ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1-1- INTRODUCTION
Grâce aux progrès scientifiques sur les modèles de comportement, les algorithmes et outils de simulations, et le prix de plus en plus bas de la puissance de calcul, il est de plus en plus courant de réaliser des études éléments finis pour estimer la tenue sismique des ouvrages d’arts et des bâtiments. Et ce, aussi bien dans la phase de conception ou contrôle de dimensionnement, que la réévaluation ou renforcement de l’existant [1].
La littérature est riche en méthodes d’études sismiques de structures de génie civil : spectrale, transitoire, statique, linéaire, non linéaire. Afin de réaliser le meilleur choix parmi elles, plusieurs critères entrent en compte ; le plus important concerne leur domaine de validité. Pour les structures régulières dont le comportement ne présente pas de singularité particulière, les méthodes les plus simples peuvent convenir. Surtout s’il s’agit de la méthode modale spectrale la plus élémentaire et la plus connue par les ingénieurs. Elle permet d’estimer les réponses enveloppes pour un spectre de chargement sismique sans produire l’historique de leurs évolutions. Dans un premier temps on évalue les caractéristiques modales de la structure, notamment avec l’évaluation des modes propres (fréquences et déformées). En s’appuyant sur le spectre en pseudo accélération du chargement sismique on évalue les efforts dynamiques associés à chaque mode de vibration. Grâce à la recombinaison modale on évalue les efforts et les déplacements. Les approximations de cette méthode sont liées à la méthode de recombinaison modale [1].
Pour la recombinaison modale il existe différentes méthodes : (SRSS, CQC, DPC, ABS, DSC). Selon les caractéristiques de la structure on obtient une approximation plus ou moins fiable des résultantes. Toute structure en fonctionnement est sujette à des efforts
dynamiques qui causent des vibrations et l'analyse modale est un outil essentiel dans l'étude de ces vibrations. Cette analyse modale peut être utilisée pour la surveillance de telles structures. Elle peut être aussi utilisée pour effectuer un recalage de modèle. La surveillance consiste à prélever, par l'intermédiaire de capteurs, des grandeurs physiques diverses (vibrations, bruit, pression) que l'on sait porteuses d'information sur l'état mécanique de ces systèmes. De l'analyse de ces informations on détecte d'éventuelles anomalies et un diagnostic peut alors être effectué en termes de caractéristiques modales : fréquences propres, déformées modales, facteur de participation modale et coefficients de masse modale [2]. L'analyse modale est aussi un outil primordial lors des tests d'ajustement et de validation de nouveaux produits dans le domaine de l'aéronautique, de l'automobile, du génie mécanique et du génie civil. En effet, des réglementations imposent une certaine norme aux caractéristiques modales de structures industrielles soumises à des vibrations.
Au cours des deux dernières décennies, l'analyse modale est devenue une méthode importante dans la recherche pour la détermination, l'amélioration et l'optimisation des caractéristiques dynamiques des structures. Non seulement il a été reconnu dans l'ingénierie mécanique et aéronautique, mais aussi dans l'analyse modale des problèmes de biomécaniques, de structures spatiales, d’instruments acoustiques, de transport et de centrales nucléaires. [3]
1-2- HISTORIQUE DE L’ANALYSE MODALE
[3]L'idée essentielle de l'analyse modale est de décrire des phénomènes complexes dans la dynamique des structures avec des composants simples, à savoir les modes de vibration naturelle. Cette idée est utilisée largement dans le domaine de l’atome, qui tente de trouver les éléments les plus fondamentaux de variétés de substances différentes, ou le concept des séries de Fourier qui représente une forme d'onde complexe par une combinaison de sinus et cosinus simple. Newton, de son observation du spectre de la lumière du soleil, a confirmé sa composition des composantes de couleur. Fourier, en se basant sur d'anciennes retenues mathématiques, à fait valoir qu’une fonction arbitraire périodique avec un intervalle fini peut toujours être représentée par une simple
La théorique de l'analyse modale peut être étroitement associé à l'équation d'onde qui décrit la dynamique d'une corde vibrante. A partir de la solution, nous pouvons déterminer ses fréquences naturelles, les formes des modes et des réponses forcées. Cette étape de l'analyse modale, développé au XIX siècle, à été largement tributaire des mathématiques pour résoudre des équations aux dérivées partielles qui décrivent les différents systèmes des dynamiques des structures. La théorie a été développée de telle sorte que l'analyse dynamique de structure d'un système arbitraire peut être réalisée si l'on connaît sa masse et la distribution de la rigidité des formes matricielles. Les logiciels permettent d’effectuer l’analyse modale d’une structure à partir de données expérimentales en considérant seulement les réponses aux sollicitations, cela permet donc d’estimer les fréquences de vibration de la structure, les formes propres ainsi que l’amortissement de la structure. Le fondement de l'analyse modale expérimentale, un nom artificiel longtemps après la pratique du génie qu'il incarne, à été posé au début du dernier siècle. Le noyau d’analyse modale expérimentale est l'identification du système. En conséquence, il à été nourri par le développement en ingénierie électrique.
L'invention de la transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Transform : FFT) par JW Cooly et J.W. Tukey en 1965 a finalement ouvert la voie à une application rapide et répandue des technique expérimentale en dynamique des structures. Avec la FFT, les réponses en fréquence d'une structure peuvent être calculées à partir de la mesure des éléments données. La théorie de l'analyse modale permet d'établir la relation entre la mesure FRF (fonction de réponse fréquentielle) et les données modales de l'échantillon testé. Des efforts ont été axés sur la dérivation des informations modales à partir des données mesurées FRF. La première, et peut-être la plus importante méthode d'analyse modale expérimentale à été proposée par CC Kennedy et C.D. Pancu en 1947 avant que la FFT n’ai été conçu. Leur méthode a été largement oubliée jusqu'à ce que la FFT ouvre le chemin de l'analyse modale expérimentale. Depuis lors, de nombreuses méthodes ont été proposées et plusieurs ont été informatisés, y compris celles développées dans le domaine temporel. Le développement expérimental à également contribué à faire progresser la théorie de l'analyse modale.
Aujourd'hui, l'analyse modale est un outil pour l'ingénierie des sciences et est utilisée dans plusieurs domaines. Les applications vont de la construction automobile, aéronautique et astronautique d'ingénierie pour la bio-ingénierie, à la médecine et la
science. L’analyse numérique (éléments finis) et l’analyse modale expérimentale sont devenues les deux piliers de la dynamique des structures.
1-3-
ANALYSE MODALE [3 ,4]L'analyse modale est le processus de détermination des caractéristiques dynamiques inhérentes des systèmes en forme de fréquences naturelles, de facteurs d'amortissement et de formes de mode ainsi que des facteurs de participation, afin de les utiliser pour formuler un modèle mathématique pour son comportement dynamique. Le formulées du modèle mathématique est appelé la méthode modale du système et l'information pour les caractéristiques sont ses données modales.
La dynamique des structures est physiquement composée de deux parties, la fréquence et la position. Ceci est clairement mis en évidence par la solution analytique des équations aux dérivées partielles de système continu tel que les poutres et les cordes. L'analyse modale est fondée sur le fait que la réponse vibratoire d'une constante dans le temps du système dynamique linéaire peut être exprimée comme la combinaison linéaire d'un ensemble de mouvements harmoniques simples appelé modes de vibration naturelles. Ce concept est similaire à l'utilisation d'une combinaison de Fourier (sinus et cosinus) pour représenter une forme d'onde complexe [3]. Les modes propres de vibration sont inhérentes à un système dynamique et sont entièrement déterminée par ses caractéristiques physiques (masse, raideur, amortissement) et leur répartition spatiale.
Pour chaque mode propre est décrit en termes de paramètres modaux :
Période et fréquence naturelle
Facteur d'amortissement modal
Facteur de participation modale suivant les directions X, Y, Z
La masse modale participante (pourcentage) suivant les directions X, Y, Z
La forme du mode peut être réelle ou complexe. Chacun d'eux correspond à une fréquence naturelle. Le degré de la participation de chaque mode naturel dans la vibration globale est déterminée tant par ses propriétés de la source d'excitation (s) que par la forme du mode du système. L’analyse modale englobe les techniques théoriques et expérimentales ancrée sur un modèle physique d'un système dynamique comprenant sa masse, sa rigidité et ses propriétés d'amortissement. Ces propriétés peuvent être données
sous la forme d’équations aux dérivées partielles. Les équations du mouvement pour un système à plusieurs ddl non amorti en vibrations libres s’écrivent simplement, établie à partir de sa distribution de masse et des propriétés d’élasticité. La solution de l'équation fournit les fréquences et les modes propres de la chaîne et de ses réponses des vibrations.
Cependant, un modèle physique plus réaliste comprend généralement la masse, la rigidité et l’amortissement en fonction de leur répartition spatiale, à savoir les matrices de masses, de rigidités et d'amortissements. Ces matrices sont incorporées dans un ensemble d'équations différentielles du mouvement normal. Le principe de superposition des systèmes dynamiques linéaire nous permet de transformer ces équations en une valeur propre typique. Sa solution fournit les données modales du système [3].
L’utilisation d’une nouvelle base modale à rendu possible le traitement des non-linéarités.
Ce traitement a un prix : les dynamiques des modes deviennent couplées et ce même dans le cas d’un système linéaire [4].
1-4-
BASE MODALE [4]La base modale est déterminée numériquement à l’aide d’une discrétisation spatiale.
Les méthodes classiques (différences finies, éléments finis, volumes finis) sont utilisables pour le calcul des modes. La méthode des éléments finis est la méthode la plus utilisée.
Cette méthode est basée sur l’utilisation d’une formulation variationnelle, qui est compatible avec l’utilisation des modes. L’équation d’état est ainsi établie à l’aide de la formulation variationnelle. Le passage de la base modale complète à une base modale réduite dans la formulation variationnelle est très simple. La méthode modale classique est une extension aux géométries quelconques de la méthode de séparation des variables.
La méthode de séparation des variables (x, y, z, t) est connue depuis les travaux de Fourier. L’analyse modale classique est une généralisation de cette technique.
L’outil informatique à profondément modifie les démarches de conception des ingénieurs. La méthode des différences finies a été rapidement utilisée dans des codes de calculs informatiques. L’idée d’utiliser une méthode de fonctions propres dans un code informatique est plus récente et a été (re)-découverte par de nombreuses personnes dans la période 1975-1985. L’outil informatique permet alors de généraliser la méthode de séparation des variables. Le domaine peut désormais être quelconque, les fonctions
propres étant calculées numériquement. Les conditions d’orthogonalité sont systématiques [4].
1-5- P
ASSAGE A L’ESPACE MODAL [5]Les équations du mouvement sont matricielles et couplées. C'est pourquoi les mécaniciens (plus précisément, les spécialistes de la dynamique des structures) ont proposé une méthode nommée analyse modale, qui consiste à changer de base pour se placer dans la base des vibrations propres du système, où les équations sont généralement plus simples.
Au lieu de résoudre directement les équations matricielles d'ordre n du mouvement : M uCuK uF(t) (1.1) On cherche une matrice de transformation P du vecteur déplacement des points nodaux u:
u(t) Pq(t) (1.2) où P est la matrice carrée régulière d'ordre n à déterminer, et q un vecteur d'ordre n appelé vecteur déplacement généralisé. En substituant l'équation (1.2) dans (1.1) et en pré-multipliant par PT , on obtient l'équation du mouvement dans la nouvelle base :
M~ u~C~u~ K~u~F~(t) (1.3) Où :
M~ PTMP ; K~ PTKP ; C~ PTCP ; F~ PTR
L'objectif de cette transformation est que dans la nouvelle base, les matrices de rigidité, de masse et d'amortissement (M~ ,K~,C~) aient une largeur de bande plus réduite que les matrices originales. En théorie, il existe plusieurs matrices de transformation P qui pourraient être utilisées. Cependant, en pratique, on établit cette matrice en s'intéressant aux équations de vibrations propres du système non amorti :
M uKu 0 (1.4) Les solutions de cette équation sont harmoniques :
usin(tt0) (1.5) où est un vecteur d'ordre n, t est la variable temporelle, t0 une constante de temps, et
la fréquence de vibration du vecteur . On peut alors substituer à u son expression
harmonique dans l'équation (1.4), pour obtenir après simplifications l'équation aux valeurs propres : K 2M (1.6) Les matrices K et M étant réelles et symétriques, ce problème admet n couples de solutions ( , 1)...( 2, )
2
1 n n
. On peut montrer que les vecteurs propres i, également appelés modes propres, sont M-orthonormaux et K-orthogonaux.
2 2
2 2 1
2
...
0
nij i j T i
ij j T i
K M
(1.7)
ijétant le symbole de Kroenecker. Les vecteurs (i)i=1,….,n forment donc la base modale du système. Notons que la base modale est définie dès que les propriétés massiques et élastiques du système sont explicitées.
Les équations précédentes peuvent s'exprimer matriciellement sous la forme : KM2
~
2~ K K
I M M
T T
(1.8)
Où I est la matrice identité d'ordre n. est la matrice dont les colonnes contiennent les vecteurs propres i :
1,2,......,n
et 2 est la matrice diagonale contenant les valeurs propres
2 2 2 2 1 2
n
Il est maintenant clair que la base modale est une bonne base pour simplifier les équations du mouvement, puisqu'elle diagonalise simultanément M et K. On pose donc:
P
pour avoir :
N
i i
i u t
t u t
u
1
)
~( )
~( )
( (1.9)
L'équation (1.9) est appelée équation de superposition modale. Le scalaire u~i est l'amplitude du ième mode i.
1-5-1- Analyse modale haute résolution [6,7]
Dans la réponse dynamique d’une structure, trois domaines fréquentiels sont usuellement définis : les basses, moyennes et hautes fréquences. Dans le premier, le comportement vibratoire présente des résonances très marquées. Dans le troisième, la réponse en fréquence tend vers une allure uniforme, correspondant à la situation de champ diffus. Entre les deux, les résonances sont de moins en moins prononcées.
Il est admis que le domaine des hautes fréquences est atteint pour le facteur de recouvrement modale μ égale 100% (μ : est définie comme le rapport entre la largeur de bande et l’espacement intermodale moyen et permet de quantifier les limites entres ces trois domaines). Les techniques d’identification de structures dans ce domaine sont basées sur des approches statistiques. En général, les analyses modales faisant appel à la transformée de Fourier deviennent inefficaces pour des recouvrements modaux de l’ordre de 30% (résolution fréquentielle limitée par la résolution temporelle).
1-5-2- Technique d’analyse [7]
La technique d’analyse vise à identifier les composantes exponentielles complexes de la réponse impulsionnelle d’une structure supposée linéaire. Les étapes successives en sont :
- obtention de la réponse impulsionnelle à partir d’un essai expérimental ; - conditionnement de la réponse afin d’en limiter le nombre d’échantillons et le nombre de composantes ; obtention de réponses impulsionnelles partielles ;
- détermination du nombre de composantes de chaque réponse impulsionnelle partielle ;
- détermination des paramètres de chaque composante (fréquence, amortissement, amplitude, phase) ;
- obtention des paramètres modaux (fréquence et amortissement) et des déformées modales.
1-6-
VIBRATIONS, ANALYSE MODALE [9]L'analyse des vibrations est utilisée dans une multitude d'applications industrielles : surveillance des machines, diagnostic des défauts (roulements usés, équilibrage…), acoustique etc. Pour mieux cerner l'analyse modale voilà un exemple : détermination des points d'attache d'un pot d'échappement. Le pot est suspendu sur quelques appuis élastiques. On excite la structure (le pot) en frappant par exemple. On mesure la force et la réponse en fréquence avec un accéléromètre. En exploitant les résultats des mesures, on peut définir les nœuds de vibration (points où l'amplitude des vibrations est nulle). Ces points seront les points d'attache du pot d'échappement. Les attaches, positionnées ainsi, induiront des contraintes en fatigue minimales pour la structure et de meilleures conditions de confort pour les passagers. Pour être exploitable la mesure est transformée en analyse modale par le Transformateur de Fourier (FFT - Fast Fourier Transformation).
Ce dernier transforme la courbe enregistrée "accélération en fonction du temps" (spectre temporaire) en une courbe "accélération en fonction de la fréquence" (spectre fréquentiel) qui est beaucoup plus facilement exploitable.
La définition de l’analyse modale est la suivante : L’analyse modale est la caractérisation des propriétés dynamiques de structures mécaniques par identification de leurs modes propres de vibration. Un mode propre c'est un mouvement particulier du système.
Chaque mode propre de vibration (mode k) est caractérisé par (Figure.1.1) : 1 1. Sa pulsation propre ωK ou fréquence propre fK.
2 2. Son facteur d’amortissement ξK.
3 3. Son allure caractéristique et ses amplitudes (déformée modale).
Premier mode Second mode
1. f=7.13 Hz f=14.2 Hz
2. ξ=1.5 % ξ=2.3 % 3.
La fréquence propre et le facteur d’amortissement sont des propriétés globales de la structure, c’est à dire que ωK et ξK peuvent être déterminés à partir de toutes les fonctions de réponse en fréquence mesurées sur la structure (sauf dans le cas où l’on excite la structure ou on mesure la réponse dans une position nodale).
L’analyse modale expérimentale consiste à identifier les fréquences propres et les coefficients d’amortissement à partir de mesures effectuées sur la structure analysée, par d’accéléromètres.
1-7- ANALYSE MODALE DU MODELE ELEMENTS-FINIS
[11 ,12]L’analyse modale d’un modèle éléments finis permet d’obtenir les fréquences propres et les déformées associées [11]. Les modèles obtenus peuvent être assimiles à une juxtaposition des modèles du second ordre, sans amortissement (qui reste inconnu après analyse modale d’un modèle éléments finis) et avec des paramètres variables selon les positions. Cette analyse fournit plusieurs modes de déformations classés par ordre de fréquence croissante qui correspondent à des résonances mécaniques du système, le mode de déformation dominant étant généralement celui correspondant à la fréquence la plus basse. Il est courant d'utiliser la méthode des éléments finis (MEF) pour effectuer cette analyse parce que, comme d'autres calculs en utilisant le MEF, l'objet en cours d'analyse peut avoir une forme arbitraire et les résultats des calculs sont acceptables. Les types d'équations qui résultent de l'analyse modale sont ceux observés dans les valeurs propres.
L'interprétation physique des valeurs propres et vecteurs propres qui proviennent de la résolution du système est qu'ils représentent les fréquences et les modes correspondants.
Parfois, les seuls modes souhaités sont les fréquences les plus basses parce qu'ils peuvent être les modes les plus importants au cours de laquelle l'objet se met à vibrer, dominant tous les modes de fréquences plus élevées [11].
Figure 1.1 : La fréquence propre f, le facteur d’amortissement ξ, et l’allure du mode déterminent le comportement de structures
mécaniques [9].
Déformée modale Nœud de vibration
L’identification (ou l’extraction) des paramètres modaux à partir des capteurs (forces en entrées, accélérations en sorties) est un processus complexe. Deux approches sont généralement utilisées : l’approche temporelle et l’approche fréquentielle. Cette dernière est la plus utilisées (estimation de la Fonction de réponse en Fréquences, FRF) [12].
L’analyse modale est basée sur quelques hypothèses [12] :
1. Le système est linéaire dans la gamme des amplitudes étudiées.
2. Le système, s’il et continu, peut se représenter par un système discret ou les
paramètres sont exprimer pour chaque nœud du maillage (nombre de degrés de libertés (ddl) total = nombre de nœuds x nombre de ddl par nœud).
3. L’amortissement (qui corresponde à la modélisation d’une énergie dissipée proportionnelle à la vitesse)
4. Pour des modes clairement identifiés, la méthode de comparaison à une somme de système à 1 ddl est facile à appliquer.
Les mathématiques permettent d’exprimer les paramètres modaux à partir des données de l’analyse modale expérimentale mais aussi à partir de modèles éléments finis de structure, quand on optimise le modèle en fonction de l’expérimentation.
Pour contrôler la validité du modèle éléments finis, il est nécessaire de vérifier expérimentalement les résultats de l’analyse modale de ce modèle. Pour cela, il est possible de faire appel à l’analyse modale expérimentale. Cette analyse modale expérimentale consiste à déterminer les paramètres modaux (fréquences naturelles des vibrations, coefficients d’amortissement, etc.) d’un système linéaire invariant [11].
L'analyse modale est une méthode d'étude des comportements vibratoires des composants de structure. Elle est utilisée pour enregistrer, analyser et évaluer la fréquence propre et le mode propre d'oscillation, ainsi que pour optimiser la structure de ces composants. En simulant les fréquences qui agissent sur certains éléments, par exemple sur des plates- formes de mesure de force, on peut déterminer la fréquence propre du système de mesure en fonction de la masse, de la rigidité et de l'amortissement. L'objectif de l'analyse modale est de concevoir les systèmes de mesure de telle sorte que, sur une plage de fréquence donnée, aucune fréquence de résonance ne soit générée qui pourrait fausser le signal pendant la saisie de mesures [13].En effet, les paramètres significatifs permettant de représenter le comportement dynamique d’une structure linéaire quelle que soit sa
complexité sont « concentrés » dans un nombre de paramètres modaux réduits : fréquences propres et modes propres, les facteurs de participations modales associés. Le comportement dynamique de la structure sous des conditions d’excitation particulières en l’absence de toute modélisation ne requiert que la seule connaissance de ces paramètres.
C’est la raison pour laquelle l’analyse modale expérimentale est devenue grâce aux progrès de l’informatique et de l’instrumentation, une méthode privilégiée d’investigation dans le domaine de la dynamique des structures. Les premiers instigateurs de cette technique ont été les avionneurs qui étaient confrontés au problème forme de
« flottement » des avions. Ce phénomène dû au couplage aéroélectrique entre l’air et la structure de l’avion provoque à certaines vitesses un phénomène de vibrations auto excitées pouvant causer la destruction de l’appareil. Il peut être prévu si l’on connaît les caractéristiques dynamiques de la structure, à savoir : vecteurs propres, fréquences propres et amortissements généralisés, masses généralisées (masses modales). La recherche constante de l’amélioration de la qualité dans tous les domaines où intervient la mécanique à conduit les concepteurs à utiliser l’analyse modale expérimentale comme un outil privilégié pour accéder à une meilleure connaissance du comportement dynamiques des structures. C’est pourquoi ces techniques ont largement dépassé le cadre de l’aéronautique pour s’intéresser aux structures dans le domaine du transport (véhicules automobiles, ferroviaires, bateaux...), aux ouvrages de génie civil (ponts, tours aéroréfrigérantes, massifs de groupe...) et plus généralement à tous les matériels susceptibles d’être soumis à une ambiance vibratoire sévère. Toute une méthodologie c’est ainsi développée en aval de l’analyse modale concernant par exemple la dynamique de sous-structure ou le recalage des modèles de calcul par éléments finis par rapport à la structure réelle. Le principe de l'analyse modale est basé, sur la prise en compte de trois degrés de liberté significatifs (2 translations horizontales et une rotation d'ensemble autour de la verticale) [14]. II s'agit d'établir une modale mathématique qui puisse représenter les propriétés dynamiques de la structure réelle telles que les périodes naturelles de vibration, les formes modales...
1-8- TECHNIQUE DE L’ANALYSE MODALE EXPERIMENTALE
[15]
L’analyse modale expérimentale a pour but l’identification des paramètres modaux d’une structure à partir d’essais dynamiques, ce qui implique :
— la détermination du nombre de modes présents dans une bande fréquentielle d’analyse
— pour chaque mode :
• l’évaluation de la pulsation propre complexe
• la détermination du vecteur propre complexe associé normalisé
• le passage des solutions propres complexes du système dissipatif aux solutions propres du système conservatif associé pour comparaison aux résultats de calcul par éléments finis
— éventuellement la détermination de la matrice des amortissements généralisés complète
L’analyse modale expérimentale est la technique la plus fiable pour extraire les trois paramètres modaux de l’estimation de la fonction de réponse en frequences (FRF) H (w).
A partir de la représentation de Bode (tracé du module et de l’argument en fonction de la fréquence), on décide du nombre de modes à attribuer à la structure, et ce dans une bande de fréquences. La plupart du temps, le nombre de modes correspond au nombre de pics distincts (résonance d’amplitudes) du tracé du module de H(w) [12].
Il correspond aussi au nombre de passages à ± 900 de la phase de H(w) ou aux maxima de la partie imaginaire de H(w). Afin d’illustrer, on va reprendre un exemple simple : La poutre de la figure (1.2) est encastrée à une extrémité, libre à l’autre et excitée au point 1 par un pot vibrant de pulsation w réglable.
Les mesures des déplacement aux points 1,2 et 3 sont transmises à un analyseur qui affiche le graphique de la figure 1.3
Figure 1.2. Protocole d’identification modale [12]
1-8-1- Validations par analyse modale expérimentale [11]
Le comportement dynamique de la structure ne requiert généralement que la seule connaissance de ces paramètres [11]. Réaliser une analyse modale expérimentale sur une structure permet essentiellement de recaler ou de vérifier les résultats obtenus à partir de différentes méthodes de modélisation.
La figure 1.4 représente une application de l’analyse spectrale expérimentale. Les trois premiers modes de vibration d’une poutre continue sont analysés. La théorie de l’analyse modale montre que ce système est linéaire et que les modes de déformation sont orthogonaux entre eux. Pour chaque point de mesure, la partie imaginaire de la fonction de transfert entre la réponse mesurée et l’excitation de la poutre est représentée perpendiculairement à celle-ci. En connectant les extremums entre eux, nous avons alors une idée de la forme de chacun des modes.
Figure 1.3. Module et phase des 3 FRF [12]
1-8-2- Essai de l’analyse modale
[16]L’analyse modale permet la détermination des caractéristiques dynamiques des structures. La connaissance de ces paramètres structuraux est essentielle à la résolution de plusieurs problèmes de vibration. La réalisation d’un essai d’analyse modale nécessite la mesure de la Fonction de Réponse en Fréquence (FRF) qui est le quotient de la réponse de la structure sur l’excitation de celle-ci en plusieurs endroits sur la structure. Plusieurs méthodes sont usuellement utilisées pour la transmission de la force d’entrée sur la structure dont le pot vibrant et le marteau. Les auteurs ont développé une nouvelle méthode d’excitation acoustique, sans contact et à référence unique, qui présente de nombreux avantages (économies de temps et d’efforts) par rapport aux méthodes conventionnelles, en particulier pour les structures souples telles les Cartes de Circuits Intégrés (CCI) [16]. Les résultats expérimentaux montrent également que l’analyse modale acoustique peut être effectuée sur des structures rigides telles les composantes d’une turbine hydraulique.
L’analyse modale à excitation acoustique ne se limite donc pas aux structures souples.
La réalisation d’un essai d’analyse modale nécessite généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi que de la force d’excitation en différents points permettant ainsi le calcul de la Fonction de Réponse en Fréquence (FRF). Les méthodes à référence unique appelées SISO (Single Input Single Output) ou SIMO (Single Input
Figure 1.4. Principe de l’analyse spectrale expérimentale appliquée à une poutre [11]
Multiple Outputs) mesurent respectivement une ou plusieurs FRF sur la structure. Les méthodes conventionnelles d’excitation sont généralement le pot vibrant et le marteau.
1-8-3- Dispositif expérimental général de l’analyse modale
Un montage expérimental typique (figure 1.5) peut comporter les éléments suivants [16] :
Avec T F R : Transformée de Fourrier Rapide
Au moins une source d’excitation de la structure pouvant être soit un pot vibrant ou un marteau d’impact pour les méthodes d’excitation mécanique.
Au moins un capteur servant à capter le signal d’excitation de la structure. Lors d’excitations mécaniques, une cellule de charge dynamique est généralement utilisée.
Au moins un capteur servant à capter la réponse vibratoire de la structure.
Généralement un accéléromètre est utilisé pour cette tâche mais des capteurs de déplacement ou de vitesse peuvent aussi être employés.
Chaque capteur doit être jumelé aux appareils électroniques de conditionnement, d’amplification ou de filtrage adaptés pour convertir le mouvement mécanique en un signal électrique.
Un analyseur de signal permettant de traiter le signal temporel analogue en une Figure 1.5. Montage typique d’analyse modale [16]
information digitalisée dans le domaine fréquentiel. Les analyseurs digitaux à Transformée de Fourrier Rapide (FFT) sont les plus fréquemment utilisés pour cette tâche [16].
Un FRF est une mesure de combien de déplacement, la vitesse, et réponse à l'accélération ou une structure est à une sortie DDL, par unité de force d'excitation à une entrée DDL.
La (Figure1.6) montre également qu'un FRF est défini comme le rapport de la transformée de Fourier d'une réponse de sortie (X (w)) divisé par la transformée de Fourier de la force d'entrée (F (w)) qui a provoqué la sortie [3].
Tempe : F(t) X(t)
Fréquence : F(w) x [H(w)] = X(w)
1-9-
ANALYSE MODALE OPÉRATIONNELLE [17,18]L’analyse modale expérimentale traditionnelle nécessite la connaissance des forces d’excitation pour estimer les paramètres modaux d’une structure. L’analyse modale opérationnelle (OMA) n’est pas contrainte par cette exigence. Elle considère une excitation parfaitement aléatoire et estime les paramètres modaux à partir de cette hypothèse. En fait, les structures sont généralement soumises à une combinaison d’excitations aléatoires et harmoniques. Puisque l’analyse modale opérationnelle considère l’excitation comme purement aléatoire, elle considérera les excitations harmoniques comme des modes virtuels ayant un amortissement nul.
Il existe plusieurs méthodes d’analyse modale opérationnelle. Nous pouvons citer :
Les méthodes basées sur la fonction de corrélation (Natural Excitation Technique ou NExT).
Les méthodes traitant le signal temporel directement en utilisant des méthodes auto régressive de type ARMA.
Les méthodes utilisant des sous espaces
Les méthodes fréquentielles
Figure 1.6. Diagramme bloqué de FRF [3]
Système
Mécanique
1-10-
LOGICIEL PERMETTANT LA PRATIQUE DE L’ANALYSE MODALE Parmi les nombreux logiciels d’analyse modale qui sont à la disposition des ingénieurs. Le système SAP 2000, utilisée pour le calcul de tout type de structures, est un ensemble de programme utilisant la méthode des éléments finis. Il comprend les éléments classiques rencontrés en génie civil : bielles, câbles, poutres, plaque et coque. Les liaisons extérieures comprennent des appuis rigides ou élastiques ainsi que des liaisons unilatérales. Lors de l’analyse modale de la structure, on calcule toutes les grandeurs de base décrivant les modes propres de la structure, c’est-à-dire les valeurs propres et les vecteurs propres de la structure, coefficients de participations modales et les masses participantes. Le nombre de modes calculés lors de l’analyse modale de la structure peut être défini directement par l’utilisateur ou bien il peut être défini à la suite de la définition du domaine des valeurs de certaines grandeurs décrivant les vibrations propres de la structure [13].Si aucune analyse modale n’a été définie pour la structure étudiée, tous les autres types d’analyse en dynamique (sismique, spectrale et temporelle) ne sont pas disponibles car l’analyse spectrale, l’analyse sismique et l'analyse temporelle utilisent les résultats de l’analyse modale de la structure, par conséquent la définition des paramètres d'une telle analyse doit être précédée par une définition de l’analyse modale de la structure.
Pour une analyse statique et dynamique du bâtiment, il est préférable d’utiliser l’analyse tridimensionnelle par éléments finis.
Tous les bâtiments situés dans des zones sismiques doivent être calculés en utilisant une analyse dynamique, actuellement la méthode des éléments finis linéaires élastiques est une technique largement utilisée dans l’analyse dynamique [19].
Une analyse dynamique linéaire et élastique des structures englobe les étapes suivantes : 1. L’évaluation du séisme et des mouvements du sol associés ;
2. Le développement de modèles tridimensionnels en éléments finis appropriés en prenant en considération les effets de l’Interaction Sol– Structure ;
3. La spécification des propriétés dynamiques de la structure (amortissement) ; 4. Le calcul de la réponse sismique avec présentation et interprétation des résultats.
Le mouvement sismique du sol doit inclure les spectres de réponse horizontaux et verticaux ou les trois composantes d’un accélérogramme. Ils sont uniformément
appliqués à la base de la fondation. Les modèles tridimensionnels en éléments finis du bâtiment sont les mêmes modèles que dans l’analyse statique, excepté l’interaction sol – structure qui doit être aussi représentée. La réponse linéaire élastique des bâtiments peut être déterminée en utilisant la méthode de superposition modale des spectres de réponse ou la méthode d’analyse temporelle [19].
1-11-
ANALYSE MODALE SPECTRALE [14, 20]Il s’agit de mettre en évidence les modes propres du mouvement libre (caractéristique de la structure) et d’introduire le spectre de dimensionnement qui fournit la valeur de la réponse maximale à un instant donné. Du point de vue du génie parasismique, la réponse maximale d’un ouvrage, au cours d’un séisme, importe plus que la chronologie détaillée du mouvement dans le temps. Le choix de la méthode à utiliser dépend du problème traité (figure.1.7).
Avec ddld : dégréé de liberté dynamique
L’analyse modale spectrale désigne la méthode de calcul des effets maximaux d'un Figure 1.7. Méthodes d’analyse dynamique [21].
Combien de ddld ?
Analyse modale
Analyse spectrale Analyse spectrale
Analyse dynamique exacte
Structure Excitation dynamique
Est-ce que la structure demeure linéaire pendant la
vibration ? Analyse non linéaire
Non
Oui
Plusieurs Un
séisme sur une structure. Elle est caractérisée par :
- la sollicitation sismique décrite sous forme d'un spectre de réponse ;
- le comportement supposé élastique de la structure permettant le calcul des modes propres. L’analyse modale est basée sur les observations suivantes :
- la réponse d’une structure est prépondérante au voisinage de certaines fréquences, dites fréquences de résonance ;
- le comportement de la structure pour ces fréquences particulières est appelé mode de vibration ;
- le comportement global peut être considère comme la somme des contributions des différents modes [21].
L'analyse dynamique – méthode modale spectrale – peut être appliques à tout type de structure (bâtiments irrégulier, ouvrages à risque spécial qu'ils soient réguliers ou irrégulier), à l’exception de :
- ceux présentant des non-linéarités géométriques accusées: décollement des radiers ≥ 30 % ; entrechoquement ;
- ou des non-linéarités mécaniques : isolateurs et amortisseurs ;
En tout cas, à cause de la manière complexe dont le séisme sollicite un ouvrage, la confiance dans les calculs dynamiques et leurs équivalents statiques doit être limitée.
Si la conception de l’ouvrage et quelques règles de base auront une influence fondamentale sur sa résistance, les vérifications de bon sens sont essentielles pour valider les calculs, quelle que soit leur complexité [22].
1-11-1- Méthodologie de calcul [13]
Après le choix des hypothèses de calcul et l’établissement du modèle de calcul, la méthode modale spectrale comporte les étapes suivantes :
- recherche des modes propres ;
- sélection des modes utiles et prise en compte éventuellement du pseudo-mode ; - combinaisons des réponses modales ;
- cumul des effets des composantes du mouvement sismique ;
En effet, il est possible d’interpréter le mouvement global d’une structure (oscillateur multiple) soumise à un chargement dynamique quelconque comme une combinaison des
n déformées des modes de vibrations (décomposition modale), pondérées chacune de manière adéquate.
La décomposition modale permet donc de ramener l’étude d’un système à N degrés de liberté à celle de n oscillateurs simples et reconduire ainsi les conclusions auxquelles on a abouti pour l’oscillateur simple. On sait que, en théorie, l’analyse dynamique va nécessiter la détermination d’autant de modes propres n (périodes et déformées modales) que la structures comporte de degrés de liberté N.
1-11-2- Choix du nombre de mode
Un système réel possède un nombre infini de degrés de liberté. La détermination de tous les modes, du système n'est pas réaliste et peut donner une fausse illusion de rigueur : en effet, la discrétisation d'un système, qui par nature possède un nombre infini de degrés de liberté, en un système à N degrés de liberté introduit une erreur d'autant plus importante que la fréquence est élevée. Heureusement, l'expérience montre que la réponse d'un système est contrôlée par les premiers modes jusqu'à l'ordre K tel que K<<N. La question posée est celle du choix du nombre K de modes à retenir dans l'analyse ?.
A cette fin, on introduit le paramètre M’j, dénommé masse modale
j
T j T j j j
j M
I M M
M L
2
2
' (1.10) La masse modale M’j, contrairement au facteur de participation Γj ne dépend pas du choix adopté pour la normalisation des vecteurs propres : l'équation (1.10) montre qu'une multiplication de j par une constante arbitraire λ n'affecte pas la valeur de M’j.
On notera que lorsque les vecteurs propres sont normalisés par rapport à la matrice masse, alors le carré du facteur de participation est égal à la masse modale .
La masse modale M’j possède la propriété remarquable que la somme des masses modales est égale à la masse totale MT de la structure sollicitée dans la direction I [14].
) (t us
) (t us
1-12- UTILISATION DE L’ANALYSE MODALE DANS LE CALCULE SISMIQUE
[23]Le mouvement du support de l'oscillateur, tel celui engendré par une sollicitation sismique.
La structure (fig.1.8) est constituée d'un portique à trois niveaux et est soumise à un mouvement de ses points d'appuis sur le sol. On supposera dans un premier temps que l'accélération est identique en tous les points d'appui et est représentée par un mouvement de translation.
La figure 1.9 représente, pour les besoins de la présentation et sans en diminuer la généralité, une schématisation simplifiée du système sous la forme d'un modèle brochette qui, rappelons-le, suppose que les planchers sont infiniment rigides et que leur cinématique peut être décrite par le mouvement d'un seul point.
On introduit deux référentiels, l'un fixe et l'autre lié au support du système. Les degrés de liberté (translations et rotations) des différents nœuds du modèle sont représentés dans le repère fixe par le vecteur V de composantes [V1, V2 ,... VN] où N est le nombre de degrés de liberté; soit U le vecteur donnant les mêmes quantités dans le repère mobile lié au support [21,23].
Figure 1.8. Excitation sismique de l’oscillateur [23]
Mouvement de translation
) (t v I U V s
1,0,0,1,0,0,......
IT
j
La règle de composition des déplacements permet d'exprimer le déplacement absolu en fonction du déplacement relatif par : (1.11) Où I est le vecteur donnant la direction de la sollicitation. Le vecteur I a pour composantes 1 dans la direction du mouvement de translation, 0 pour les autres degrés de liberté. Ainsi pour le portique de la figure 1.10, si on considère que chaque nœud possède trois degrés de liberté (deux translations dans le plan et une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan de la figure), le vecteur I s'écrira en ordonnant les degrés de liberté
-translation horizontale, translation verticale et rotation d'axe horizontal :
(1.12) On notera que les forces internes, élastiques et d'amortissement, s'expriment en fonction des matrices de rigidité et d'amortissement et des déplacements et vitesses relatives. Les forces d'inertie s'expriment en fonction de la matrice de masse et des accélérations absolues. L'équation d'équilibre dynamique du système s'obtient en écrivant la nullité de l'ensemble de ces efforts, soit :
M uCuKuMug IN (1.13)
1-12-1- Décomposition modale [19, 21,23]
L'équivalence de l'équation (1.13) permet d'utiliser la décomposition modale. Pour découpler les équations (1.13) régissant l'équilibre dynamique du système.
Appelant la matrice de dimensions NxN contenant les N vecteurs modaux , sur la base modale, le vecteur U s'exprime par :
N
j
j
j q t
Q U
1
)
( (1.14)
Reportant dans (1.13), tenant compte des propriétés d'orthogonalité des vecteurs propres par rapport aux matrices K et M, et en faisant l'hypothèse que la matrice C possède la même propriété, on obtient les N équations découplées :
j j j j j j j
t t p
q w t q w t
q ( )
) ( )
( 2
)
( 2
(1.15)
Les méthodes d'analyse fréquentielle, ou temporelle permettent alors d'obtenir les solutions des N équations découplées (1.15). En particulier la réponse temporelle obtenue par l'intégrale de Duhamel.
Le déplacement Uj dans le mode j s'écrit
Uj j qj(t)j j yj(t) (1.16) où yj(t) est solution de l'équation différentielle
yj(t)2jwjyj(t)w2jyj(t)ug(t) (1.17)
j T j
T j
j M
I M
(1.18)
Γj est appelé facteur de participation [23]. L'équation (1.18) montre clairement que la valeur de Γj dépend de la norme adoptée pour le mode propre j. Le mode propre étant
j défini à une constante multiplicative près, une multiplication de j par un coefficient λ , divise le facteur de participation par λ.
1-12-2- Selection des modes utiles [13,22]
Après l’étape de recherche des modes, on dispose d’un certain nombre de modes propres de la structure, connus par les périodes (ou fréquences) propres et les déformées propres avec une précision qui décroît vers les modes supérieurs. L’analyse des modes de vibration permet de détecter les imprécisions dues à la conception du modèle.
Dans le cas générale, le simple examen des déformées propres ne constitue pas une méthode suffisamment fiables pour faire la sélection nécessaire et on a besoin de critère quantitatifs pour apprécier l’importance de chacune.
1-12-3- Masses modales [13,22]
Le critère le plus généralement pratiqué pour valider la sélection effectuée sur les modes est celui des masses modales, qui consiste donc à normaliser par rapport aux masses du bâtiment. Par définition, la masse modale pour le mode n est la masse modale dans la direction de séisme étudiée. C’est-à-dire l’accélération An est fournie par le
spectre de réponse. Cette propriété met en évidence l’intérêt pratique considérable des masses modales dans le cas du séisme dont le mouvement est imposé à la base. En effet ce type de calcule permet les possibilités additionnelles suivantes par rapport à une simple analyse modale :
-Evaluation simple de la contribution des modes aux réactions à la base et évaluation de la masse apparente d’une structure ;
-Classification des modes en modes locaux ou globaux : en effet, l’importance de la masse modale par rapport à la masse de corps rigide constitue un critère de globalités du mode considèré ;
-Validation de la représentativité globale des modèles dynamiques : la représentativité globale d’un modèle de structure avec mouvement imposé à la base dépend uniquement de son spectre de fréquence et de ses masses modales ;
-Définition de modèles dynamiques simples mais globalement représentatifs de modèles complexes aux éléments finis : il suffit pour cela de sélectionner les modes ayant les masses modales les plus importantes. Dans le cas de structures ayant des modes découples, la méthode de sélection des modes par les masses modales permet de définir des modèles simples représentatifs des effets dynamiques.
La sélection des modes peut également être interrompue au droit des fréquences de coupure à condition que la somme des masses modales Σ Mi représente au moins 70 % de la masse totale vibrante M. Pour une décomposition modale complète, il faut que la somme des masses modales soit égale au total des masses actives dans la direction étudiée . L’obtention d’une somme de masses modales d’au moins 90 % de la masse totale est une vérification particulièrement efficace pour éviter de négliger un mode important.
1-12-4- Energies de déformation
Un autre critère de sélection de modes est constitué par l’énergie maximale de déformation (potentielle) que va emmagasiner la structure dans sa réponse sur chacune de ces modes.
) (t ug
On peut donc établir un classement des différentes modes et faires ainsi ressortir leur importance relative. Affectant par exemple la valeur 100 à l’énergie maximale, on peut classer les autres modes par ordre décroissantes :
- Les énergies des modes supérieures à l’unité seront sélectionnées jusqu'à un total de 90 %.
En effet, l’énergie de déformation Wp est fonction de la force F et du déplacement D : Wp = FD/2 mais F=KD
Soit : Wp=0,5 KD2 (1.19) Pour les autres modes extraits dont les valeurs des énergies sont inférieures à l’unité, ils peuvent être purement et simplement abandonnées pour la suite du calcul. Dans le domaine dynamique, de nombreuses possibilités sont proposées, couvrant les besoins les plus courants. La réponse dynamique est évaluée soit par analyse modale, soit par intégration directe. L’analyse modale permet le calcule de la réponse des premiers modes propres de la structure. L’excitation est définie soit par un spectre de réponse d’oscillateur, soit par une fonction harmonique, soit enfin par une fonction du temps quelconques. Il s’agit soit d’un champ de forces extérieures appliquées à la structure, soit d’un champ d’accélération représentant le mouvement d’entraînement du support [13,22].
1-13- CONCEPT DES SPECTRES DE REPONSE ELASTIQUE
[21,24]En génie civil, la notion la plus répandue pour représenter un séisme en ingénierie sismique est le spectre de réponse d’oscillateurs linéaires. Le spectre de réponse en accélération, vitesse ou déplacement met en évidence le contenu fréquentiel du mouvement : il fournit la réponse maximale d’oscillateurs linéaires élastiques soumis à un séisme. Cette réponse se calcule simplement pour un oscillateur linéare de masse M, de raideur K et d’amortissement C, dont le déplacement relatif par rapport à son support soumis à une excitation sismique représentée par son accélérogramme sera noté u(t).
Le concept de spectre de réponse a été utilisé pour la première fois par M.A. Biot pour caractériser l'effet des tremblements de terre sur les structures. G.W. Housner a popularisé son utilisation en génie parasismique. L’importance de ce concept vient du fait
( )
max max t
( , , )
max
) , , ( max
) , , ( max
max max max
n r
n n
n n
w t u u
A
w t u u
V
w t u u
D
( ) max ( )
sin . )
1 ( max )
,
( ( )
0u e w t d d t
w w
D t g wt D t
D t
n
e w t d
w u t
D t g wt D
D
) ( sin . )
1 ( )
( ( )
0
u e w t d
w d w t
w e
u w
V t g wt D
D D
t t w
g t
n( , ) max ( ) .cos ( ) ( ) ( ).sin ( )
0 )
(
0
que, lors d'un dimensionnement, on ne s'intéresse surtout qu'à la valeur maximum de la réponse d'une structure à un tremblement de terre [24].
On a pour un paramètre de réponse quelconque :
(1.20 ) L’indice max désigne la valeur maximum de la réponse dans le temps. La courbe de fréquences de valeur maximum d'un paramètre de réponse quelconque (déplacement, vitesse ou accélération) en fonction de la période naturelle (ou fréquence) d'un système élémentaire est appelée un spectre de réponse.
En général, un spectre de réponse est une caractéristiques fondamentale d’un accélérogramme en ce qui concerne la réponse maximale qu’il produit sur un systéme linéaire à un ddl (voir annexe A). Il existe plusieurs types de spectres de réponse qu’on définit :
Spectre de déplacement relatif
Spectre de vitesse relative (1.21) Spectre d’accélération relative
1-13-1- Spectre de réponse
Pour un tremblement de terre donné, les spectres de réponse sont donc des fonctions de la fréquence et de l'amortissement. On les représente sous forme de graphes pour des taux d'amortissement ξ donnés sur une large bande de fréquences. Pour une fréquence naturelle et un taux d'amortissement donnés, la valeur du déplacement relatif maximum :
(1.22) De même, pour une fréquence et un taux d'amortissement donnés, la vitesse relative maximum est obtenue en calculant le maximum absolu de la vitesse donnée par :
