N"SPECJAL BULLE-DNDEL'UNIONDESPRYSIClENS 125
/ A PROPOS DU;iTf”,UXCEtEgERTRAND
de KEPLER ET ELLIPTIQUE HARMONIQUE
Claude TERRIEN Lycée Bertran de Bonn, BP 84
24001 Périgueux Cedex
INTRODUCTION
Dans un article récent relatif à la comparaison des mouvements de
Képler et elliptique harmonique (voir bibliographie), l'auteur
insiste sur le lien fondamental mis en évidence pour la première
fois par le mathématicien J. BERTRAND (1873) : parmi tous les
mouvements à accélération centrale, d'énergie potentielle
attractive uniquement fonction de la distance :
u-z+
(n # 0, m >O lorsque n>O*<O lorsque nt0)
seuls, deux d'entre eux ont une trajectoire fermée :
le mouvement de Képler à potentiel newtonien : n = 1
et le mouvement elliptique harmonique a potentiel harmonique :
n = -2.
Nous nous proposons de rappeler que ce théorème peut être associé
à la forme d'une intégrale.
Rappels de dvnamisue
Dans le plan (P) du mouvement à champ central de potentiel :
u=-o< ,
M
>>
le rayon vecteur : 0-U = r.2 -9 zï
la vitesse : V = dr = ;Z + r.&.V
d et le moment cinetique, perpendiculaire à
9 (PI :
126 RULLETINDEL'UNIONDESPHYSICIENS
L'énergie mécanique :
E = T+U = 1/2 m.v2-s
LZ 4
= 1/2 m.kZ l - - -
2mr’ f"
= constante,
déterminée par les conditions initiales.
La forme du "potentiel effectif"
LL 4
u,rr = XL --
dépend bien sûr du potentielcentral. f"
La vitesse radiale :
. dr
r= - =+
dt -
1 ,,‘m’ ( E - %,J
et. d'après (1) :Le sens de variation de la fonction r(t) change lorsque k
s'annule. L'équation : E-U,*= = 0
_L2 -
ou : E = “,-f = - - -
Lnrz rn (3)
détermine donc les "points de rebroussement", c'est-a-dire les
limites du domaine du mouvement en fonction de la distance au
centre.
Exemple 1 : Le potentiel newtonien ou coulombien attractif
r ml- et r maX, racines de l'kquation
LZ a(
E=- --
Lt-Il r2 7
r max = _ _ --c +
r min
2E -
sont égaux à :
(4)
* Ces expressions, comme la figure ci-dessus, montrent que
l'existence d'une trajectoire sans branche infinie suppose :
-S<E <O
B.U.P. no spécial enseignement supérieur
BULLETINDEL'UNTONDESPHYSICIENS 127
EXemDle 2 Le potentiel harmonique :
U cif
n = -2
r2 ,.,%,, et rz ma= sont 6gaux A
pour que la trajectoire n'ait pas
branche infinie, il faut :
de
Condi tion de fermeture d'une trajectoire sans branche infinie
D'après (2). lorsque r varie de rmin à rmax, le rayon vecteur
tourne de :
/ P
NL k2 (17 bm ( E: - U,if) frrn
et par symétrie, au bout d'une pbriode radiale.
Pour que la trajectoire soit fermée, il faut et il suffit donc, qu'a l'issue de m allers et retours : rmr., + rmsx ---+rmin,
le rayon vecteur ait repris sa position initiale :
?.lJ-f 1 m ACI (p et m entiers)
0" Lic:e PTT.
M
A 8 doit être une fraction rationnelle de la période 2TT des
fonctions circulaires.
128 BULLETIN DE L-UNION DES PHYSICIENS
La solution la plus simple, si elle existe, sera obtenue lorsque
la primitive de la fonction :
sera une fraction rationnelle de la fonction inverse d'une
fonction trigonometrique.
f(r) ne peut que conduire aux fonctions Arc sin R ou Arc COS R.
Encore faut-il pouvoir la mettre sous la forme :
d fi Ir)
f(r).dr = 5 "~ x constante,
Ceci n'est possible que dans les deux cas particuliers attendus :
1 - le uotentiel est newtonien : n=l o( >o
Ck’.dr = pr$z+.. = &
P(r) peut s'écrire :
P(r) z(2m.E + mF
En posant :
En se rappelant que rmzn et rmax sont les racines de P (r), (7)
montre que R(r,z,) = -1 et R(r,..,) = +l
4e=
2 -y= 21 Arc COS R 1 +1 = 2Tr-1
B.U.P.
no spécial enseignement supérieurBULLElTN DE L’UNION DES PHYSICIENS 129
2 - le potentiel est harmonique : n = -2 O<c0
En posant
Ld encore : R(rmt,) = -1 et
Pour les autres valeurs de n, il est possible de montrer que le
calcul de l'intégrale (6) ne peut pas aboutir a une fraction rationnelle de 2 ~ -(voir annexe)
130 BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS
CaNCLUSION
Cette propriete commune de la fermeture des trajectoires des
mouvements Kbplerien et harmonique, exprimee par le théoreme de
Bertrand, peut donc être associée aux deux seules possibilit& de
quadrature conduisant a une fonction Arc COS de l'intégrale:
L.dr
\/ 2m.P (E - U-e,)
Biblioqraphie
(1) J. SIVARDIERE - Comparaison des mouvements de Kepler et
elliptique harmonique. BUP n" 751 de F&zrier 1993.
(2) L. LANDAU et E. LIFCHITZ - Mécanique Editions MIR de Moscou (1969).
(3) J. BERTRAND Comptes rendus des seances de l'Acad&mie des Sciences.
Tome LXXVII, n" 16 pages 849 a 853 - 2éme semestre de 1873.
B.U.P. no spécial enseignement suptrieur
BULLETIN DEL'UNIONDESPHYSICIENS 131
Il s'agit de montrer que le calcul de l'integrale (6) ne peut aboutir d
une fraction rationnelle de 2 ïI que pour les valeurs de n: 1 et -2.
La d&marche est celle de J. BERTRAND (Reference 3).
Pour que la trajectoire soit feqm%, il faut et il suffit que :
/ rm--
Ae zP2-rr = 2 dr (6)
m 20 2m
rm.*r. - .E .r- + -.<.=a-” - r=
L2 L'
Les constantes E et L2 peuvent Btre expri&es en fonction de
r,... et r--x solutions de
2m 2m
-.E.P + -.y.= l -” - r2 = 0
L2 L2
Les 2 relations conduisent a :
2m r.“-= 2 - r”.*..2
et-.q = (rd.. r."_=)--2
L2 rm-=- - r-1.."
La relation (6) devient :
Si une solution existe, elle doit Btre telle que (9) soit satisfaite
v r...rn et r,,,,e etant constant, car s'il changeait d'une orbite d l'autre,
une variation*infiniment petite dans les conditions initiales se tradui-
rait par un changement fini des caractkistiques de la trajectoire.
Nous obtiendrons deux relations entre r et n en prenant deux couples de
valeurs de T...%~ et ra-- particuliers.
132 BULLETLNDEL'UNIONDESPHYSICIENS
l lhre relation : rmln et rrn-= sont infiniment peu diffhrents :
rmmz = =,"a- + "
r = r",l" + y u et y infiniment petits
et o~y~u
En negligeant les termes du 4e ordre, (9) devient :
L'inbgalitb 0 6 y 6 II impose n<2 (sinon l'expression sous le radical est
negative) et :
-.TT P = -
m @A
*
dy l-r
u . y - y’ = vz-n
e = - m &
Remarque : pour n = 2 ~
k P
T"as* est m , la trajectoire ne peut pas se refermer sur elle-miSme.
t 26~ relation : r-l= = 1 et r=-- 00
le= cas : n>O : (9) devient :
B.U.P. no spCcia1 enseignement supérieur
133
1 en posant : w = ~
r' - "/2
On en deduit
f=L=L
"m qui n'admet qu'une solution :
2-n
n=l f=l , c'est le potentiel newtonien.
m
et (9) devient :f.lT=
