Étude stationnaire simplifiée
6.1 Simplification du modèle
6.2.3 Vers un modèle plus représentatif
L’algorithme de la PGD a alors été appliqué sur le même système (6.1), mais en prenant des données plus concrètes. Nous avons donc utilisé des valeurs issues de la littérature pour les différents paramètres [Ghnatios, 2012]. Le domaine d’étude est une coupe dans une plaque de 2,04 m de long et comptant 10 plis d’épaisseur 0,1 × 10−3m.
Cet essai est une bonne représentation du procédé PFR, même si tous les phénomènes ne sont pas pris en compte (par exemple lesRTC et la conduction avec le moule ne sont pas considérées).
Comme dans les deux cas précédents, la figure 6.6donne le résultat de la MEF (6.6a) et de la PGD (6.6b). Vus ces résultats, il ne paraît pas utile de représenter la différence entre ces champs. La figure6.7 trace les convergences en fonction des modes PGD utilisés pour reconstruire la solution.
(a) Solution MEF (b) Solution PGD
Figure 6.6 : Cas concret – champs de température
0 5 10 20 30 40 50 90% 80% Modes L2 L∞
Ainsi, la modification des paramètres, sans changer la nature du problème, a provoqué un déséquilibre dans les poids affectant les différents termes de l’équation.
6.2.4 Remarques
Ce dernier résultat mène à s’interroger sur la stabilité numérique du schéma utilisé. Il est en effet connu que, lorsque le terme d’advection devient prépondérant vis-à-vis de la diffusion, des oscillations peuvent apparaître dans la solution numérique. Ce phénomène est caractérisé par le nombre adimensionnel de Péclet défini, dans notre cas, par
P e = ρCp|vx|hx 2kk
. (6.2)
On notera que cette définition du nombre de Péclet prend en compte le fait que le déplacement ne s’effectue que selon la seule direction x : la tête du robot n’évolue que suivant une ligne horizontale (pièce plane, drapage rectiligne).
Si aucune mesure n’est prise, dès lors que ce nombre est supérieur à 1, des oscillations peuvent fausser le calcul. Étant données les valeurs des paramètres ρ, Cp et kk dans notre exemple, le P e peut aisément devenir très supérieur à l’unité si l’on ne maîtrise pas la taille des mailles hx suivant X.
La liste ci-dessous donne les valeurs de P e pour les 3 simulations de cette première section :
— Cas test, vitesse nulle : P e = 0 ;
— Cas test, vitesse non nulle : P e = 1 × 1 × 10 × (0,2/100)
2 × 1 = 0,01 ;
— Cas concret : P e = 1560 × 1700 × 1 × (0,06/20)
2 × 5 = 795,6.
Il est donc clair que le dernier cas traité requiert une technique dite de stabilisation.
6.3 SUPG et SUPG modifiée
Étant donnés les résultats précédents, nous nous sommes intéressés aux tech-niques de stabilisation des modèles numériques.
Suite aux travaux présentés dans [González et coll., 2010] et plus récemment dans [Chinesta et coll., 2014], nous avons appliqué la PGD au problème (6.1) stabilisé par Streamline upwind/Petrov-Galerkin (SUPG). Cependant, les résultats obtenus nous ont amenés à modifier le schéma utilisé en ajoutant un coefficient multiplicateur ψ au terme de diffusion numérique initialement prévu dans le cadre de la SUPG. L’équation (6.3) exprime la forme faible du problème (6.1) avec cette
6.3. SUPG et SUPG modifiée SUPG modifiée. ˆ Ω K∇u∇u∗dΩ − ˆ Γ K∇u · ~n u∗dΓ − ˆ Ω ρCpV · ∇u u∗dΩ+ + ˆ Ω
ψ × τ (V · ∇u∗) (−div (K∇u) − ρCpV · ∇u) dΩ = 0, (6.3)
avec τ = hx 2|vx|
coth P e − P e1 .
Ce schéma permet donc de retrouver un système non stabilisé lorsque ψ = 0, ou la SUPG classique avec ψ = 1.
Nous remarquons ici que la stabilisation a été effectuée avant de réduire le modèle. Dans [González et coll., 2012] cette approche a été comparée non seulement à une solution analytique et à une simulation MEF (également stabilisée par SUPG), mais surtout à une modélisation commençant par appliquer la PGD avant de stabiliser le système.
Pour valider notre nouveau modèle, nous avons effectué une série de simulations qui a été transcrite à l’annexeD p. 145. Nous ne donnons ici que la simulation correspondant au cas concret traité dans la section précédente (voirD.2.9 p. 156).
La solution de référence à laquelle sont rapportés les différents résultats est calculée par MEF avec un nombre plus important de nœuds suivant X (ce qui tend à diminuer le pas hx et par conséquent le Péclet).
Notre SUPG modifiée a été appliquée au problème (6.1), puis nous avons employé la PGD classique sur ce nouveau système stabilisé, pour différentes valeurs du paramètre ψ. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 100% 10% 1% Modes L 2 CV ψ = 0,01 ψ = 0,1 ψ = 0,2 ψ = 0,5 ψ = 1,00 ψ = 2,00 ψ = 5,00 ψ = 10,0 unstab
Figure 6.8 : Stabilisation – Évolution de la norme L2
La figure 6.8 donne l’évolution de la convergence en fonction du nombre de modes utilisés, pour les différentes valeurs de ψ. De façon complémentaire, la figure6.9 indique les convergences en fonction de ψ (le nombre de modes utilisés est égal à 200 dans la majorité des cas, mais peut être inférieur : cf. fig. 6.8)
10−2 10−1 100 101 100 101 Supg sur diffusion ψ L 2 CV Figure 6.9 : Influence de ψ
Comme cela a été indiqué, la convergence est calculée par rapport à une solution obtenue par MEF, sans stabilisation (figure 6.8). La figure6.10 montre que la solution par PGD stabilisée converge vers la solution par MEF stabilisée.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 100% 10% 1% Modes L 2 CV ψ = 0,01 ψ = 0,1 ψ = 0,2 ψ = 0,5 ψ = 1,00 ψ = 2,00 ψ = 5,00 ψ = 10,0 unstab
Figure 6.10 : Stabilisation – Convergence par rapport à MEF + SUPG modifiée Avec la même mise en forme que précédemment, les figures6.11et6.12donnent les résultats obtenus sur ce cas concret avec la SUPG (ψ = 1).
Conclusion
Il ressort de cette étude que la sur-diffusion numérique (lorsque ψ > 1) mène à une convergence plus rapide, mais moins bonne. C’est-à-dire qu’en sur-évaluant le terme ajouté par la SUPG, on obtient en quelques modes une solution « convergée », mais le taux de cette convergence est supérieur à la SUPG « normale ».
6.4. Minimisation du résidu
(a) Solution MEF (b) Solution PGD (c) MEF - PGD
Figure 6.11 : Cas concret stabilisé – champs de température
0 5 10 20 30 40 50 100% 10% 1% Modes L2 L∞
Figure 6.12 : Cas concret stabilisé – convergence
À l’inverse, en sous-estimant le terme de la SUPG (ψ < 1), on peut obtenir une très bonne convergence. Malheureusement, comme on peut le constater sur la figure6.9, pour deux valeurs proches de ψ, le nombre de modes nécessaires peut varier énormément.
Si la modification du schéma SUPG par l’introduction du coefficient ψ peut s’avérer efficace, il n’en demeure pas moins que le choix de ce paramètre est délicat.
6.4 Minimisation du résidu
Comme cela a été évoqué à la section4.2 p. 36, dans la mesure où le terme d’advection génère un opérateur non symétrique, la PGD classique n’est plus adaptée et il faut avoir recours à d’autres algorithmes. Nous allons donc étudier le comportement de la minimisation du résidu couplée à la PGD.
6.4.1 Cas test
Tout d’abord, nous vérifions l’algorithme sur le premier cas test, qui est la résolution de l’équation de Poisson.
Comme le montre la figure6.13, tout comme dans le cas de la PGD classique, le nouvel algorithme permet d’obtenir la forme séparée de la solution.
(a) Solution MEF (b) Solution PGD (c) MEF - PGD
Figure 6.13 : Cas test, v = 0 m·s−1 – minimisation du résidu
Cette approximation est assez juste si l’on en juge par les courbes de conver-gence présentées à la figure 6.14.
0 5 10 20 30 40 50 100% 10% 1% 0,1% Modes L2 L∞
Figure 6.14 : Cas test, v = 0 m·s−1 – minimisation du résidu – convergence en fonction des modes
Forts de ces résultats, nous avons donc poussé les investigations plus avant en appliquant ce schéma sur le cas mis en défaut par l’approche classique.