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pour l’optimisation du procédé de Placement de Fibres
Robotisé
Nicolas Bur
To cite this version:
Nicolas Bur. Développement d’algorithmes de réduction de modèles pour l’optimisation du procédé de Placement de Fibres Robotisé. Modélisation et simulation. Laboratoire Roberval UMR 7337 Université de Technologie de Compiègne Centre de Recherches de Royallieu CS 60319 60203 Compiègne Cedex FRANCE 2015. Français. �tel-01262269�
Université de Technologie de Compiègne
École Supérieure des Technologies Industrielles Avancées
Thèse de doctorat
Spécialité : Mécanique avancée Présentée par
Nicolas Bur
Développement d’algorithmes
de réduction de modèles
pour l’optimisation du procédé
de Placement de Fibres Robotisé
Soutenue à l’ESTIA le 8 avril 2015 devant le jury composé de
Président
Patrick Laborde
– Institut de Mathématiques de Toulouse RapporteursAmine Ammar
– Arts et Métiers ParisTech, AngersElías Cueto
– Université de SaragosseExaminateurs
Piotr Breitkopf
– Université de Technologie de CompiègneFrancisco Chinesta
– École Centrale de NantesUniversité de Technologie de Compiègne
École Supérieure des Technologies Industrielles Avancées
Thèse de doctorat
Spécialité : Mécanique avancée Présentée par
Nicolas Bur
Développement d’algorithmes
de réduction de modèles
pour l’optimisation du procédé
de Placement de Fibres Robotisé
Soutenue à l’ESTIA le 8 avril 2015 devant le jury composé de
Président
Patrick Laborde
– Institut de Mathématiques de Toulouse RapporteursAmine Ammar
– Arts et Métiers ParisTech, AngersElías Cueto
– Université de SaragosseExaminateurs
Piotr Breitkopf
– Université de Technologie de CompiègneFrancisco Chinesta
– École Centrale de NantesÀ ma très chère femme
À nos enfants
Remerciements
Ce document représente l’aboutissement et le résultat de trois années d’études et d’expérimentations qui n’auraient pu aboutir sans le soutien de nombreuses personnes ; je tiens à les remercier ici très vivement.
En premier lieu, ma gratitude va vers mes directeurs de thèse Pierre Joyot et Pierre Villon. Ils m’ont fait découvrir et apprécier le monde de la recherche, ses difficultés et ses satisfactions, en orientant avec tact mes efforts pour m’amener entre directives et suggestions, à l’autonomie souhaitée. J’espère que le travail présenté ici est un digne fruit de la confiance qu’ils m’ont accordée.
Ces trois années passées au sein de l’équipe d’ESTIA-Recherche ont été enri-chissantes. Craignant d’être bien trop long ou de risquer d’oublier l’un d’entre eux, en voulant citer les membres de cette équipe, je veux remercier tous mes collègues et chacun d’entre eux pour l’aide et le soutien qu’ils ont su m’apporter, mais aussi très sincèrement pour les excellents moments passés ensemble.
Je tiens également à exprimer ma plus vive reconnaissance envers mes parents sans qui, bien évidemment, tout ceci n’aurait pu être possible, à bien des égards.
Enfin, merci à toi, Hélène, pour ton soutien, pour ta compréhension, et pour ce que nous avons commencé à construire ensemble.
Sommaire
Remerciements ix
Sommaire xi
Liste des figures xiii
Liste des tables xvii
Glossaire xix
Introduction générale 1
1 Matériaux composites 7
2 Procédé de Placement de Fibres Robotisé 13
3 Simulation numérique 21
4 Réduction de modèle par la PGD 29
5 Équation lagrangienne de la chaleur 41
6 Étude stationnaire simplifiée 59
7 Modèle multiparamétrique 71
8 Modèle complet 97
9 Contrôle de la source de chaleur 107
Conclusion générale 119
Bibliographie 121
A Produit tensoriel et dérivation 131
B Transformations entre les systèmes lagrangien et eulérien 137
C Équation aux dérivées partielles en temps 141
D Stabilisation par SUPG 145
Liste des figures
1 Évolution de la part de composites dans les avions Airbus . . . . 1
2 Conditionnement des mèches d’APC-2/AS4 . . . 2
3 Les partenaires du projet Impala . . . 3
4 Présentation du robot de PFR . . . 4
2.1 Représentation de l’empilement . . . 14
2.2 Domaine d’étude 2D . . . 14
2.3 Représentation Lagrangienne . . . 16
2.4 Représentation eulérienne . . . 18
3.1 Discrétisation MEF d’une plaque 3D . . . 22
3.2 Discrétisation séparée d’une plaque 3D . . . 23
3.3 Le robot de CompositAdour. Image originale et ses approximations par SVD . . . 25
4.1 Solution de l’équation de Poisson . . . 32
4.2 Tracé des modes pour l’équation de Poisson . . . 33
4.3 Évolution des convergences en fonction du nombre de modes . . . 33
5.1 Domaine d’étude – modèle lagrangien . . . 42
5.2 Solution du problème lagrangien par PGD – Évolution de la tem-pérature au point milieu de ΓL . . . 46
5.3 Découpage en espace et en temps . . . 47
5.4 Séparation de la source mobile . . . 49
5.5 Découpage en espace et en temps . . . 51
5.6 nij = 2, nX = nT = 100 ; norme = 3,737 331 × 10−06 . . . 51
5.7 nij = 5, nX = nT = 40 ; norme = 1,901 023 × 10−06 . . . 52
5.8 nij = 100, nX = nT = 2 ; norme = 3,507 529 × 10−07 . . . 52
5.9 Solution obtenue par PGD sur le système (5.10) avec 1 fenêtre . . 53
5.10 Solution obtenue par PGD sur le système (5.10) avec 5 fenêtres . 53 5.11 Solution obtenue par PGD sur le système (5.10) avec 50 fenêtres . 54 5.12 Température au point milieu de ΓL pour différentes valeurs de nsub 56 5.13 Température au point milieu de ΓL pour nsub = 10. . . 56
6.3 Cas test, v = 0 m·s−1 – convergence en fonction des modes . . . . 62
6.4 Cas test, v = 10 m·s−1 . . . 62
6.5 Cas test, v = 10 m·s−1 – convergence en fonction des modes . . . . 62
6.6 Cas concret – champs de température . . . 63
6.7 Cas concret – convergence . . . 63
6.8 Stabilisation – Évolution de la norme L2 . . . 65
6.9 Influence de ψ . . . 66
6.10 Stabilisation – Convergence par rapport à MEF + SUPG modifiée 66 6.11 Cas concret stabilisé – champs de température . . . 67
6.12 Cas concret stabilisé – convergence . . . 67
6.13 Cas test, v = 0 m·s−1 – minimisation du résidu . . . 68
6.14 Cas test, v = 0 m·s−1 – minimisation du résidu – convergence en fonction des modes . . . 68
6.15 Cas concret – minimisation du résidu – champs de température . 69 6.16 Cas concret – minimisation du résidu – convergence . . . 69
6.17 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes . . . . 69
7.1 Domaine d’étude – paramétrisation de la vitesse . . . 72
7.2 Paramétrisation de la vitesse et de la puissance . . . 73
7.3 Comparaison entre la MEF et la PGD paramétrée XZTQV . . . . 76
7.4 Convergence du modèle multi-paramétrique XZTQV . . . 76
7.5 Paramétrisation de la vitesse . . . 77
7.6 Comparaison entre la MEF et la PGD paramétrée XZTQV0V1. . 80
7.7 Convergence du modèle multi-paramétrique XZTQV0V1 . . . 81
7.8 Définition de ∆t0, ∆t1 et ∆tf . . . 81
7.9 Définition des fonctions créneaux . . . 81
7.10 Domaine d’étude – paramétrisation du nombre de plis . . . 83
7.11 Répartition des nœuds : abscisse et nodu nœud . . . . 84
7.12 Modification des interfaces selon le nombre de plis . . . 85
7.13 Interfaces ajoutées . . . 85
7.14 Conductivités aux interfaces . . . 86
7.15 Résultat de la simulation 1D . . . 89
7.16 Résultat de la deuxième simulation 1D . . . 89
7.17 Résultat de la troisième simulation 1D . . . 90
7.18 Application des conditions de Dirichlet . . . 92
7.19 Résolution par PGD du problème (7.12) . . . 96
8.1 Domaine d’étude – modèle complet . . . 98
8.2 Températures sur les différentes coupes – domaine homogène . . . 99
8.3 Températures sur les différentes coupes – domaine avec RTC . . . 100
8.4 Températures sur les différentes coupes – source interne . . . 101
8.6 Représentation eulérienne . . . 103
8.7 Températures sur les différentes coupes – cas réel – Cp non-linéaire 105 8.8 Champ de température et convergences – cas réel – Cp non-linéaire 106 9.1 Domaine d’étude – modèle stationnaire . . . 108
9.2 Détermination de la zone de température maximale . . . 110
9.3 Température Tc en fonction de la vitesse et de la puissance . . . . 110
9.4 Lien entre la vitesse et la puissance . . . 111
9.5 Profils de vitesse et de puissance en fonction du temps pour Topt = 400 K . . . 112
9.6 Évolution de la température au point de contrôle . . . 113
9.7 Évolution de la température au point de contrôle . . . 113
9.8 Évolution de la température au point de contrôle – zoom . . . 114
9.9 Profil de vitesse . . . 115
9.10 Profils de température, vitesse et puissance – abaque stationnaire 115 9.11 Paramétrisation de la vitesse et de la puissance . . . 116
9.12 Particularisation de l’abaque transitoire pour différentes valeurs de c117 9.13 Profils de température, vitesse et puissance – abaque dynamique . 118 D.1 Domaine d’étude – SUPG . . . 146
D.2 coth P e − 1 P e . . . 147
D.3 Longueur de maille 1D et 2D . . . 147
D.4 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S1 . 149 D.5 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S2 . 151 D.6 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S9 . 152 D.7 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S3 . 154 D.8 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S4 . 155 D.9 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S5 . 157 D.10 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S6 . 158 D.11 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S7 . 158 D.12 Évolution de la norme L2 en fonction du nombre de modes – S8 . 160 D.13 Comparaison de l’évolution des convergences . . . 161
Liste des tables
2.1 Définition des paramètres . . . 17
5.1 Valeurs numériques pour la résolution du problème (5.4) . . . 45
5.2 Nombre de modes pour la décomposition de la source . . . 52
5.3 Comparaison du schéma incrémental en temps . . . 55
7.1 Valeurs numériques . . . 88
7.2 Valeurs numériques . . . 89
7.3 Valeurs numériques pour la résolution du problème (7.12) . . . 95
8.1 Propriétés thermiques du composite APC-2 . . . 103
9.1 Valeurs des paramètres pour l’étude stationnaire . . . 109
A.1 Rappels de dérivation matricielle . . . 134
D.1 Comparaison de la MEF (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S1 . . . 148
D.2 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S1 . . . 149
D.3 Comparaison de la MEF (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S2 . . . 150
D.4 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S2 . . . 151
D.5 Comparaison de la MEF (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S3 . . . 153
D.6 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S3 . . . 153
D.7 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S4 . . . 154
D.8 Comparaison de la MEF (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S5 . . . 155
D.9 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S5 . . . 156
référence – S6 . . . 157
D.11 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S7 . . . 158
D.12 Comparaison de la MEF (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S8 . . . 159
D.13 Comparaison de la PGD (SUPG modifiée) avec la solution de référence – S8 . . . 159
D.14 Rappel des convergences (en %) et du nombre de modes en fonction de ψ . . . 162
Glossaire
EDP Équation aux Dérivées Partielles.22, 24
FEM Finite Elements Method : Méthode de résolution numérique par éléments
finis. Voir Méthode par Éléments Finis (MEF). 21
Fibre L’un des deux constituants d’un matériau composite avec lamatrice. La fibre assure la tenue mécanique de la pièce finale. Par abus de langage on appelle également fibre le produit semi-fini constitué de la matrice et de fibres continues. xix, 8, 14,15, 108
LATIN LArge Time INcrement : méthode numérique introduite par P. Ladevèze
basée sur la séparation espace-temps [Ladevèze, 1985b,Ladevèze, 1985a].5,
23
Matrice L’un des deux constituants d’un matériau composite avec les fibres.
Elle a pour principal but de transmettre les efforts mécaniques à la fibre. Elle assure aussi la protection du renfort vis-à-vis des diverses conditions environnementales. Elle permet en outre de donner la forme voulue au produit réalisé. xix, 2, 8, 14,15, 108
Mèche Produit semi-fini constitué defibres continues noyées dans une matrice thermodurcissable (TD) ou thermoplastique (TP). 1
MEF Méthode de résolution numérique par éléments finis. C’est une technique qui
permet de déterminer une solution approchée sur un domaine spatial, c’est-à-dire qui permet de calculer un champ (de scalaires, de vecteurs, de tenseurs) qui correspond à certaines équations et à certaines conditions imposées. La méthode consiste à découper le domaine spatial en petits éléments, également appelés mailles, et à rechercher une formulation simplifiée du problème sur chaque élément, c’est-à-dire à transformer le système d’équations quelconques en un système d’équations linéaires. Chaque système d’équations linéaires peut se représenter par une matrice. Les systèmes d’équations pour tous les éléments sont ensuite rassemblés, ce qui forme une grande matrice ; la résolution de ce système global donne la solution approchée au problème.
produit des modes élémentaires qui sont les fonctions ne dépendant que d’un nombre réduit de variables. Par exemple si u(x, y, z) =P∞
m=1Xm(x, y)Zm(z), le mode p est le produit XpZp, formé par les modes (élémentaires) Xp et Zp. On utilisera indifféremment ce terme pour définir le produit ou les fonctions qui le constituent, le contexte suffisant à préciser. 24, 30, 35, 147
PARAFAC Méthode de décomposition pour les données multi-dimensionnelles.
C’est une généralisation de laSVD aux tenseurs. 51, 80
PFR Placement de Fibres Robotisé. 1,3, 4,11, 14, 28,119
PGD Proper Generalised Decomposition : Décomposition généralisée en modes
propres. Méthode de réduction de modèle. 5, 23, 26, 30, 38, 43,54,119, 131
POD Proper Orthogonalised Decomposition : Décomposition orthogonale en
modes propres. Méthode de réduction de modèle. 23
RB Reduced Basis : Bases Réduites. Méthode de réduction de modèle. 25
RTC Résistance Thermique de Contact : traduit l’imperfection du contact
ther-mique à l’interface entre deux plis. Ce phénomène provient de la rugosité du matériau puisque, lors de l’empilement des plis, des micro-bulles d’air peuvent être piégées, réduisant de ce fait la continuité thermique. 11, 15,63,
72, 98,99
SUPG Streamline upwind/Petrov-Galerkin : Technique de stabilisation par ajout
d’un terme de diffusion, introduite par [?] pour les équations d’advection-diffusion et les équations de Navier-Stokes incompressibles. 64, 119, 145,
146
SVD Singular Value Decomposition : Décomposition en valeurs propres. En
algèbre linéaire, une matrice M ∈ Mm×n peut être factorisée sous la forme
M = U ΣV où Σ est une matrice m × n dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls, U ∈ Mm et V ∈ Mn sont des matrices unitaires. Les coefficients diagonaux de Σ sont égaux aux valeurs singulières de M . Les colonnes de U et de V sont, respectivement, vecteur singulier à gauche et à droite pour les valeurs singulières correspondantes.xx,24,44,55,57,88
TD La transformation d’un matériau thermodurcissable fait intervenir une
po-lymérisation, laquelle est irréversible et conduit à un produit fini solide, généralement rigide. Ce dernier est infusible donc non transformable, ce qui empêche son recyclage. Il est souvent préparé par réticulation : deux ingrédients, dont l’un est typiquement une « résine », réagissent sous l’ac-tion de la chaleur en présence de réactifs (catalyseur et accélérateur de polymérisation). La structure tridimensionnelle formée, stable, présente une résistance thermomécanique et chimique. xix, 9
TP Une matière thermoplastique désigne une matière qui se ramollit (parfois
on observe une fusion franche) d’une façon répétée lorsqu’elle est chauf-fée au-dessus d’une certaine température, mais qui, au-dessous, redevient dure. Une telle matière conservera donc toujours de manière réversible sa thermoplasticité initiale. Cette qualité rend le matériau thermoplastique potentiellement recyclable (après broyage). Cela implique que la matière ra-mollie ne soit pas thermiquement dégradée et que les contraintes mécaniques de cisaillement introduites par un procédé de mise en forme ne modifient pas la structure moléculaire. xix, 2, 10, 14,15, 108
Introduction générale
Contexte
Depuis le choc pétrolier de 1973, les compagnies aériennes poussent les avion-neurs à réduire considérablement la masse des appareils, de manière à pouvoir diminuer la consommation de carburant.
De ce fait, les matériaux composites représentent une piste privilégiée puisque, à propriétés mécaniques équivalentes voire supérieures, les pièces sont généralement moins volumineuses ou moins denses que les pièces en métal.
À titre d’exemple, la figure 1 présente l’évolution de la part de pièces structu-relles en matériaux composites dans la gamme d’avions Airbus. On notera ainsi que le dernier-né de la série, le A350 XWB compte plus de 50% de ses pièces structurelles en matériaux composites. Et Airbus n’est pas le seul avionneur à miser fortement sur les composites puisque, par exemple, il en va de même pour le Boeing 787. 1 970 1 980 1 990 2 000 2 010 0 10 20 30 40 50 A300 A310-200
A320 A340-300 A340-600
A380 A400M A350-900XWB Masse des pièces structurelles en comp o si tes [%]
Figure 1 : Évolution de la part de composites dans les avions Airbus Toutefois, si l’apport de ce type de matériau est flagrant (gains de masse, matériaux plus résistants, propriétés thermiques intéressantes), les procédés de fabrications requièrent encore des développements afin d’allier forte productivité, automatisation et répétabilité de fabrication. LePlacement de Fibres Robotisé (PFR)
connaît ainsi un essor considérable depuis une trentaine d’années [Lukaszewicz
et coll., 2012]. Le PFR répondant aux exigences aéronautiques consiste en la
dépose de mèches (ou rubans, voir figure 2) unidirectionnelles afin de former un stratifié de forme plus ou moins complexe qui est ensuite polymérisé en autoclave.
Les coûts importants liés à cette dernière étape, ajoutés à ceux générés par la mise en application des prochaines normes européennes sur la recyclabilité et la toxicité des produits, favorisent l’émergence des composites àmatrice thermoplastique (TP)
et de nouveaux procédés « out of autoclave ».
Figure 2 : Conditionnement des mèches d’APC-2/AS4
Présentation du projet Impala
La société Coriolis Composites a ainsi trouvé des solutions innovantes pour faire sauter les principaux verrous technologiques posés par l’utilisation des lasers sur une machine de placement de fibres pré-imprégnées de résine TP. Cependant, si ce procédé est d’ores et déjà opérationnel, les solutions doivent être optimisées à l’aide de modèles numériques, puis validées par la réalisation de démonstrateurs, afin que le procédé puisse être qualifié pour l’élaboration de pièces aéronautiques. C’est pourquoi le projet Impala regroupe, outre la PME Coriolis Composites, les laboratoires de recherches ESTIA-Recherche1, GeM2 (École Centrale de Nantes)
et LIMATB3 (Université de Bretagne Sud) ; les leaders de la production de structures aéronautiques : Dassault Aviation4, Daher-Socata5, EADS Composites
Aquitaine6; ainsi que le centre technique CompositAdour7 (figure3).
Les travaux de recherche sont effectués par le biais de trois thèses exposées succinctement ci-après – les partenaires industriels étant chargés de la réalisation des démonstrateurs.
La première thèse porte sur la puissance de chauffe qui doit être contrôlée efficacement en fonction des paramètres du procédé et des matériaux employés. Car il faut chauffer suffisamment les mèches pour que la matrice fonde, permettant
1. École Supérieure des Technologies Industrielles Avancées –http://www.estia.fr
2. Génie civil et Mécanique –http://gem.ec-nantes.fr
3. Laboratoire d’Ingénierie des MATériaux de Bretagne –http://www-limatb.univ-ubs.fr
4. http://www.dassault-aviation.com/fr/
5. http://www.daher.com/
6. http://www.composites-aquitaine.com
Présentation du procédé PFR
Figure 3 : Les partenaires du projet Impala
ainsi d’assurer la cohésion entre les différentes couches, tout en ne franchissant pas un certain seuil de température au-delà duquel la matière est dégradée, voire brûle. Cette thèse a donc pour objectif de mettre en place un modèle numérique pertinent en identifiant les phénomènes physiques, notamment autour de la zone de chauffe par le laser [Dolo et coll., 2013, Dolo et coll., 2014].
La deuxième, présentée ici, est fortement dépendante de la précédente, puis-qu’elle consiste à développer un modèle réduit du système à résoudre. Comme nous le verrons ultérieurement, la simulation initiale ne peut en effet pas être utilisée pour asservir la puissance de chauffe. Il faut alors utiliser de nouvelles méthodes numériques pour fournir une solution tout aussi riche et précise, mais sans buter sur l’obtention en temps réel de cette solution [Bur et coll., 2013,Joyot
et coll., 2013, Joyot et coll., 2013, Bur et coll., 2014b, Bur et coll., 2014a, Bur
et coll., 2015, Joyot et Bur, 2015,Bur et coll., 2015].
La troisième a pour vocation d’améliorer la précision du positionnement du robot. Du fait de la masse de la machine, de la vitesse de dépose ainsi que des jeux dans les articulations, une certaine déviation des bandes apparaît, ce qui nuit à la qualité de la pièce produite. Cela est encore renforcé par le fait qu’un effort de compactage doit être exercé pour assurer la cohésion entre les mèches fondues et déposées. La recherche menée dans ce cadre vise donc à développer une commande d’asservissement permettant de piloter le bras du robot non seulement en position, mais aussi en effort [Uhart et coll., 2013,Uhart et coll., 2014].
Présentation du procédé PFR
Dans le cadre du projet Impala, le PFRs’effectue à l’aide d’un robot Kuka six axes placé sur un positionneur linéaire (figure4). Cette machine est équipée d’une tête de dépose des fibres, développée par la société Coriolis Composite, initiatrice du projet.
Grâce à la grande liberté de mouvement du robot, mais aussi en raison de la taille réduite de la tête, ce robot est capable de mettre en place les fibres dans une grande variété de configurations. Le drapage s’effectue de la manière suivante : Les fibres, qui se présentent sous forme de bandelettes (voir figure 2), cheminent dans une gaine jusqu’à la tête de travail qui les guide et les dépose sur le moule. Un flux laser, porté par fibre optique et focalisé à l’endroit adéquat, permet de fondre la matrice plastique qui enrobe les fibres. Simultanément, le rouleau de compactage, comme son nom l’indique, assure la cohésion entre le substrat et la fibre nouvellement déposée et fondue.
Lorsque le robot parvient à l’extrémité de la pièce, les fibres sont sectionnées et le robot se repositionne pour déposer une nouvelle bande de matériau.
Rouleau de compactage
Fibres acheminées Fibre optique
Robot 6 axes sur positionneur linéaire
Guidage et coupe des fibres Système optique Moule et substrat
Tête du robot
Figure 4 : Présentation du robot de PFR
L’objectif des travaux exposés dans la suite est d’établir des résultats nu-mériques pertinents de la simulation du procédé PFR, de manière à pouvoir les intégrer dans la boucle de contrôle du robot.
Plan de la thèse
Plan de la thèse
Afin d’introduire le vocabulaire utilisé par la suite, lepremier chapitrede cette thèse est consacré aux matériaux composites. Nous y donnons quelques définitions, et présentons différentes méthodes de mise en forme. Ce chapitre se termine par l’explication du recours à la modélisation numérique pour améliorer les procédés de fabrication.
Réalisée dans le cadre du projet Impala que nous venons de présenter, cette thèse est axée autour du procédé de Placement de Fibres Robotisé. Le deuxième chapitreest donc une mise en équation du système que l’on cherche à résoudre. Nous y écrivons mathématiquement les différents phénomènes thermiques en jeu, en nous plaçant dans les deux approches lagrangienne et eulérienne.
Face aux équations à résoudre, plusieurs outils numériques sont disponibles. Le chapitre 3 constitue un état de l’art concernant la modélisation numérique autour des matériaux composites. Nous y présentons brièvement la modélisation numérique classique ainsi que les trois grandes familles de réduction de modèle.
La méthode Proper Generalised Decomposition (PGD) est ensuite détaillée puisque c’est sur cette approche qu’est axée la présente thèse. Cette technique, basée sur la séparation des variables, est issue de la méthodeLArge Time INcrement
(LATIN) introduite par P. Ladevèze [Ladevèze, 1985b, Ladevèze, 1985a] qui utilise une séparation espace-temps. Partant d’un exemple simple, nous proposons une formulation plus générale de cette méthode qui pourra être appliquée à différents problèmes.
Comme indiqué dans le chapitre 2, deux points de vue sont possibles pour décrire le procédé. Dans le chapitre5, nous proposons une approche afin de pouvoir appliquer efficacement la méthode PGD en conservant la description lagrangienne du problème.
Le chapitre 6 a pour but de présenter la résolution de systèmes à l’aide de la méthode PGD. Les cas étudiés visent à mettre en évidence les instabilités numériques des schémas employés, puis à proposer des techniques afin d’y pallier.
Nous utilisons ensuiteune caractéristique de la méthode PGD pour construire des modèles multi-paramétriques. En effet, l’un des atouts de la PGD est sa capacité à intégrer des paramètres comme des variables.
Le chapitre8 forme une synthèse des différents outils développés puisque nous y proposons la simulation paramétrée du procédé PFR à l’aide de la PGD.
Enfin, l’objectif étant d’optimiser la mise en œuvre, ledernier chapitreprésente l’état de nos recherches pour intégrer notre modèle réduit dans une boucle de contrôle pilotant le robot.
Chapitre 1
Matériaux composites
Ce chapitre est une brève introduction aux ma-tériaux composites. Quelques définitions y sont données, et différentes méthodes de mise en forme exposées. La dernière section porte sur l’utilité de la modélisation numérique pour l’amélioration de ces techniques.
Sommaire
1.1 Définitions. . . . 8 1.1.1 Fibre. . . 8 1.1.2 Matrice . . . 9 1.2 Mise en œuvre . . . . 10 1.2.1 Procédés manuels. . . 10 1.2.2 Procédés mécanisés. . . 101.1
Définitions
Un matériau composite est constitué d’au moins deux éléments non miscibles mais ayant une forte capacité d’adhésion et dont les propriétés se complètent : la
fibre et la matrice. Le nouveau matériau ainsi constitué, hétérogène, possède des propriétés que les composants seuls ne possèdent pas [Ashby et Jones, 1997].
Ce phénomène, qui permet d’améliorer la qualité de la matière en vue d’une certaine utilisation (légèreté, rigidité à un effort, etc.) explique l’utilisation crois-sante des matériaux composites dans différents secteurs industriels. Néanmoins, ce type de matériau reste complexe à décrire du point de vue mécanique en raison de son hétérogénéité.
Il existe aujourd’hui un grand nombre de matériaux composites que l’on classe généralement en trois familles selon la nature de la matrice :
— les composites à matrices organiques qui constituent, de loin, les volumes les plus importants aujourd’hui à l’échelle industrielle ;
— les composites à matrices céramiques, destinés à travailler à haute tempé-rature, et réservés aux applications de très haute technicité comme celles utilisées dans les domaines spatial, nucléaire et militaire, mais aussi pour des applications plus spécifiques (freins céramique) ;
— les composites à matrices métalliques pour quelques applications spéciali-sées.
Les composites trouvent leurs principales applications dans le transport aérien, maritime et ferroviaire, le bâtiment, l’aérospatial ainsi que les sports et loisirs, grâce notamment à leur bonne tenue mécanique, comparable à celle des matériaux homogènes comme l’acier, et à leur faible masse volumique.
1.1.1
Fibre
La fibre assure la tenue mécanique de la pièce finale. Par abus de langage, le produit semi-fini constitué de la matrice et de fibres continues est également appelé ainsi. Les fibres peuvent être classées selon :
— leur composition : métal, verre, polymère, etc. ;
— leur forme : courtes (0,1 à 1 mm), longues (1 à 50 mm) ou continues (> 50 mm) ;
— leur disposition :
- parallèlement les unes par rapport aux autres : renforcement unidirec-tionnel,
- selon un angle prédéfini (45◦ par exemple les unes par rapport aux autres) : renforcement multidirectionnel,
- d’une façon aléatoire.
Les fibres possèdent généralement une bonne résistance à la traction mais une résistance faible à la compression.
1.1. Définitions — les fibres de verre qui sont utilisées dans le bâtiment, le nautisme et diverses applications structurelles peu chargées. Le coût de production de ces fibres est faible, ce qui en fait l’une des fibres les plus utilisées à l’heure actuelle ; — les fibres de carbone utilisées pour des applications structurelles visant à obtenir une plus grande légèreté et une meilleure rigidité qu’avec la fibre de verre. Le prix de ces fibres reste relativement élevé mais il n’a cessé de diminuer avec l’augmentation des volumes de production. On les retrouve dans de nombreuses applications : dans l’aéronautique, le spatial ainsi que les sports et loisirs de compétitions (Formule 1, mâts de bateaux) ;
— les fibres d’aramide (ou Kevlar qui est une dénomination commerciale) utilisées dans les protections balistiques comme les gilets pare-balles ainsi que dans les réservoirs souples de carburant en Formule 1 ;
— les fibres de carbure de silicium sont une bonne réponse à l’oxydation du carbone dès 500◦C. Elles sont utilisées dans des applications très spécifiques travaillant à haute température et sous atmosphère oxydante (spatial et nucléaire). Leur coût de production est très élevé ce qui limite donc leur utilisation ;
— les fibres végétales, comme le chanvre ou le lin sont regardées par les industriels avec un intérêt croissant. Elles ont de bonnes propriétés mé-caniques pour un prix modeste (utilisation dans les composites d’entrée de gamme), et sont particulièrement écologiques. On rencontre aussi des fibres de polyester, telles que le Textilene.
1.1.2
Matrice
La matrice a pour principal but de transmettre les efforts mécaniques à la fibre. Elle assure aussi la protection du renfort vis-à-vis des diverses conditions environnementales. Elle permet en outre de donner la forme voulue au produit réalisé.
Dans le cas des composites à matrices organiques, les principales matrices utilisées sont :
— thermodurcissables (TD) :
- les résines polyesters insaturés (UP) peu onéreuses qui sont généralement utilisées avec les fibres de verre et que l’on retrouve dans de nombreuses applications de la vie courante,
- les résines époxydes (EP) qui possèdent de bonnes caractéristiques mécaniques. Elles sont généralement utilisées avec les fibres de carbone pour la réalisation de pièces de structure performantes (véhicules et voiliers de compétition, aéronautique),
- les résines vinylesters sont surtout utilisées pour des applications où les résines polyesters ne sont pas suffisantes. Elles sont issues d’une modifi-cation d’une résine époxyde et sont excellentes pour des applimodifi-cations de résistance chimique,
- les résines phénoliques (PF) utilisées dans les applications nécessitant des propriétés de tenue aux feux et flammes imposées par les normes dans les transports civils,
- les résines polyimides thermodurcissables (PIRP) pour des applications à haute température (∼ 300◦C) et polybismaléimides (BMI) pour des applications à température intermédiaire (∼ 225◦C) ;
— thermoplastiques (TP), comme le polypropylène, le polyamide, le polyéthe-rimide (PEI), le polysulfure de phénylène (PPS) et le polyétheréthercétone (PEEK) pour la réalisation de pièces structurelles en aéronautique.
Dans le cas des composites à matrices céramiques, la matrice peut être consti-tuée de carbone ou de carbure de silicium. Ces matrices sont déposées soit par dépôt chimique en phase vapeur (CVD) par densification d’une préforme fibreuse, soit à partir de résines cokéifiables comme les résines phénoliques (dans le cas des matrices de carbone).
1.2
Mise en œuvre
Différents procédés de mise en œuvre existent pour les matériaux composites. De façon générale, celle-ci consiste à placer les fibres et la matrice dans un moule, puis à solidifier la matrice.
La mise en forme des matériaux composites peut être réalisée par des procédés manuels ou mécanisés. Dans l’ensemble, les outils nécessaires aux procédés méca-nisés s’amortissent en produisant en moyenne et grande série ; c’est pourquoi les procédés manuels sont plus adaptés à la petite série du point de vue économique.
1.2.1
Procédés manuels
Parmi les procédés manuels, on distingue :
— la projection à l’aide d’un pistolet qui dose la proportion fibre/matrice ; — le drapage de préimprégnés (catalyse à haute température, souvent sous
vide) ;
— le moulage au contact ; — le moulage sous vide ; — l’infusion.
1.2.2
Procédés mécanisés
Les procédés mécanisés sont :
— la compression des préimprégnés : - SMC (Sheet Molding Compound), - BMC (Bulk Molding Compound) ; — l’injection :
1.3. Optimisation des procédés - des thermoplastiques renforcés : moulage par injection,
- des thermodurcissables renforcés : RTM (Resin Transfer Molding) ; — l’imprégnation en continu ;
— la pultrusion : l’équivalent de l’extrusion pour les matériaux composites ; — le pull-winding ;
— l’estampage de thermoplastiques renforcés estampables ; — l’enroulement filamentaire ;
— le drapage assisté ouPFR.
1.3
Optimisation des procédés
Les principales caractéristiques des matériaux composites sont donc obtenues grâce à la combinaison des caractéristiques des différents composants. Cependant, cette structure non homogène est à l’origine de plusieurs problèmes de mise en forme non rencontrés avec les matériaux homogènes. On pourra citer les contraintes résiduelles même en très faible épaisseur [Msallem et coll., 2010a,Msallem et coll., 2010b], le délaminage [Gornet et coll., 2000] ou encore les Résistances Thermiques de Contact (RTC) aux interfaces entre les couches, comme cela a été abordé récemment dans [Ghnatios, 2012]. Ces problèmes sont loin d’être résolus et varient d’un procédé de formage à l’autre.
Afin d’améliorer la qualité des pièces composites, une étude poussée doit être menée. Toutefois, étant donnés les coûts de production dûs à l’emploi de certains composants, nous avons recours à la simulation numérique. L’objectif est de réaliser des modèles qui correspondent le mieux possible à la réalité, sans qu’il soit besoin de construire réellement une pièce.
Par ce biais, la compréhension des phénomènes affectant la qualité de la pièce est améliorée, permettant de corriger les méthodes de fabrication, d’optimiser les procédés. De façon simple, la simulation numérique permet de déterminer le meilleur jeu de paramètres assurant le bon déroulement de fabrication (par exemple la vitesse de drapage et la puissance de chauffe en respectant la santé matière) [Ghnatios et coll., 2011a].
Mais cette démarche peut être poussée plus avant en intégrant les résultats numériques dans le pilotage du procédé [Ito et Kunisch, 2008,Ghnatios et coll., 2012, Masson et coll., 2013, Alla, 2013].
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la bonne modélisation des champs de température dans ces composites, comme point de départ afin de mieux aborder les couplages existants. Le procédé de mise en forme étudié est le drapage de fibres robotisé, tel que présenté dans l’introduction.
Chapitre 2
Procédé de Placement de Fibres
Robotisé
Où l’on effectue à la mise en équations du pro-cédé de placement de fibres robotisé, avec la prise en compte des différents phénomènes thermiques intervenant lors du drapage. Le système est écrit d’un point de vue lagrangien avant d’être transcrit dans l’approche eulérienne.
Sommaire
2.1 Présentation. . . . 14 2.2 Approche lagrangienne . . . . 15 2.2.1 Domaine d’étude . . . 15 2.2.2 Mise en équations . . . 16 2.2.3 Problème stationnaire . . . 17 2.3 Description eulérienne . . . . 18 2.3.1 Représentation schématique . . . 18 2.3.2 Changement de variables . . . 18 2.3.3 Système transitoire . . . 19 2.3.4 Expression stationnaire . . . 202.1
Présentation
Le procédéPFR a été expliqué en introduction, à la page 3. Nous exposons ici sa mise en équations afin de construire le modèle numérique.
De façon schématique, nous utilisons la représentation de la figure 2.1 sur laquelle sont représentés l’empilement des couches formant la pièce, le rouleau de compactage qui assure que la dernière bande déposée est solidaire du substrat, et la source de chaleur qui permet de fondre la matrice TP enrobant les fibres.
Substrat
Moule
Fibre acheminée
Rouleau de compactage
Zone fondue
Figure 2.1 : Représentation de l’empilement
Le substrat, qui évolue au cours du temps à mesure que l’on empile les mèches, ainsi que la fibre acheminée, constituent le domaine d’étude Ω. Celui-ci représente soit une pièce complète (3D), soit une coupe de cette même pièce (2D). La coupe est toujours réalisée dans l’épaisseur, suivant l’axe de déplacement du robot, et située à l’aplomb de la tête de dépose, comme présentée sur la figure 2.2.
Outillage ~ x ~ z Γi • • • • Rouleau de compactage
Fibre thermoplastique acheminée
Γa Γa Γa Γa Γr Γf a Γsub • Γi0 ΓM Laser Sens de drapage Substrat
2.2. Approche lagrangienne Énumérons à présent les différents phénomènes physiques qui devront être pris en compte dans le modèle numérique.
1. La convection naturelle s’applique sur l’ensemble des surfacesΓa exposées à
l’air.
2. La conduction entre le moule et le substrat génère des pertes sur ΓM. 3. Lesfibres et leurmatrice TPsont chauffées par rayonnement laser, la
géomé-trie du faisceau étant transformée par passage dans un système optique. De la sorte, une partie du rayonnement illumine le substrat (sur la zone notée
Γsub), tandis que la fibre acheminée est chauffée sur la surfaceΓf a.
4. La conduction entre le rouleau de compactage génère des pertes sur Γr.
5. Le contact généré par la compression n’étant pas parfait, des interfaces existent entre les différents plis. C’est la raison pour laquelle nous utilisons les surfaces Γi aux niveaux desquelles sont susceptibles d’apparaître des
sauts de température. Par ailleurs, nous considérons que la valeur de la
RTC simulant ces interfaces évolue entre le premier et le second passage du rouleau (lors du drapage des plis suivants). C’est pourquoi nous distinguons Γi0, d’autant plus que cette RTC ne s’applique pas sur toute la longueur du domaine, mais seulement là où le rouleau a comprimé le dernier pli déposé. Comme cela a été indiqué dans la description du procédé (cf. la présentation du PFR), le drapage s’effectue toujours dans le même sens. C’est-à-dire qu’un nouveau pli se dépose toujours de x = 0 en x = L. De ce fait, nous faisons l’hypothèse que la pièce retourne à une température uniforme entre deux passages du robot.
Pour toute la suite, nous adopterons également les notations suivantes : — Ωx = ]0, L[ le domaine suivant l’axe x ;
— Ωy = ]0, l[ le domaine suivant l’axe y – en 3D ; — Ωz = ]0, H = pM × ep[ le domaine suivant l’axe z ; — ep l’épaisseur d’un pli ;
— pM le nombre de plis constituant la pièce. Le premier pli est celui au contact du moule ;
— Ω = Ωx× Ωz ou Ω = Ωx× Ωy× Ωz en 3D ; — I = ]0; Tf[ le domaine temporel.
2.2
Approche lagrangienne
2.2.1
Domaine d’étude
Pour mettre en équations le problème décrit ci-dessus, nous choisissons la description lagrangienne. Le repère de référence est donc lié au domaine d’étude, la source de chaleur étant mobile, ainsi que cela est schématisé à la figure 2.3.
~x ~ z Γi • • • • • • • Γi0 Γa H Γa Γa Γf a Γ sub ΓM 0 xr L Lr Lf a Lsub Substrat V (t) Φf a Φsub rouleau Γr
Figure 2.3 : Représentation Lagrangienne
2.2.2
Mise en équations
De la sorte, l’équation de la chaleur à résoudre est donnée par le système (2.1) modélisant les différents phénomènes décrits précédemment.
ρCpu,t(x, t) − div (K∇u(x, t)) = 0 ∀(x, t) ∈ Ω × I; u(x, t = 0) = u0(x) dans Ω;
−K · ∂nu(x, t) = heq(u(x, t) − ua(x, t)) surΓa× I;
−K · ∂nu(x, t) = hr(u(x, t) − ur(x, t)) surΓr× I;
−K · ∂nu(x, t) = hm(u(x, t) − um(x, t)) surΓM × I; −K · ∂nu(x, t) = hi0(u
−(x, t) − u+(x, t)) surΓ
i0 × I;
−K · ∂nu(x, t) = hi(u−(x, t) − u+(x, t)) surΓi× I, ∀i ∈ [1, pM − 2] ; −K · ∂nu(x, t) = −Φf a(x, t) surΓf a× I;
−K · ∂nu(x, t) = −Φsub(x, t) surΓsub× I.
(2.1)
On prêtera une attention particulière aux conditions de flux aux interfaces internes, celles-ci s’appliquant sur chaque pli (u− étant la température dans le pli considéré et u+ la température dans le pli voisin).
On détaille dans la table2.1 les différents paramètres intervenant dans l’équa-tion (2.8). En description lagrangienne, la vitesse V de déplacement de la tête de dépose est masquée : elle est intégrée dans les expressions des flux Φf a et Φsub, puisque dans cette approche c’est la source qui évolue au-dessus du domaine. Cependant, comme il s’agit d’un paramètre clef du système, et que le passage en description eulérienne le fait apparaître, nous choisissons de le spécifier dans cette table avec les autres coefficients.
La résolution de ce système permet d’obtenir l’évolution au cours du temps du champ de température au sein du domaine Ω, qu’il soit considéré en 2D ou en 3D.
2.2. Approche lagrangienne
Table 2.1 : Définition des paramètres
Nom Définition Unité
ρ masse volumique kg·m−3
Cp chaleur spécifique J·kg−1·K−1
K tenseur des conductivités thermiques W·m−1·K−1
kk, k⊥ conductivités thermiques parallèlement et transversalement à la direction des fibres
W·m−1·K−1
u0 champ initial de température K
heq ha+ σε (us+ ua) u2s+ u2a, coefficient de conductance prenant en
compte la conduction avec l’air (ha) et les pertes par rayonnement
W·m−2·K−1
ha coefficient de convection entre l’air et le substrat W·m−2·K−1
ua répartition de chaleur dans la couche d’air K
σ constante de Stefan-Boltzmann 5,6703 × 10−8 W·m−2·K−4
ε émissivité du matériau –
hr coefficient de conduction entre le rouleau et le moule W·m−2·K−1
ur température du rouleau (équipé d’un système de refroidissement) K
hm coefficient de conduction entre le substrat et le moule W·m−2·K−1 um répartition de chaleur dans le moule K
hi conductance thermique de contact pour les interfaces du substrat W·m−2·K−1 hi0 conductance thermique de contact pour l’interface fibre
achemi-née/substrat
W·m−2·K−1 Φf a flux appliqué à la fibre acheminée W·m−2
Φsub flux appliqué au substrat W·m−2
V vitesse de déplacement de la tête de dépose m·s−1
vx, vy, vz composantes de la vitesse de déplacement de la tête de dépose m·s−1
2.2.3
Problème stationnaire
Pour mieux appréhender le comportement du système et afin de le résoudre plus aisément, nous nous intéressons également à son état stationnaire. Pour cela nous considérons la vitesse de déplacement constante, ce qui nous permet d’étudier le régime permanent. De la sorte, la dépendance en temps des termes n’a plus lieu d’être, et nous nous ramenons à l’équation de diffusion
−div (K∇u(x)) = 0 ∀x ∈ Ω;
−K · ∂nu(x) = heq(u(x) − ua(x)) sur Γa;
−K · ∂nu(x) = hr(u(x) − ur(x)) sur Γr;
−K · ∂nu(x) = hm(u(x) − um(x)) sur ΓM; −K · ∂nu(x) = hi0(u
−(x) − u+(x)) sur Γ
i0; −K · ∂nu(x) = hi(u−(x) − u+(x)) sur Γi;
−K · ∂nu(x) = −Φf a(x) sur Γf a;
−K · ∂nu(x) = −Φsub(x) sur Γsub.
(2.2)
Dans ces deux problèmes (2.1) et (2.2), nous considérons que les flux sortants des surfaces exposées à l’air comportent d’une part la convection naturelle, mais
aussi les pertes par rayonnement. L’expression heq donnée ici prend en compte ces deux phénomènes. Elle a été vérifiée en comparant des essais expérimentaux et une résolution par éléments finis dans [Dolo et coll., 2014].
2.3
Description eulérienne
2.3.1
Représentation schématique
Le procédé PFR peut également être appréhendé d’un autre point de vue. Dans la section précédente, l’observateur regarde la pièce dans son ensemble (fixe) avec la source mobile. Dans la description eulérienne, le repère est lié à la tête de dépose, et c’est donc la pièce qui va défiler par rapport à l’observateur, comme cela est représenté sur la figure 2.4.
~ x ~ z Γi • • • • • • • Γi0 ΓN H Γa Γa ΓD ΓD Γf a Γ sub ΓM 0 xr L Sens de drapage Lr Lf a Lsub Substrat Φf a Φsub −V (t) rouleau Γr
Figure 2.4 : Représentation eulérienne
2.3.2
Changement de variables
On notera dès à présent que les conditions de bord vont changer entre les deux représentations. D’où l’ajout des bords ΓN et ΓD là où il y avait précédemment
Γa. En effet, en lagrangien, la pièce composite est considérée dans son ensemble,
la tête du robot se déplaçant à sa surface supérieure. Dans l’approche eulérienne, l’observateur voit défiler la pièce composite dans une fenêtre. Les bords gauche et droit ne correspondent donc plus aux bords extérieurs de la pièce, soumis à la convection avec l’air. Il s’agit à présent d’une coupe effectuée dans la pièce. On suppose alors qu’en amont du drapage, la température est fixée, en considérant qu’entre deux passages du robot la pièce est revenue à la température ambiante. On impose donc une condition de Dirichlet sur le bord ΓD.
2.3. Description eulérienne En prenant un domaine assez grand, le flux est supposé stabilisé et nul en aval de la dépose de fibres. Ainsi, nous appliquons un flux nul sur le bord ΓN.
Le passage de l’une à l’autre représentation s’effectue par le changement de variable xLag = xEul+ ´ tvx(t) dt, yLag = yEul+ ´ tvy(t) dt, zLag = zEul+ ´ tvz(t) dt, (2.3)
où vx, vy et vz sont les vitesses de déplacement de la source mobile suivant les trois directions d’espace dans le repère lagrangien. On notera V =vx vy vz
T
le vecteur vitesse associé (cf. table 2.1). Dans la description précédente, cette vitesse était de fait incluse dans les expressions des flux Φf a et Φsub.
L’annexe Bp. 137détaille les différentes étapes permettant la commutation entre les représentations lagrangiennes et eulériennes. Nous donnons ici les derniers résultats qui y sont présentés, lesquels permettent d’exprimer un champ lagrangien L en fonction de son correspondant en eulérien E. Pour reprendre les notations de l’annexe B, nous prenons L = L(a, b, c, T ) et E(x, y, z, t) :
L,a = E,xx,a+ E,yy,a+ E,zz,a; = E,x; (2.4) L,b= E,xx,b+ E,yy,b+ E,zz,b; = E,y; (2.5) L,c= E,xx,c+ E,yy,c+ E,zz,c; = E,z; (2.6) L,T = E,xx,T + E,yy,T + E,zz,T + E,tt,T; = E,t+ VE · ∇E. (2.7)
2.3.3
Système transitoire
Pour transcrire le système (2.1) dans le repère lié à la tête du robot, on utilise donc le développement présenté dans l’annexeBet plus particulièrement la dernière équation rappelée ci-dessus (2.7), sans oublier de modifier également les conditions de bord comme nous l’avons indiqué.
Pour ne pas alourdir les notations, les coordonnées spatiales sont ici données dans le repère eulérien : x = xEul; dans la section 2.2 et en particulier dans le système (2.1), nous avions bien entendu x = xLag.
ρCpu,t(x, t) − div (K∇u(x, t)) − ρCpV · ∇u(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ Ω × I;
u(x, t = 0) = u0(x) dans Ω;
u(x, t) = ua surΓD × I;
−K · ∂nu(x, t) = 0 surΓN × I;
−K · ∂nu(x, t) = heq(u(x, t) − ua(x, t)) surΓa× I;
−K · ∂nu(x, t) = hr(u(x, t) − ur(x, t)) surΓr× I;
−K · ∂nu(x, t) = hm(u(x, t) − um(x, t)) surΓM × I; −K · ∂nu(x, t) = hi0(u
−(x, t) − u+(x, t)) surΓ
i0 × I; −K · ∂nu(x, t) = hi(u−(x, t) − u+(x, t)) surΓi × I;
−K · ∂nu(x, t) = −Φf a(x, t) surΓf a× I;
−K · ∂nu(x, t) = −Φsub(x, t) surΓsub× I.
(2.8)
2.3.4
Expression stationnaire
De la même manière que précédemment, nous nous ramenons au cas station-naire, toujours avec la notation x = xEul
−div (K∇u(x)) − ρCpV · ∇u(x) = 0 ∀x ∈ Ω;
u(x) = ua surΓD;
−K · ∂nu(x) = 0 surΓN;
−K · ∂nu(x) = heq(u(x) − ua(x)) surΓa;
−K · ∂nu(x) = hr(u(x) − ur(x)) surΓr;
−K · ∂nu(x) = hm(u(x) − um(x)) surΓM; −K · ∂nu(x) = hi0(u
−(x) − u+(x)) surΓ
i0; −K · ∂nu(x) = hi(u−(x) − u+(x)) surΓi;
−K · ∂nu(x) = −Φf a(x) surΓf a;
−K · ∂nu(x) = −Φsub(x) surΓsub.
(2.9)
Ce changement de repère permet de simplifier les termes sources Φf a et Φsub qui ne dépendent plus de la vitesse puisque c’est maintenant la pièce qui se déplace sous la source. Cependant une autre difficulté survient, due à un terme d’advection qui, s’ajoutant alors à l’équation de diffusion de la chaleur, pourra entraîner des instabilités numériques qui devront être traitées (voir section 6.3 p.64).
Chapitre 3
Simulation numérique
Ce chapitre constitue un état de l’art concernant la modélisation numérique autour des matériaux composites. Dans le cadre du projet Impala, les travaux de recherche sont axés autour du procédé PFR. La première thèse, comme nous l’avons déjà dit, a pour but de développer un modèle numérique le plus exhaustif possible, en utilisant lesMéthodes par Éléments Finis (MEF) « traditionnelles » (ou
Finite Elements Method (FEM)). Le but de nos travaux est d’en établir un modèle réduit.
Sommaire
3.1 Modèle complet par éléments finis . . . . 22
3.2 Réduction de modèle . . . . 23
3.2.1 Proper Orthogonalised Decomposition . . . 23 3.2.2 Bases réduites . . . 25 3.2.3 Proper Generalised Decomposition . . . 26
3.3 Choix de la méthode . . . . 27
3.3.1 Solution en temps réel . . . 27 3.3.2 Solution dépendante de nombreux paramètres . . . 27 3.3.3 Conclusion . . . 28
3.1
Modèle complet par éléments finis
La simulation numérique utilise généralement laMEF pour résoudre des pro-blèmes impliquant des Équations aux Dérivées Partielles (EDP). Pour ce faire, le domaine d’étude est discrétisé ou maillé : il est scindé en petits éléments ap-pelés également mailles ou cellules. Les sommets de ces mailles sont apap-pelés nœuds. La figure 3.1 donne une schématisation de la discrétisation d’un domaine tridimensionnel.
(a) Plaque 3D (b) Discrétisation MEF
Figure 3.1 : Discrétisation MEF d’une plaque 3D
Pour générer un maillage sur un domaine quelconque, il faut veiller à ce que les éléments ne soient pas « trop » disproportionnés et il faudra donc tâcher de contenir le ratio entre leurs différentes longueurs. Si le maillage n’est pas régulier (ie. les cellules ne sont pas toutes identiques), il est opportun de passer progressivement des petites aux grandes tailles. Une autre règle consiste à favoriser les maillages fins afin de capter au mieux les phénomènes que l’on cherche à modéliser, tout au moins dans les zones d’intérêt, celles-ci étant appréhendées grâce à l’expérience. Il n’est pas inutile d’établir une analogie avec un filet de pêche.
Prenons l’exemple d’une plaque stratifiée d’1 m sur 1 m constituée de 10 plis ayant chacun une épaisseur de 0,2 × 10−3m. Pour capter les phénomènes, nous choisissons de prendre deux cellules par pli dans l’épaisseur, ce qui est assez peu. La hauteur des cellules sera ainsi de 0,1 × 10−3m. Considérons ensuite des éléments dix fois plus grands sur la largeur et sur la longueur. Un simple calcul permet de déterminer le nombre total de mailles contenues dans cette discrétisation :
1 m 1 mm × 1 m 1 mm × 10 × 0,2 mm 0,1 mm ! = 20 × 106 (3.1)
Avec un nombre si important (20 × 106) d’éléments à traiter, pas question, bien
évidemment, de songer à obtenir une solution en temps réel, même avec un super calculateur. Et encore n’a-t-on pas considéré la discrétisation en temps pour un système dynamique !
Cependant une telle approche n’est pas efficace dans la mesure où le traitement de la vitesse de dépose requiert un maillage espace-temps particulièrement fin [Donea et Huerta, 2003,Scovazzi, 2007]. De plus, afin de capter les phénomènes dans l’épaisseur des pièces, le maillage spatial doit également être fin. De ce fait,
3.2. Réduction de modèle ni les théories classiques de simplification du modèle ni le calcul par la MEF ne sont adaptés pour simuler fructueusement le procédé PFR.
3.2
Réduction de modèle
Pour pallier cette limitation dûe aux contraintes géométriques sur le maillage, une autre option consiste à réduire le modèle.
Pour notre exemple précédent de la plaque, cela revient à considérer indépen-damment les trois directions de l’espace : en nous affranchissant des contraintes géométriques sur les éléments, il devient ainsi possible de mailler chaque lon-gueur avec un maillage autonome. La figure3.2 permet de visualiser ce type de discrétisation. (a) Plaque 3D z y x (b) Discrétisation PGD
Figure 3.2 : Discrétisation séparée d’une plaque 3D
En gardant les dimensions de cellules définies précédemment pour chaque direction, nous obtenons alors le nombre total d’éléments suivant :
1 m 1 mm + 1 m 1 mm + 10 × 0,2 mm 0,1 mm ! = 2020. (3.2)
L’intérêt de ce genre de méthode saute donc clairement aux yeux, en compa-raison de l’approche MEF directe.
Cette séparation des coordonnées est à la base de la PGD. Cette méthode de résolution permet même d’aller plus loin comme nous le verrons (cf. chapitre7
p.71) puisqu’elle autorise – comme cela a été établi par A. Ammar et F. Chinesta [Ammar et coll., 2006] – la séparation de n’importe quelle coordonnée. Il est à noter que cette technique est une généralisation de la méthodeLATIN. En effet, dans les années 80, P. Ladevèze a introduit la représentation séparée des variables spatiales et temporelles afin de résoudre des problèmes complexes thermo-mécaniques non linéaires [Ladevèze, 1998].
Les techniques de réduction de modèle se répartissent en trois grandes familles que nous allons décrire très rapidement ici.
3.2.1
Proper Orthogonalised Decomposition
La Proper Orthogonalised Decomposition (POD), connue aussi sous le nom de Karhunen Loève Expansion ou KLE [Loève, 1945, Vořechovský, 2008], est à la
base un développement spectral d’un tenseur par rapport aux valeurs propres. En pratique, la POD est une technique de réduction de modèle qui génère un sous-espace linéaire optimal de dimension D à partir d’un tenseur de dimension supérieure à D. De plus, la POD peut générer le produit de fonctions affines qui construit au mieux le tenseur, et ceci en considérant des sous-espaces 1D. Par suite, nous pouvons écrire un tenseur u comme étant la somme de produits de fonctions des coordonnées de ce dernier, par exemple :
u(x, t) ≈ M
X
m=1
αmXm(x)Tm(t), (3.3)
avec u le tenseur, Xm et Tm les vecteurs fonction des coordonnées x et t respec-tivement, αm étant le poids ou la valeur propre correspondant à ce produit de fonctions. Dans la suite de la thèse, nous utiliserons indifféremment le terme mode
pour définir le produit ou les fonctions qui le constituent, le contexte suffisant à préciser. On notera également que l’exposant ne signifie pas une puissance mais donne l’indice du mode considéré. L’un des intérêts majeurs de cette séparation est la réduction de la quantité de mémoire utilisée pour stocker le tenseur [Kolda et Bader, 2009].
Dans un espace 2D, la séparation d’un espace discret se fait par la séparation aux valeurs singulières (SVD). Cela donne la meilleure approximation utilisant la norme L2.
Pour fixer les idées, considérons que u est une fonction discrète donnant le niveau de gris des pixels de l’image originale présentée à la figure3.3. La résolution de cette photographie est de 886 pixels par 664 pixels (ce qui donne le maillage utilisé). Une SVD sur cette matrice retourne donc 664 modes. La figure3.3montre ainsi qu’une bonne approximation est obtenue avec bien moins d’information puisque 100 modes suffisent à reconstruire l’image originale avec une précision de 8,5 × 10−3.
Les techniques de résolution d’EDP basées sur la POD sont relativement anciennes. Elles ont été largement utilisées dans différentes applications. En effet, elles sont basées sur l’extraction des modes les plus significatifs associés à la solution d’un problème. Ces modes sont ensuite utilisés comme fonctions de base dans la résolution d’autres problèmes « similaires » [Allery et coll., 2005, Liberge et Hamdouni, 2010] (différents par les conditions initiales ou aux limites, les paramètres des matériaux, les paramètres définissant la géométrie. . . ) ou encore pour résoudre le même problème qui avait servi à extraire les fonctions de la base réduite mais dans des intervalles temporels bien plus larges que celui dans lequel la résolution avait permis l’extraction des fonctions [Atwell et King, 2001].
On peut citer aussi la méthode APHR (A Priori HyperReduction) introduite dans [Ryckelynck, 2005] et développée par exemple dans [Ryckelynck et coll., 2005, Ryckelynck et Missoum Benziane, 2010,Allery et coll., 2011].
3.2. Réduction de modèle
(a) Image d’origine (b) 10 modes
(c) 50 modes (d) 100 modes
Figure 3.3 : Le robot de CompositAdour. Image originale et ses approximations par SVD
3.2.2
Bases réduites
La méthode des Reduced Basis (RB)est une autre grande famille de techniques utilisées pour la réduction de modèle. Elle est basée sur la construction et l’emploi de bases réduites semblables à celles de la POD, en utilisant des techniques « intelligentes » pour choisir la base réduite. L’idée qui a initié cette méthode a été introduite par [Nagy, 1979] et utilisée dans les années suivantes par [Noor et Peters, 1980, Porsching, 1985, Porsching et Lee, 1987]. La méthode des bases réduites est fondée de nos jours sur la connaissance d’estimateurs d’erreurs a priori. Ces derniers permettent dans un premier temps de construire la base réduite d’approximation, et d’autre part de valider les calculs en proposant des bornes assez proches des véritables erreurs [Patera et Rønquist, 2007]. Par ailleurs, les techniques d’interpolations empiriques ont permis de traiter des problèmes fortement non-linéaires à l’aide des RB. Enfin, le couplage de cette méthode avec les techniques de décomposition de domaine a permis de traiter des problèmes qui apparaissaient impossible à simuler [Maday et Rønquist, 2002]. Des développements récents de cette technique assez ancienne ont été réalisés [Patera et Rønquist, 2007, Huynh et coll., 2012].
