Toute pièce réelle est déformable dans un domaine spécifique et peut être détériorée lorsque les contraintes qu’elle subit dépassent une valeur critique. Ce chapitre a pour but d’introduire l’analyse de poutres en résistance des matériaux dans le but de les dimensionner afin de répondre à un cahier des charges, selon des critères de déformation et/ou de dégradation en fonction de leur chargement extérieur.
Dans ce chapitre, les pièces seront donc considérées déformables, et les mécanismes composés de plusieurs poutres seront dénommées structures. La résistance des matériaux s’insère dans un domaine d’étude plus vaste dénommé
« élasticité » ou « mécanique des milieux continus ». En RdM, la théorie développée est simple car elle repose sur un nombre important d’hypothèses portant sur :
• Le type de solide déformé,
• Le champ des déplacements,
• La modélisation des efforts.
Pour des pièces de forme complexe, les hypothèses de ce chapitre ne peuvent s’appliquer et il faudra faire appel à des logiciels basés sur la méthode des éléments finis par exemple.
3.1. Poutres
Définition
Le solide élémentaire étudié en RDM s’appelle une poutre. C’est un solide dont la dimension longitudinale est importante devant les dimensions transversales. Une structure est un assemblage de poutres, reliées par des liaisons.
3.2. Types de sollicitation
Sollicitation Effort de cohésion Schéma
Traction N : effort normal pour N>0
Compression Pour N<0
Cisaillement Effort tranchant perpendiculaire à la fibre
3.3. Traction
3.3.1.
Caractérisation mécanique des matériaux grâce à l’essai de tractionL’essai de traction est le moyen le plus couramment employé pour caractériser le comportement mécanique d’un matériau sous une sollicitation progressive à vitesse de chargement faible ou modérée. L’essai permet, en outre, l’étude et l’identification des mécanismes physiques de déformation plastique.
Des éprouvettes du matériau concerné, en forme de barreau cylindrique ou prismatique comportant une partie centrale calibrée à section constante S0 et longueur L0 raccordée à chaque extrémité à deux têtes de section plus importante, sont fixées dans une machine de traction. Sauf indications contraires, l’essai est effectué à la température ambiante dans les limites comprises entre 10°C et 35°C.
a. Exécution de l’essai
Une machine de traction est constituée d’un bâti rigide équipé d’un travers fixe à laquelle est fixée l’une des têtes de l’éprouvette ; l’autre extrémité de l’éprouvette est fixée à une traverse mobile. Le mouvement de la traverse mobile est assuré soit par une commande hydraulique, soit des vis sans fin. La charge imposée à l’éprouvette est mesurée par un dynamomètre, et l’allongement par un extensomètre.
Rupture ductile
Rupture fragile Schéma d’une éprouvette de traction cylindrique et de son évolution en cours d’essai.
Mâchoires avec éprouvette Machine de traction
b. Exploitation des résultats Courbe conventionnelle
Afin de pouvoir utiliser les courbes brutes de traction, on doit les modifier pour que les résultats obtenus ne soient fonction que du matériau étudié et non de la géométrie de l’éprouvette. Pour ce faire, on rapporte la charge 𝑭 en [N] à la section initiale S0 (mm2) de l’éprouvette en vue d’obtenir la contrainte conventionnelle 𝝈𝒄 en [MPa]. Ensuite on rapporte l’allongement Δ𝑙 en [mm] à la longueur initiale, 𝑙0, pour obtenir la déformation conventionnelle l'éprouvette retrouve ses dimensions initiales.
Charge unitaire 𝑅 = 𝐹
Étirement dans le domaine plastique
Relâchement après étirement avec allongement permanent
Étirement et apparition du phénomène de striction
Relâchement après étirement avec nouvel allongement permanent
Rupture dans la zone de striction lorsque l’on atteint la résistance ultime valeur du module de Young
Zone AB : la déformation n'est plus complètement réversible. La déformation est plastique (ou permanente) homogène ; appelée aussi déformation plastique répartie. Les allongements croissent plus vite que les charges.
L'allongement a lieu avec une diminution régulière de la section tout au long de l'éprouvette. La suppression de la force appliquée permettant d’arriver en D’ laisse apparaître un allongement plastique rémanent [OD]. Une remise en charge conduit à une nouvelle limite d’élasticité (DD’).
Zone BC : la déformation plastique se localise dans une petite portion de l'éprouvette et n'est plus homogène, c'est la striction, on aboutit à la rupture en C. les allongements croissent avec une diminution de la charge.
3.3.2. Relation contrainte - effort normal
𝜎 = 𝑁 𝑆
Avec :
• : contrainte normale en Mpa,
• N : effort normal en N,
• S : surface perpendiculaire à la ligne moyenne de la poutre en mm²
Répartition des contraintes en tractions
3.3.3. Critère de dimensionnement
Pour le dimensionner la poutre on peut utiliser deux types de critères :
• Un critère en contrainte,
• Un critère en déplacement.
Le critère en contrainte va traduire le fait que le matériau doit rester dans la zone élastique.
𝜎
𝑚𝑎𝑥≤ 𝑅
𝑝Avec :
• Rp : résistance pratique d’élasticité noté aussi Rp0,2
On prend classiquement en compte un coefficient de sécurité s > 1 pour vérifier ce critère qui s’écrit alors :
𝜎 ≤ 𝑅
𝑝𝑠
3.4. Flexion
La figure ci-dessous présente une poutre déformée suite à une sollicitation de flexion. On constate expérimentalement que les fibres situées au-dessus de la fibre moyenne se raccourcissent, tandis que les fibres situées sous la fibre moyenne s’allongent. La fibre moyenne ne change pas de longueur : on l’appelle aussi fibre neutre.
Les fibres s’allongent ou se raccourcissent et sont donc soumises à des contraintes normales. Les contraintes tangentielles ne seront pas étudiées.
Avec : déformation par rapport à la fibre neutre)
Tronçon de poutre avant et après déformation
Déformée de la ligne moyenne Répartition des contraintes normales
3.4.1. Relation contrainte normale – moment fléchissant
𝜎 = − 𝑀𝑓
𝑧 résistance du matériau à une déformation élastique sous contrainte. Il est noté également 𝑊𝑒𝑙Cette relation permet de déterminer les contraintes normales en fonction du moment fléchissant. Les contraintes ont une répartition qui est linéaire dans l’épaisseur de la poutre de par la dépendance à la distance à la fibre neutre
. A la fibre neutre, les contraintes normales sont nulles, et leur valeur maximale est obtenue au plus loin de la fibre neutre.
3.4.2. Équation de la déformée
Sous les actions de flexion, la ligne moyenne de la poutre va se déformer. On caractérise par y(x), l’équation de la courbe caractéristique de la ligne moyenne après déformation (cf figure 43). La ligne moyenne après déformation est aussi appelée déformée et la valeur de la déformée en un point est appelée flèche.
L’expression est une équation différentielle dont le résultat est donné ci-dessous : A
𝑦′′= 𝑀𝑓𝑧
𝐸. 𝐼𝐺𝑧 ; avec 𝑦′′=(1 + 𝑦′2)32
𝑅 et 𝑦′ = 𝜃
L’intégration de l’équation précédente et la prise en compte des conditions aux limites (liaisons de la poutre avec l’extérieur) permettra de déterminer la forme de y(x) (on trouve généralement pour y(x) une expression polynomiale par morceau).
3.4.3. Critère de dimensionnement
Pour dimensionner la poutre on utilise donc uniquement le critère sur la contrainte normale, qui est le même que celui déjà évoqué en traction/compression.
On peut aussi prendre en compte un critère sur la flèche maximale, qui traduit, moyennant un coefficient de sécurité s, que la flèche maximale y(N) en un point N doit rester inférieure à une valeur donnée dépendante des conditions d’utilisation :
𝑦(𝑁) ≤𝑦𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠
3.5. Le flambage ou flambement 3.5.1. Introduction
Le phénomène de flambement est, à partir d’un seuil de compression, le passage d’un état d’équilibre instable en compression simple à un état d’équilibre stable en flexion composée.
3.5.2.
Flambage d’EulerPour étudier le flambage, il faut abandonner une des hypothèses fondamentales de la RdM. En effet, la théorie du flambage d’Euler repose sur le fait que lors du flambement de la poutre, on a des déplacements qui ne sont plus petits et ne peuvent donc plus être négligés. Le torseur de cohésion est le suivant :
{𝜏𝑖𝑛𝑡} = { −𝐹𝑥
−𝑦(𝑥)𝐹. 𝑧 }
𝐺
D’après les formules du chapitre sur la flexion il est possible d’écrire : 𝑦′′(𝑥) + 𝐹
𝐸. 𝐼𝐺𝑧. 𝑦(𝑥) = 0
L’équation précédente est une équation différentielle du second ordre à coefficient constant. De plus, dans ce cas particulier, cette équation est homogène (i.e. à second membre nul), mais ce n’est pas toujours le cas dans les problèmes de flambement. En posant :
𝜔 = √ 𝐹 𝐸. 𝐼𝐺𝑧 𝑥
𝑦
𝑧
Poutre en compression sur deux appuis
𝑂 𝐴 𝐹
𝐿
𝑦(𝑥)
L’équation précédente se réécrit alors :
𝑦′′(𝑥) + 𝜔. 𝑦(𝑥) = 0 La solution sous générale de cette équation s’écrit alors :
𝑦(𝑥) = 𝐴. cos(𝜔𝑥) + 𝐵 sin(𝜔𝑥)
Où A et B sont deux constantes indéterminées. Reste maintenant à s’assurer que les conditions aux limites sont vérifiées. Compte tenu de l’articulation en O et de l’appui simple en A, les deux conditions aux limites à vérifier s’écrivent :
{𝑦(𝑥 = 0) = 0
𝑦(𝑥 = 𝐿) = 0 → { 𝐴 = 0
𝐴. cos(𝜔𝐿) + 𝐵 sin(𝜔𝐿) = 0 La forme plus générale de la solution de l’équation est :
𝑦(𝑥) = 𝐴. cos(𝜔𝑥) + 𝐵 sin(𝜔𝑥) + 𝐶𝑥 + 𝐷
La prise en compte des conditions aux limites permet d’écrire un système d’équations linéaire dont les inconnues sont les constantes A ; B ; C et D.
Après écriture des conditions aux limites, on peut alors déterminer les charges critiques associées aux différentes modes de flambage. La valeur de la première charge critique d’Euler s’écrit sous la forme :
𝐹𝑐 = 𝜋2. 𝐸. 𝐼𝐺𝑧 (𝜇. 𝐿)²
La valeur de µ est liée aux différentes conditions aux limites de la poutre étudiée.
3.5.3. Dimensionnement
Le premier critère de dimensionnement est directement lié aux contraintes normales de compression. Le critère en contrainte va traduire le fait que le matériau doit rester dans la zone élastique.
𝜎𝑚𝑎𝑥≤𝑅𝑝 𝑠 Où s > 1 est le coefficient de sécurité.
L’autre critère va traduire le fait que la poutre ne flambe pas : 𝐹 ≤𝐹𝑐
𝑠
Avec s> 1 : coefficient de sécurité et Fc première charge critique d’Euler.