PERTE DE CHARGE DANS LES CONDUITES A SECTION COMPLEXE

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DEUXIEME THESE

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PERTE DE CHARGE DANS LES CONDUITES

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A SECTION COMPLEXE

{ ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE )

par

TRUONG-QUANG MINH

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page 1. II\JTR<)DUCTI t")N o o o • • o " • • o o • • • • • • • • • • • • • • • o o • Q • o o o • • o o • o o • o o o o l

2. VUE GENERALE DU PROBLEI'-IE ... ^{o •} o • • • • o • • • • o • • o o • o • o • • • • • • • • 1 2.1. Rappel des résultats classiques en secti0n circulaire. 2 2.2. Cas d'une conduite à section non circulaire

•••••o•o••

3 2. 3. Méthodes utilisées o • • • ., • • o o • o o • Q • o o o • o • • • • • , • o • o o o o • o 3

3 • EC OULEI1ENT LAMINAIRE

o .•...•... , .. o ... o .. o ...••..•.. o • •

5 3.1. Déterminatinn du champ des vitesses

···••oo••···

5

3.2. Résultats . o o • • • o • • • o • • o • • • o . o o . o o . o o o o o Il. o . o • • o . o o . . . 9 3. 3. Cc.1nclusion . o • o • • • • o . . . o • • • • • • • • " • • • • o • • • o • o o. o ~~ ^{o o o} l l

4 . EC l)ULEI\ffiNT TURBULENT . . ^{o • • o • o • • o • o o • •} ~ ^{a • o o • o • • • • • • :) •} o o o o • o • 12 4.1. L'analyse de DEISSLER o • • • • o o • o • o o • • o • • o • • • o o o o o • • o • • • 12 4.2. La modification du diamètre hydraulique ...•..•.... 15 4.3. La corrélation de GUNNm DARLING... 17 4.4. Corrélations pour les cas spéciaux

0...

18

5. DISTRIBUTION DE t₀ LE LONG DE LA PAROI

···••oo ...

20 5 .1. En é c oul emen t laminaire ...•...• ^{o •} o • • o • • • 20

5. 2. En éc"'ulement turbulent . • . . . • . . . • 20 6 • C 01\fCLUSI ClNS o • o o o o o • o o • o o o o o o o !J o • o • .:. o • o o o o o • • o • o • • o • • • • o o o o 23

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

D\ffUS\ON \N1ÉRIEURt

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

.~~"ti~sLl_~i_in~

C Constante de la fnrmule de BLASIUS

d Distance entre les centres des cercles d'une secti0nann~

excentrique

D Diamètre du tube à secti0n circulaire Dh Diamètre hydraulique

e Excentricité (en section annulaire excentrique) f Coefficient de frottement

G Ensemble des caractéristiques géométriquesde la section i Indice de sommation

j Jeu (cas d'une section en grappe) k C0nstante, définie par k

=

f.Re

M Un point du périmètre mouillé rn Crmstante

n Axe normal à la paroi

N Constante

P Pression

Q Débit volumique

r₀ Rayon de courbure en un point M du périmètre mouillé R Rayon du secteur circulaire

Re Nombre de REYNOLDS

S Section de ~assage de l'écoulement u

u*

Vitesse moyenne locale parallèle à l'axe des z Vitesse de frottement (u* =

v r=tE )

^p

Vitesse réduite (u+

=

⁾

u*

u

y y+

z

Distance d'un point à la paroi Distance réduite (y+

=

Y~~)

1 1

Cote (axe de la conduite) Lettres grecgues

~ Demi angle au sommet (section en triangle isocèle)

~ Rapport des côtés d'une section rectangulaire

~ Viscosité dynamique du fluide Viscosité cinématique du fluide (

p Masse volumique du fluide T Tension tangentielle

v= L ) p

T₀(M) : Tension tangentielle en un point M de la paroi

lOm Tension tangentielle moyenne le l0ng du périmètre mouillé tf Foncti0n

0

Ensemble des propriétés physiques du fluide X. Périmètre mouillé

V Opérateur LAPLACIEN

Ind:h_2._~~

o A la paroi

c Section circulaire n Section non circulaire

r

En éc0ulement laminaire t En écoulement turbulent

- -- - - - -- - - -

Y

x ~ ) cnnrdnnnées rectangulaires

e

^r

l

) c0ord~nnées polaires

~ l

conrdonnées bipolaires

L'utilisation des éc~ulements dans les conduites à section non circulaire se trouve de plus en plus répandue dans l'industrie~

c'est surtout le cas des échangeurs compacts de chaleur, ou des réac- teurs nucléaires où le c0~bustible est très divisé il est s0uvent nécessaire de pouvnir calculer la perte de charge des tels écoulements.

Nous n0us limitons ici à l'étude de la perte de charge régulière ( crmdui te rectiligne et régime d'écoulement établi), dans les C'nditions suivantes :

- les propriétés physiques du fluide (masse volumique et viscosité) sont constantes

- les parois des cnndui tes S'"'nt lisses 2. VUE GENERALE DU PR¹)BLEME

Soient G l'ensemble des caractéristiques géométriques de la section droite du canal

ç5 l'ensemble des propriétés physiques du fluide ( ~ intervient ici par p et

p. )

G et ~ étant donnés, le problème est de calculer la perte de charge dP/dz en fonction du débit volumique Q du fluide.

Le résultat se trouve à priori sous la forme dP

dz ^{= 'P(Q,}

G,

0) ⁽¹⁾

Pour pouvoir généraliser l'application des résultats, il est nécessaire de les C{)rréler sous forme de paramètres adimensionnels.

- 2 -

2.1. Rappel des résultats classiques en section circulaire

Pour une conduite à section circulaire, où G se réduit au diamètre D de la section, l'analyse dimensionnelle permet d'écrire (l) sous la f0rme :

dP 2

p

v

^{2 f (Re) (2)}

dz D avec

) V = Q/S

( Re =

pVD/~i.

⁽³⁾

D, Q, p,

y

étant dr,nnés, dP/dz est déterminé si l'0n cnnnait f.

Plusieurs auteurs S•"'nt arrivés à corréler la foncti()n f(Re) avec une grande précision :

- en écoulement laminaire (Ro

<

2000) f

=

16

Re

(loi de POISEUILLE)

- en écoulement turbulent (Re ) 2000) f

=

0,079 Re- 0 ' 25

(expression de BLASIUS), ou _l_ = 4 log (Re {i) - O, 40

'{f .

(expression de NIKURADSE)

(4)

( 5)

(6)

Il s'avère que (6) corrèle la perte de pression avec une meilleure précision que (5) l0rsque le nombre de REYNOLD~ est assez grand (supérieur à 105 environ).

2. 2. Cas d'une cr·ndui te à section non circulaire

Par analngie avec le cas précédent9 0n écrit aussi dP/dz sous la fr,rme ( 2) en ch(üsissant une 1.::-ngueur caractéristique Dh de la sectir:n ; Dh est défini comme égal à 4 S/?(. et appelé diamètre hydraulique. Dh sort en nutre à définir le nombre de REYNOLDS:

Re

= (7)

Cependant ici Dh n'est pas suffisant pour caractériser la géométrie de la section, comme il l'a été dans le cas d'une sec- . tion circulaire. On sait drone a priori que f est non seulement

une fonction de Re mais encore fonction de G, en t0ute rigueur.

L'expression de dP/dz s'écrit donc

dP =

"s

^p

v

² f(Re G)

dz Dh '

(8)

Les corrélati0ns se présentent sous forme f f~nction de Re et paramétrée en G. Pour éviter un dnuble paramétrage on doit se limiter à uno catégorie de section, par exemple les sec- tions en triangle isocèlo (où Dh et l'angle 2a au sommet suf- fisent pour détorminer

G),

ou les secti~ns en rectangle (où los facteurs de G sr:nt Dh et le rapp0rt ~, des c/)tés du rectangle) ?

ainsi, la fr.nction f c0rrélée sera paramétrée dans le promier cas, en 2a et dans le deuxième cas, en À •

2.3. Méthodes utilisées

L'expression de f tirée de (8) est dP ·

f

=

^dz

P v2

(9)

~ et G étant d0nnés, f se détermine par la connaissance de dP/dz

et de V. La méthode généralement utilisée est de chercher d'ab0rd ' le champ dos vitesses pour une valeur d0nnée de dP/dz. L'intégra- tion de co champ donne ensuite la valeur de V.

2.3.1. En écoulement laminaire, lnrsque la géométrie est simple (le cnntour de la section offre des expressions simples des c~nditions aux fr0ntières), le champ des vitesses peut s'obtenir par intégration analytique des équations du mou- vement du fluide (équations de NAVIER).

Si la géométrie est complexe, les équations de NAVIER pou- vont se résoudre numériquement. La résolution numérique de ces équations est considérablement facilitée par l'uti- lisation des ·:>rdinateurs électrrmiques.

2.3.2. En écoulement turbulent, l'utilisation des équations de NAVIER n'est· plus pnssible. On doit avnir recours à des méthodes graphiques pour déterminer la distribution des vitesses dans la section : à partir d'un profil universel dos vitesses u +(y+) (du genre du profil de Von KARJYlAliJ) qu'on suppose applicable le llin.g d'une ligne perpendicu- laire à la paroi, on trace le réseau dos lignes isovitesse, l'intégration graphique du réseau ainsi obtenu d0nne la vitesse moyenne V.

Les méthodes graphiques utilisées dans le cas des écoule- monts turbulents ne sont évidemment pas aussi précises que los solutions analytiques ou numériques dans le cas des écoulements laminaires. Aussi, d'autres auteurs

cherchent-ils à cc,rréler la perte de charge en écoulement turbulent à partir des résultats nbtenus en écoulement laminaire avec la même géométrie.

L'étude du champ des vitesses dans la section présente un grand intérêt non seulement pour la détermination du Cê!ef- ficient de frottement, mais encore pour le calcul de la

dis tri butüm de

"ID

le 1 _...ng des nar"'.is.

Dans ce qui suit, l'étude bibliographique sera développée dans l'0rdre des idées qui viennent d'âtre présentées.

3. ECOULEMENT LA1HHAIRE

3.1. Détermination du champ des vitesses

Les équations de NAVIER qui régissent l' éc.-~ulement d'un fluide visqueux se réduisent dans notre cas à

--- = dP

+p'Vu

dz

(10)

3.1.1. Solutions analytiques

a )

.ê.

~s.:th.<?.rL-~ l!l_~i_r e e~ cent ri gu <ê_

Dans ce cas relativement simple, où les cr-ndi tions aux limites peuvent s'exprimer analytiquement9 HEYDA [16] est arrivé à rés0udre l'équation de NAVIER :

-L'équatinn

(10)

est associée des conditions aux limites : u

=

⁰ sur le c0ntour de la section (C1 ) et ^(c2) (Fig. 1).

Une solution de ( 10) avec u

=

0 sur (

c

₁) mais u

1=

^{0 sur}

(c2) est

1 dP 2 2

u₁

=

+ ·--- -- (r - a ) 4

p.

^{dz 1}

Il suffit de cherche une autre fr.,nction u2 telle quo { u 2 ^{= 0} sur (

c

_{1 )}

~ _{u 2}

= -

u1 sur (C 2 )

( Vu

₂ = 0

et la s0lution finale de

(10)

sera

(11)

(12)

(13)

Avec les co0rdonnées bipolaires ~ , ~ (Fig. 2) définies par

~=lL-(61-82)

11 = ,€

n rl r2

(10) donne, après transformations :

ul

=

^{+ 2._ dP (r2 +} c2) [1 - coth

'1

₁ th

l'\ J

4Y dz

+ .

...L

dP 2 2 ch!J_) (l

=

^{c ( -} _{- cothq 1}

4~ ^{dz chq + cosi; thf) ) (14)} Quand à u2, elle est, d'après (12) une fonction harmoni~ue9

et elle vérifie l'é~uation de LAPLACE. La résolution de cette é~uation, combinée avec les conditions aux limites (12) donne l'expression :

(15)

Les calculs, longs et compli~ués, sont donnés dans la réfé- rence [16]. Remplaçant (14) et (15) dans (13), on obtient :

b) S<2_2.tiog__ê..n tr:i.:_~g_l§._:h.~2.cèle _tFig. 3) :

L'analyse est de ECKERT et IRVINE [9]. L'é~uation de NAVIER s'écrit :

o2 u

b

² u 1 dP - + · - = - · -

Ox2 Oy2 t·t.- dz

(17)

les conditions aux limites s0nt

.

⁰

(u

=

0 pour y ⁼ + xtga ( 0 < x< s) lu

=

^{() pour x}

⁼

^{s (y< stga)}

Si on néglige la dernière c0nditinn (le triangle ost al0rs supposé non formé à sa base), l'intégrati0n de (17) donne une expression

l dP u

= -

2H dz

1

simple de u :

LJS~t~dl

(l - tg2a)

(18)

Une meilleure précision est 0btenue en fermant l'angle

avec un arc de cercle (écoulement dans un secteur circulaire) La forme de la secti0n implique alors l'utilisatinn des

coordonnées polaires (Fig. 4) et l'expression de u est plus compliquée que précédemment, on obtient :

(19)

Si on écrit (19) s0us une aQtre forme

on voit que le terme enI tient compte de l'effet de la paroi circulaire.

SPARROW [21] applique la même théorie, mais en considérant le cas réel (triangle au lieu de secteur circulaire), et 0btient l'expression de u sous une forme plus générale

.- · ....q )2i-t)n

U==-' JP Lr2(t~ ^(;)$:?.

e)-' c.Ir,

~cos {~i..f)ne

J

4 ~ d;z;. CJJS 2cx

;C-;

^t. \s

2a:

⁽²ⁿ⁾

où les cr,nstantes ci se 'déterminent à partir de la cr·ndi ti(lll aux limites : u

=

0 sur les points de la base du triangle.

3.1.2. Solution numérique

Lorsque le contour de la section ne permet pas d'exprimer les cr·ndi tions aux limites sous des formes simples 9 il n'est plus pr'ssi ble de résoudre analytiquement 1' équation de NAVIER. On utilise alors des méthodes numériques.

Selon la f0rme de la section, on choisit un système de coordonnées c~nvenable. Les deux systèmes les plus souvent utilisés sont les coordonnées polaires (c~nvenant par exem- ple aux grappes dans un tube [19] ou au secteur circulaire

[9])

et les coordonnées rectangulaires (convenant aux for- mes plus complexes).

L'équation

(10)

s'écrit - en coordonnées polaires

1 dP

=

0 (21)

p.

dz

en coordonnées rectangulaires

ô

^{2 u} +

~

^{2 u _ .1:_} .dP _ O

ox

²

oy

²

t"

^{dz - (22)}

Un maillage étant tracé sur la sectirm, les équatiPns (21) et (22) sont ensuite transf0rmées en équations aux différences finies. La méthode de relaxation est générale- ment utilisée pour résoudre ces équations.

Le problème a été ainsi traité par MARTINET [19] pour une grappe (canal à section circulaire contenant six barres en hexagr·:ne régulier autour d ¹ une barre centrale), et par GUNN et DARLING [14] pour les sections données à la figure 5.

3.2. Résultats

La vitesse moyenne est d0nnée par

V= 1

_{s s} i

^udS

Pour chaque valeur de dP/dz, lo champ des vitesses ayant été nbtenu, l'intégrati0n numérique donne la valeur de V, f et Re peuvent ainsi être calculés à partir de

(9)

et de

(7).

Les résultats classiques en cas d'une sectinn circulaire donnent ~

f = 16 Re f.Re

=

16

D'une façon analngue₉ pnur les sections n0n circulaires, on pr·se ^~

LRe = k (23)

On a trouvé que pour une géométrie donnée de la section, k est une constante. Ce résultat peut être prévu : en effet, (8) et (23) donnent :

dP dz

_.l. pV2 ^k

=

Dh Re

=

^2e_V

2~g_

Dh pVDh

= 2kM

v

D 2 h

(24)

On peut voir d'autre part que si u et dP/dz vérifient l'équation de NAVIER, a.u et a dP (a étant une constante quel-

) 1 ' · f · t · ^lT dzt d t · 1 ' dP t cnnque a ver1 1en auss1. v es one prop0r 10nne a dz e

(24) permet de conclure que k est une constante.

La méthnde numérique a été appliquée par GUNN et DARLING [14]. Les résultats d~nnent p0ur les quatre sections étudiées les valeurs suivantes de k:

4

Ils ont d'autre part vérifié ces résultats numériques par les mesures de Q et de dP/dz. La figure 6 montre que la théorie est en bon accord avec l'expérience.

Le cas d'un triangle isocèle a été traité théoriquement par SPARROW [21], ECKERT et IRVINE [9] ; des mesures de la perte de charge ont été effectuées par CARLSON et IRVIWE [2]. Une com- parais0n de l'analyse de SPARROW et de celle de ECKERT avec les résultats expérimentaux de CARLSON et IRVINE (Fig.

7)

montre que l'analyse de SPARROW s'accorde bien avec les mesures (l'·"rdre de grandeur de l'écart : l

%).

L'analyse de ECKERT et IRVINE (sec- teur circulaire) est bonne pour les faibles valeurs de a seule- ment, ce qui est normal, car si a est petit, l'arc de cercle fer- mant l'angle se rapproche de la base du triangle.

Les valeurs de k font ressortir l'effet de la forme géomé- trique de la section, et montrent que le diamètre hydraulique seul ne suffit pas pour caractériser la géométrie de la section. L'étu- de de COURTAUD, RICQUE et MARTINET [3] a mis ce fait en évidence ces auteurs utilisent Lm canal cylindrique à section circulaire de diamètre 100 mm c~ntenant six barres de diam3tre 25 mm dispo- sées en hexagone régulier autour d'une barre centrale. Los pDsi- tions de çes six barres peuvent 8tre modifiées. On a pu ainsi changer la f0.rme géométrique de la section tnut en maintenant fixe la valeur du diamètre hydraulique (la section de passage S ainsi que le périmètre mouillé

X

ne changent pas). Le paramètre

;_ ..

"'''! ^~;-;-. '

choisi ici p("·Ur caractériser la géométrie est le jeu j entre cha- cune des six barres et la barre centrale. Les résultats numériques dcnnent

j 0 2,5 ₅ 6,25 7,5 ¹⁰ 12,5 mm

k ll 15,2 19,5 21 21 17,4 12,2

Ces résultats sont vérifiés par les mesures expérimentales (fi- gure 8).

On v0it que pour une même valeur du diamètre hydraulique, k varie d'une manière importante avec la f0rme de la section. Les valeurs de k se situent de nart et d'autre de la valeur k

=

16 propre à la géométrie circulaire, et kmax est de l'ordre du double de kmin• On peut donc commettre des erreurs très importantes en appliquant la formule du cas des sectir1ns circulaires au cas des géométries complexes pour calculer la perte de charge.

3. 3. Conclusüm

De toute faç(m, l'extension de la formule en section cir- culaire que nous venons de mentionner serait commode pnur les calculs, mais non indispensable, puisque le problème théorique peut être résolu analytiquement ou numériquement. Tous les résul- tats précédents confirment la vaiidité de ces méthodes de calcul.

Dans la pratique, le problème peut être considéré comme résolu en écoulement laminaire : étant d0nné la géométrie de la sectinn, les propriétés physiques du fluide et le débit de l'écou- lement, on sait calculer avec une bonne précision le coefficient de frottement f et la perte de charge.

4 • EC OULElYIENT TURBULENT

Dans les applications, les écoulements turbulents se ren- contrent plus souvent que les écoulements laminaires. Leur étude pré- sente un plus grand intérêt, mais aussi une plus grande difficulté : ici, on ne peut plus résoudre l'équation de NAVIER (qui est touj0urs valable instantanément) à cause de la turbulence. Une solution théori- que n'est possible que moyennant des hypothèses simplificatrices qui ne conduisent certainement pas à une précisinn aussi bonne qu'en écou- lement laminaire.

Certains auteurs (DEISSLER et TAYLUR [5], [6], HARNETT [15]

suivent la même méthode que pour les écrmlements laminaires : chercher d'abord le champ des vitesses, et c0rréler ensuite le cnefficient do frottement.

D'autres (GUNN et DARLING [14]) donnent l'idée d'une trans- position des résultats des écoulements laminaires en écoulements tur- bulents' et cherchent une relati0n entre les qua tres facteurs f

ce '

fct' fnr , fnt' les trois premiers facteurs p0uvant être calculés avec précision, le quatrième s'en déduit.

D'autres enfin (~J.ŒIEN

[18])

appliquent la fnrmule de

COLEBROOK, valable en secti0n circulaire, aux secti0ns non circulaires, en modifiant pour ces derni8res le diamètre hydraulique.

4.1. L'analyse de DEISSLER

[4] [5] [6]

Elle consiste d'abord à chercher, en écoulement turbulent, un profil universel des vitesses le long d'une ligne normale à la paroi. A partir de ce profil, on détermine graphiquement le champ des vitesses dans la section.

...

- 13 - 4.1.1. Profil universel des vitesses

On écrit 1' équatir'n de base : T ^{= (} ~ + ^{pt, )} .<1.~

dy

sous forme adimensionnelle

(25)

( 26)

Les c0nsidérati0ns des turbulences [4] c~nduisent à l'ex- pressi0n de

~

î = n ²uy ( 1 - e

r·l

^{p )}

(27)

où n est une constante déterminée expérimentalement.

En supp0sant que

- les propriétés physiques du fluide ne varient pas,

- les variatir,ns de 1: n'ont pas d'effet sur la distribution des vitesses,

on peut rendre

(27)

adimonsionnel et écrire

(26)

s0us la forme

ou

du+ = dy+

0

1

d +

:L. ₍₂₈₎

Loin de la paroi, on peut négliger l'effet de la viscosité moléculaire devant l'effet de la turbulence, et l'intégra- ti0n de

(26)

conduit à la forme classique de la distribu- tion logarithmique des vitesses

1 1) +

u+ - u

1+

= -

^{{n (-L-)}

m y+

1

(29)

y1+détermine la limite entre les deux régi0ns, elle est déterminée expérimentalement.

Les résultats expérimentaux s'accordent bien avec ces deux expressions u+(y+) (Fig.

9).

Le pr0fil universel des vites- ses le long d'une ligne normale à la paroi est donc déter- minés.

4.1.2. Tracé du réseau des isovitesses

Le tracé s'effectue par itérati0n : on détermine d'abord approximativement le réseau des lignes gradient (lignes normales à chaque isovitesse). Ce tracé est facilité par les propriétés de symétrie de la sectinn. A partir du ré- seau ainsi obtenu, l'équilibre des fnrces agissant sur un élément (Fig. 10) compris entre deux lignes gradient donne

T₀ en fonction de dP/dz : T = 6.Sr ··®-dP

0 lxx.,· · _.

'

(Ô S et ~·~( snnt mesurés graphiquement).

Avec le profil universel u+(y+) on calcule la distribution des vitesses le long de chaque ligne n0rmale à la paroi, et

on trace le réseau des isovitesses. Ce réseau sert ensuite à c~rriger le réseau des lignes gradient tracé antérieure- ment 9 et l'on recommence les calculs avec les nouvelles lignes gradient. L'intégration du champ des vitesses obte- nu donne enfin la vitesse moyenne V.

4.1.3. Résultats

DEISSLER et TAYL0R ont appliqué cette analyse à une sectinn annulaire excentrique [5] (Fig. 11), à une secti0n en

triangle équilatéral, et à une section carrée [6].

ffitill~ETT [15] traite le problème d'une sectinn rectangulaire par le même procédé mais en utilisant le profil universel des vitesses de Von KARMAN, et en dnnnant une petite modi- fication à l'analyse de DEISSLER : il applique le profil universel le long d'une ligne gradient au lieu d'une droite nnrmale à la paroi.

Au point de vue thé0rique, cette analyse app;rte une snlu- tion au problème, mais dans la pratique, elle ne présente pas un grand intérêt car d'une part la méthode graphique nécessite plusieurs itérati0ns, d'autre part, elle conduit à des résultats qui ne sont pas en très bon accord avec les résultats expérimentaux 9 (dans certains cas, l'écart est supérieur à l'erreur que l'on ferait en utilisant directe- ment une équation du type COLEBROOK (Fig. 12).

4.2. La modification du diamètre hydraulique

(Corrélati0n empirique dnnnée par MARIEN

[18]).

MARIEN étudie la perte de charge dans le cas d'une barre avec ou sans ailettes posée sur la paroi intérieure du canal de section circulaire ou carrée (Fig. 13). Il texte d'abord la ¹¹règle du diamètre hydraulique". Ses résultats semblent crmfirmer la validité de cette règle pour des sectinns carrées et circulaires, avec ou sans chargement de barre à ailettes longitudinales

(DEISSLER [6] trouve cependant un écart d'environ 10% entre la règle du diamètre hydraulique et les mesures expérimentales).

Cependant pour les secti0ns chargées d'une barre sans ailette, cette règle ne s'applique plus.

Cette non validité semble essentiellement pr0venir du re- trécissemont de la sectir'n libre p()ur l'écoulement près du c()ntact entre la conduite et le chargement.

Dans les graphiques f(Re) les points expérimentaux se trouvent toujours au-dessnus de la c0urbe de COLEBROOK c0rrespon- dant aux sections circulaires. Pour "relever" ces points afin de

pouvoir utiliser la courbe de COLEBROOK, c'est-'à-dire pour obtenir des valeurs plus grande de f, il suffirait, dans l'expression

(9):

f

=

^dP

dz

Dh

d'intrnduire une valeur plus grande de Dh.

Cette majorati""'n de Dh est basée sur l'idée suivante : 1¹ écoulement dans les c0ins aigu,s de la sectj_,în n'appartient pas au noyau turbulent (on sait que la tension tangentielle à la pa- roi diminue rapidement quand on s'approche du sommet d'un angle aigu, ot à ce sommet, la tension tangentielle est nulle). Ces coins ne c·..,ntribuent pratiquement pas à la perte de charge dP/dz, et pr:•ur le calcul de dP/dz on devrait tenir c0mpte seulement du noyau turbulent.

La suppressir.n des parties avoisinant le contact tangent entraîne une réduction importante du périm9tre mouillé mais modifie peu la section S de l'écoulement, on peut ainsi nbtenir l'accroissement v0ulu do Dh, car Dh

= 48/X

Le problème est maintenant de déterminer les -parties à supprimer. L'auteur propose une cr,rrélation donnant l'angle a

(Fig. 14), qui détermine ces parties à supprimer, en fonction du rapport des rayons de courbure des deux surfaces en cnntact ; mais cette corrélation est entièrement empirique.

Il émet aussi l'idée selon laquelle on pourrait accéder théoriquement au noyau turbulent qui permet de déterminer le

n0uveau diamètre hydraulique : on trace le réseau des isovitesses, et à l'aide du profil universel u+(y+), détermine l'épaisseur de la cnuche limite, la frontière de cette couche fixe le noyau tur- bulent. Cependant, près des sommets des coins aigus l'expression universelle du profil des vitesses ne doit plus être valable d'après [10] et les expériences. Dans le cas des cylindres tan- gents intérieurement, cette méthr:de conduit à un diamètre hydrau- lique qui varie très rapidement avec le nombre de REYNOLDS et les courbes f(Re) obtenues ont une pente très différente de celle de

COLEBROOK, ce qui ne se vérifie pas expérimentalement.

4. 3. La ccrrélatirm de GUNlf et DARLING [14]

C'est une c0rrélatinn empirique, mais qui présente un caractère très général et peut s'appliquer à des sectinns de n ¹ imp··)rte quelle ft'lrme. L'idée de base en est d'utiliser le rapp,.,rt k _c

/k

_n (k _c : c0efficient en secti"!n circula:Lre, et kn coefficient en section n0n circulaire) pour transposer les ré- sultats des écoulements. laminaires aux écoulements turbulents.

En écoulement turbulent, la valeur de

1Q

n'est pas enns- tante le lr:ng des parois, mais elle tend à s'unifnrmiser p0ur les valeurs de Re tr~s grandes : l'effet de la forme de la sec- tion s'atténue, et il disparaît lnrsque Lo devient constant le l0ng du crntour , et le coefficient de frottement f n'est alors fonction de la géométrie que par le diamètre hydraulique.

Cependant, si Re n'est pas tr~s grand, f dépend, en plus, de la forme géométrique de la sectinn. Or, nn a vu au § 3.2.

qu'en écoulement laminaire, cette f~rme géométrique peut être caractérisée par k. Il est lngique de penser que la constante k utilisée en écoulement laminaire peut servir, en écoulement tur- bulent, à traduire l'effet de la fr·rme géoraétrique de la section.

Autrement dit, une équivalence entre fei et fnt entraînera une équivalence entre fct et fnt• En testant des canaux de géométries différentes (Fig. 5), GUNN et DARLING snnt arrivés à établir la corrélatinn suivante :

ou f k

(~) ₌ (....2.)0,45 f t k

n n

avec a = Re - d_OOO 106

o kc

t. n ( --) exp ( - kn

e -a

Re - 3000)

106

(30)

(31)

Le paramètre cherché est fnt• kc et kn peuvent être cal- culés d'une manière précise par une des méthodes expr'sées plus haut ( § 3) 1 et fct est dr;nné par une loi classique (lr•i de BLASIUS, de COLEBROOK ou de NIKURADSE).

La relation

(31)

exprime que l'influence de la forme géomé- trique de la section est maximum au cormnencement de la zcne tur- bulente (Re

=

^{3000 )} et s'atténue l~rsque Re augmente ; si

fe kc

Re~ oe,, (--)t ~ --- et les c('mrbes fn (Re) se rapprochent de la

fn kn

courbe fe·

Cette cnrrélation est vérifiée par les résultats expéri- rr.entaux de Cl.'URTAUD, RIC:~UE et I{ARTINET [3] (mesure de la perte de charge dans une grappe à sept barres en écoulement turbulent).

4.4.

Corrélatiens p0ur des cas spéciaux

Outre les études que nous vennns d'analyser Gt qui présen- tent un caractère assez général, il y a encore d'autres auteurs qui étudient la perte de charge dans l'optique bien particulière d'une application directe et précise. Dans ces cas, la géométrie de la section est bien définie, et en général les auteurs se bt··rnent à donner les résultats brutr3 des expériences, c'est par exemple le cas de la perte de charge dans les grappes dr,nt la géométrie est assez complexe et ne permet pas une généralisation facile des résultats. On peut citer parmi ces études celles ef- fectuées par KIDD et W&JTLAND [17] (section circulaire avec sept barres), par BERRIAUD [1] (section circulaire avec 19 barres), par GALLOWAY et EPSTEIN [11

J

(section hexagrmale avec 19 barres, et section carrée avec 16 barres).

Lorsque la fnrme géométrique de la section est moins C0m- plexe, une c0rrélation un peu plus générale peut être envisagée pnur les sectiornde la même catégorie.

Comme nous avnns remarqué en§ 2.2., pour les sections d ¹ une même catégc,rie, il faut deux param~tres p0ur définir une section : un premier paramètre qui en caractérise la dimension

(c'est en général le diamètre hydraulique), et un deuxième para- mètre qui en caractérise la forme géométrique~

Dans les formules du type

f =

l'effet du paramètre de dimensi0n est inclus dans Re, et celui du paramètre de forme, dans C. Il suffirait donc de corréler C en fr•ncti0n du paramètre de f~rme.

Etant d0nné le caractère d'application restreinte de ces études, nous n'entrer-ns pas en détail des résultats qui s~'nt

en général entièrement empiriques. Citons au passage seulement quelques études :

- section en triangle isocèle : ici, le facteur de f0rme est 2o:, l'angle au sommet. CARLSON et IRVINE [2] ont étudié ce cas et 0nt C':'irrélé empiriquement C en fnnction de 20:.

- sectinn annulaire excentrique : le facteur de forme est l'ex- centricité e, rappnrt de la distance entre les centres des cercles et la différence de leurs rayons :

e

=

^d

DISKIND [7] donne une corrélatinn de la fnrme f/~=

0

^{en fnnction}

de e.

- section rectangulaire : le facteur de ft-,rme est ~ , rappr>rt des entés du rectangle. Hhlll~ETT [15] mesure la perte de charge dans les c0nduites avec À variant de 1 à 10, et cr,nclut que

p0ur ces cnnduites, la règle du diam0tre hydraulique s'applique dans une zone assez large du non1bre de REYNOLDS (6.103 à 5.105 ).

5. DISTRIBUTION DE 't

0 LE LONG DE LA PAROI 5.1. En écoulement laminaire

Lorsque le champ des vitesses est obtenu analytiquel'wnt, la valeur de

t

₀(M) en un point M de la paroi ~eut s'obtenir par dérivation de l'expression du champ des vitesses suivant la nor- male à la paroi en

M [21]

1:0 (M)

= ~ (~:)M

Si le champ des vitesses est calculé numériquement, on utilise les méthodes graphiques, on trace le réseau des lignes gradient . CJn a mnntré en § 4 .1. 2. l'expression de "[

0 (M)

""Co(M)

= ^bs

^dP

lsx .. dz

~ S et !:J.:X.. snnt mesurés directement sur le réseau des lignes gradient tracé.

5.2. En écoulement turbulent

La méthode graphique précédente s'applique aussi, avec le tracé du réseau des lignes gradient obtenu à l'aide de l'ana- lyse de DEISSLER (§

4.1.).

L'étude de GELIN

[12] [13]

consiste en une transposition des résultats d'écoulement laminaire en écoulement turbulent.

Définissant la tension tangentielle moyenne par lom =

~ l

^{t:o(M) d'X_}

l'auteur étudie la répartitir.n du rapp ... rt T

0(M)/L.

0m le l"'ng du contour. Ses résultats confirment les deux hypothèsesEUivantes:

l) la distributicm de

t.

0 (M) / -r;

0m est indépendante du nombre de REYNOLDS, elle est d0nc la même en écoulement laminaire et

en écoulement turbulent.

2) Le nrofil universel des vitesses u+(y+) 0btenu en secti"'n cir- culaire est applicable à une section non circulaire dans les conditions suivantes

la distance y à la paroi est mesurée suivant une ligne nr)r- male aux isovitesses

- le rayon de courbure r

0 de la parr.i est suffisamment grand devant l'épaisseur du film laminaire, c'est-à-dire que r

0

doit vérifier une condition de la forme

ro\)u*~

25 5.2.1. Détermination théorique de [

T

₀^(M)]t

La première hyp0thèse donne

[ "[o (M)

le

[ "[om

J ,e

⁼

[ To

^(M)

Jt -·-·--

d'autre nart P v2

2

(32)

(33)

[ T..₀ (M) ]₀ et [ 1: ]0 sont calculables respectivement par

' t. ()ffi 1..

des méthodes expcsées au § 5.1. et § 3.' [ rom]t' par l'analyse de GUlu~ et DARLING par exemple(§

4.3.),

à l'aide de

(32)

et de

(33)

on peut donc obtenir théorique- ment la valeur de [ ~

0

^{(M) ]t •}

5.2.2. Détermination expérimentale de [ T

0(M)]t D'après la deuxième hypothèse,

- pour la couche laminaire u+

=

y+

soit u =

on a :

(34)

p0ur le n~yau turbulent u+

=

a + b Rn y+

soit u = A +

Bi

^{n y}

avec

u*(M) (a + b b u*(M)

(35)

Naturellement, la relation

(34)

suffit pour déterminer L₀(M) si on peut mesurer la distribution des vitesses dans la couche laminaire, mais dans la pratique, les mesures très près des parois présentent des difficultés très grandes, et l'intérêt principal des études de GELIN est de permettre une détermination de u*(M), d'où celle de ""'C₀ (M) par des mesures effectuées uniquement dans le noyau turbulent.

Désignons parT l'intersection des cnurbes

(34)

et

(35),

les résultats classiques en section circulaire mnntrent que

u+ T

=

YT ⁺

=

^N

=

^{11,6 (36)}

UT

=

^{u~ u*(M)}

=

^{Nu*(M) (37)}

(36) et (37) d"nnent uT YT

v =

^N2 (38)

Pour déterminer u*(M) on peut utiliser la méthode graphi- que suivante :

Sur un diagramme semi-logarithmique, on porte la relation (38) ; (37) permet de graduer la courbe obtenue en va- leurs de u*(M). La droite

(35)

passant par les points expérimentaux (0btenus avec des mesures de u en fonction de y dans le noyau turbulent) cnupe la courbe (38) en un point qui donne la valeur de u*(M), d'oÙ celle de

6. CONCLUSIONS

Les résultats de cette étude ont mr•ntré une conc•~rdance

de ces deux méth0des (§ 5.2.1. et§ 5.2.2.) dans la limite des erreurs de mesures.

De tnut ce qui précède, nous pouvons cnnclure que dans le calcul de la perte de charge au cas de géométries complexes, le diamètre hydraulique ne suffit pas pour caractériser la section, et les lois classiques telles que celles de BLASIUS ou de COLEBROOK ne constituent qu'une approximation. On peut obtenir des résultats plus précis en traitant le problème directement.

En écoulement laminaire, la solution analytique n'est possible que p0ur un petit nombre de cas simples, par cPntre, les méthodes numériques se prêtent à une utilisation très générale, de plus, elles snnt facilitées par les moyens de calcul modernes, et la précision obtenue est bonne.

En écoulement turbulent, n0us retenons la corrélation de GUNN et DARLING qui, bien que d'origine empirique, est vérifiée sur différentes formes de section, et a le mérite de représenter d'une façon l0gique l'effet du nombre de REYNOLDS.

mjb

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

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Relation entre le frottement turbulent et la convection forcée Calcul des coefficients d'échange locaux.

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Longitudinal flow between cylinders in square and triangular arrays and in a tube with square-edged entrance

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Frottement et transfert de chaleur dans les chenaux carrés et cir- culaires contenant des tubes lisses et des tubes munis d'ailetto"' Thèse de Docteur ès Sciences Appliquées

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Laminar flow in isosceles triangular ducta A.I.Ch.E. Journal (novembre 1962) 8, 5, p. 599

FIG.2 ·-COORDONNEES BIPOLAIRES

FIG.3 .• SECTION EN TRIANGLE

section 1

section 3

~

FIG.4 .• SECTEUR CIRCULAIRE

section 2

section 4

FIG.5_ LES SEtTIONS ETUDIEES PAR GUNN ET DARLING

o Section 1 a Section 4

Re

v Section 2 ' Section 3

FIG. 6._ RESULTATS DE GUNN ET. DARLING

Re

14 r---~

0/

résultats expérimentaux

o analyse de

--- ^/

----

...

0 ^~~

--

- - -

^{' , '}

~

,,

0 '

'

600

FIG. 7._ COMPARAISON DES RESULTATS EN SECTION TRIANGULAIRE ...

2et.

...

t5

Re= 250

6 théorie o expérience

jmm

10~---~---~---~~---~---~

12,5

2,5 5 ^{7{:> 10}

t· J.''

FIG.S._ RESULTATS DE COURTAUD

25,.~ ---~---~-+-H

u+

20

15

10

5

100 1000

...

FIG.9._ PROFIL UNIVER$EL DES VITESSES (OEJSSLER)

1 i

l ^{i i}

ll...tOO:

' \,Q· 01

j J ! .

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FIG.10- SECTION EN

TRIANGLE EQUILATERAL

FIG.1t.. RESEAU ·DES ISOVITE'SSES ( DEISS LER)

'

courbe de Colebrook ( sectron circulaire)

10-³~----~--~~~~~~~----~--~~~~~~ Re

i0⁴

FIG. f2._ RESULTATS DE DEISSLER {TRIANGLE)

FIG.f3._ LES SECTIONS ETUDIEES PAR MARIEN

•

FIG.t4 .• LA CORRELATION DE MARIEN