Le fonds du ciel nocturne (III)

HAL Id: hal-01444788

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Preprint submitted on 24 Jan 2017

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Le fonds du ciel nocturne (III)

Pierre Blanc

To cite this version:

The ba kground of night sky (part III)

Pierre BLANC

Internet : PierreBlan 38.fr

Résumé:Cetarti lefaitsuiteauxdeuxpré édents 1

,

2

proposantderésoudreleparadoxedeChéseaux, àsavoir l'obs uritédu iel no turne,par desinterféren esentreleslumièresémises pardesétoiles non ohérentesentreellesetinsusamment intensespourêtredéte téespar elles-mêmes.L'exposé i-après

omprend une étude plus pré ise du produit de variables aléatoires et montre omment la majeure partie desétoiles de l'Universn'est pasdéte téepar nosinstruments. Ces étoiles invisibles pourraient onstituer lamatière noire etexpliquerl'anomalie desvitesses observée danslesgalaxies.

Mots- lés :astrophysique,paradoxe deChéseaux-Olbers, lumière in ohérente,matière noire.

Abstra t : This arti le follows two previous ones

1,2

having the same title, intending to resolve the Chéseauxparadox,relatedto thedarknightsky,byinterferen esbetweenthelightsemittedbyseveral stars,in oherentandsubliminal,i.e.notluminousenoughtobedete tedbythemselves.Wewilldevelop

hereamoredetailedstudyofprodu tsofrandomvariablesandshowhowthegreatestpartofUniverse stars is not dete ted by our instruments. These invisible stars ould onstitute a dark matter and explainthe dis repan yofvelo ities observedinside galaxies.

Keywords:astrophysi s,Chéseaux-Olbersparadox, oherent light, darkmatter.

Dans des arti les pré édents

1,2

on a attribué le

défautde luminositédu iel no turne à des inter-féren esdestru tivesentrelerayonnement de plu-sieursétoiles.Uneappro heplusneestprésentée

i i,reposanttoujourssurl'additionve torielledes vibrationslumineuses.Mais,d'unepart,nous pré- iserons ette notionave lethéorèmedelalimite

entrale et, d'autre part, on verra qu'on ne doit pas étendre l'étude jusqu'à l'inni, le iel étant, bien auparavant, masqué par les étoiles

sublimi-nales invisibles dansles onditions d'observation.

Onredénitnotrenotiond'étoilesubliminale:elle

qualieuneétoiletroppeulumineusepourêtre vi-sible par elle-même. On appellera

a

0

le diamètre ou l'intensité de la plus faible étoile déte table.

Cette valeur

a

0

dépend bien sûr de l'instrument d'observation.Ilestadmisjusqu'i iquelalumière de es étoiles  en nombre inni  s'ajoutant les

unes auxautres, on devrait les déte ter etmême observerun ieltotalement brillant.Oriln'enest rien. C'est e qui onstitue le paradoxe de

Ché-seaux (ou d'Olbers-Chéseaux) apparu dès le 17e siè le etquenousnousproposons delever.

In two previous arti les

1,2

, we imputed the la k

ofluminosityofthenightskytodestru tive in ter-feren esbetween the radiation ofseveral stars. A slightly modiedapproa hissubmitted here, still

based on ve torial addition of light waves. But, on one hand, we are going to pre ise this point using the entral limit theorem and, on another

hand, we will nd that the omputations should not be extendedto innity, thesky being hidden well beforebytheseveral subliminalstars not

vi-sibleundertheobserving onditions.

We mustredene our on ept ofsubliminal star:

it refers to a star not enough luminous to be vi-sibleby itself.Wewill all

a

0

thediameter orthe intensity of thelowest dete table star. Of ourse,

this value depends on the observing instrument. It is generallya epted thatthe light emitted by these starstheir numberbeinginnite should

addtoea hotherandthenweshoulddete tthem and observe a entirely bright sky. In fa t, that is wrong.Thisisaproblemknownasthe

Cheseaux-Olbersparadoxandrisenassoonas17th entury. We intendhereto over omethis paradox.

Le hamp éle trique

E

produit par une étoile pon tuelle et reçu par un déte teur peut s'expri-mer sous ette forme

We an write the ele tri eld

E

produ ed by a pun tual star and re eived by a dete tor in this form

E = a cos α cos(ωt + ϕ)

(1)

où

ω

estlafréquen e(angulaire),

ϕ

laphaseet

α

l'angle entrele hamp émispar le milieu stellaire etune dire tion arbitraire perpendi ulaireà elle

d'observation. La fréquen e

ω

peut être regardée ommexe,entout asauniveaudeladéte tion. Lesautresvariablessontaléatoires.Pourl'instant, on grouperal'eet de l'amplitude

a

et elui de la polarisation

α

en une même variable aléatoire

a

, positiveou négative.

Nousnousproposonsdesimulerleseetsde om-positiondes hamps

E

de nombreusesétoiles par unensembledevariablesaléatoires omprisesdans l'intervalle

[−a

0

; a

0

]

où

a

0

représente l'amplitude lumineusedel'étoilesubliminaleou, equirevient

aumême,lasensibilitédudéte teur. Pour simpli-er,onutiliseral'intervalle[-1;1℄,ensesouvenant quel'amplitude 1 orrespond à

a

0

.

Nous utiliserons soit des tables de nombres aléa-toires publiés par l'université de Genève et

pro-duits par un pro édé optique, soit des nombres fournis par unefon tion informatique

rand

(nous n'avons d'ailleurs pas observé de diéren e

signi- ativeentre esdeuxpro édés,bienquel'emploi de lafon tion

rand

, trop déterministe, soit sujet à ritiques). Les nombres aléatoires fournis sont

ompris entre 0 et un grand nombre M; on les divise par M/2 eton leur soustrait 1. Tel sera le tableau quisimuleralerayonnement aléatoiredes étoiles subliminales.

where

ω

is the (angular) frequen y,

ϕ

the phase and

α

the angle between the eld produ ed by the star and an arbitrary dire tion

perpendi u-lartothatofobservation.Thefrequen y

ω

anbe onsideredasxed,atleastinthedete tionstage. The other variables are of random type. For the moment,wewillgrouptheee tsoftheamplitude

a

and the polarisation

α

under a unique random variable

a

,positive or negative.

We propose to simulate the omposition ee ts of

E

elds from numerous stars by a set of ran-dom variables in luded in the

[−a

0

; a

0

]

interval in whi h

a

0

represents the light amplitude of a subliminal star, or, in other words, the dete tor

sensitivity. In order to simplify, we will use the

[−1 ; 1]

interval,remembering thattheamplitude 1means

a

0

.

Wewillbeusingsetsofrandomnumberseditedby theGenevaUniversityandobtainedbyanopti al

pro ess as well as the numbers produ ed by the

rand

fun tion of programminglanguages (we did not observe any dieren e between the two sets,

although the various

rand

fun tions are riti i-zed sin e a part of determinism remains in their pro ess).Theoriginalrandom numbersareinthe

range from 0 up to a large number

M

. Dividing ea h by

M/2

and substra ting 1, we obtain the working intervall

[−1 ; 1]

whi h will simulate the radiations ofa setof numerous subliminalstars.

Le fa teur amplitude

Ave es onventions, les amplitudes se

répar-tissent omme le montre le nuage de lagure 1; leurfon tiondedistributionestune onstante po-sitive sur l'intervalle [-1; 1℄ et nulle au-dehors.

Dansnotresimulation(g.2),latropfaible quan-tité de nombres utilisés introduit une u tuation autour de la onstante. Il est bien onnu que la

moyenne est alors 0etlavarian e

σ

2

1

=

1

3

.

The amplitude fa tor

With these onventions, the amplitudes are

dis-persed as shownbythe loud ing. 1.Their dis-tributionfun tioniszerooutsidethe

[−1 ; 1]

inter-valandtends towardsa onstant insideit. Inour

simulation (g.2), the number of stars (5000) is toolowto observean authenti onstant whi his ae tedbya lassi alu tuation. Aswellknown,

thenthemeanis 0and thevarian e

σ

2

1

=

1

3

.

Fig.1.Statistiquepourune distributionuniforme. Statisti sforanuniformdistribution.

Le fa teur phase

Le se ond fa teur dans l'équation (1), os

ϕ

, est également aléatoire; mais 'est l'angle

ϕ

qui est distribué de manière uniforme. Quant au fa teur os

ϕ

,il estdistribué selon laloi deprobabilité

The phase fa tor

The se ond fa tor in equation (1), os

ϕ

, is also of random nature; but it is the angle

ϕ

whi h is uniformly distributed. As to the os

ϕ

term, it is distributeda ordingtheprobability law

P(x) = 1/(π

p

1 − x

2

)

(2)

(voir par exemple réf.2, p. 7) dont l'intégrale est

bienégaleà1etdontlavarian e

σ

2

2

esttelleque:

(see for instan eRef.2, p.7) theintegralof

P(x)

equals1 and itsvarian e

σ

2

2

is givenby:

σ

2

2

=

1

π

Z

1

−1

x

2

dx

√

1 − x

2

=

1

2π

[

Ar sin

x]

1 -1

=

1

2

(3)

Dans lagure4, l'histogramme tiré dela simula-tions'adapte bienà lavaleur théorique de

P(x)

.

In gure4, thehistogram issuedfrom simulation tswell withthetheoreti al valueof

P(x)

.

Fig.3.Statistiqueave letermedephase. Fig.4.Densitédeprobabilité

P

de os

ϕ

. Statisti swiththephasefa tor. Probabilitydensity

P

of os

ϕ

.

Le hampéle trique

Le hampéle trique

E

estleproduitauminimum de deux variables aléatoires. Nous avons remar-qué plus haut que la variable amplitude pouvait

être elle-même générée par omposition de deux variablesaléatoires, maisnous n'entiendronspas ompte pour l'instant et nous limiterons i i aux

variables

a

et

ϕ

,amplitude etphase.

Uneimagedeladistribution

H

de

E

dansl'espa e réel,tenant omptede es2fa teursaléatoires,est donnée dansla gure5 et sonhistogramme dans lagure6 ( ourbe rougeen mar hesd'es alier).

The ele tri eld

Theele tri eld

E

istheprodu toftwofa torsat least. We noti ed before thatthe variable of am-plitude ould be itself generated by omposition

betweentwodistin t randomvariables,butwedo not take thatinto a ount at themoment andwe are going to limit the dis ussion to the variables

amplitude andphase.

Thegure 5shows arepresentation bya loudof

the distribution

H

of

E

in the real spa e, taking into a ount the two random fa tors. Its histo-gramis givening. 6(redstair aselines).

Ladensitédeprobabilité

H(u)

du hamps'obtient à partir du produit entre la densité du terme de phase

P

modié et la densité des amplitudes

F

, égale à 1 dans l'intervalle [-1; 1℄ et nulle en de-hors. Il vient :

The probability density

H(u)

of eld

E

is given by amodied produ tbetween the density ofthe phasefa tor

P

andtheamplitudesdensity

F

equal to1inthe[-1;1℄intervalandnulloutside.We an write:

H(u) =

Z

∞

−∞

F(x)

1

|x|

P



u

x



dx =

Z

1

−1

dx

√

x

2

− u

2

(4)

Nous n'avons pas trouvé de solution analytique pour la densité

H

. Elle est ependant pro he d'unefon tionAr sin

(x)

quiestl'intégralede

P(u)

( ourbe en pointillé bleu, gure6). Onpeut éga-lement her her une approximation en

−

Log

(x)

puisque ette fon tion représenterait

H

si

P(x)

était de la même forme que

F(x)

(variable aléa-toire uniforme). Cependant, ette fon tion

analy-tiqueprésentanttropdepiqué (kurtosis),on amé-liore son ajustement en l'ae tant d'un exposant de l'ordrede

1

2

( ourbe en tiretsnoirs).

De toutes façons, il nous est inutile de onnaître

l'expressionanalytiquede

H

pourpoursuivre ette étude. Il sura de onnaîtresamoyenne

µ

0

etsa varian e

σ

2

0

quise al ulentà partirdesvarian es

σ

2

1

,

σ

2

2

des fon tions de probabilités omposantes

F

et

P

etde leursmoyennes

µ

1

,

µ

2

.

We have not be able to nd an analyti solution for thedensity

H

.However, its histogram is lose to an Ar sinshape (dotted blueline inthegure 6) whi h is the integralof

P(x)

. Also we may at-tempt an approximation based on

−

Ln

(x)

, sin e thisfun tionwouldbetheexa tsolutionof equa-tion(4)if

P

hadthesamebehaviourthan

F

(uni-form random variable). However, sin e this

den-sity fun tion

H

shows a too large

kurtosis

, we improveitsmat hbyraisingittoapowerofabout

1

2

(dashedbla k urve).

Anyway,wedonotneedtheexa tanalyti

expres-sion of

H

for our purpose. It is enough to know its mean

µ

0

and its varian e

σ

2

0

depending from thevarian es

σ

2

1

,

σ

2

2

ofthe omponentprobability fun tions

F

et

P

etfromtheir means

µ

1

,

µ

2

.

µ

0

= µ

1

· µ

2

σ

2

0

= σ

2

1

σ

2

2

+ σ

2

1

µ

2

1

+ σ

2

2

µ

2

2

'est-à-dire:

µ

0

= 0

σ

2

0

= σ

2

1

σ

2

2

= 1/6

(5)

C'est à peu de hose près e qu'on al ule

numé-riquement ommevarian edesnombresaléatoires de lagure5.

Itisapproximativelythesamevaluethanthat

ob-tained as thevarian e of the random numbers in gure5.

Cas de plusieurs étoiles.

Ons'intéressemaintenant à

n

étoilessubliminales vuesdanslamêmeta hederésolution;onaaaire à

n

hamps

E

aléatoires,indépendants,dénissur le même intervalle, de même moyenne

µ = 0

et même varian e

σ

2

0

.Selon le théorème de la limite entrale,lasommede es hamps

E

i

onvergevers un hamp

E

n

obéissantàlaloidedistribution nor-male demême moyenne etde varian e

Case of several stars

We now onsider the ase of

n

subliminal stars seen into the same resolution spot; we are dea-lingwith

n

randomelds

E

,independent,dened on the same interval with the same mean

µ = 0

andthesamevarian e

σ

2

0

.A ordingtothe entral limittheorem,thesumoftheseelds onverges

to-wardsaeld

E

n

followingaGaussianlawwiththe same meanand avarian e given by

σ

2

n

= nσ

2

0

(6)

Pour unpetitnombred'étoiles,onseborneraaux simulations numériques. Onadditionne

n

foisdes hamps

E

0

,obéissantàlaloideprobabilité

H

.Ces nombres sont prélevésdans lestablesd'aléatoires de l'université de Genève, après normalisation à

l'intervalle [-1;1℄, ave , entre haque hamp, un dé alagealéatoiredonnéparlafon tion

rand

, e i pouréviter un risquede orrélation.

With a small number of stars, we will limit our-selves to digital simulations. We will add

n

elds

E

0

obeying the probability law

H

. The numbers are extra ted from the random tables published by the Geneva University, after normalization to

Selonlethéorème delalimite entrale, lafon tion vers laquelletendladensité

H

n

est:

A ordingtothe entrallimittheorem,thedensity fun tion

H

n

tends to thefun tion

K

n

(x) =

1

σ

n

√

2π

exp(−

x

2

2σ

2

n

)

with

σ

2

n

= nσ

2

0

(7)

Ave une sommation sur 4 étoiles, on onstate le resserrementdunuagedepoints(g.7).Son

histo-gramme en es alier est donné dans la gure 8. Il peut s'appuyer sur une ourbe en lo he dont la demi-largeur

σ

4

àhauteur

y

σ

= y

0

/

√

e = 0.607 y

0

est 0,79, e qui est pro he du résultat de l'addi-tionquadratiquethéorique desvarian esdonnant

σ

2

4

= 4 σ

2

0

= (0.816)

2

selonles relations (5)et(6).

Summing theelds of 4 stars, we an see a ons-tri tion in the loud (g. 7). Its stair ase

histo-gram is shown in g. 8 and an t with a Gaus-sian urve onstru tedwithahalf-width

σ

4

atthe height

y

σ

= y

0

/

√

e = 0.607 y

0

equalto 0.79,value loseto theresultofthetheoreti alquadrati ad-ditionofthevarian esgiving

σ

2

4

= 4 σ

2

0

= (0.816)

2

a ordingto therelations (5)and (6).

Fig.7.Distributiondu hamp

E

4

(4 étoiles) Fig.8Densitédeprobabilité

K

4

de

E

4

. Distributionofeld

E

4

(4stars). Probabilitydensityfun tion

K

4

of

E

4

. Ave unesommationsur16étoiles,on onstateun

resserrement2foisplusfortenvaleurrelative(g. 9).L'histogrammeenes alierestdonnédansla

-gure10.Il estpro hed'une ourbeen lo hedont la demi-largeur

σ

16

à la hauteur

1/

√

e

(

0.607 y

0

) est1.604, equiestvoisindurésultatdel'addition théorique desvarian es

σ

2

16

= 16 σ

2

0

= (1, 633)

2

.

Asummationwith16starsindu esapin h2times more signi ant in relative value (gure 9). The stair ase histogram an be seen gure 10. It is

lose to a Gaussian urve whose the half-width

σ

16

at theheight

1/

√

e

(

0.607 y

0

)is 1.604, thatis lose to the result of the theoreti al addition of thevarian es

σ

2

16

= 16 σ

2

0

= (1.633)

2

.

Fig. 9. Statistique de

E

ave 16 étoiles. Fig. 10. Densité de probabilité

K

16

. Statisti sdistributionof

E

with16stars. Probabilitydensity

K

16

of

E

.

Lumière émergente

Rappelons que la valeur 1 en abs isse représente l'amplitude

a

0

de l'onde émise par une étoile uniquedeluminositéjustesusantepour être dé-te tée. Pour onnaître la quantité de lumière

Q

émergeant d'un groupe de

n

étoiles situées géo-métriquement dans le même ne de résolution, onsommele arréde

E

pondéréparsadensitéde probabilité

K

n

hors del'intervalle [-1;1℄,d'où:

Light remaining

Let us not forget that the abs issa value 1 re-presents the amplitude of thewave emitted by a

single star with a luminosity justsu ient to be dete ted.Inordertoobtainthelightamount

Q

re-mainingofa

n

starsgeometri ally in ludedinside the same dete tion one and interfering between them,wemustintegratethesquareof

E

weighted by thevalue of

K

n

Q(n) =

1

σ

n

r 2

π

Z

∞

1

E

2

exp



₋

x

2

2 σ

2

n



dx

(8)

Cette quantité

Q

, al ulée numériquement ave

σ

2

n

= nσ

2

0

et

E = x

(en réalité

a

0

x

) se traduit par la ourbe

Q

dans lagure 11 i-dessous. Elle donne la puissan e lumineuse totale émise, après

interféren es, par

n

étoiles (

n > 2

) vues dans la même ta he de résolution.

La ourbe

R

,égaleà

Q/n

,donnelerendement lu-mineux dans le groupe des

n

étoiles. La ourbe notée

D = 1 − R

( ourbe supérieure) donne en quelque sorte le dé it relatif de e groupe, rap-port à

na

2

0

de la puissan e émise,

na

2

0

étant la puissan e qu'on re evrait de es

n

étoiles si elles n'interféraientpasentreelles.Lessommations nu-mériques dans les simulations i-dessus donnent respe tivement

R =

10%pour4étoileset

R =

15% pour16 étoiles (gures 8et 10respe tivement).

La ourbe

Q

montre,de plus, qu'ilfaut environ7 étoiles pour atteindre un seuil de déte tion quasi ertain. Le rendement lumineux moyen par étoile est d'àpeine 20%etle dé it unpeu supérieurà

80%.

This quantity

Q

, numeri ally omputed with

σ

2

n

= nσ

2

0

and

E = a

0

x

, evolves as shown in gure 11. This urve gives the total light power emitted, after interferen es, by

n

stars lustered insidethesame resolution spot.

Thegraph

R

,equalto

Q/n

,givestherelativelight ratio in this luster of

n

stars. The upper urve, noted

D

andequal to

1 − R

,givesto some extent therelativede itofthisgroup,ratiobetweenthe

real emitted power and

na

2

0

,powerre eived from these stars if they should not interfere with ea h other.Digitalsummationsinour previous

simula-tionsyield thefollowing results :

R = 10%

with4 starsand

R = 15%

with16stars(gures8and10 respe tively).

Moreover, the graph

Q

shows that about 7 stars are ne essary to rea h the almost ertain

dete -tion threshold. Themean light e ien y per star isbarely20%andthede itsomewhat morethan 80%.

n

Fig.11.En fon tiondunombred'étoiles

n

: puissan elumineuserésiduelle

Q

, oe ientdeluminosité

R

parétoile

et oe ientdedé it

D

.

Fig.11.Asafun tion of

n

,numberofstars: residuallightpower

Q

,lighte ien y

R

perstar

andde it oe ient

D

.

Laquasi onstan edesrapports

R

et

D

etla linéa-rité de

Q

peuvent paraître surprenantes. Mais on les omprendra à l'aide de la gure 12.La

quan-tité

Q

,sielle résultaitd'uneintégration allant de 0 àl'inni serait égaleà lademi-varian e de l'ex-pressionexp

(−x

2

/2σ

2

n

)

, 'est-à-direà

1

2

nσ

2

0

.Orla partie manquante,l'intégraledelamême fon tion

de0à 1,nonseulement estdefaiblevaleur,mais, omme le montre la gure 12, varie peu ave

n

. D'où laquasilinéaritéde

Q

.

The quasi- onstan y of the ratios

R

and

D

and the linearity of

Q

may seem surprising. But the gure 12 an help to understand this behaviour.

Thequantity

Q

,ifitwastheresultof an integra-tionfrom0to innitywouldbe equal tothe half-varian e of the expression exp

(−x

2

/2σ

2

n

)

, that is

1

2

nσ

2

0

.Nowthemissingpart, integralof thesame expression from 0 to 1, is not only of low value, but also almost onstant versus

n

. This explain why

Q

isalmost linear.

Fig.12.Tra épourlesvaleurs

n =

1,2,3de

σ

n

,dela relation

x

2

exp

(−x

2

/2nσ

2

0

)

enfon tionde

x

.L'intégralede es ourbesestégaleàlavarian edeexp

(−x

2

/2nσ

2

0

)

. Onyremarquelepeud'importan edelapartiesituée

dansl'intervalle

[−1; 1]

etsafaiblevariationselon

n

. Fig12.Plotoftherelation

x

2

exp

(−x

2

/2nσ

2

0

)

versus

x

a ordingthevalues

n =

1,2,3for

σ

_n

.Theintegralofthese

plotsisequaltothevarian eofexp

(−x

2

/2nσ

2

0

)

. Noti ethelowweightofthepartinside

[−1; 1]

interval

Variation ave

σ

0

Dans la ta he observée, les étoiles ne sont pas

toutes demême taille, maispeuvent êtrede taille inférieure. Cela revient à introduire une nouvelle variablealéatoire en plus desdeuxpremières. On

peuttenter d'étudier, dans la relation (8), la v a-riationdelaluminosité,ou elledurendement

R

, ave lavarian e

σ

2

0

de ladistribution des hamps éle tromagnétiques. On obtient pour

R

la ourbe tra ée i-dessous. Onyarepérélesabs isses

σ

0

=

p1/12

,

p1/6

et

p1/3

,qui orrespondent à l'in-tervention de 1, 2 ou 3 variables statistiques. Le omportement reste le même, mais ave des v a-leurs nales sensiblement modiées.

Variation with

σ

0

However, in the observed spot, the stars have

not the same size, but they an be smaller than

a

0

. Then, we ould introdu e a new random v a-riable, in addition to the two rst ones. The

re-lation (8), giving the residual luminosity, as well as thee ien y

R

, an be studied with dierent varian es

σ

2

0

for thedistributionofthe ele troma-gneti elds. Then we obtain for

R

the urve in gure 13, in whi h we have pointed the abs issa

σ

0

=

p1/12

,

p1/6

and

p1/3

orresponding to 1,2or 3random variables.Theoverallbehaviour is the same, but the nal values are signi antly modied.

Fig.13.Variationdurendement

R

enfon tiondel'é artquadratiquemoyen

σ

0

,

don dunombredevariablesaléatoires.

Fig13. Variationofthee ien y

R

asafun tionofthestandarddeviation

σ

0

, thereforeofthenumberofrandomvariables.

Le iel noir

Nosinstrumentsd'optiqueontunesensibiliténie etune résolution limitée qui traduitl'image d'un pointpar uneta he.Onpeutdirequ'un point du iel resteobs ur si,àtraverslesystèmeoptique:

- sa ta he n'englobe au une étoile de puissan e

supérieureau seuilde visibilité dusystème,

- et n'englobe pas un nombre d'étoiles sublimi-nales susant pour dépasser e seuil.

Ce nombre ditsusant est élevé et rarement

at-teint, puisqu'ilfaudrait quesoit juxtaposéesdans lata he examinée aumoins7étoiles subliminales ou beau oupplus de taille inférieure.

Onpourraitpenser,enregardantla ourbe

Q

dela gure11quelepointobservédeviendraittoujours

visible par addition des ontributions d'étoiles, même peulumineuses, maisen nombreinni.

Ce in'estpaspossible.Lasommationnepeutêtre étendue à l'inni par e que les premières étoiles

subliminales(lespluspro hes),mêmenonvisibles, a hent les étoiles situées au-dela. La gure 14 rappelle grossièrement et eet, ave 7 étoiles de

diamètre

a

0

/3

,régulièrementréparties, a hantle reste du iel.

The dark sky

Our opti al instruments have a nite sensitivity and nite resolution translating the image of a pointinto anitespot.We ansaythatanypoint ofskyremainsdarkif,throughtheopti alsystem:

-its spotdoesnot in ludeanystarof sizegreater

than thedete tionthreshold,

- and doesnot in lude subliminalstars numerous

enough to ex eed this threshold.

Thisnumberofstarsis relativelylargeand rarely

rea hed,sin e at least7 subliminalstars juxtapo-sedinto the spot arerequired or a largernumber ofsmaller stars.

It might be thought that the

Q

urve in gure 11 will eventually rea h the domain of visibility by addition of a very large number of very faint stars, butininnitenumber.

Thiseventualityisex luded.Thesummation an-notbeexpandedadinnitumsin etherst

subli-minalstars(thatis,the losestones),eventhough invisible, hide the stars situated farther. The -gure14roughlyshowsthisee t,withonly7stars ofa

a

0

/3

diameter,evenly distributed, hidingthe rest ofthesky.

Fig.14.S hémagrossiermontrantle masquagedesétoileslointainesparles

7pluspro hesdediamètre

a

0

/3

.

L'obs uritémoyennedu ielno turnerésultedon de la onjugaison des interféren es entre étoiles pro hes ave le masquage du fond du iel par

elles- i.

Il onvient de remarquer que la notion

d'obs u-rité dépend de l'instrument et qu'une expli ation de type absolu, omme la nitude de l'Univers, ne peut pas en être l'expli ation, du moins dans

l'état a tuel de nos instruments. De même, un masquage reposant uniquement surles étoiles les pluspro hessansinterféren esnepeutpas

onve-nir, sinonle iel seraituniformément brillant.

Le taux de masquage quasi xe

D

, énon é plus haut, se réfère uniquement à la ontribution des interféren es.Cetauxn'estplusvalable quand in-tervientlemasquagegéométriquedesétoiles

loin-tainesparlespluspro hes;ildevient alors dépen-dant de la sensibilité de l'instrument

a

0

. Il faut remarquer également que ette analyse suppose

unedistributionuniformed'étoilesetdon qu'elle neseraitplusvalablesions'appro haitdeslimites de l'Univers.

Thereforethe auseofthemeannightdarknessof skyis indeed the onjugation of theinterferen es between the losest stars and the masking of the

skyba kground bythese ones.

Here it must be noted that the notion of

dark-nessdependsontheinstrument andthatan abso-lute explanation, like the nite dimension of the Universe, annot be satisfa tory, at least on the

urrent stateofour instruments. Likewise,a mas-king based only on the losest stars without in-terferen es is not appropriate, otherwise the sky

should be uniformlybright.

The masking rate

D

,pra ti ally onstant as sta-ted above, is related only to the ontribution of light interferen es. This rate is no longer valid whenthe loseststarshidethemostremoteones;

thenitdependsfrom thesensitivity

a

0

ofthe ob-servationinstrument.Wemustalsonotethatthis analysisisbasedonauniformdistributionofstars

and would fail if the limits of the Universe were rea hed.

La matière noire?

Il a été observé parfois une distribution

anor-male des vitesses des étoiles dans ertaines ga-laxies. Cette anomalie pourrait s'expliquer par la présen e, en fort pour entage, de matière

gra-vitationnelle invisible. Or, d'après le présent ar-ti le, la probabilité pour que les étoiles sublimi-nales, même pro hes, ne soient pas déte tées est

de l'ordre de 80%. Ces petites étoiles pourraient être andidates à l'expli ation de l'anomalie gra-vitationnelle dans es galaxies, sans avoir besoin

de re ourirà de lamatièrein onnue surTerre.

The dark matter?

An abnormal distribution of star velo ities has

been observedsometimesintosomegalaxies.This anomaly ould be explainedbyalarge amount of gravitating but invisible matter inside these

ga-laxies. Then, after this arti le, it is likely that subliminal stars, even the nearest, are not dete -ted to a 80% extent. These small stars ould be

andidatesfortheexplanationofthegravitational anomalyinthegalaxieswithoutresortingtosome matterunknown on Earth.