Chapitre 6 : Mouvement d’un pendule simple (*)
Objectifs :
— Expliquer l’existence d’oscillations autour d’une position d’équilibre stable.
— Prévoir l’amplitude des oscillations et la vitesse maximale.
— Identifier et utiliser le modèle de l’oscillateur harmonique.
— Associer à un oscillateur harmonique la conservation de son énergie mécanique.
— Déduire d’un graphe d’énergie potentielle ou d’une expression d’une énergie mécanique une vitesse ou une position en des points particuliers.
— Déduire d’un graphe d’énergie potentielle le comportement borné ou non de la trajectoire.
— Interpréter un portrait de phase fourni ou relevé expérimentalement.
1 Étude qualitative du pendule
1.1 Description du problème
On considère un pendule constitué d’une bille de masse m reliée par un fil inextensible de longueur Là un point O, considéré comme origine du repère. La bille est assimilée à un point matérielM, et le fil n’a pas de masse.
On repère le point M par l’angle θ(t) entre l’axe vertical descendant(Oz) (dans le même sens que le champ de pesanteur) et l’axe (OM). On notez(t) l’altitude du point M.
(Oz)
• O
M θ
z
Figure 1– Mouvement du pendule.
À l’instant initial, le point M est lâché d’un angle θ à la vitessev .
1.2 Positions accessibles
Question 1 : Exprimer z en fonction deLet deθ. En déduire l’expression de l’énergie potentielle du point M en fonction dem,L,g etθ.
On trace, en figure 2, l’allure deEp en fonction deθ.
Ep
| θ
π |
2π
|
−π
|
−2π
mgL
Figure 2– Énergie potentielle du point M en fonction de sa position.
Question 2 : Rappeler l’inégalité entre l’énergie potentielle et l’énergie mécanique. Après avoir justifié que cette énergie mécanique est constante au cours du mouvement, donner son expression à l’aide des conditions initiales.
Question 3 :En déduire que les positions accessibles sont celles pour lesquellescos(θ)≤cos(θ0)−1 2
v02 gL.
Question 4 : Entre quelles valeurs varie la fonction cosinus ? En déduire que l’on a un mouvement borné sicos(θ0)−1
2 v02
gL <1; un mouvement libre si cos(θ0)−1 2
v20 gL ≥1.
Question 5 : Retrouver les conditions précédentes à partir d’un raisonnement graphique sur la figure 2.
Question 6 : Quel est l’angle maximal atteint siθ0 = 15°etv0 = 1,5 m·s−1? On prendra L= 1,0 m et g= 10 m·s−2.
1.3 Portrait de phase
Portrait de phase
Un système dont l’évolution au cours du temps est décrit par une fonctionX(t) peut être étudié dans le plan de phase, où l’on représente en abscisse X et en ordonnéeX˙ = dX
dt . La courbe obtenue est une trajectoire de phase, qui dépend des conditions initiales. L’ensemble de toutes les trajectoires de phase constitue le portrait de phase du système.
Le portrait de phase du pendule consiste donc à tracer θ˙en fonction deθ au cours du mouvement pour différentes valeurs de θ0 et de v0 (voir figure 3).
Figure 3 – Portrait de phase du pendule pourθ0= 0,3 rad≈17° et différentes vitesses initiales (plus la courbe est éloignée du centre, plus la vitesse initiale est élevée).
Question 7 : Lorsque θ >˙ 0, que peut-on dire deθ? De même, lorsque θ <˙ 0, que peut-on dire deθ? Orienter alors les courbes de la figure 3.
Question 8 : À quelles figures correspondent les mouvements bornés ? Et les mouvements libres ?
2 Équation du mouvement
2.1 Mise en équation
Question 9 : Exprimer l’énergie cinétique du point M en fonction dem,Let θ.˙
Question 10 : On rappelle que Ep=−mgLcos(θ). En déduire l’expression de l’énergie mécanique du point M en fonction dem,L,θ,˙ g etθ.
Question 11 : En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que θ¨+ g
Lsin(θ) = 0.
2.2 Résolution dans l’approximation des petits angles Approximation des petits angles
Lorsqueθ est suffisamment faible et exprimé en radians, on a sinθ≈θ,cosθ≈1 et tanθ≈θ.
Question 13 : Donner l’expression générale de θ(t), puis celle de θ(t). On notera˙ ω0 , rg
L.
Question 14 : À l’aide des conditions initiales, déterminer les valeurs de A et B, puis l’expression de θ(t) en fonction des données de l’énoncé.
