Licence de Mécanique HLME601
Département de Mécanique
Travaux Pratiques n° 3 Cylindre épais
But : Se familiariser avec les concepts de la Mécanique des Milieux Continus. Plus particulièrement:
- mesurer les déformations dans les 3 directions principales;
- reconstruire les déformations sur l’ensemble du domaine;
- reconstruire les contraintes élastiques sur le domaine;
- comparer avec la solution théorique.
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3 1. Introduction
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5 2. Structures et fonctionnement
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8 3. Rappels théoriques
3.1. Un problème statiquement déterminé
Lorsqu’un réservoir à paroi épaisse est soumis à une pression intérieure, un état de contrainte triaxiale apparaît dans la paroi. On entend par paroi épaisse un rapport entre diamètre extérieur et diamètre intérieur d’au moins da/di > 1,2.
Les contraintes principales respectent la géométrie cylindrique et se composent donc des contraintes axiales, tangentielles et radiales (σa,σt,σr).
Le calcul des contraintes axiales est simple. Elles sont dues aux forces de pression exercées sur les extrémités du cylindre et peuvent être considérées comme constantes sur le rayon et la circonférence. Il suffit d’écrire l’équilibre entre la force de pression et la force normale issue de la contrainte axiale,
p π ri2 = σa π (ra2 − ri2)
La détermination des contraintes tangentielles et radiales s’effectuent à partir des seules équations d’équilibre, en volume et sur le bord, sans recourir à la loi de comportement ou aux équations d’admissibilité (remarquer qu’il n’y a aucune condition aux limites en déplacement). Il s’agit d’un problème dit statiquement déterminé. Les contraintes principales sont donc théoriquement déterminées par les formules suivantes,
σa = p ri2
ra2 − ri2 = p (1) σt = p ( ra2
r2 + 1) (2)
σr = −p ( ra2
r2 − 1) (3)
9 3.2. Relation de comportement élastique
Mais on ne mesure qu’exceptionnellement (photoélasticité) des contraintes, mais des déformations grâce à des jauges de déformations. Tant que l’on reste dans le domaine élastique, pour un matériau isotrope comme celui du cylindre étudié, les directions principales de contraintes sont identiques aux directions principales de déformations par les relations suivantes,
σa = k
[
(1−ν) εa + ν (εt + εr)]
(4)σt = k
[
(1−ν) εt + ν (εr + εa)]
(5)σr = k
[
(1−ν) εr + ν (εa + εt)]
(6)avec k = E
(1+ν)(1−2ν). 3.3. Coefficient correcteur
Cependant la mesure de la contrainte radiale dans l’épaisseur se fait au prix d’une modification locale de la géométrie consistant en une rainure de 5 mm de profondeur. La figure illustre le fait que le montage ainsi réalisé surévalue la valeur de la contrainte radiale en diminuant la surface tributaire. Autrement dit, les contraintes radiales mesurées à cet endroit sont sensiblement supérieures aux contraintes radiales situées davantage à l’intérieur du matériau. Cette surélévation peut être corrigée à l’aide d’un coefficient correcteur, qui pour le montage considéré est estimé de la manière suivante,
σr,cor = cor σr,mes avec cor = 0.67 (7)
10 4. Essai et dépouillement
- Mettre en marche l’amplificateur de mesure multivoie et laisser chauffer les deux appareils pendant environ 30 min.
- Lancer le logiciel GUNT FL151 en raccourci sur le bureau.
- Vérifier que la pompe hydraulique est déchargée et faire le zéro (fonction Tare du logiciel).
4.1. Relevé des déformations accessibles à la mesure
- Régler la pression souhaitée à l’aide du levier sur la pompe hydraulique et relever la valeur exacte atteinte.
G
Pression maximale autorisée 70 bars !!- Relever rapidement les valeurs des voies 1 à 11 en contrôlant la stabilité de la pression.
- Décharger l’appareil. Le manomètre doit indiquer 0 bar.
- Répéter le relevé des valeurs des voies à cette pression de 0 bar. La valeur de mesure significative est déterminée à partir de la différence entre les 2 relevés. Il est ainsi possible de compenser les éventuels effets de dérive.
- Reporter les valeurs de déformations accessibles à la mesure dans un tableau de la forme suivante,
Mesures
Rayon Déf. axiale Déf. tangentielle Déf. radiale
r εa εt εr
20 30 40 50 60 70
Les cases grises ou noires représentent les valeurs inaccessibles à la mesure directe ; en gris les valeurs qui pourront être reconstruites à partir des autres mesures.
4.2. Reconstruction des déformations
- Déduire de la condition aux limites en effort sur le bord extérieur et de la troisième relation de comportement l’expression de la déformation radiale sur le bord extérieur en fonction des autres déformations au même endroit,
εr(ra) = ...
- En déduire la valeur numérique et reporter cette valeur dans le tableau.
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- En admettant l’hypothèse que la contrainte axiale est uniforme dans l’épaisseur (), et en utilisant la première relation de comportement, exprimer la déformation axiale pour toute valeur de r en fonction de la contrainte axiale et des autres déformations,
εa(r) = ..., ∀r - Compléter le tableau.
4.3. Evaluation des contraintes « mesurées » et comparaison
En utilisant les expressions des contraintes principales données en rappel et les données géométriques et en effort appliqué au système, compléter le tableau des valeurs numériques théoriques des contraintes principales en quelques coordonnées radiales.
Rayon Contrainte axiale σa Contrainte tangentielle σt Contrainte radiale σr
r mesurée théorique mesurée théorique mesurée théorique
20 30 40 50 60
70 0.00 0.00
A l’aide des relations de comportement et de la correction à apporter à la mesure de la contrainte radiale, calculer les valeurs des contraintes principales issues des mesures et reporter les dans le tableau. Il pourra être utile, en utilisant un tableur, de représenter un graphe des différentes contraintes théoriques et mesurées.
