PERTE DE CHARGE LE LONG D'UN RIDEAU DE PALPLANCHES

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NOTULE HYDRAULIQUE HYDRAULIC BRIEF

Perte de charge le long d'un rideau de palplanches

The head losses along a sheet p i l i n g w a l l

Calcul de la perte de charge sur la face aval d'un rideau de palplanches, pour un écoulement plan en milieu poreux homogène et isotrope. Les résultats numériques sont donnés sons la forme d'un réseau de courbes.

The head losses on the downstream side of a sheet pilin'g, calculated as a two dimensional flow in a porous, homogeneous isotropic medium. Numerical results are given as a curve net.

D a n s u n a r t i c l e p r é c é d e n t ( № 1, 1955, p . 109), n o u s a v o n s c a l c u l é le d é b i t d ' i n f i l t r a t i o n s o u s u n r i d e a u de p a l p l a n c h e s . N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t c a l c u l e r le r a p p o r t d e la p e r t e de c h a r g e s u r la face a v a l , à la p e r t e d e c h a r g e t o t a l e . Ce r a p p o r t i n t e r v i e n t d a n s l ' é t u d e de la f o r m a t i o n d e s r e n a r d s [ 1 ] .

1. — R a p p e l s

N o u s a v o n s v u q u e le r é s e a u i s o t h e r m e q u i r e p r é s e n t e l ' é c o u l e m e n t (flg. 1 ) a p o u r é q u a t i o n :

z = a log [ V ^ ' s n Z ]

+ fclog [ V F s n ( K + i K ' — Z ) ] (1) Z = $ -(- i W e s t le p o t e n t i e l c o m p l e x e ,

z — x-\- iy e s t la v a r i a b l e c o m p l e x e d u p l a n s u r l e q u e l o n r e p r é s e n t e le r é s e a u .

A u p o i n t le p l u s b a s de la p a l p l a n c h e , le p o t e n t i e l $^c est d o n n é p a r :

s n $„ = - — /¹ —^d

v u

(2)

a v e c :

V

a 1 - f k

L e m o d u l e k est d é t e r m i n é p a r l ' o r d o n n é e du p o i n t C :

ij^c = a A r c t g a - f b A r c t g ß (3) avec :

Fia. i 1- — V

V ' ( a / 6 ) — k^x

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956022

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o n p e u t é c r i r e , d ' a p r è s (4) :

k^r = 1 — A- 1 + k

2 . — P e r t e d e c h a r g e

Il s'agit d ' é v a l u e r le r a p p o r t : ft⁰ — A^D K ( * ) — $ , ,

h^B — h^D K ( A )

La f o r m u l e (2) p e r m e t d ' é c r i r e : 1 + k s u2 $e

1 — k s n2 <I>

b 1 — k a • 1 + A

ou, en p o s a n t

, 1—k j , , 2 \ 7 7 T , 1 + A-

/CX =

1 + 7c 2 # „

. 1 + / m ⁽⁴⁾

(voir, p a r e x e m p l e , [ 2 ] , p . 2 3 ) . D ' a u t r e p a r t , ( [ 2 ] , p . 4) :

K (k) = - l i ^ - K (k\) = i - ± ^ L K' (*,)

et

u = 1 2

(1 + A^x) K'

On p e u t r é s o u d r e l ' é q u a t i o n (4) p a r a p p r o x i - m a t i o n s s u c c e s s i v e s , d e la f a ç o n s u i v a n t e ( [ 3 ] , p. 243) :

O n p a r t de la f o r m u l e :

dn (», A^) 1 + 2 S q'» cos 2 nx 1 + 2 S (— 1 )" q"² cos 2 nx

ou

q — e x p

E n p o s a n t

K(A-¹)- K' {k^x)_

% v

2 K ' (A^x)

2 <I>FF

1 + V

1 — V B / A i + V B T Ä

= - 2 g ' cos 2 x -j- </'⁸ cos 6 x -L . . . 1 + 2 ç'* cos 4

x

^{+ 2 r /}^{U i}^cos^{8 x +}

4-

= - (fig- 2) A a

Fin. 2

L e s f o n c t i o n s q' s o n t i n f é r i e u r e s à 1; d e s t a b l e s ( [ 2 ] , p . 114) d o n n e n t I o g^{1 0} q' e n f o n c t i o n d e A ]². P o u r c h a q u e v a l e u r d e k^l3 la f o r m u l e p r é c é d e n t e p e r m e t de c a l c u l e r x p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s - s i v e s .

O n c a l c u l e x^L p a r l ' é q u a t i o n : 1 — V B / A

2 q' cos 2

x

^x

1 + Y / B / A

p u i s x.,, q u i d o n n e u n e m e i l l e u r e p r é c i s i o n , p a r : 1 — V B / A

2 q ^t, cos 2

x

²^{+ r /}⁸^{cos 6}

x, 1 + "ä^cösTxr

1 + V B / A et a i n s i d e s u i t e .

L e r a p p o r t d e s p e r t e s d e c h a r g e est : 2 . r

n — 1

7

(3)

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P o u r c h a q u e v a l e u r d e k^u o n c a l c u l e y^c b p a r la f o r m u l e (3) d u p a r a g r a p h e 1, p u i s :

- ^ = 1

13 b

O n p e u t a l o r s t r a c e r les c o u r b e s d o n n a n t u en f o n c t i o n de c / B , p o u r d i v e r s e s v a l e u r s de A / B (fig. 2 ) .

L o r s q u e k^x e s t v o i s i n d e 1 ( A / B v o i s i n de 1 et c / B p e t i t ) , q' e s t a s s e z p e t i t p o u r q u ' o n p u i s s e n é g l i g e r q'^a o u m ê m e q^ri, o n o b t i e n t a l o r s r a p i d e - m e n t la v a l e u r d e u. Mais l o r s q u e k^x t e n d v e r s 0, ( c / B v o i s i n de 1), q' t e n d v e r s 1 et le c a l c u l d e u d e v i e n t p l u s p é n i b l e . D a n s ce c a s , o n p e u t u t i - l i s e r la f o r m u l e a s y m p t o t i q u e s u i v a n t e .

3 . — F o r m u l e a s y m p t o t i q u e

L o r s q u e A'^t e s t p e t i t et c / B v o i s i n de 1

Uc Va

b ~ 2 B

Uc y,^: _ o / / , A B et

<ln (u, k'i) ~ 1 ch v d o n c , d ' a p r è s (.4) :

4 A ch-

1 + * ,

et, en n é g l i g e a n t

4 A 2 * . 1 + * :

d e v a n t 1 8 A

Vue

log D ' a u t r e p a r t

K (ft¹ i ) — log —r ~ log 8 A _ F i n a l e m e n t

log ^{8 B}

, 8 B . . 8 A loa \-^{l o}g

% y^L

Cette f o r m u l e a été o b t e n u e p a r M . M A N D E I , p a r u n a u t r e p r o c é d é [ 1 ] . O n p e u t a u s s i l ' é c r i r e :

log 8 B

Si A / B ^ 1 0 , l ' e r r e u r est i n f é r i e u r e à 5.10—"

p a r d é f a u t , à p a r t i r de C / B = 0,7.

R . J A C Q U I O T . Ingénieur à la SOGREAH,

ii Grenoble.

RÉFÉRENCES

[1] J. MANDEL. — Ecoulement de l'eau sous une ligne de palplanchcs. Abaque pour la condition de renard.

Travaux, mars 1 9 5 1 , p. 2 7 3 .

[2] OHERHETTINGEH MAGNUS. — Anwendung der ellip- tischen Funktionen in Physik und Technik. Springer Berlin, 1 9 4 9 .

[ 3 ] MONTESSUS DE BALLOHE. — Leçons sur les fonctions elliptiques. Gauthier-Villars, 1 0 1 7 .