la variable aléatoireS_n égale au nombre de tirages effectués lorsque l’on obtient pour lan-ème fois la boule blanche.

On note toujoursT₁la variable aléatoire égale àS₁et on définit également, pour tout entierk>2, la variable aléatoireT_kégale au nombre de tirages supplémentaires nécessaires pour obtenir lak-ème boule blanche après avoir obtenu la(k−1)-ème.

1. (a) Reconnaitre pour tout entierk>2la loi deTk et donner son espérance.

(b) En exprimantSn en fonction deT1, . . . , Tn, déterminer l’espérance deSn. 2. (a) DéterminerSn(Ω).

(b) Soitkun entier supérieur ou égal à 2 etXkla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors desk−1 premiers lancers.

Quelle est la loi deXk.

(c) En déduire que pour toutk>n, on a :P(S_n=k) = Çk−1

n−1 å2^k−n

3^k .

2

Exercice 5 : (∗ ∗ ∗)

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur (Ω,A, P) telle que pour tout entiern,P(X > n)>0. On suppose que X(Ω) =N^∗.

On dit queX est sans mémoire lorsque :

∀n∈N,∀k∈N^∗, P_(X>n)(X > n+k) =P(X > k)

On veut démontrer que la variable aléatoireX est géométrique si et seulement si elle est sans mémoire.

I SoitX une variable aléatoire discrète à valeurs dans N^∗ telle que pour tout entier natureln, P(X >

n)>0.

On suppose également queX est sans mémoire. On notep=P(X = 1)et q= 1−p. On suppose que p >0.

(a) Montrer queP(X >1) =q. En déduire que0< q <1.

(b) Montrer que pour tout entiernet tout entierknon nul,

P(X > n+k) =P(X > n)P(X > k)

(c) Pour tout entiern, on poseun =P(X > n).

i. Montrer en utilisant la relation précédente que la suite (un)_n∈N est géomètrique.

ii. En déduire l’expression, pour tout entiernnon nul deu_n en fonction den.

iii. Donner, pour tout entier n non nul l’expression de P(X = n) en fonction de P(X > n) et P(X > n−1).

En déduire queX suit une loi géométrique de paramètrep.

II Réciproquement, soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. On se propose de montrer queX est sans mémoire.

(a) Montrer que pour tout entiern,P(X6n) = 1−(1−p)ⁿ. (b) En déduireP(X > n).

(c) Justifier que pour tout couple(n, k)d’entiersnnon nuls,

P_(X>n)(X > n+k) = P(X > n+k) P(X > n) (d) Montrer que X est sans mémoire.

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