Td corrigé ECOULEMENTS POTENTIELS BIDIMENSIONNELS pdf

GALICHET François GUILLEUX Damien

REDACTION D’EXERCICES DE MECANIQUE

DES FLUIDES

ECOULEMENTS POTENTIELS BIDIMENSIONNELS

1– Source

Exercice

Soit le potentiel complexe F(z) = c.ln(z) On pose z = r.e^i

1 – Déterminer la partie réelle et la partie complexe du potentiel complexe F(z) ? En déduire la schématisation de ce potentiel.

2 – Déterminer la vitesse complexe w(z) liée à F(z) ? 3 – Déterminer le débit q de ce potentiel ?

En déduire l’expression de la constante c.

1 – Le potentiel complexe F(z) = c.ln(z) F(z) = c.ln(r.e^i)

F(z) = c.ln(r) + i.c. , i étant un complexe

Or F(z) = (z) + i.(z) Donc (z) = c.ln(r) (z) = c.

2 – La vitesse

dz z z dF

w ( )

) ( 

w(z) = r c

w(z) = ^ei r c. donc

w(z) = (ur – i.u). e^i avec ur = r c

u = 0 3 – le débit q = ²



0

. .rd u_r

q = ²



0

.d c Donc q = 2..c

D’où _

. 2 c q

ECOULEMENTS TURBULENTS

y

u u

ur

r

x

Une galerie de section circulaire dont la longueur est 4 km est destinée à amener en charge un débit de 50 m³/s d’eau à une centrale hydroélectrique. Brute de perforation, elle présente un diamètre moyen égal à 5 mètres et des aspérités dont les dimensions moyennes sont de 0,6 m. On envisage de la revêtir de béton, dont la mise en place coûte 450 FHT/m³, ce qui ramènerait son diamètre à 4,80 m, mais en éliminant les aspérités, lui assurerait un coefficient de perte de charge égal à 0,02.

Sachant que l’on ne veut pas consacrer à cette opération plus de dix fois l’économie annuelle d’énergie ainsi réalisée et calculée sur la base de 0,53 FHT le kWh et d’une durée annuelle de fonctionnement égale à 6 000 heures, déterminer s’il y a lieu de bétonner.

1/ Galerie non bétonnée

La puissance utile Pu = P * Qv , P étant les pertes de charges Qv le débit

Le nombre de Reynolds Re = ^_^.D = 1,06.10⁷ La permittivité relative r =

D

 = 6

6 ,

0 = 0,1  on obtient  = 0,1 à l’aide du diagramme de Moody

Avec Colebrook simplifié :

D . 71 , log3 .

1 2 

   = 0,101 On en déduit

Pnon bétonné = .

D L .

2 .u²



Pnon bétonné = 0,101 . 6

4000 .10³. 4

6 . 50

 2

Pnon bétonné = 1,05.10⁵ Pa On peut alors calculer

Punon bétonné = P.Qv

Punon bétonné = 1,05.10³ * 50

Pu

= 5,2.10

kW

Pour une galerie non bétonnée, la puissance à fournir est 5200 kW

2/ Galerie bétonnée (lisse).

Les pertes de charges P = .

D L .

2 .u²



P = 0,02.

2

2 3

4 8 , 4 .

50 2

10 80 , 4 4000



















P = 6,36.10

Pa

Pubétonnée = P * Qv = 6,36.10⁵ * 50 Pubétonnée = 3181 kW

Pu = Punon bétonnée - Pubétonnée

Pu = 5200 – 3200

La puissance Pu économisée en bétonnant la galerie est de 2000 kW.

Calculons l’énergie que représente cette puissance économisée.

W = Pu. t W = 2000 . 6000

W = 12.10

kWh

Le prix de cette énergie P = 12.10⁶ * 0,53 P = 6,36.10⁶ FHT Sur 10 ans, l’économie est 6,36.10⁷ FHT

Or le prix du béton utilisé pour coffrer la galerie est Pbéton = Vbéton . Prix du béton/m³ Soit Pbéton = 1,8.10⁷ FHT

Ce qui représente

une économie de 45,6 millions de francs hors taxes.

Ainsi le choix est indiscutable : il faut bétonner la galerie.

ANALYSE DIMENSIONNELLE : application du théorème de Vaschy- Buschingham

Un nombre sans dimension est un rapport entre deux grandeurs ou groupements de grandeurs ayant la même dimension. Le théorème de Vaschy-Buschingham permet de connaître la dimension d’une grandeur u en fonction de n grandeurs indépendantes.

1 – Le déversoir

Un bac est alimenté en eau à l’aide d’une pompe et sur un coté, une ouverture est réalisée. La forme de cette ouverture est modifiable : elle peut être rectangulaire ou triangulaire.

Exercice 1 : ouverture à forme rectangulaire.

Déterminer la dimension du débit surfacique qv = L Q_v

en fonction des grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, la largeur L et la pesanteur g.

1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent 3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le temps T.

2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des différentes grandeurs :

3/ Posons la matrice B =





















0 2 0

1 0 0

3 1 1

w₁ Hw₂ gw₃ a

q_vL₁ L11-32L₂ M0010L₃ T0- 20-1

L

H

4/ D’après le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs adimensionnelles est :

k = n – rang(B) k = 3 – 3 k = 0

Ce résultat permet de conclure qu’il n’y a pas de 1 donc 1 = 0.

5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver l’expression de .

On sait que B. y = - a avec y = y1

y2

y3

y4

On obtient le système d’équations suivant : y1 + y2 - 3.y3 = -2

y3 = 0 -2 y2 = 1 y1 = -3/2

y2 = -1/2 y3 = 0

6/ Déterminons la valeur de 

 = u.w1y1.w2y2.w3y3

 = qv.H^-3/2.g^-1/2.⁰ Or qv =

L Q_v

Soit Qv =  (1 = 1).L.H^3/2.g^1/2 Donc

Qv = K.L.H^3/2.g^1/2 avec K une constante Application :

De nombreux barrages sont constitués de trappes rectangulaires actionnées à l’aide de vérins. En connaissant la largeur du barrage et la hauteur du niveau d’eau du barrage suivie à l’aide d’un capteur, il est possible de déterminer le débit d’eau souhaité se déversant dans la rivière.

Exercice 2 : ouverture à forme triangulaire.

Déterminer la dimension du débit surfacique qv = L Q_v

en fonction des grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, l’angle d’ouverture  et la pesanteur g.

1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent 3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le temps T.

2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des différentes grandeurs :

3/ Posons la matrice B =

















2 0 0

0 0 0

0 1 1

4/ D’après le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs adimensionnelles est :

w₁ Hw₂ gw₃ a

Q_vL₁ L1103L₂ M0000L₃ T0- 20-1

 H

k = n – rang(B) k = 3 – 2 k = 1

Ce résultat permet de conclure qu’il y a un  et un i sachant que 1 = w1x1.w2x2.w3x3. Et B. x = 0

En calculant B. x = 0, on obtient x x1 = 0 x2 = 0 x3

D’où 1 = H⁰.g⁰. ^x3 1 = ^x3

5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver l’expression de .

On sait que B. y = - a avec y = y1

y2

y3

y4

D’où y1 = -5/2 y2 = -1/2 y3  

6/ Déterminons la valeur de 

 = u.w1y1.w2y2.w3y3

 = Qv.H^-5/2.g^-1/2.^y3 = f(1) = f(1=^y3) Donc Qv = H^5/2.g^1/2. y3.f()

D’où

Qv = H^5/2.g^1/2.h() Application :

Si  et g sont constants alors Qv = f(H) Qv = K.H^5/2

On peut donc déduire uniquement à partir de H la valeur du débit Qv.

SIMILITUDE DES ECOULEMENTS.

Exercice 1 :

Un bloque de béton de masse M1 = 100 kg, immergé dans l’eau, est entraîné par glissement au fond d’une rivière dès que l’eau atteint une vitesse de 3 m/s.

Quelle doit être la vitesse de l’eau pour faire glisser un bloque semblable de masse M2

= 150 kg?

Hypothèses :

- La masse M2 = 150 kg

- La densité d2 = 3,5

- Le coefficient de frottement f1 = f2 - Le coefficient de traînée Cx1 = Cx2 - La force de frottement Ff = P.f Par définition, la traînée Fx = . .u .S.Cx

2

1 2

 

Le bloque de béton se déplacera lorsque la traînée et la poussée d’Archimède compenseront les forces de frottement.

D’où

2 1 2 1

F F F

F

x

x 

avec Fx1 = . ₁. ₁². . ₁ 2

1

Cx

S u_



Fx2 = . ₂. ₂². . ₂ 2

1

Cx

S u_



F1 = f1.(P - ) avec F2 = f2.(P - ) Or 1 = 2 = air

Cx1 = Cx2

v_ = 3 m/s

F_x1 = ½..u_².S₁.C_x1

M₁ = 100 kg F_frottement

Soit

2 1 2 1

F F F F

x

x  

) .(

) .(

. .

0 1 2 2

0 1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 1











 





L L L u

L u

On a

3 2 150 100 .

.

2 3 2

1 3 1 2

1   



 L

L M M

Et ³

1

1 2 2

1

. 3

. 2 

 







 L

L

³

1

2 1

5 , 2

* 3

5 , 3

*

2 



 



 L L

Le rapport ^0,977

2

1 

L L

De plus

) .(

) .(

0 1 2

0 1 1 2 2

2 1











 





L L u

u

.0,977 )

1 5 , 3 (

) 1 5 , 2 (

2 2

2 1



 





u u

v2 = 3,92 m/s

La vitesse de l’eau devra être supérieure ou égale à 3,92 m/s pour pouvoir entraîner par glissement au fond de la rivière le bloque de béton de masse M2 = 150 kg.

Exercice 2 : la digue

Une digue constituée par un empilement de blocs de béton de masse unitaire M1 1kg est

soumise à la houle. La digue ne subit pas de dommages tant que la hauteur H1 ne dépasse pas 0,30 m.

Quelle devra être la masse minimale M2 des blocs de béton pour que la digue résiste à une houle de hauteur ^H2^6m ?

Résolution :

La jetée commence à se détériorer lorsque le poids apparent P des blocs n’est plus suffisant pour s’opposer aux efforts hydrodynamiques F dus à la houle. On peut donc écrire :

2 1 2 1

F F P

P 

Ces efforts sont proportionnels à la surface apparente des blocs et au carré de la vitesse de l’eau sur les blocs. On a donc :

22 22

12 21

2

1

L V

V L F

F   

Les poids apparents des blocs de même densité étant entre eux égaux aux cubes de leurs dimensions linéaires, d’où :

32 31

2 1 2

1 L

L M M P

P  

On obtient ainsi :

2 1 22 12

L L V V 

La similitude de la houle dans les deux cas nous permet d’écrire l’égalité des nombres de Froude, soit :

2 22

1 12

H g

V H

g V

 

 On obtient ainsi :

2 1 22 12

H H V V 

D’où : 201

H H L L V V

2 1 2 1 22

12   

On a donc un rapport des masses des blocs de béton de : ₃

2 1 201 M

M 

soit : ^{M2203M1} avec : M1 1kg d’où : ^M2 ^8000kg

Exercice 3 : l’hydravion

Une maquette d’hydravion est réalisée à l’échelle ^kG ¹¹⁰. Elle décolle à la vitesse

h km 50

v1  . En négligeant l’influence de la variation du nombre de Reynolds sur le

coefficient de portance CZ, calculer la vitesse v2 du prototype taille réelle.

Résolution :

Le décollage se produit lorsque la portance est égale au poids de l’appareil, d’où :

2 Z

z 21 ρ S V C

F

P     

Comme dans les mêmes conditions, le coefficient CZ ne varie pas et la masse volumique ρ de l’air reste constante, on a :

22 2

12 1 2 1 Z2 Z1

V S

V S P P F F







Le poids de l’hydravion est proportionnel à sa masse volumique et au cube de ses dimensions linéaires, d’où :

L3

ρ P 

En considérant que la maquette et le prototype sont construits dans le même matériau, on peut écrire :

32 31

2

1 LL

P P 

De la même façon les surfaces alaires sont proportionnelles au carrée des dimensions linéaires, d’où :

22 21

2 1

L L S S 

On a donc : ₃

2 31 22 22

21 12

L L L V

L V   

D’où :

2 1 1

2 L

V L

V  

101 L k L

2

G 1  d’où : 50 10

k1 V V

G 1

2    

On trouve ainsi : ^V2 ^158kmh

Exercice 4 : le château d’eau

m 8 D^S

m 4 D^C

s km 180 U

s m 10 15

ν^air  ^{6 2}

air 1,21kg m3

ρ 

Quel est le moment M/0exercé sur le château d’eau par l’écoulement d’air ?

Résolution algébrique :

Nous cherchons le moment exercé sur le château d’eau, exprimé par la formule suivante :

H 2 F 2 ) (H D F

M









Nous connaissons H et D . Il nous faut donc calculer Fs et Fc. Pour cela, on utilise S

les formules suivantes :

Sphx 2S

S 2

) C

4 ( πD 2 ρU

F  1



Cyx 2 C

C ρU (D H) C

21

F    

Dans ces deux équations, nous connaissons tous les termes à l’exception de C^Sph_x ^et C^Cyx ^:

Dε) f(Re, C^x

Il nous font Re :

ν D Re

 U



O H

D

H

U

m 15 H 

Nous avons ainsi en notre possession tous les éléments nécessaires au calcul du moment exercé sur le château d’eau par l’écoulement d’air.

Application numérique :

7 6

3

Sph S 15 810 2,67 10

3600 10 180 νD

Re U     

 

 ^ _  ^{CSphx (2,67107)0,35}

6 7 3

C

Cy 1,33 10

10 15 4 3600

10 180 νD

Re U     

 

 ^ _  C^Cyx (1,3310⁷)0,8

N 10 2,66 0,35

4 ) (π8 50 2 1,21

F^S1  ² ²    ⁴

N 10 7,26 0,8

15) (4 50 2 1,21

F^C1  ²     ⁴

On a donc :

2 10 15 7,26 2)

(15 8 10 2,66

M_/0   ⁴    ⁴ M/0 ^10⁶ N.m