ECS2 2020/2021
Mathématiques
Exercices pour s’amuser un peu pendant les vacances
(
et se préparer aussi à la rentrée)Ces exercices sont destinés à effectuer un travail de révision sur certaines des no- tions de base d’analyse de première année. Une évaluation à la rentrée portera notam- ment sur les sujets abordés dans cette feuille, et certaines questions pourront même être directement choisies parmi les exercices qui suivent.
EXERCICE1:Étude de fonctions
Étudier les fonctions suivantes (ensemble de définition, sens de variation, lim- ites).
1o) f(x)= ex2 px+2. 2o) f(x)=ln¡
ex+2e−x¢ . 3o) f(x)=xx.
EXERCICE2:Suites
1o) (un)n>0est la suite définie paru0=0 et∀n∈N,un+1=5un−2 un+2 .
a) Montrer que (un)n>0est bien définie et queun>1 pour tout entiern>3.
b) En déduire que l’on peut définir une suite (vn)n>0en posantvn=un−2 un−1. c) Montrer que (vn) est une suite géométrique.
d) En déduireunen fonction den, puis calculer lim
n→+∞un.
e) Écrire un algorithme Scilab permettant de vérifier numériquement que la suite (vn) est bien géométrique.
2o) Exprimerunen fonction dendans les cas suivants : a) u0=2,u1= −1 et∀n∈N, 4un+2−4un+1+un=0.
b) u5=1
2et∀n∈N, un un+1 = −4.
c) u1=3 et∀n∈N∗,un+2un+1= −2.
d) u8= −1 et∀n∈N,un−un+1=4.
e) u0= −1,u1=1 et∀n∈N∗, 2un−1+un+1=0.
EXERCICE3:Calcul d’intégrales Calculer les intégrales suivantes : 1o)
Z 1 0
p1−xdx.
2o) Z 1
0
e−pxdx à l’aide du changement de variablex=t2.
3o) Z a
0
s 1−t2
a2 dt à l’aide du changement de variablet=asin(x).
4o) Z 3
1
e−2t¡
1+t−2t2¢ dt. EXERCICE4:Formules de Taylor
1o) Montrer que lim
n→+∞
n
X
k=1
(−1)k−1
k =ln(2).
2o) a) Montrer que pour toutx>0, arctan(x)=x−2 Z x
0
t(x−t)
¡1+t2¢2 dt.
b) En déduire la valeur de Z 1
0
t2
¡1+t2¢2 dt. EXERCICE5:Séries
1o) Donner la nature des séries de terme généralun dans les cas suivants, et cal- culer si possible leur somme :
a) un=ln µ
1+1 n
¶ . b) un=¡
n2+1¢ e−n. c) un=3n
n . d) un=1−3n
n! . e) un= an
1+an oùa>0.
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ECS2 2020/2021 2o) a) Montrer que la série de terme généralun =(−1)n
µ1 n+ 1
n+1
¶
n’est pas absolument convergente.
b) Montrer que pour toutN>1,
N
X
n=1
un= −1+(−1)N N+1.
En déduire que la série de terme généralun converge et déterminer sa somme.
EXERCICE6:Intégrales généralisées
Étudier la convergence des intégrales suivantes : 1o)
Z +∞
0
arctan(x) 1+x2 dx.
2o) Z +∞
0
t2+2 t4+1dt.
3o) Z +∞
2
1 4−t2 dt.
4o) Z +∞
0
1 x3+p
x dx.
5o) Z +∞
0
e−t¡
1−e−t¢n
dt (on calculera la valeur de l’intégrale en cas de conver- gence).
EXERCICE7:Variables à densité 1o) Soitf définie parf(t)=
(λ2te−λt sit>0
0 sinon.
a) Déterminer la constante réelleλpour que f soit une densité de proba- bilité d’une variable aléatoireX.
b) Déterminer la fonction de répartition deX. 2o) f est définie surRparf(x)=
2
(x+1)3 six>0
0 sinon.
a) Montrer que f est une densité de probabilité d’une variable aléatoireX puis déterminer sa fonction de répartition.
b) Montrer queXadmet une espérance et déterminerE(X).
3o) X suit une loi uniforme sur [0, 1] et on poseY =X2+X+1.
a) Montrer queY admet une espérance et déterminerE(Y).
b) On admet que Y admet pour densité la fonction
f : x7→
p 1
4x−3 si 16x63
0 sinon
.
i. Vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité.
ii. Montrer queY admet une espérance et calculerE(Y).
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