BUT 1

Jean-David.Delord@univ-eiffel.fr http://jean.david.delord.free.fr

BUT 1

Génie Thermique et Énergie

Techniques Constructives

Calcul de structure

Ce cours de calcul de structure et descente de charges a pour vocation de familiariser les étudiants du B.U.T Génie Thermique et Énergie aux techniques constructives employées en génie civil. Le volume horaire alloué ne permettant pas une approche exhaustive des différents domaines que cela implique, il ne sera abordé que des cas simples ainsi que la mise en place d’hypothèses simplificatrices.

Pour réaliser ce cours je me suis appuyé sur divers documents : Mécanique des solides :

• http://jean.david.delord.free.fr/Dossier_ressource/IUT/semestre_1/mecanique/resume_de_cours_de_mecanique.pdf Résistance des Matériaux :

• Denis DEFAUCHY,

• Pierre-Alain BOUCARD

• http://jean.david.delord.free.fr/Dossier_ressource/IUT/semestre_2/proprietes_resistance_materiaux.pdf Calcul de structure

• Marc LEYRAL et Sylvain EBODE

• Amar KASSOUL

• Hubert CORMIER

Table des matières

1. INTRODUCTION ... 1

2. NOTIONS DE MÉCANIQUE DES SOLIDES ... 2

2.1. Définition ... 2

2.2. Notion de force ... 2

2.3. Différents types de forces ... 2

2.3.1. Action à distance : ... 2

2.3.2. Action de contact : ... 2

2.4. Moment et couple d’une force par rapport à un point fixe ... 3

2.5. Calcul du moment autours d’un point fixe ... 4

2.6. Actions transmissibles par les liaisons cinématiques ... 4

2.7. But d’une étude statique ... 5

2.8. Principe fondamental de la statique (P.F.S) ... 5

2.8.1. Théorème de la résultante statique ... 5

2.8.2. Théorème du moment statique... 5

3. NOTION DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX ... 6

3.1. Poutres ... 6

3.2. Types de sollicitation ... 6

3.3. Traction ... 7

3.3.1. Caractérisation mécanique des matériaux grâce à l’essai de traction ... 7

3.3.2. Relation contrainte - effort normal ... 9

3.3.3. Critère de dimensionnement ... 9

3.4. Flexion ... 9

3.4.1. Relation contrainte normale – moment fléchissant ... 10

3.4.2. Équation de la déformée ... 10

3.4.3. Critère de dimensionnement ... 11

3.5. Le flambage ou flambement ... 11

3.5.1. Introduction ... 11

3.5.2. Flambage d’Euler ... 11

3.5.3. Dimensionnement ... 12

4. LA STRUCTURE ... 13

4.1. Fonction d’une structure ... 13

4.2. Les charges... 13

4.3. L’analyse structurale ... 14

4.3.1. Charges permanentes ... 14

4.3.2. Charges variables et accidentelles ... 14

4.3.3. Répartition des charges sur les planchers ... 14

4.3.4. Majoration des charges - Coefficients de continuité... 16

4.3.5. Charges d’exploitation dont la valeur minimale peut être fixée de façon générale ... 16

4.3.6. Réduction pour grande surface ou majoration pour petite surface ... 16

4.3.7. Dégression des charges d’exploitation ... 17

4.3.8. Descente des charges verticales ... 17

5. CONDITION DE RÉSISTANCE ET ÉTATS LIMITES ... 18

5.1. L’état limite de service (ELS) ... 18

5.2. L’état limite ultime (ELU) ... 18

6. ANNEXES ... 19

1. I

NTRODUCTION

La descente de charges a pour objectif d’étudier le transfert des charges dans la structure. L’objectif étant de connaitre la répartition et les cheminements des charges sur l’ensemble des éléments porteurs de la structure depuis le haut jusqu’aux fondations.

Les valeurs obtenues permettront de dimensionner les éléments porteurs voir dans certains cas, de modifier la structure.

Les calculs de structure sont réglementés par les Eurocodes¹.

Cheminement des différentes charges de la toiture aux fondations

Les Eurocodes constituent un ensemble de 58 normes européennes, d’application volontaire, harmonisant les méthodes de calcul utilisables pour vérifier la stabilité et le dimensionnement des différents éléments constituant des bâtiments ou ouvrages de génie civil, quels que soient les types d’ouvrages ou de matériaux (structures en béton, en métal, structures mixtes acier/béton, maçonnerie, bois, aluminium, règles de calcul pour les ouvrages de géotechnique et règles parasismiques).

Les Eurocodes sont des codes européens de conception et de calcul des ouvrages, se substituant aux codes nationaux et permettant aux entreprises de travaux ou bureaux d’études, d’accéder aux marchés des autres pays membres.

Afin d’aborder correctement ce chapitre il est nécessaire d’introduire au préalable quelques notions fondamentales comme la statique des solides ainsi que la résistance des matériaux.

1 https://normalisation.afnor.org/wp-content/uploads/2016/05/liste-eurocodes.pdf

2. N

OTIONS DE MÉCANIQUE DES SOLIDES

Dans cette partie ne sera abordé que la statique des solides.

2.1. Définition

Une action mécanique est une cause capable :

• De modifier ou d’interdire le mouvement d’un corps,

• De déformer un corps.

2.2. Notion de force

Elle génère ou interdit un mouvement selon un axe. On représentera une force par un vecteur glissant défini par :

• Sa direction,

• Son sens,

• Sa norme (intensité ou module) dont l’unité est le newton (N).

2.3. Différents types de forces 2.3.1. Action à distance :

• Les effets magnétiques, électriques ou électrostatiques.

• Les effets de la pesanteur : 𝑃⃗ = 𝑚. 𝑔. 𝑧

2.3.2. Action de contact :

Contact ponctuel

• L’action passe par le point de contact A.

• La direction de l’action de S1 sur S2 notée 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑆1/𝑆2 est perpendiculaire au plan tangent commun si on néglige les frottements.

• Le sens est du solide S1 vers le solide S2.

• Le module ‖𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ _𝑆1/𝑆2 est défini par la longueur du vecteur 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑆1/𝑆2, l’unité est le newton.

Contact linéique

• On supposera l’action répartie uniformément sur toute la ligne du contact.

• Dans le cas d’une répartition uniforme, on peut remplacer cette charge linéique par une action concentrée en C au milieu du contact [AB] telle que ‖𝐶→ 1/2

‖ = 𝑞. 𝑙 avec 𝑙la longueur du segment [AB].

Plan tangent commun S1

S₂ A 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑆1/𝑆2

Charge répartie q en N/m

A

𝐹 B

Contact surfacique

Dans le cas d’une répartition uniforme d’une pression sur une surface, ente deux solides ou entre un solide et un fluide, on modélisera l’ensemble des micro-actions mécaniques par une résultante globale au centre de gravité qui vaudra

‖𝐹→ 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒/1

‖ = 𝑝. 𝑆

• p : pression du fluide en pascal (Pa).

• S : surface de contact en m².

• ‖𝐹→ 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒/1

‖ : Résultante des forces de pression en N

2.4. Moment et couple d’une force par rapport à un point fixe

Un couple, en mécanique, désigne l'effort en rotation appliqué à un axe. Il est ainsi nommé en raison de la façon caractéristique dont on obtient ce type d'action : un bras qui tire, un bras qui pousse, les deux forces étant égales et opposées.

On mesure le couple en Newton.mètre (N.m). Il faut noter que l'unité de travail, le joule (J), est aussi homogène à un Newton.mètre : un couple de 1 N.m appliqué à un axe qui tourne d'un tour représente un ajout d'énergie de 2 pi J.

Un moment est le résultat du produit d’une force par le bras de levier (le bras de levier devant être

perpendiculaire par rapport à la direction de la force). Son unité est le Newton mètre (Nm).

𝑀 = ±𝑑 × 𝐹

Lorsque l’on veut connaître le moment généré en A par la force F, on l’écrit de la manière suivante :

𝑀

_{𝐴(𝐹 )}

Le moment est porté dans les exemples par l’axe z. Le signe du résultat se trouve en réfléchissant sur le « sens de rotation ».

Dans les exemples ci-dessus, la distance AB est perpendiculaire à la force F ce qui est le cas le plus simple pour trouver le moment.

A B

F

A

B

F

Pour la suite du cours, le repère orthonormé sera toujours dans le même sens.

x y

Sens anti trigonométrique (horaire) : négatif

Sens trigonométrique : positif

Sens de rotation (déformation) de la poutre encastrée dans le mur par rapport au point A.

Couple résultant

2.5. Calcul du moment autours d’un point fixe

On appelle le moment de 𝐹→

par rapport au point A, 𝑀

𝐴(𝐹)→

→

le vecteur défini par 𝑀

𝐴(𝐹)→

→

= 𝐴𝐵→

∧ 𝐹→ .

• Le support du vecteur 𝑀→ _𝐴(𝐹)^→

est perpendiculaire au plan contenant A et𝐹→

.

• Le sens de 𝑀→ _𝐴(𝐹)^→

est tel que le trièdre de référence soit direct, exemple : → ∧ 𝑦→ = 𝑧→ 𝑥

• Le module est tel que ‖𝑀→ _𝐴(𝐹)^→

‖ = ‖𝐹→

‖ × ‖𝐴𝐵→

‖ × 𝑠𝑖𝑛 𝛼

• ‖𝐴𝐵→

‖ × 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = [𝐴𝐻], cela correspond au bras de levier, à savoir la distance la plus courte par rapport au support de la ligne d’action.

Le produit vectoriel (symbole ∧) est abordé dans le cours de mathématiques.

➢ Un moment est nul si l’un des deux termes est nul, c'est-à-dire que la force est nulle ou qu’elle passe par le point A.

2.6. Actions transmissibles par les liaisons cinématiques

En structure, on s’intéresse souvent à des problèmes plans : c’est plus simple. Tout mouvement dans le plan peut se décomposer en trois composantes de base :

• La translation d’axe horizontal : Tx

• La translation d’axe vertical : Ty

• La rotation dans le plan : Rz

Une liaison est constituée de deux classes d’équivalences qui n’autorisent que certains mouvements. Chaque translation ou rotation bloquée permet de transmettre un effort.

• Pour les translations bloquées on peut transmettre une des composantes de la résultante.

• Pour les rotations bloquées on peut transmettre une des composantes du moment.

L’appui simple ou contact ponctuelle

L’articulation

L’encastrement 𝑥

𝑦 𝑧

𝛼 𝐵 𝐴

𝐹 𝑀_𝐴(𝐹)^→

→

𝐻

Origine de 𝐹 Support de 𝐹

Représentation Mobilité : 2

R

_z

T

_x

Réaction aux appuis : 1 force 𝐹_𝑦

⃗⃗⃗

Représentation Mobilité : 1

R

_z

Réaction aux appuis : 2 forces

𝐹_𝑥

⃗⃗⃗

𝐹_𝑦

⃗⃗⃗

Représentation Mobilité : 0 Réaction aux appuis : 2 forces, 1 moment

𝐹_𝑦

⃗⃗⃗

𝐹_𝑥

⃗⃗⃗

𝑀_𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗

T

_x

T

_y

Z

R

_z

𝑥 𝑦

𝑧

𝑥 𝑦

𝑧

2.7. But d’une étude statique

• Pour une position donnée du système, chercher la valeur des A.M des pièces les unes par rapport aux autres.

• Chercher la ou les positions où ces A.M sont maximales.

• Étudier les conditions d'équilibre d'un système…

2.8. Principe fondamental de la statique (P.F.S)

La notion d'équilibre se traduit par une relation fondamentale en termes d'actions mécaniques appliquées à un système S (un seul solide isolé ou un ensemble de solides isolés).

Cela se traduit de la manière suivante :

• La somme des actions mécaniques extérieures au système étudié appliqués au même point doit être nulle.

2.8.1. Théorème de la résultante statique

La somme des forces extérieures s’appliquant sur le solide isolé est nulle :

𝐹 ₁

⃗⃗⃗ + 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐹 ₂ ⃗⃗⃗⃗ +. . . = 0⃗ ₃

Ce qui se traduit en projection de la manière suivante :

𝐹

_1𝑥

+ 𝐹

_2𝑥

+ 𝐹

_3𝑥

+. . . = 0 𝐹

_1𝑦

+ 𝐹

_2𝑦

+ 𝐹

_3𝑦

+. . . = 0 𝐹

_1𝑧

+ 𝐹

_2𝑧

+ 𝐹

_3𝑧

+. . . = 0

Sur l’axe des x Sur l’axe des y Sur l’axe des z

2.8.2. Théorème du moment statique

La somme des moments extérieurs s’appliquant au solide isolé et ramené au même point est nulle.

Ce qui se traduit de la manière suivante :

𝑀

_𝐴(𝐹

1)

+ 𝑀

_𝐴(𝐹

2)

+ 𝑀

_𝐴(𝐹

3)

+. . . = 0

Si l’on considère que l’on travaille dans le plan (𝑥 , 𝑦 ) les différents moments ne seront portés que par l’axe des 𝑧 .

−𝑑 ₁ . 𝐹 ₁ + 𝑑 ₂ . 𝐹 ₂ + 𝑑 ₃ . 𝐹 ₃ = 0

F₁

A

F₃ C

F₂

B D



= 60°

d1

d₂

d₃

x y

3. N

OTION DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Toute pièce réelle est déformable dans un domaine spécifique et peut être détériorée lorsque les contraintes qu’elle subit dépassent une valeur critique. Ce chapitre a pour but d’introduire l’analyse de poutres en résistance des matériaux dans le but de les dimensionner afin de répondre à un cahier des charges, selon des critères de déformation et/ou de dégradation en fonction de leur chargement extérieur.

Dans ce chapitre, les pièces seront donc considérées déformables, et les mécanismes composés de plusieurs poutres seront dénommées structures. La résistance des matériaux s’insère dans un domaine d’étude plus vaste dénommé

« élasticité » ou « mécanique des milieux continus ». En RdM, la théorie développée est simple car elle repose sur un nombre important d’hypothèses portant sur :

• Le type de solide déformé,

• Le champ des déplacements,

• La modélisation des efforts.

Pour des pièces de forme complexe, les hypothèses de ce chapitre ne peuvent s’appliquer et il faudra faire appel à des logiciels basés sur la méthode des éléments finis par exemple.

3.1. Poutres

Définition

Le solide élémentaire étudié en RDM s’appelle une poutre. C’est un solide dont la dimension longitudinale est importante devant les dimensions transversales. Une structure est un assemblage de poutres, reliées par des liaisons.

3.2. Types de sollicitation

Sollicitation Effort de cohésion Schéma

Traction N : effort normal pour N>0

Compression Pour N<0

Cisaillement Effort tranchant perpendiculaire à la fibre

Torsion Mtx : moment de torsion

Flexion Mfz : moment fléchissant

x y

x y

x y

x y

x y

S1 

S2

 A G

B s

3.3. Traction

3.3.1.

Caractérisation mécanique des matériaux grâce à l’essai de traction

L’essai de traction est le moyen le plus couramment employé pour caractériser le comportement mécanique d’un matériau sous une sollicitation progressive à vitesse de chargement faible ou modérée. L’essai permet, en outre, l’étude et l’identification des mécanismes physiques de déformation plastique.

Des éprouvettes du matériau concerné, en forme de barreau cylindrique ou prismatique comportant une partie centrale calibrée à section constante S0 et longueur L0 raccordée à chaque extrémité à deux têtes de section plus importante, sont fixées dans une machine de traction. Sauf indications contraires, l’essai est effectué à la température ambiante dans les limites comprises entre 10°C et 35°C.

a. Exécution de l’essai

Une machine de traction est constituée d’un bâti rigide équipé d’un travers fixe à laquelle est fixée l’une des têtes de l’éprouvette ; l’autre extrémité de l’éprouvette est fixée à une traverse mobile. Le mouvement de la traverse mobile est assuré soit par une commande hydraulique, soit des vis sans fin. La charge imposée à l’éprouvette est mesurée par un dynamomètre, et l’allongement par un extensomètre.

Rupture ductile

Rupture fragile Schéma d’une éprouvette de traction cylindrique et de son évolution en cours d’essai.

Mâchoires avec éprouvette Machine de traction

b. Exploitation des résultats Courbe conventionnelle

Afin de pouvoir utiliser les courbes brutes de traction, on doit les modifier pour que les résultats obtenus ne soient fonction que du matériau étudié et non de la géométrie de l’éprouvette. Pour ce faire, on rapporte la charge 𝑭 en [N] à la section initiale S⁰ (mm²) de l’éprouvette en vue d’obtenir la contrainte conventionnelle 𝝈_𝒄 en [MPa]. Ensuite on rapporte l’allongement Δ𝑙 en [mm] à la longueur initiale, 𝑙⁰, pour obtenir la déformation conventionnelle 𝜀_𝑐, soient :

𝜎_𝑐= ^𝐹

𝑆₀ [𝑀𝑃𝑎] ; 𝜀_𝑐 =^Δ𝑙

𝑙₀ [%] ; 𝜎_𝑐 = 𝐸. 𝜀_𝑐 (E : module de Young, ou d’élasticité, du matériau en MPa)

Zone OA : domaine des déformations élastiques ou réversibles (zone parfois linéaire) si l'on cesse la charge, l'éprouvette retrouve ses dimensions initiales.

Charge unitaire 𝑅 = 𝐹 𝑆₀ 𝑅_𝑚

𝑅_𝑢 𝑅_𝑒

𝑙₀

𝑙_𝑢

État initial

Étirement dans le domaine plastique

Relâchement après étirement avec allongement permanent

Étirement et apparition du phénomène de striction

Relâchement après étirement avec nouvel allongement permanent

Rupture dans la zone de striction lorsque l’on atteint la résistance ultime

Allongement 𝜀_% O

A

B

C

D D’

Charge ultime

La pente OA représente la valeur du module de Young

Zone AB : la déformation n'est plus complètement réversible. La déformation est plastique (ou permanente) homogène ; appelée aussi déformation plastique répartie. Les allongements croissent plus vite que les charges.

L'allongement a lieu avec une diminution régulière de la section tout au long de l'éprouvette. La suppression de la force appliquée permettant d’arriver en D’ laisse apparaître un allongement plastique rémanent [OD]. Une remise en charge conduit à une nouvelle limite d’élasticité (DD’).

Zone BC : la déformation plastique se localise dans une petite portion de l'éprouvette et n'est plus homogène, c'est la striction, on aboutit à la rupture en C. les allongements croissent avec une diminution de la charge.

3.3.2. Relation contrainte - effort normal

𝜎 = 𝑁 𝑆

Avec :

•  : contrainte normale en Mpa,

• N : effort normal en N,

• S : surface perpendiculaire à la ligne moyenne de la poutre en mm²

Répartition des contraintes en tractions

3.3.3. Critère de dimensionnement

Pour le dimensionner la poutre on peut utiliser deux types de critères :

• Un critère en contrainte,

• Un critère en déplacement.

Le critère en contrainte va traduire le fait que le matériau doit rester dans la zone élastique.

𝜎

_𝑚𝑎𝑥

≤ 𝑅

𝑝

Avec :

• Rp : résistance pratique d’élasticité noté aussi Rp0,2

On prend classiquement en compte un coefficient de sécurité s > 1 pour vérifier ce critère qui s’écrit alors :

𝜎 ≤ 𝑅

𝑝

𝑠

3.4. Flexion

La figure ci-dessous présente une poutre déformée suite à une sollicitation de flexion. On constate expérimentalement que les fibres situées au-dessus de la fibre moyenne se raccourcissent, tandis que les fibres situées sous la fibre moyenne s’allongent. La fibre moyenne ne change pas de longueur : on l’appelle aussi fibre neutre.

Les fibres s’allongent ou se raccourcissent et sont donc soumises à des contraintes normales. Les contraintes tangentielles ne seront pas étudiées.

Avec :

•  : rotation de la section droite,

• R : rayon de courbure de la fibre neutre,

• [𝑂𝐺] : longueur initiale de la poutre,

• 𝜈 : distance entre la fibre neutre et l’altitude extrême de la poutre :

o Section circulaire : 𝜈 = 𝑟 =^𝐷

2

o Section rectangulaire : 𝜈 =^ℎ₂

• 𝑦′′ : flèche de la poutre (distance de la déformation par rapport à la fibre neutre)

Tronçon de poutre avant et après déformation

Déformée de la ligne moyenne Répartition des contraintes normales

3.4.1. Relation contrainte normale – moment fléchissant

𝜎 = − 𝑀𝑓

_𝑧

𝐼

_𝐺𝑧

. 𝜈

Avec :

• 𝑀𝑓_𝑧 : moment fléchissant

•

𝐼

_𝐺𝑧 : moment quadratique de la section en m⁴

• ^𝐼𝐺𝑧

𝑣 : module d’élasticité (ou module de flexion) en m³. Il représente la résistance du matériau à une déformation élastique sous contrainte. Il est noté également 𝑊_𝑒𝑙

Cette relation permet de déterminer les contraintes normales en fonction du moment fléchissant. Les contraintes ont une répartition qui est linéaire dans l’épaisseur de la poutre de par la dépendance à la distance à la fibre neutre

. A la fibre neutre, les contraintes normales sont nulles, et leur valeur maximale est obtenue au plus loin de la fibre neutre.

3.4.2. Équation de la déformée

Sous les actions de flexion, la ligne moyenne de la poutre va se déformer. On caractérise par y(x), l’équation de la courbe caractéristique de la ligne moyenne après déformation (cf figure 43). La ligne moyenne après déformation est aussi appelée déformée et la valeur de la déformée en un point est appelée flèche.

L’expression est une équation différentielle dont le résultat est donné ci-dessous : A

B G

𝑦

𝑥 𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥 = 𝜃 𝑦(𝑥) : équation de la déformée R

𝑦^′′= 𝑀𝑓_𝑧

𝐸. 𝐼_𝐺𝑧 ; avec 𝑦^′′=(1 + 𝑦^′2)³²

𝑅 et 𝑦^′ = 𝜃

L’intégration de l’équation précédente et la prise en compte des conditions aux limites (liaisons de la poutre avec l’extérieur) permettra de déterminer la forme de y(x) (on trouve généralement pour y(x) une expression polynomiale par morceau).

3.4.3. Critère de dimensionnement

Pour dimensionner la poutre on utilise donc uniquement le critère sur la contrainte normale, qui est le même que celui déjà évoqué en traction/compression.

On peut aussi prendre en compte un critère sur la flèche maximale, qui traduit, moyennant un coefficient de sécurité s, que la flèche maximale y(N) en un point N doit rester inférieure à une valeur donnée dépendante des conditions d’utilisation :

𝑦(𝑁) ≤𝑦_{𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒} 𝑠

3.5. Le flambage ou flambement 3.5.1. Introduction

Le phénomène de flambement est, à partir d’un seuil de compression, le passage d’un état d’équilibre instable en compression simple à un état d’équilibre stable en flexion composée.

3.5.2.

Flambage d’Euler

Pour étudier le flambage, il faut abandonner une des hypothèses fondamentales de la RdM. En effet, la théorie du flambage d’Euler repose sur le fait que lors du flambement de la poutre, on a des déplacements qui ne sont plus petits et ne peuvent donc plus être négligés. Le torseur de cohésion est le suivant :

{𝜏_𝑖𝑛𝑡} = { −𝐹𝑥

−𝑦(𝑥)𝐹. 𝑧 }

𝐺

D’après les formules du chapitre sur la flexion il est possible d’écrire : 𝑦^′′(𝑥) + 𝐹

𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑦(𝑥) = 0

L’équation précédente est une équation différentielle du second ordre à coefficient constant. De plus, dans ce cas particulier, cette équation est homogène (i.e. à second membre nul), mais ce n’est pas toujours le cas dans les problèmes de flambement. En posant :

𝜔 = √ 𝐹 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧 𝑥

𝑦

𝑧

Poutre en compression sur deux appuis

𝑂 𝐴 𝐹

𝐿

𝑦(𝑥)

L’équation précédente se réécrit alors :

𝑦^′′(𝑥) + 𝜔. 𝑦(𝑥) = 0 La solution sous générale de cette équation s’écrit alors :

𝑦(𝑥) = 𝐴. cos(𝜔𝑥) + 𝐵 sin(𝜔𝑥)

Où A et B sont deux constantes indéterminées. Reste maintenant à s’assurer que les conditions aux limites sont vérifiées. Compte tenu de l’articulation en O et de l’appui simple en A, les deux conditions aux limites à vérifier s’écrivent :

{𝑦(𝑥 = 0) = 0

𝑦(𝑥 = 𝐿) = 0 → { 𝐴 = 0

𝐴. cos(𝜔𝐿) + 𝐵 sin(𝜔𝐿) = 0 La forme plus générale de la solution de l’équation est :

𝑦(𝑥) = 𝐴. cos(𝜔𝑥) + 𝐵 sin(𝜔𝑥) + 𝐶𝑥 + 𝐷

La prise en compte des conditions aux limites permet d’écrire un système d’équations linéaire dont les inconnues sont les constantes A ; B ; C et D.

Après écriture des conditions aux limites, on peut alors déterminer les charges critiques associées aux différentes modes de flambage. La valeur de la première charge critique d’Euler s’écrit sous la forme :

𝐹_𝑐 = 𝜋². 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧 (𝜇. 𝐿)²

La valeur de µ est liée aux différentes conditions aux limites de la poutre étudiée.

3.5.3. Dimensionnement

Le premier critère de dimensionnement est directement lié aux contraintes normales de compression. Le critère en contrainte va traduire le fait que le matériau doit rester dans la zone élastique.

𝜎_𝑚𝑎𝑥≤𝑅_𝑝 𝑠 Où s > 1 est le coefficient de sécurité.

L’autre critère va traduire le fait que la poutre ne flambe pas : 𝐹 ≤𝐹_𝑐

𝑠

Avec s> 1 : coefficient de sécurité et Fc première charge critique d’Euler.

4. L

A STRUCTURE

4.1. Fonction d’une structure

La structure est un assemblage d'éléments structuraux, c'est- à-dire résistant aux actions mécaniques. Elle assure l'intégrité d'une construction (elle ne doit pas s’effondrer ni se déformer excessivement) et le maintien des éléments non structurels (équipements, réseaux de fluides…). Un élément est dit structurel s'il a pour fonction de participer au « drainage » des charges apportées par les éléments supportés et par les conditions extérieures.

Un élément est dit structurel, s'il a pour fonction de participer à la circulation des charges apportées par les éléments supportés et par les conditions extérieures.

Elle doit permettre de répondre à trois grandes fonctions :

• Reprendre et distribuer les charges, franchir

Cela consiste à couvrir les espaces et distribuer les charges vers les éléments qui portent. Fonctionnement essentiellement en flexion (ex : poutre).

• Porter

Descendre les charges vers les fondations et le sol. (poteaux, tirants, câbles, murs porteurs, etc…)

• Contreventer

Lutter contre les efforts horizontaux.

4.2. Les charges

Nous appellerons désormais « charges » l’ensemble des forces appliquées aux structures.

Il existe trois grands types de charges : ponctuelles, linéiques et surfaciques.

Exemples :

• Ponctuelle : la charge descend d’un poteau,

• Linéique : la charge descend d’un voile,

• Surfacique : la charge descend d’un radier posé au sol.

4.3. L’analyse structurale

L’analyse structurale est l’action d’étudier les charges qui agissent sur les édifices.

Elle consiste à les identifier, les comprendre afin de les trier selon trois types (ponctuelles, linéiques et surfaciques) et selon trois classes (permanentes, variables et accidentelles). Une fois les tris effectués, l’analyse structurale se conclue en regroupant les forces dans des combinaisons afin préparer la vérification de l’intégrité (déformation et résistance) du bâtiment face à ces charges.

4.3.1. Charges permanentes

Les charges permanentes, qui ont pour symbole G, comprenant les poids des parties porteuses telles que les poutres, les poteaux… et les poids des parties non porteuses telles que les isolants, les revêtements…, qui ont pour symbole G’.

4.3.2. Charges variables et accidentelles

Les charges variables comprenant les charges d’exploitation comme les poids des personnes, des meubles…, notées Q, et les charges climatiques comme le poids de la neige notée S ou le vent noté W.

D’autres charges plus rares (séisme, choc de véhicule, etc.) sont considérées comme des charges accidentelles. Nous ne les aborderons pas dans ce cours.

4.3.3. Répartition des charges sur les planchers

Quel que soit le matériau de construction, pour déterminer les charges transmises par les dalles aux poutres ou aux voiles, et pour tout type de charges G, Q ou S, il faut se servir de la surface de plancher reprise par ces poutres ou voiles. Ces surfaces de planchers sont appelées surfaces d’influence et notées SP.

a. Étendue d'influence d'un plancher sur voiles porteurs parallèles (Structure à refends transversaux parallèles)

Travée n°1 Travée n°2

Étendue d’influence du plancher 𝐿₁

2

𝐿₂ 2

Voile porteur Voile porteur Voile porteur

b. Étendue d'influence d'une dalle rectangulaire uniformément chargée appuyée sur quatre côtés

Soit  le rapport ^𝐿𝑦

𝐿_𝑥, si :

• 𝛼 ≤ 0,4 la dalle est portée par les voiles AB et CD (identique au cas précédent),

• 𝛼 > 0,4 la dalle porte sur les quatre côtés.

c. Exemple de structure porteuse d’un plancher Lignes à 45°

𝐿_𝑦 Surface de plancher

portée par le mur AB 𝐿_𝑥

A B

C D

Dalle portant sur 2 côtés

A B C D

G

H I J K

E F

Dalles portant sur 3 côtés Dalles portant

sur 4 côtés

4.3.4. Majoration des charges - Coefficients de continuité

Coefficient multiplicateur à appliquer à la réaction aux appuis en

A B C D … n-2 n-1 n

Poutre sur 2 appuis x 1.00 x 1.00

Poutre sur 3 appuis x 1.00 x 1.15 x 1.00

Poutre sur 4 appuis x 1.00 x 1.10 x 1.10 x 1.00

Poutre sur n appuis x 1.00 x 1.10 x 1.00 x 1.00 .. x 1.00 x 1.10 x 1.00

Poutre sur 3 appuis Poutre sur 4 appuis

4.3.5.

Charges d’exploitation dont la valeur minimale peut être fixée de façon générale Ces charges d’exploitation sont illustrées dans les tableaux de l’annexe. Elles sont utilisées en tenant compte :

• Des surfaces d’influence,

• Des dégressions retenues liées aux types et caractères des charges,

• Des conditions défavorables possibles de leur distribution (ex. : travées partiellement ou totalement déchargées),

• De leur mode de prise en compte,

• Etc….

Elles comprennent les équipements légers (canalisations de distributions, appareils de chauffage individuels, appareils sanitaires, etc..). Elles ne comprennent pas :

• Les cloisons, plafonds, sols, enduits et revêtements,

• Les gaines et conduits de fumées, les appareils lourds.

4.3.6. Réduction pour grande surface ou majoration pour petite surface

Les valeurs indiquées dans les tableaux pour les charges d’exploitation correspondent à une « surface de référence

» S0 = 15m². Si SP  S0 alors un coefficient correcteur sera appliqué selon la courbe suivante :

Travée 1 Travée 2

A B C

Charge _𝑚²^𝑞1 Charge ^𝑞2

𝑚²

Portée L1 Portée L2

Travée 1 Travée 2

A B C

Charge _𝑚²^𝑞1 Charge ^𝑞2

𝑚²

Portée L1 Portée L2

D Charge _𝑚²^𝑞3

Travée 3

Portée L3

1 15 50

1 0,8 1,5

SP [m²]

Coefficient

4.3.7. Dégression des charges d’exploitation

La dégression des charges d’exploitation concerne les bâtiments avec un nombre de niveaux n>5 où les occupations des divers niveaux peuvent être considérées comme indépendantes comme les bâtiments à usage d’habitation ou d’hébergement et les bâtiments de bureaux.

Les charges d’exploitation sont affectées de coefficients de pondération sauf pour le toit ou terrasse et le niveau en dessous et servent essentiellement au calcul d’une descente de charges.

Comme il est rare que toutes les charges d’exploitation agissent simultanément, on applique, pour leur détermination la loi de dégression. Cette loi consiste à réduire les charges identiques, ou non, à chaque étage de 10%

par étage jusqu’à 0,5 sauf pour le dernier et avant dernier niveau.

On désigne par :

• Q0 Charge d’exploitation de la terrasse,

• Qi Charge d’exploitation de base du plancher i numéroté du haut vers le bas.

4.3.8. Descente des charges verticales

La descente des charges est obtenue en déterminant le cheminement des efforts dans la structure, depuis leur point d’application jusqu’aux fondations. Les charges se distribuent en fonction des surfaces de planchers attribuées à chaque élément porteur.

Sur un élément porteur agit :

• Les charges qui lui sont directement appliqués,

• Les charges transmises par les éléments qu’il supporte.

Charges permanentes+

charges d’exploitation

Plancher - Dalle

Voiles - Poteaux - Murs

Fondations

Sol Q0

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Qn

Σ₀= 𝑄₀ Σ₁= 𝑄₀+ 𝑄₁

Σ₂= 𝑄₀+ 0,95. (𝑄₁+ 𝑄₂) Σ₃= 𝑄₀+ 0,90. (𝑄₁+ 𝑄₂+ 𝑄₃) Σ₄= 𝑄₀+ 0,85. (𝑄₁+ 𝑄₂+ 𝑄₃+ 𝑄₄) Σ5= 𝑄0+ 0,80. (𝑄1+ 𝑄2+ 𝑄3+ 𝑄4+ 𝑄5)

Σ_𝑛 = 𝑄₀+ ൬3 + 𝑛

2. 𝑛 ൰ . (𝑄₁+ 𝑄₂+ ⋯ + 𝑄_𝑖)

5. C

ONDITION DE RÉSISTANCE ET ÉTATS LIMITES

Une construction est soumise à un grand nombre d’actions qui peuvent se combiner entre elles. On est donc amené à faire un choix en essayant de déterminer les circonstances les plus défavorables qui pourront se présenter au cours de la vie de l’ouvrage.

5.1. L’état limite de service (ELS)

Pour simplifier, sous des conditions normales, le bâtiment doit être « utilisable ». Schématiquement, en considérant des charges normales, que le projet affrontera de façon régulière, le bâtiment ne doit pas se déformer au-delà d’une certaine limite qui gênerait son utilisation normale. Ce seuil est fixé de manière normative.

Exemples :

• Un plancher courant ou une poutre normale ne doit pas présenter une flèche supérieure à 1/250e de sa portée (par exemple, s’il fait 5 mètres, la flèche doit rester sous les 500/250 = 2 cm).

• Un plancher ou une poutre supportant des éléments fragiles comme des cloisons ou une façade en verre ne doit pas présenter une flèche supérieure à 1/500e de sa portée (s’il fait 5 mètres, la flèche doit rester sous les 500/500 = 1 cm).

En effet, si un plancher se déformait trop, les portes et les fenêtres ne s’ouvriraient plus, les sols seraient en pente, et il deviendrait inutilisable.

C’est donc bien une condition d’usage qui doit être maintenue dans tous les cas d’utilisation normale : elle est calculée pour des charges habituelles.

𝑬𝑳𝑺 = (𝑮 + 𝑮^′) + 𝑸

5.2. L’état limite ultime (ELU)

Toujours schématiquement, cela signifie que sous des conditions extrêmes, le bâtiment ne doit pas s’écrouler. C’est une condition relative à la sécurité des personnes.

Ainsi, le concepteur va calculer les forces dans les éléments en considérant que le poids propre a pu être sous- évalué à la construction (35% de marge d’erreur à considérer selon la norme, car c’est l’élément le mieux connu d’un bâtiment), qu’un nombre anormalement élevé de personnes ou de meubles se trouvent dans les locaux (on prend une sécurité de 50% de surcharges au-delà de la valeur de base).

𝑬𝑳𝑼 = 𝟏, 𝟑𝟓. (𝑮 + 𝑮^′) + 𝟏, 𝟓. 𝑸

6. A

NNEXES

6.1. Charges permanentes

6.2. Charges d’exploitation