Propagation d'informations le long d'une ligne de transmission non linéaire structurée en super réseau et simulant un neurone myélinisé

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transmission non linéaire structurée en super réseau et

simulant un neurone myélinisé

Guy-Merlin Nkeumaleu

To cite this version:

Guy-Merlin Nkeumaleu. Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non linéaire structurée en super réseau et simulant un neurone myélinisé. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Université Bourgogne Franche-Comté, 2019. Français. �NNT : 2019UBFCK006�. �tel-02155228�

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´

Ecole doctorale n°37

Sciences Pour l’Ing ´enieur et Microtechniques

Doctorat d’Informatique

par

GUY-MERLIN

NKEUMALEU

Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non lin ´eaire

structur ée en super r éseau et simulant un neurone my élinis é.

Th èse pr ésent ée et soutenue à Dijon, le 17/01/2019 Composition du Jury :

AILLERIEMICHEL Professeur `a l’Universit ´e de

Lorraine et CentraleSup ´elec, 1er_{Rapporteur de la th `ese}

Pr ´esident

DOSSANTOS SERGE Maˆıtre de Conf ´erences HDR

`a Blois `a l’INSA Centre Val de Loire

Rapporteur

BILBAULTJEAN-MARIE Professeur `a l’Universit ´e de

Bourgogne Franche-Comt ´e

Directeur de th `ese

NGUETCHOTCHAKOUTIOA. S. Professeur `a l’Universit ´e de Maroua au Cameroun

Codirecteur de th `ese

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Universit é Bourgogne Franche-Comt é 32, avenue de l’Observatoire 25000 Besançon, France

Titre : Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non lin ´eaire structur ´ee en super

r éseau et simulant un neurone my élinis é.

Mots-cl és : Ligne électrique 1, Equations aux d ériv ées partielles 2, Soliton 3, Transmissivit é 4, Simulation

5.

R ´esum ´e :

Les syst èmes non lin éaires sont d écrits g én éralement avec des équations aux d ériv ées partielles qui les caract érisent, comme la chaine de pendules coupl és, la chaine de prot éines comportant des mol écules avec liaisons hydrog ène, les r éseaux atomiques...etc. Ces mod èles comportent le plus souvent des interactions inter particulaires anharmoniques et des potentiels de substrat d éformables. En effet, aux cons équences importantes dues à la non lin éarit é et à la dispersion, l’anharmonicit é et la d éformabilit é ajoutent d’autres propri ét és de propagation des ondes solitaires telles que les compactons, les kinks et les antikinks, les peakons , . . . ainsi qu’ à la capacit é du syst ème à transmettre un signal. Nous utilisons ici la m éthode de bifurcation pour tracer les diff érents portraits de phase obtenus par variation des param ètres

du syst ème. Nous mettons en évidence l’influence du facteur d’anharmonicit é du couplage et celle du facteur de d éformation du potentiel de substrat sur la transmissivit é et la bistabilit é du syst ème. Il en ressort que l’amplitude du signal d’entr ée qui produit la bistabilit é d épend de la valeur absolue du coefficient d’anharmonicit é et de l’ épaisseur du milieu non lin éaire à traverser. En tenant compte des propri ét és importantes g én ér ées par de tels syst èmes, il nous a paru int éressant de construire une ligne électrique caract éris ée par les m êmes équations, c’est à dire un super r éseau qui simule un neurone my élinis é. Les types de solitons obtenus semblent mieux adapt és pour d écrire le signal électrique qui caract érise l’influx neuronal localis é dans l’espace avec un support compact.

Title: Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non lin éaire structur ée en super r éseau

et simulant un neurone my ´elinis ´e.

Keywords: Electrical line 1, Partial differential equation 2 , Soliton solution 3, Transmissivity 4 , Simulation

5.

Abstract:

Nonlinear systems are generally described with partial differential equations which characterize them, such as the chain of coupled pendulums, the chain of proteins comprising molecules with hydrogen bonds, the atomic networks, etc. These models most often comprise interactions between anharmonic particularities and deformable substrate potentials. Indeed, with significant consequences due to nonlinearity and dispersion, anharmonicite and deformability lead to other propagation properties of solitary waves such as compactons, kinks and antikinks, peaks, ... as well as the ability of the system to transmit a signal. We use here the method of bifurcation to draw the different phase portraits obtained by variation of the parameters

of the system. We highlight the influence of the anharmonicite factor and the deformation factor on the transmissivity and bistability of the system. It follows that the amplitude of the input signal that produces the instability depends on the absolute value of the anharmonicite coefficient and the depth of the nonlinear medium to cross. Taking into account the important properties generated by such systems, it seemed interesting to build a transmission line characterized by the same equations, ie a super network that simulates a neuron with myelin. The types of solitons obtained seem to be better adapted to describe the electrical signal characterizing the localized neuronal impulse in space with a compact support.

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Je d édie ce travail à mes parents TAGNI NKEUMALEU JOSEPH et MAGNI LEUSSI MADELEINE qui se sont sacrifi és pour ma r éussite.

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Je remercie le Seigneur Dieu Tout Puissant pour sa bont ´e infinie dans ma vie.

Je remercie tous ceux qui ont accompagn é ce travail et les diff érents acteurs qui ont contribu é de proche ou de loin à sa r éalisation. Ainsi je ne saurai achever cette rubrique sans porter mes distingu és remerciements :

Je remercie l’ équipe formidable d’encadreurs que j’ai rencontr ée au laboratoire Le2i de l’Universit é de Bourgogne, principalement mon encadreur Le Professeur Jean-Marie BILBAULT pour son suivi m éthodique et le soutient apport é durant mon s éjour à Dijon.

Je remercie Le Professeur Serge Aurelien NGUETCHO TCHAKOUTIO pour le privil ège qu’il m’a offert à travailler avec cette équipe formidable et pour sa large disponibilit é accord ée pour le suivi de ce travail.

Je remercie les membres du jury qui ont accept é d’apporter leurs appr éciations à ce travail.

Je remercie tous les membres de l’ équipe du laboratoire d’ électronique d’imagerie et Je remercie le Seigneur Dieu Tout Puissant pour sa bont é infinie dans ma vie.

Je remercie tous ceux qui ont accompagn é ce travail et le diff érents acteurs qui ont contribu é de proche ou de loin à sa r éalisation. Ainsi je ne saurai achever cette rubrique sans porter mes distingu és remerciements :

Je remercie l’ équipe formidable d’encadreurs que j’ai rencontr ée au laboratoire Le2i de l’Universit é de Bourgogne, principalement mon encadreur Le Professeur Jean-Marie BILBAULT pour son suivi m éthodique et le soutient apport é durant mon s éjour à Dijon.

Je remercie Le Professeur Serge Aurelien NGUETCHO TCHAKOUTIO pour le privil ège qu’il m’a offert à travailler avec cette équipe formidable et pour sa large disponibilit é accord ée pour le suivi de ce travail.

Je remercie les membres du jury qui ont accept é d’apporter leurs appr éciations à ce travail.

Je remercie tous les membres de l’ équipe du laboratoire d’ électronique d’informatique et d’imagerie qui ont sacrifi é leurs temps pour mon encadrement.

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Je remercie mon ´epouse CAROL NKEUMALEU qui m’a toujours soutenu pendant la pr ´eparation de ce travail.

Je remercie HERVE et HEIDI CHOMENI pour le soutien et la confiance dont ils m’ont accord ´es.

Je remercie tous mes coll ègues du lyc ée classique de Maroua ainsi que ceux de la d él égation r égionale des enseignements secondaires de l’Extr ême Nord du Cameroun.

je remercie la famille NGUETCHO de MAROUA pour le soutien inestimable.

je remercie la grande famille NKEUMALEU du Cameroun.

Je remercie la famille KUE de Yaound ´e.

Je remercie la grande famille Chr étienne de l’Eglise Evang élique du Cameroun de Maroua HARDE pour le soutien qu’ils m’ont apport é.

Je remercie KAMOGNE ROGER pour tout ce qu’il a fait pour moi pour cette Th `ese.

Je remercie tous mes coll ègues du lyc ée classique de Maroua ainsi que ceux de la d él égation r égionale des enseignements secondaires de l’Extr ême Nord du Cameroun.

Je remercie tous mes camarades du laboratoire d’ ´electronique pour l’esprit de solidarit ´e dont ils ont fait preuve.

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1 Introduction 1

1.1 Contexte . . . 1

1.2 Objectifs de la th `ese . . . 2

1.3 Plan de la th `ese . . . 4

2 G én éralit és 5 2.1 Introduction . . . 5

2.2 Le neurone my ´elinis ´e . . . 5

2.2.1 Description du neurone . . . 5

2.2.2 Fonctionnement du neurone . . . 5

2.2.3 Codage des messages nerveux . . . 7

2.2.4 Le neurone vu comme super r ´eseau ´electrique . . . 7

2.3 Chaˆıne de pendules coupl ´es . . . 9

2.4 Le transfert du proton dans les chaines mol ´eculaires . . . 12

2.5 Ligne ´electrique non lin ´eaire . . . 13

2.6 Conclusion . . . 14

3 Mod `ele th ´eorique 17 3.1 Introduction . . . 17

3.2 Les ´equations du mouvement . . . 20

3.3 Bifurcations et solutions de l’ENLSE . . . 22

3.3.1 Dynamique des solitons de gap . . . 22

3.3.1.1 Equation d’ ´evolution . . . 22´

3.3.1.2 Trajectoires de phase et solutions . . . 25

3.3.2 Dynamique des solitons dans la bande des fr ´equences permises . . 42

3.3.2.1 Equation d’ ´evolution . . . 42´

3.3.2.2 Trajectoires de phase et solutions . . . 43

3.3.2.2.1 Trajectoires de phase et solutions pour k= ±2π/3 44 3.3.2.2.1.1 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f2(φ) n’a pas de z ´ero . . . 45

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3.3.2.2.1.2 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f2(φ) a une racine double. Dans ce cas,

φe1 = φe2 = φe et h1 = h2. . . 46

3.3.2.2.1.3 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f2(φ) a deux racines r ´eelles distinctes φe1 et φe2, avec φe1 > φe2 . . . 48

3.3.2.2.2 Trajectoires de phase et solutions pour un nombre d’onde k quelconque . . . 54

3.3.2.2.2.1 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f3(φ) a une racine triple . . . 54

3.3.2.2.2.2 Portraits de phase et solutions du syst `eme pour c2 , 0 quand f3 admet une racine double . . . 59

3.3.2.2.2.3 Portraits de phase et solutions du syst `eme pour c2 , 0 quand f3 admet trois racines distinctes et positives . . . 71

4 Transmissivit ´e, bistabilit ´e au voisinage du gap 107 4.1 Introduction . . . 107

4.2 Equation de Schrodinger non lin ´eaire . . . 107

4.3 M ´ethode `a deux ondes . . . 108

4.4 Conditions de continuit ´e . . . 109

4.5 Fonction de transfert du syst `eme . . . 110

4.5.1 Expression analytique de la transmissivit ´e . . . 110

4.5.1.1 Traitement de l’ équation (4.12) en consid érant v comme param ètre . . . 112

4.6 Caract ´eristique de la transmissivit ´e en fonction de Vi . . . 115

4.6.0.1 Fonction de transfert pour certaines valeurs fix ´ees des pa-ram `etres . . . 115

4.6.0.2 Influence de l’anharmonicit ´e sur la fonction de transfert . . 115

4.6.0.3 Influence de la largeur du milieu non lin ´eaire sur la fonc-tion de transfert . . . 115

5 Construction d’un super r éseau simulant un neurone my élinis é 117 5.1 Introduction . . . 117

5.2 Structure et fonctionnement du neurone . . . 117

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5.2.2 Fonctionnement du neurone . . . 117

5.3 Quelques mod `eles ´electroniques connus du neurone . . . 118

5.3.1 Mod `ele de Hodgkin-Huxley . . . 119

5.3.2 Mod `ele de Fitzhugh-Nagumo . . . 121

5.3.3 Mod èle propos é pour le dip ôle non lin éaire . . . 123

5.4 Construction de la ligne de transmission non lin ´eaire . . . 125

5.4.1 Ligne de transmission diffusive lin ´eaire . . . 125

5.4.2 Mod èle électronique d’une ligne de transmission de diffusion non lin éaire. . . 127

5.4.3 Ligne de transmission non lin ´eaire sans att ´enuation . . . 129

5.4.4 Ligne de transmission non lin éaire avec anharmonicit é et substrat d éformable (voir figure (5.11)) . . . 131

5.4.5 Construction d’un super-r éseau simulant un neurone my élinis é . . . 135

(13)

(14)

I

NTRODUCTION

1.1/

C

ONTEXTE

De nos jours, les syst èmes de transmission sont diversifi és et tr ès r épandus. Nous pou-vons par exemple citer :

— la transmission du son dans un milieu mat ´eriel, qui trouve des applications en imagerie m ´edicale, dans les sonars,...

— le transfert d’ énergie dans les cellules animales et v ég étales (la production de l’ad énosine triphosphate (ATP) utilis ée comme source d’ énergie chimique pour les cellules),

— le transfert des protons dans les syst èmes mol éculaires à liaison hydrog ène pouvant expliquer la duplication de l’ADN, la dynamique mol éculaire dans les prot éines,

— l’illustration exp ´erimentale de la propagation de solitons le long d’une chaˆıne de pendules coupl ´es,

— certaines r ´eactions chimiques industrielles,

— la transmission des informations dans les lignes ´electriques et les r ´eseaux neuro-naux, ...

Le processus de transmission du signal ou de l’information dans les syst èmes, no-tamment nonlin éaires, est assez complexe à maˆıtriser, interpr éter et comprendre, car cela n écessite une connaissance approfondie de nombreux domaines. Le ph énom ène de la dynamique des syst èmes nonlin éaires se trouve en fait à l’interface de plusieurs disciplines : physique, chimie, économie, informatique, biologie, industrie, etc. Ceci in-duit sa nature pluridisciplinaire. Il s’agit plus pr écis ément d’ étudier et de chercher à comprendre des ph énom ènes naturels nonlin éaires pour lesquels est d évelopp ée une mod élisation th éorique [1, 2, 3], suivie de simulations num ériques, et enfin dans cer-tains cas confirm ée par des exp ériences sur des d émonstrateurs électroniques r éalis és en laboratoire. Ce domaine connaˆıt actuellement un essor consid érable en raison tant de son int ér êt fondamental que de ses applications technologiques [4, 5]. Les interac-tions entre les sciences biom édicales, l’ électronique, l’informatique et les math ématiques appliqu ées sont en pleine expansion et leurs retomb ées en termes de sant é publique suscitent de nombreux espoirs. Des programmes de recherche internationaux ambi-tieux ont ét é lanc és, en particulier aux Etats-Unis mais aussi dans le reste du monde [6, 7], pour promouvoir le d éveloppement d’instrumentations électroniques ainsi que de mod èles biomath ématiques et bioinformatiques permettant l’analyse des donn ées mas-sives en biologie mol éculaire et cellulaire (Programme Virtual Cell), ainsi qu’en physio-logie [8]. Le d éveloppement de ce secteur de recherche a ét é rendu possible par les

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avanc ées majeures r éalis ées ces derni ères ann ées dans la mod élisation et la simula-tion des ph énom ènes complexes [9, 10, 11], en particulier ceux r égis par des équasimula-tions aux d ériv ées partielles. Les mod èles universels qui peuvent être utilis és pour d écrire une grande vari ét é d’effets ou de ph énom ènes physiques diff érents sont rares ; Ils sont pourtant d’une importance capitale. De tels mod èles attirent une attention particuli ère en pouvant être utilis és pour d écrire les concepts physiques de base de la mani ère la plus simple. Un mod èle simple d écrit une chaˆıne de particules (atomes) harmonique-ment coupl ées à leurs proches voisins et assujetties à un potentiel p ériodique (potentiel de substrat). Les lignes électriques nonlin éaires constituent un syst ème exp érimental assez simple et suffisamment r éaliste pour l’observation et l’ étude quantitative de la propagation et des propri ét és d’excitations nonlin éaires [12], les propri ét és de trans-mission nonlin éaire des bi-r éseaux (r éseaux constitu és de deux sous-r éseaux de ca-ract éristiques diff érentes), des super-r éseaux (constitu és d’un grand nombre de couches diff érentes) et autres syst èmes nonlin éaires. Ces derni ères ann ées, c’est m ême devenu un des mod èles fondamentaux et universels de la physique nonlin éaire. Bien qu’un lien avec le mod èle classique ne soit pas souvent énonc é de mani ère explicite dans un cer-tain nombre d’applications, la plupart des probl èmes nonlin éaires impliquant la dyna-mique des chaˆınes non lin éaires discr ètes sont en fait bas és sur la formulation classique pr ésent ée dans un premier temps par Frenkel et Kontorova [13, 14, 15, 16, 17, 18], puis dans un second temps par Klein et Gordon [16, 17, 18, 19]. Ces mod èles id éaux peuvent être compar és à une approximation de l’ équation de Toda [20] et peuvent permettre avec des transformations judicieuses, d’obtenir d’autres grandes familles d’ équations comme celles de Korteweg-de Vries (KdV) [16, 17, 21], de Schr ödinger non lin éaire (SNL) [16, 17, 18, 22], Boussinesq [16], ... et de ce fait fournissent une bonne garan-tie d’applications. Ils mettent surtout en évidence la flexibilit é des mod èles à s’adapter à plusieurs autres syst èmes r éels. Leur étude qui, en quelques ann ées, a pris une ampleur assez consid érable, rencontre encore d’ énormes difficult és, notamment en raison de la complexit é des processus en ce qui concerne les ph énom ènes biologiques et industriels, la physique mol éculaire, la neurophysique, pour les probl èmes de corrosion, dans les tentatives d’interpr étation ou de compr éhension. Il apparaˆıt donc clairement que la des-cription fournie par ces mod èles est encore insatisfaisante et qu’elle n écessite beaucoup d’am éliorations.

1.2/

O

BJECTIFS DE LA THESE

`

La majeure partie des r ésultats rigoureux obtenus jusqu’ à pr ésent avec les mod èles cit és ci-dessus le sont sous l’hypoth èse que les interactions inter-particulaires sont simplifi ées à l’extr ême, c’est- à dire repr ésent ées par des fonctions harmoniques ou des fonctions d’une nonlin éarit é assez simple. Elles souffrent ainsi d’une certaine insuffisance car les études exp érimentales montrent que ces interactions sont de formes bien plus com-plexes. De m ême, les potentiels de substrat dans les m êmes mod èles sont g én éralement pris sous une forme rigide ou quasi rigide (par exemple sine Gordon ou phi 4), ce qui veut dire qu’ils ne prennent pas en compte les diff érentes formes et évolutions des perturba-tions ext érieures (pression, temp érature, champ électromagn étique, ... et/ou g éom étrie du syst ème).

Selon tous les travaux men és ces derniers ann ées sur des mod èles anharmoniques o ù il est montr é que l’anharmonicit é du mod èle et la d éformabilit é du potentiel de substrat

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conduisent à de nouveaux effets non d écrits dans les équations ant érieures [23, 24], il apparaˆıt clairement que la description fournie par ces syst èmes d’ équations reste tr ès insatisfaisante vis- à-vis des ph énom ènes physiques r éels. Il nous a donc paru int éressant de prendre en compte une nonlin éarit é forte (de type cubique-quartique) afin d’approcher au mieux les potentiels r éalistes comme ceux de Toda ou de Morse, elle-m ême plong ée dans un environnement o ù l’influence des effets ext érieurs ne serait plus constante. Pour cela, nous utiliserons la forme d éformable du substrat telle que propos ée par Peyrard et Remoissenet [13, 17], et dont le sine-Gordon est un cas particulier.

Par ailleurs, parmi les ph énom ènes non lin éaires, un grand int ér êt a ét é port é aux pro-pri ét és de transmission des syst èmes non lin éaires. En r égime lin éaire, la propagation des ondes dans les bi-r éseaux (r éseau constitu é de deux sous r éseaux altern és de caract éristiques diff érentes) est d écrite par une relation de dispersion pr ésentant des bandes de fr équences interdites appel ées gap. Ainsi, toutes les ondes lin éaires dont les fr équences appartiennent au gap ne peuvent se propager dans de tels syst èmes. On parle alors d’onde évanescente, ce qui implique une transmission tr ès faible à travers un syst ème de longueur finie. En r égime nonlin éaire par contre, une onde dont la fr équence est comprise dans le gap lin éaire peut être transmise dans le super-r éseau. En effet, ses propri ét és peuvent être modifi ées en fonction de l’amplitude de l’onde de l’excitation qui lui est appliqu ée (effet Kerr en optique par exemple : l’indice de r éfraction d épend ainsi de l’intensit é du champ). L’augmentation de l’amplitude (ou de la puissance) du signal incident peut faire passer le syst ème d’un état non transparent vers un état transparent, d’une façon souvent brutale : c’est le ph énom ène de bi-stabilit é. Ce ph énom ène, qui s’ac-compagne d’hyst ér ésis, a ét é étudi é th éoriquement et num ériquement par bon nombre d’auteurs. Il peut être également li é à l’existence de solitons de bande interdite, ou soli-tons de gap. Il nous a paru int éressant de regarder les effets de la nonlin éarit é forte et la d éformabilit é du substrat sur la naissance et l’existence des diff érents types de solutions ”soliton” dans le gap, et sur leur dynamique.

Pour la r ésolution des équations complexes issues de ces nouveaux mod èles, nous met-trons sur pied et utiliserons la technique de bifurcation. Celle-ci pourra nous permettre, non seulement de mettre en évidence les param ètres clefs et effectifs (param ètres de bifurcation) de cette dynamique, mais également d’ étudier et de regarder l’apport r éel de chacun des termes (nouveaux comme anciens) du mod èle math ématique obtenu apr ès la traduction du ph énom ène r éel étudi é. En plus, la m éthode de bifurcation, par son ana-lyse qualitative, nous permettra, pour un mod èle math ématique donn é, de faire sans trop de calculs l’inventaire complet de tous les types de solutions et de leurs diff érentes condi-tions d’existence.

Il existe à notre connaissance peu d’articles sur l’observation exp érimentale des modes localis és dans un mod èle à interaction du type cubique-quartique et plong é dans un milieu ext érieur o ù les forces sont variables. Il semble donc aussi important d’avoir une meilleure connaissance de ces modes localis és dans les r éseaux non lin éaires r éels, afin de compl éter les r ésultats d éj à obtenus essentiellement sous formes th éorique et num érique.

(17)

1.3/

P

LAN DE LA THESE

`

Cette th èse s’articule autour de quatre chapitres. Elle commence par des pr ésentations g én érales des syst èmes non lin éaires avec quelques exemples :

— Un neurone

— Une chaˆıne de pendules coupl ´es

— Un processus de transfert des protons dans les syst èmes à liaisons hydrog ène — Et enfin une ligne électrique non lin éaire.

Le troisi ème chapitre portera sur l’ étude dynamique de l’ équation g én érale issue des mod èles o ù sont prises en compte simultan ément : les interactions inter-particulaires de type cubique-quartique et les actions des forces ext érieures. Une attention sera port ée s épar ément sur le comportement dynamique au voisinage du gap et à l’int érieur de la bande passante permise.

Une fois les solutions trouv ées, le quatri ème chapitre analysera la transmissivit é et la bistabilit é ainsi que le ph énom ène d’hyst éresis de quelques r éponses aux excitations au voisinage du gap. Dans ce chapitre, nous établirons l’expression de la transmissivit é de notre syst ème non lin éaire à l’aide de la m éthode des deux ondes.

Sur la base des r ésultats pr ésent és dans les premiers chapitres, sur l’existence et la dynamique des solutions les plus marquantes, le cinqui ème chapitre proposera de construire un super r éseau simulant un neurone my élinis é, c’est- à-dire un mod èle électronique du neurone avec une ligne électrique r égie par le mod èle math ématique étudi é ci-dessus. Cette ligne pourrait être par la suite utilis ée pour constituer les él éments du super r éseau.

(18)

G ´

EN

ERALIT

´

ES

´

2.1/

I

NTRODUCTION

La propagation de l’information se fait à l’aide des chaˆınes de transmission (milieux mat ériels) ou sans support (ondes hertziennes). Une chaˆıne de transmission est l’en-semble de dispositifs permettant le transport d’une information sur des distances sou-vent importantes. Elle comprend trois él éments essentiels : un émetteur, un canal de transmission et un r écepteur.

Le message à transmettre est converti en signal par l’ émetteur. La dynamique de cer-taines chaˆınes de transmission est tr ès complexe et pr ésente plusieurs particularit és. De ce fait, il est n écessaire de concevoir des mod èles relativement simples pour mieux maˆıtriser leurs comportements dynamiques. Nous allons donner quelques exemples de propagation de l’information dans les chaˆınes de transmission qui pr ésentent une dyna-mique tr ès vari ée et complexe. Le mod èle que nous mettons en place pourra s’appliquer non seulement au neurone, mais à plusieurs autres syst èmes physiques r éels tels que des chaˆınes m écaniques, des syst èmes biologiques, des lignes électriques...

2.2/

L

E NEURONE MYELINIS

´

E

´

2.2.1/ DESCRIPTION DU NEURONE

Le neurone est la plus petite partie du syst ème nerveux responsable du traitement et de la transmission de l’information. Il est constitu é de dendrites, du noyau, du cytoplasme, de l’axone, de la gaine de my éline, des nœuds de Ranvier et des synapses (cf. Fig. 2.1).

2.2.2/ FONCTIONNEMENT DU NEURONE

Les ´el ´ements responsables de la transmission du message nerveux sont : — La membrane plasmique

— Les stimuli externes — Les ions

— Les transporteurs membranaires 5

(19)

FIGURE2.1 – Sch ´ema d’un neurone. (https ://www.futura-sciences.com)

MEMBRANE PLASMIQUE

Elle est constitu ée d’une double couche de phospholipidiques qui l’entoure. C’est une barri ère s élective qui laisse traverser les mol écules non polaires et hydrophobes ; par contre, les mol écules polaires et les ions ne peuvent pas la traverser directement. La membrane d’une cellule nerveuse pr ésente une diff érence de potentiel due à la r épartition in égale des charges électriques entre l’int érieur et l’ext érieur de la brane. Par ailleurs, un transfert d’ions s’effectue entre l’int érieur et l’ext érieur de la mem-brane, gr âce à la pression osmotique et au champ électrique transmembranaire. Ceci permet de conserver un gradient de concentration de part et d’autre de la membrane contrebalançant la diffusion osmotique des esp èces ioniques au travers des canaux lorsque ceux-ci s’ouvrent, l’ensemble étant d écrit par la loi de Nernst.

Lorsque la membrane n’est soumise à aucune excitation, le syst ème constitu é de la membrane, du milieu extra cellulaire et du milieu intracellulaire atteint un équilibre. Nous pouvons alors mesurer une diff érence de potentiel. Cette diff érence de potentiel prend toujours pour r éf érence le milieu exocellulaire et porte le nom de potentiel de repos. Le neurone r éagit aux stimuli externes. Ils peuvent être physiques (lumi ère, son, pres-sion, temp érature,...etc), chimiques (neurotransmetteurs). La pr ésence des stimuli induit une r éaction de d épolarisation de la membrane par ouverture des canaux à sodium (chi-miod épendants ou d épendant du stimulus sensoriel) .

Les canaux ioniques sont voltage d épendants, autrement dit leur perm éabilit é d épend de la diff érence de potentiel entre les milieux extra et intracellulaire. Les propri ét és de perm éabilit é de ces prot éines s électives donnent naissance à un ph énom ène électrique se propageant le long de l’axone : c’est le potentiel d’action (PA).

Le r ôle principal du neurone est de transmettre diff érentes informations nerveuses. Mais ces informations n’ étant pas identiques, il est n écessaire de les diff érencier par des codes.

(20)

2.2.3/ CODAGE DES MESSAGES NERVEUX

Pour un neurone donn ´e, l’amplitude du potentiel d’action ne varie pas pendant sa propa-gation et la vitesse de propapropa-gation est constante le long de l’axone.

L’information à transmettre est cod ée par : — Le nombre de potentiels d’action émis — Leur fr équence

— Leur organisation en salves — La dur ´ee du message.

Le nombre de potentiels d’action émis et la dur ée du message sont g én éralement en rap-port avec la quantit é d’informations à transmettre. Ainsi, une fibre sensorielle ou motrice peut d écharger pendant plusieurs minutes et émettre des centaines, voire des milliers de potentiels d’action à la suite d’une stimulation prolong ée ou pour soutenir une contrac-tion musculaire. Mais ce n’est pas toujours le cas. Certains r écepteurs sensoriels, par exemple, s’adaptent tr ès vite et cessent de d écharger au bout de quelques secondes alors que la stimulation est maintenue.

La fr équence, qui s’exprime en nombre de potentiels d’action par seconde, est elle aussi en rapport avec la quantit é d’informations à transmettre. Ainsi, plus l’information est im-portante, plus la fr équence augmente, jusqu’ à une limite impos ée par la structure biolo-gique.

L’organisation en salves est un ph énom ène complexe qui varie en fonction des structures concern ées et des messages v éhicul és. Les potentiels d’action d’un m ême message peuvent en effet être émis sous forme de salves, plus ou moins espac ées dans le temps, dont la dur ée, le nombre de potentiels et la fr équence diff èrent d’une salve à une autre. On parle également de rafales, de trains de potentiels ou de bouff ées d’activit é (voir figure 2.2).

2.2.4/ LE NEURONE VU COMME SUPER RESEAU´ ELECTRIQUE´

La fonction d’un neurone est de transmettre l’information sous la forme d’un signal électrique se propageant le long de l’axone sans att énuation [26]. Nous nous proposons de concevoir une ligne de transmission électrique qui se rapproche du neurone my élinis é du point de vue de la propagation du signal électrique.

Avant de proposer un nouveau mod èle de ligne électrique, il est n écessaire d’examiner les mod èles de lignes d éj à r éalis és pour mod éliser le neurone. Dans le milieu ext érieur du neurone, les porteurs de charge électrique sont des ions qui se d éplacent facilement. Donc ce milieu ext érieur est un conducteur électrique. La membrane neuronale emp êche les ions de migrer vers l’ext érieur, comme un isolant électrique. C’est elle qui s épare les milieux int érieur et ext érieur, et on peut la repr ésenter par un condensateur.

Lors d’une excitation du neurone, il y a cr éation d’une diff érence de potentiel due à la diff érence de concentration entre les milieux int érieur et ext érieur du neurone. Le neurone doit expulser les charges positives depuis l’int érieur vers l’ext érieur de la cellule gr âce à des pompes. Les pompes ioniques à travers les canaux expulsent en effet certains ions de la cellule vers l’ext érieur (en consommant de l’ énergie sous la forme d’ATP) et donnant donc un courant électrique.

(21)

FIGURE2.2 – Codage de l’information dans un message nerveux. Echelles : 1ms/cm et 2,5mV/cm [25] (https ://www.mcdubysvt.fr)

sur la figure (2.3) o ù les canaux ioniques sont repr ésent és par la r ésistance membranaire rm, l’isolant s éparant les milieux int érieur et ext érieur par le di électrique du condensateur

de capacit é Cm et la r ésistance longitudinale à la circulation des ions à l’int érieur de la

membrane par rl .

A partir des lois de Kirchhoff, l’ ´equation caract ´erisant la propagation du potentiel d’action est de la forme : rm rl (Vn+1+ Vn−1− 2Vn)= rmCm dVn dt + Vn. (2.1)

C’est une équation diff érentielle avec un laplacien discret (assimilable à une d ériv ée seconde par rapport à l’espace) et une d ériv ée premi ère par rapport au temps. Cette équation lin éaire ne pr ésente pas une grande richesse pour son étude dynamique. C’est une équation de diffusion qui a ét é obtenue lors de la mod élisation d’un neurone sur son plan comportemental et non sur le plan de la transmission de signal électrique. Par ailleurs, lors de la propagation d’un signal sans amortissement, chaque point de la ligne reproduit le m ême signal que la source avant de revenir à son état initial dans un neurone. Ce n’est pas le cas pour cette ligne.

Entre autres, les canaux ioniques par lesquels les ions passent du milieu int érieur vers le milieu ext érieur ont ici une r ésistance constante not ée rm. Pourtant les canaux sont à

ouverture variable et la r ésistance d’un conducteur caract érise l’opposition au passage du courant électrique. L’ouverture et la fermeture des canaux entraˆınent une variation de la section du canal, ce qui implique une variation de la r ésistance du canal qui ne peut donc pas être constante.

(22)

FIGURE2.3 – Circuit ´electrique d’un axone (https ://www.unic.cnrs-gif.fr)

L’action des pompes ioniques entraˆıne un d éplacement longitudinal des ions, d’o ù un courant longitudinal d épendant de la tension électrique qui est fonction de la concentra-tion des ions à l’int érieur du neurone. Or ce courant longitudinal est li é à la r ésistance rl suppos ée constante. Pourtant le courant longitudinal d épend des concentrations du

milieu int érieur, ce qui signifie que la r ésistance longitudinale doit être variable.

Nous constatons que ce mod èle pr ésente des insuffisances pour d écrire comment le neurone peut transmettre des signaux. Le neurone étant une chaˆıne de transmission ca-pable de transmettre plusieurs types d’informations, il doit poss éder une grande richesse de comportements dynamiques. Nous pensons donc qu’un bon mod èle électrique d’un neurone doit être capable d’en reproduire la riche dynamique et de produire la grande diversit é d’excitations qu’un vrai neurone peut avoir.

2.3/

C

HA

ˆ

INE DE PENDULES COUPLES

´

Soit la chaˆıne de pendules coupl és suivante : les pendules de masse m et de longueur l sont mobiles autour d’un m ême axe de rotation. Chaque pendule est reli é à son voisin le plus proche par un ressort de constante de raideur k (voir Fig. 2.4). Le moment d’inertie de chaque masse par rapport à son axe de rotation est I. Les pendules successifs sont s épar és par le pas d et sont assujettis à rester dans un m ême plan vertical.

Le moment du couple de torsion qui agit sur chaque pendule est −Cθn o `u C est la

(23)

FIGURE2.4 – Pendules coupl ´es.

n. Le moment du poids de chaque pendule par rapport `a l’axe de rotation est −mgl sin θn.

Le point mat ´eriel An de masse m a pour coordonn ´ees

An           lcos θn lsin θn nd           (2.2)

et son voisin le plus proche a pour coordonn ´ees

An+1           lcos θn+1 lsin θn+1 (n+ 1)d           . (2.3)

Leur distance est

dn=

p l2_{(cos θ}

n− cos θn+1)2+ l2(sin θn− sin θn+1)2+ d2 (2.4)

d’o `u dn= r d2_{+ 4l}2_sin2θn+1−θn 2 ∼ d+ l 2 2d(θn+1−θn) 2_· _(2.5)

L’allongement du ressort reliant An et An+1 est, si on appelle d0 la longueur du ressort `a

vide : ∆dn = dn− d0 ' d − d0+ l2 2d(θn+1−θn) 2_·

(24)

La force exerc ´ee par la particule An+1sur An est : − → Fn+1= k∆dn→−e o `u − →_e ₌ 1 dn −−−−−−→ AnAn+1= 1 dn           xn+1− xn yn+1− yn d          

et son moment par rapport `a l’axe z est k∆dn dn           0 0 xnyn+1− xn+1yn           . Comme xnyn+1− xn+1yn'

l2(θn+1−θn), ce moment peut s’ ´ecrire encore :

Mn+1,n(z) = kl2 d − d0+ l2 2d(θn+1−θn) 2 ! d+ l 2 2d(θn+1−θn) 2 (θn+1−θn)= k(d − d0)l2 d (θn+1−θn)+ kd0l4 2d3 (θn+1−θn) 3_· Donc Mn+1,n(z)'λ0(θn+1−θn)+ λ1(θn+1−θn)3, (2.6) avec λ0 = k(d − d0)l2 d et λ1 = kd0l4

2d3 . De m ˆeme, le moment exerc ´e par la particule An−1 sur

la particule Ansera

M_n−1,n(z)= λ₀(θn−1−θn)+ λ1(θn−1−θn)3. (2.7)

En appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur la particule au point An, de

moment d’inertie I, on aura dans la limite des faibles oscillations :

Id 2_θ n dt2 = −Cθn− mgl(θn− θ3 n 6)+ λ0[θn+1+ θn−1− 2θn]+ λ1 h (θn+1−θn)3− (θn−θn−1)3i , (2.8) soit encore : d2θn dt2 = Cl(θn+1+ θ n − 1 − 2θn)+ Cnl h (θn+1−θn)3− (θn−θn−1)3 i −ω2₀(θn+ µθ3n), (2.9) avec Cl = λ0 I ; Cnl = λ1 I ; ω 2 0 = C+ mgl I ; µ= − mgl 6Iω2₀.

C’est une équation qui se ram ène à celle de Klein- Gordon anharmonique. Cl est le

coefficient d’interaction harmonique et Cnlest le coefficient d’interaction anharmonique.

L’ ´energie potentielle correspondant est :

Ep=

1 2C(θ

2

(25)

o ù θ0 est l’amplitude correspondant à la position d’ équilibre. Nous remarquons que

l’ équation caract érisant la chaˆıne de pendules coupl és pr ésente des interactions de type anharmonique avec pr ésence des termes du substrat ind éformable, c’est à dire que les interactions entre particules ont un caract ère non lin éaire marqu é par l’importance rela-tive des param ètres λ0et λ1.

Nous allons aborder par la suite les syst èmes mol éculaires à liaison hydrog ène ca-ract éris és par des inteca-ractions semblables.

2.4/

L

E TRANSFERT DU PROTON DANS LES CHAINES MOLECULAIRES

´

C’est la liaison hydrog ène qui d étermine la structure d’un tr ès grand nombre de sub-stances cristallis ées, comme le cas de la glace qui pr ésente une forme tr ès stable. Dans sa structure, chaque atome d’oxyg ène se trouve au centre d’un t étra èdre r égulier dont les quatre autres sommets sont occup és par quatre atomes d’oxyg ène. La glace doit sa stabilit é aux liaisons hydrog ène ; à chaque atome d’oxyg ène correspond deux atomes d’hydrog ène pour la formation de la mol écule d’eau. Lorsqu’un champ ext érieur est ap-pliqu é sur la glace, un atome d’hydrog ène se dissocie de sa mol écule d’eau pour se transformer en un proton H+; et le proton se d éplace le long de l’axe O − H − O pour arriver à une mol écule d’eau voisine o ù il forme l’ion H3O+en laissant derri ère lui un ion

OH−. Ensuite, l’hydrog ène de l’ion H3O+ form é se dissocie à l’arriv ée d’un autre proton

H+se d éplaçant de la m ême façon que le pr éc édent.

Le transfert du proton dans les syst èmes à liaison hydrog ène peut être repr ésent é par une chaˆıne unidimensionnelle compos ée de deux sous - r éseaux coupl és o ù on distingue les interactions fortes et les interactions faibles [27, 28, 29, 30]. Parmi les interactions fortes, nous avons les interactions proton- proton. Un petit atome d’hydrog ène (H) de masse m situ é entre deux grands atomes (X) de masse (M) peut se mouvoir entre deux positions d’ équilibre énerg étiquement équivalentes. Le potentiel de substrat li é au pro-ton est celui d’un double puits qui a deux positions d’ équilibre stable s épar ées par une position d’ équilibre instable. Or il n’est pas facile de trouver une forme appropri ée de ce potentiel double puits. Dans la litt érature, nous pouvons citer le double - Morse, le double-sine-Gordon, etc. Ces potentiels poss èdent les caract éristiques de d écrire le transfert de proton dans les liaisons hydrog ène, ils prennent en compte les variations de la hauteur du potentiel double puits. Mais la position de ses minima ne permet pas d’obtenir facilement les solutions analytiques du syst ème.

Le potentiel le mieux adapt ´e est le potentiel φ4. Il est d ´efini comme suit :

V(θ)= V0       1 − θ2 n θ2 0        2 . (2.11)

Le d ´eplacement du n`emeproton par rapport au centre de la paire d’ions lourds est θn. V0

est la barri `ere de potentiel et 2θ0est la distance entre les deux minima du potentiel double

puits. Le potentiel d’interaction interparticulaire est de la forme anharmonique du fait du changement de d éplacement des atomes lourds r ésultant de la vibration des protons et des interactions entre protons voisins. Il est d éfini par la relation :

(26)

Vint= X n " 1 2mC 2 0(θn+1−θn) 2₊ 1 4mCα(θn+1−θn) 4 # , (2.12)

o ù Cα est le param ètre qui contr ôle l’anharmonicit é entre les protons voisins et θn

repr ésente le d éplacement du nème proton entre la paire d’ions lourds de masse (M) qui l’entourent. Le dernier terme de cette équation est l’interaction anharmonique. En tenant compte de l’ énergie cin étique du r éseau de protons, l’Hamiltonien du r éseau s’ écrit :

H =X n        1 2m dθ dt !2 + V(θn)+ 1 2mC 2 0(θn+1−θn) 2₊ 1 4mCα(θn+1−θn) 4       . (2.13)

L’expression de l’Hamiltonien montre l’anharmonicit é des interactions intermol éculaires et la pr ésence du potentiel de substrat dans ce syst ème de mol écules à liaison hydrog ène. L’ équation qui caract érise ce syst ème est analogue à la Chaˆıne pr éc édente (H 2.3.). Ce sont des syst èmes m écaniques non lin éaires. Nous allons examiner le cas des syst èmes constitu és de lignes électriques dans le but de mieux appr écier le comportement de la propagation d’un signal électrique.

2.5/

L

IGNE ELECTRIQUE NON LIN

´

EAIRE

´

Soit une ligne électrique non lin éaire dont la capacit é d épend de la tension.

FIGURE2.5 – Ligne électrique nonlin éaire Nous avons C(V)= C0 1 − 2a1V+ 3a2V2+ − − − (2.14) Si les amplitudes des tensions appliqu ées sont faibles, nous aurons :

C(V) ' C0(1 − 2a1V) (2.15)

(27)

dQn= C (Vn) dVn

et en int ´egrant , nous obtenons

Qn= C0

Vn− a1Vn2

(2.16) L’ équation r égissant la ligne de transmission non lin éaire s’ établit ainsi :

d2Vn(x, t) dt2 = −ω 2 0V(x, t) − u 2 0(2Vn− Vn−1+ Vn+1)+ a1 d2V_n2 dt2 (2.17)

Dans cette équation, les premiers termes au second membre repr ésentent la dispersion et le dernier la nonlin éarit é. Ces deux effets se compensent pour donner naissance à une onde appel ée ”soliton”. En cherchant une éventuelle solution sous la forme d’une onde plane monochromatique :

Vn(t)= V0exp j(kn − ωt)+ c.c, (2.18)

o ù c.c repr ésente le complexe conjugu é du terme pr éc édent, la relation de dispersion lin éaire reliant ω et k est donn ée par ;

ω2 _{= ω}2 0+ 4u 2 0sin 2 k 2, (2.19)

tandis que les termes non lin ´eaires ont pour effet de modifier cette relation de dispersion.

2.6/

C

ONCLUSION

Nous avons pr ésent é quelques syst èmes physiques non lin éaires repr ésentant un neu-rone my élinis é, une chaˆıne de pendules coupl és, une chaˆıne mol éculaire à liaison hy-drog ène. A chaque fois, l’ étude du mod èle conduit à une équation de type propagation ou diffusion, avec de la dispersion et de la nonlin éarit é.

L’objectif de la th èse est d’am éliorer les connaissances sur un neurone my élinis é, et notamment les propri ét és de transmission d’ondes à travers un r éseau à caract éristiques p ériodiques (les nœuds de Ranvier sont p ériodiquement espac és).

Dans l’ étude de la transmission de l’information d’un neurone à l’autre sous la forme de salves de potentiels d’action, on sait [4] que ces derniers communiquent principa-lement entre eux par l’interm édiaire d’interactions synaptiques chimiques et électriques provoquant les modifications de l’activit é d’une cellule à l’autre. Consid érant un neurone sous une forme épur ée telle que seule son activit é électrique soit prise en compte, nous sommes amen és à la notion de neurone ponctuel. Du point de vue de la mod élisation, la communication inter-neuronale r ègle la r éponse d’un neurone en fonction des messages d’informations qu’il reçoit, c’est à dire que la dynamique peut être caract éris ée par des salves successives d’impulsions. Nous reparlerons des diff érents types de mod èles de neurones dans le chapitre V.

(28)

Nous avons ensuite pr ésent é la chaˆıne de pendules coupl és. Cette chaˆıne, utilis ée en d émonstration de cours au niveau master pour pr ésenter une exp érience exotique illus-trant les effets non lin éaires, a surtout comme int ér êt de mettre l’accent sur le fait que consid érer des interactions uniquement harmoniques (Cnl = 0) est insuffisant pour bien

d écrire le comportement du syst ème. C’est donc une justification de la suite de notre travail o ù nous consid èrerons les interactions sous une forme anharmonique.

L’utilisation du mod `eleΦ4_{pour d ´ecrire le type de potentiel d’interaction dans une chaˆıne}

mol éculaire à liaison hydrog ène renforce encore notre d émonstration tendant à critiquer l’utilisation de couplage uniquement harmonique. Ici encore, il est primordial de tenir compte de l’anharmonicit é par le terme en Cαdans (2.13).

Enfin, nous avons rappel é l’universalit é de la mod élisation analogique de tout syst ème de transmission par une ligne de transmission.

En am éliorant encore ce mod èle par la prise en compte dans un premier temps, d’une nonlin éarit é plus forte, c’est à dire beaucoup plus complexe, et ensuite en tenant compte des diff érentes variations des forces ext érieures, nous pensons obtenir de meilleurs r ésultats et être capables de mieux expliquer ou d’apporter des explications à certains ph énom ènes qui jusqu’ici n’ étaient pas bien pris en compte ou interpr ét és.

(29)

(30)

M

OD

ELE TH

`

EORIQUE

´

3.1/

I

NTRODUCTION

La particularit é et l’originalit é d’un bon mod èle physique r éside tant dans sa simplicit é que dans son universalit é. Bien que crucial dans la description et la compr éhension d’une grande vari ét é de ph énom ènes physiques r éels, les mod èles dits universels sont tr ès rares, d’o ù l’importance de la mod élisation dans la compr éhension des ph énom ènes na-turels et/ou li és à la vie. Ces mod èles universels sont notamment de tr ès grande valeur éducative. Un exemple de tels mod èles non lin éaires est celui de Klein-Gordon (NKG) [31, 32]. Le mod èle NKG est devenu tr ès populaire dans de nombreux domaines de la physique et de la vie. Le mod èle standard NKG d écrit une chaˆıne d’atomes coupl és et soumis à un potentiel p ériodique externe. Son Hamiltonien est donn é par la relation :

H = T + U. (3.1)

T et U sont respectivement les énergies cin étique et potentielle. U est constitu é du po-tentiel externe le long de la chaˆıne encore appel é popo-tentiel de substrat et not é ici Ue, ainsi

que des interactions interparticulaires de forme g ´en ´erale Uc.

Puisqu’il a ét é montr é que, dans les syst èmes physiques r éels, la forme du substrat s’ écarte toujours des formes sinuso¨ıdales ou quasi-rigides trop souvent utilis ées, af-fectant fortement ainsi les propri ét és dynamiques du syst ème, le mod èle que nous pr ésenterons ici g én éralisera les mod èles NKG classiques, avec un potentiel de sub-strat dont la forme non lin éaire s’adapte à divers types d’interaction et aux diff érents degr és de libert é. Pour cela, nous utilisons les potentiels de Peyrard et Remoissenet (PR) [13, 14, 15, 24, 33], Ue(xn, σ) = U0W (xn, σ) = U0 tan2 πx n a σ2+ tan2πxn a , (3.2)

o ù σ est le param ètre qui module la forme du substrat (encore appel é param ètre de d éformabilit é) et est pris dans l’intervalle [0;+∞[. Il est lié au coefficient s introduit par Peyrard et Remoissenet par σ = (1 + s) / (1 − s). A σ = 1, le potentiel Ue(xn, σ) a une

forme sinuso¨ıdale, alors que pour σ > 1, les puits sont larges et s épar és par des barri ères de potentiel étroites et que, pour σ < 1, les puits sont étroits et s épar és par des barri ères larges avec des flancs à pente limit ée (voir Fig. 3.1). a est la p ériode spatiale du potentiel du substrat, alors que le param ètre U0 contr ôle ou ajuste la profondeur des barri ères

(31)

énerg étiques de ce potentiel (U₀ peut par exemple repr ésenter l’ énergie d’activation lors de la diffusion d’un adatom isol é dans un adsystem). xn(t) d ésigne la position de la cellule

du site n avec une signification qui d épend du syst ème physique consid ér é.

0 a 2a x n 0 0.5 1 1.5 2 U e (x n ) = 0.05 = 0.5 = 1 = 1.85 = 12

FIGURE3.1 – Repr ´esentation du potentiel de substrat Ue(xn) pour diff ´erentes valeurs du

param ètre de d éformabilit é σ et pour U0= 2.

La mod ´elisation du potentiel d’interaction Uc(xn) de la ni `eme particule a eu un impact

consid érable et crucial lors des premi ères études sur la dynamique des r éseaux non lin éaires. Elle a montr é l’existence de diff érents types d’excitations solitoniques et a r évolutionn é la science [11, 16, 17, 20, 23, 34, 35, 36, 37]. Ensuite, les recherches ont essay é dans un premier temps de d éterminer les possibilit és et conditions d’existence de ces nouveaux types d’excitations dans les chaˆınes m écaniques, et d’autre part de d éterminer leurs propri ét és dynamiques. Ces études ont ét é d’une importance capitale car leur extension à des travaux de recherches dans plusieurs autres domaines comme celui de l’optique, la biophysique, de l’imagerie ultra sonore pour agents de contraste [32], ... d épend fortement de la qualit é des r ésultats obtenus dans les chaˆınes m écaniques. Avec des r ésultats assez probants, la plupart des travaux se sont concentr és sur des mod èles avec des formes simples de potentiel interatomique Uc(xn) entre proches

voi-sins, alors qu’ils essayaient de d écrire ou de comprendre des ph énom ènes r éalistes et donc tr ès complexes. Il est pourtant bien connu que de nombreuses propri ét és phy-siques des syst èmes r éels sont directement li ées aux effets non lin éaires dus aux inter-actions anharmoniques. Les potentiels anharmoniques r éalistes, comme ceux de Toda, Born-Mayer, Coulomb, Lennard-Jones et Morse [11, 12, 16, 20, 34, 38, 39], poss èdent une forte non lin éarit é cubique dans leurs d éveloppements en s érie de Taylor autour de la position d’ équilibre. Il devient donc n écessaire de consid érer les excitations non-lin éaires dans le r éseau avec des anharmonicit és pouss ées. Pour cela, dans cette th èse, nous établissons un lien avec le d éveloppement de Taylor du potentiel Uc(xn) autour

de la position d’ équilibre (xn = 0) en une série de puissances des déplacements

jus-qu’au quatri `eme ordre. On obtient ainsi un potentiel de type k2 − k3 − k4 approximatif

[20, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46] d ´efini pour le ni `emesite n par :

Uc(xn)= 1 2k2(xn− xn−1) 2₊ 1 3k3(xn− xn−1) 3₊ 1 4k4(xn− xn−1) 4 _(3.3)

(32)

cou-plage harmonique, cubique et quartique, respectivement. Il a ét é d émontr é que l’inclu-sion de l’anharmonicit é dans l’ étude des mod èles de r éseaux peut produire des effets nouveaux qualitativement et quantitativement [40, 41, 42, 43, 47, 27, 7]. Par ailleurs, du-rant ces derni ères d écennies, un int ér êt pour les excitations localis ées dans les r éseaux non lin éaires a ét é renouvel é gr âce à l’identification de nouveaux types de modes loca-lis és anharmoniques. Par cons équent, une grande attention a ét é port ée aux solitons de gap dans les r éseaux nonlin éaires. Dus aux effets de nonlin éarit é, les modes de soli-tons de gap peuvent apparaˆıtre sous forme d’excitations localis ées avec une fr équence de vibration situ ée en dehors des bandes permises du spectre lin éaire. Comme ces so-litons de gap apparaissent dans des r éseaux atomiques parfaits avec une sym étrie de translation discr ète, ils ont ét é baptis és ”anharmonic gap mode” ou ”intrinsic gap mode” [48, 49, 40, 46]. L’Hamiltonien d éfini dans l’ équation (3.1) o ù

U(xn)= Ue(xn, σ) + Uc(xn), (3.4) devient H= A P n        1 2 d_Θn dt !2 + " 1 2G2(Θn−Θn−1) 2₊ 1 3G3(Θn−Θn−1) 3₊ 1 4G4(Θn−Θn−1) 4 # + ω2 0W (Θn, σ)o , (3.5)

o ùΘn= 2πxn/a est le déplacement adimensionné de la particule, Gi = ki/m (i= 2, 3, 4),

tandis que A = m(a/2π)2_{. Les param `etres G}

2 et ω0 sont respectivement la vitesse et

la fr équence caract éristique du syst ème, avec ω2₀ = 4π2U₀/ma2 et m, la masse de la particule en mouvement.

Dans la plupart des cas, cette équation (3.5) peut conduire à plusieurs versions étendues ou modifi ées de la tr ès c él èbre équation non lin éaire de Schr ödinger (S NL) avec plusieurs termes suppl émentaires, expliquant les d épendances spatiales et/ou temporelles des co-efficients non lin éaires qui s’identifient essentiellement à quelques mod èles particuliers et bien pr écis. En utilisant des approximations telle que la ”rotating wave approximation” combin ées aux simulations num ériques, Kiselev et al. ont montr é l’inexistence des modes localis és intrins èques, tandis qu’un mode optique non lin éaire au seuil de la fr équence de coupure basse peut être consid ér é comme une caract éristique g én érale des r éseaux non lin éaires avec des interactions de type cubique-quartique [50, 51, 52, 53]. De plus, il a ét é d émontr é num ériquement que, pour de tels mod èles, il existe des seuils critiques pour les param ètres non lin éaires au-dessus desquels les modes optiques disparaissent. Cela rev êt une importance particuli ère car le seuil num érique permet de d éfinir l’existence ou non de modes localis és.

Cependant, pour un syst ème physique r éel, il serait tr ès int éressant de d éterminer analy-tiquement les modes localis és car cela permettrait une interpr étation plus fine et étendue de la dynamique de tels syst èmes. G én éralement apr ès une mod élisation, on arrive tr ès souvent à des mod èles math ématiques et la principale difficult é est d’ être capable d’in-terpr éter l’apport de chaque param ètre (repr ésentant chacun une grandeur physique, un ph énom ène, une action, ou de mani ère g én érale, ayant une signification physique) de l’ équation sur le ph énom ène à étudier. Alors il existe plusieurs m éthodes th éoriques pour étudier l’existence ou la naissance des excitations localis ées non lin éaires dans

(33)

les mod èles. Mais c’est plus rare d’en trouver une qui met en exergue l’apport et l’im-pact de chaque param ètre de l’ équation issue du mod èle r éel. M ême lorsqu’on les utilise sous forme modifi ée, en g én éralisant des interactions anharmoniques de type cubique-quartique, on ne les étudie que pour des valeurs sp écifiques et bien pr écises de ces param ètres. Pourtant ces coefficients ou param ètres, en fonction du mod èle physique consid ér é et de la finesse du d éveloppement asymptotique du potentiel Uc, peuvent

prendre n’importe quelle valeur [12, 16, 21, 48, 40, 41, 54, 55, 7]. Une l ég ère modifica-tion de ces param ètres peut provoquer un changement qualitatif ou topologique soudain du comportement dynamique du syst ème [12, 21, 48, 41, 55, 7]. Il devient non seule-ment tr ès important d’ étudier le comporteseule-ment des solutions pour les mod èles d écrits math ématiquement, mais aussi d’explorer comment ces r ésultats sont modul és par l’an-harmonicit é. Afin de traiter efficacement cette cruciale et importante question, la th éorie ou technique de bifurcation repr ésente de loin, le meilleur outil à prendre en compte [12, 21, 22, 48, 41, 55, 56, 57, 7]. À cette fin, le paragraphe suivant sera consacr é à la pr ésentation de l’ équation discr ète g én érale. Dans la limite des faibles amplitudes et pour des petits d éplacements, nous d éduirons la relation de dispersion non lin éaire, r éduisant les équations de base du mouvement à une équation non lin éaire étendue de Schr ödin-ger (ENLS ).

3.2/

L

ES EQUATIONS DU MOUVEMENT

´

En se limitant `a des oscillations de faible et moyenne amplitude, c’est- `a-dire pour Θn →

(θ0+ εθn), o `u ε 1 et θ0 = 0 (mod.2π) est l’´etat fondamental ou le minimum du potentiel

autour duquel les oscillations se produiront en donnant l’ ´equation du mouvement de la ni `eme particule, nous avons :

d2θn dt2 = G2(θn+1+ θn−1− 2θn)+ G3 h (θn+1−θn)2−(θn−θn−1)2 i +G4 h (θn+1−θn)3−(θn−θn−1)3 i −ω02₀(σ)hθn+ εα(σ)θ2n+ ε2β(σ)θ3ni . (3.6)

Cette équation se d éduit directement de l’hamiltonien (3.5) par d érivation temporelle. Il faut noter qu’avec le potentiel PR, ω02₀ = ω2₀/2σ2, tandis que α(σ) = 0. En plus, β(σ) =

2σ2− 3.6σ2d épend fortement de la d éformabilit é σ et peut être positif ou n égatif. Malgr é les diff érences d’origine majeures pouvant exister dans les mod èles initiaux, l’ équation (3.6) g én éralise les r ésultats pr éc édemment établis dans l’ADN [5, 13, 22], dans des r éseaux discrets non lin éaires caract éris és par les potentiels d éformables et des interactions non lin éaires et dispersives [38, 42, 43], dans le r éseau de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) [34], lors de la diffusion des ondes par les inhomog én éit és statiques loca-lis ées ou par des potentiels g én ériques d épendant du temps [44, 45], et bien d’autres. Nous nous limitons maintenant au couplage faiblement non lin éaire. Il est bien connu que l’ équation NLS obtenue à partir de cette approximation donne lieu à deux types de solutions localis ées dans un milieu infiniment long. Pour un milieu fini, des ondes stationnaires sont attendues et la transmissivit é peut bien être caract éris ée. Afin d’inclure les effets de l’anharmonicit é et de la discr étisation du syst ème, nous utilisons la m éthode des échelles de temps multiples associ ée à une approximation quasidiscr ète apport ée par Tsurui [58, 59, 60, 61]. Ainsi, on d éfinit

(34)

θn(t)= A (X, τ)ejϕn + c.c., (3.7)

o ù c.c. d ésigne le complexe conjugu é, X= ε(n − vgt) et τ= ε2t. vg est la vitesse de groupe

associ ´ee au paquet d’onde : vg = dω/dk. La variable “ rapide ” ϕn= kpn − ωpt, repr ´esentant

la phase de l’onde porteuse est consid ér ée comme compl ètement discr ète. Notons que, dans ces conditions, tous les termes du param ètre G3 disparaissent en raison de la

pa-rit é de l’ équation (3.6). Une autre solution consisterait à prendre un terme DC et une seconde harmonique en ω comme dans [28, 62, 63, 64, 65], mais ils seront n égligeables en premi ère approximation et ne seront pas consid ér és dans cette étude. Le nombre d’onde kpet la pulsation de l’onde porteuse ωpsont li és par la relation de dispersion non

lin ´eaire, ω2 p = ω 02 0+ 4G2sin2 kp 2 ! + 48G4sin4 kp 2 ! |A|2. (3.8) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 k p 0 5 10 15 p G 4 = 0; A = 0; = 1 G₄ = 4; A = 1; = 1 G₄ = 0; A = 1; = 0.1 G 4 = 0; A = 1; = 12

FIGURE3.2 – Courbes de dispersion d’un syst `eme NKG ayant pour param `etres ω0 = 1,

G₂= 2, et pour diff´erentes valeurs de G₄, |A| et σ.

Dans l’approximation lin éaire, la relation (3.8) se r éduit à la relation de dispersion lin éaire classique avec un gap inf érieur fini : 0 < ωp< ω00, (k= 0) et un gap supérieur semi-infini :

ω > qω02

0+ 4G2, (kp = π). La relation de dispersion non lin´eaire ωp = f

kp, |A|2

montre que la fr ´equence de coupure haute est modifi ´ee lorsque |A| croˆıt (voir Fig. 3.2).

En substituant la relation (3.7) dans l’Eq(3.6), on constate que la partie enveloppe ob éit à une nouvelle Équation Non Lin éaire de Schr ödinger Étendue(ENLSE) :

j∂A ∂τ +P ∂2_A ∂X2 + Q(σ)|A| 2_A_{= jc} 1|A|2 ∂A ∂X +c2 ∂A ∂X !2 A∗+ (c2+ c3) |A|2 ∂2_A ∂X2 ! + c3 A2 ∂2_A∗ ∂X2 + 2A ∂A ∂X ∂A∗ ∂X ! , (3.9)

(35)

o `u P = 1 2ωp G₂cos k − v2g , Q(σ) = 3 2ωp h 2G4(8 cos k − 2 cos 2k − 6) − ω020β (σ) i

sont respectivement la dispersion de la vitesse de groupe et le coefficient non lin éaire. Les param ètres ci (i = 1, 2, 3) résultent des interactions interparticulaires

quadratique-quartique, d écrivent l’extension non lin éaire de l’ équation de Schr ödinger non lin éaire et sont d éfinis comme suit :

c1 = 6G4 ωp sin 2kp− 2 sin kp , c₂ = 3G4 ωp cos 2kp− cos kp , c₃ = 3G4 ωp 1 − cos kp ·

L’ équation (3.9) est l’ équation principale et directrice de notre travail. Malgr é le fait qu’elle soit issue de la mod élisation d’un syst ème atomique, cette équation g én éralise les r ésultats pr éc édemment établis dans l’ADN [2, 3, 5], dans les fibres optiques [18, 66, 67], dans les nanocomposites en m étal-di électrique [37, 68], dans des r éseaux discrets non lin éaires [38, 39, 42, 43], dans la diffusion des ondes par des inhomog én éit és statiques localis ées ou par des potentiels g én ériques d épendant du temps [69, 70, 44, 45], parmi bien d’autres possibilit és.

3.3/

B

IFURCATIONS ET SOLUTIONS DE L

’ENLSE

3.3.1/ DYNAMIQUE DES SOLITONS DE GAP

3.3.1.1/ E´QUATION D’ ´EVOLUTION

Dans ce paragraphe, nous ne consid érerons que le comportement dynamique du syst ème pr ès de la zone de gap, en particulier au gap inf érieur (kp, ωp) = (0, ω00). Dans

ces conditions, la vitesse de groupe est nulle et l’ équation non lin éaire modifi ée de Schr ödinger (3.9) se r éduit à : j∂A ∂τ +P ∂2_A ∂X2 + Q|A| 2_A_{= −}P 12 ∂4_A ∂X4 − − 3 2 G4 ωp " _∂₂ A∗ ∂X2 !_∂A ∂X +2 ∂2_A ∂X2 !_∂A∗ ∂X !_∂A ∂X # , (3.10) avec P= G2/2ωpet Q(σ)= 1 8 3 − 2σ2 σ4 ω2 0 ωp .

L’ équation NLS (3.10) r égit la modulation d’un train d’ondes quasi-monochromatique dans le cas de syst èmes non lin éaires et dispersifs. L’int ér êt particulier de cette équation est son int égrabilit é.

Pour certaines conditions aux limites, il a ét é montr é que l’ équation NLS admet des so-lutions solitons. Lorsque le milieu non lin éaire est limit é ou born é, ses soso-lutions peuvent

(36)

ˆetre exprim ´ees en fonction des fonctions elliptiques de Jacobi [71, 72, 73, 74, 75, 76]. Dans ce cas, l’enveloppe est au repos dans l’espace puisque la vitesse de groupe vg

s’annule pour kp = 0, ce qui implique que le vecteur d’onde de la porteuse est au milieu

de la zone de Brillouin et ne peut de ce fait transporter de l’ ´energie. Maintenant, nous cherchons des fonctions enveloppe de la forme

A (X, τ)= ψ (X) e− jΩτ, (3.11)

o ùΩ est la fréquence angulaire de l’enveloppe définie par : Ω = ω − ω0

0. (3.12)

Ici ω0

0 est la fr équence de la porteuse et ω, celle de l’onde incidente qui p én ètre dans

le milieu non lin éaire. En restant dans l’hypoth èse des faibles variations spatiales de l’enveloppe, Ω doit être très petit comparé à ω et à ωp, ainsi ω ≈ ωp. Par ailleurs,Ω est

n égatif pour ω < ω0₀, ce qui sera consid ér é dans la suite. ψ (X) donne la forme spatiale de l’enveloppe. La substitution de l’enveloppe (3.11) dans l’ équation NLS (3.10) permet d’arriver à l’ équation diff érentielle ordinaire suivante :

d2ψ dX2       P+ 9 2 G4 ω0 0 dψ dX !2      + Ωψ + Qψ 3_{= 0·} _(3.13)

Dans l’Eq. (3.13), nous n’avons conserv é que les termes dominants en G2 (repr ésent é

par P) et les termes dominants en G4(termes non lin ´eaires d’ordre ψ3). Cette hypoth `ese

consiste à n égliger la d ériv ée du quatri ème ordre de la variable spatiale X, qui est tr ès petite compar ée aux d ériv ées d’ordre deux. Ceci reste dans le m ême esprit que Dusuel et al. dans leurs travaux de 1998 [41].

Cette équation (3.13) peut mieux être étudi ée dans le plan de phase ψ, y = dψ dX !

et peut à cet effet être r é écrite de la mani ère suivante :

dψ dX = y, dy dX = c1ψ(c2−ψ2) c₃− y2 , (3.14) avec c₁ = 1 36 2σ2− 3 ω2₀ G₄σ4 , c2 = 8Ωσ4 2σ2_{− 3}ω 0 , c3 = − 1 9 G2 G₄·

Nous constatons que les param `etres (c1, c2, c3) d ´ependent fortement des variations de

la forme du substrat caract éris ée par le param ètre σ et/ou de l’anharmonicit é des inter-actions inter particulaires via le param ètre G4. D’un point de vue math ématique, on sait

qu’un tel syst ème non lin éaire peut se comporter de mani ère inattendue. Par exemple il serait possible que les solutions puissent pr ésenter de brutales modifications. En faisant

(37)

varier la valeur des param ètres de ce syst ème, la forme de la solution peut changer brus-quement ; plusieurs solutions peuvent apparaˆıtre ou disparaˆıtre, perdre ou gagner de la stabilit é, etc. ... On parle alors de bifurcation. Il est admis que le cadre math ématique le plus adapt é à l’ étude de ces syst èmes dynamiques est la th éorie des bifurcations. D’o ù l’importance des param ètres (c1, c2, c3)pour l’ étude de l’ équation diff érentielle (3.13).

Jus-qu’ici dans la litt érature [12, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 55, 56, 7, 77, 68], uniquement cer-taines valeurs pr écises et certains signes des param ètres c₁, c₂, c₃ ont ét é utilis és. C’est vrai que la connaissance d’un r égime permanent pour une valeur de ces param ètres c1,

c2, c3 est int éressante pour celui qui d ésire étudier le syst ème, mais cela reste

insuffi-sant. Une vision globale sur l’apparition de ph énom ènes exotiques pour l’ensemble des valeurs possibles des param ètres s’impose, ce qui permet d’obtenir une connaissance synth étique des comportements possibles du syst ème et de leurs domaines d’occur-rence. C’est gr âce à la th éorie des bifurcations qu’il est possible d’avoir une telle vision. Si c3 > 0, le système (3.14) est un système d’ondes progressives singulier de deuxième

classe d ´ependant du groupe de param `etres (c1, c2, c3) [56, 7, 78]. Il a deux droites

sin-guli ères d éfinies par les équations y = ±yl, avec yl =

√

c3. En utilisant la transformation

dX = (c3− y2)dξ, le syst ème (3.14) devient le syst ème r égulier associ é et d éfini comme :

dψ dξ = y(c3− y 2_), dy dξ = c1ψ c₂−ψ2· (3.15)

Les systemes (3.14) et (3.15) ont la m ême int égrale premi ère :

H (ψ, y)= 1 2c3y 2₋ 1 2c1c2ψ 2₊1 4c1ψ 4₋ 1 4y 4 = h, (3.16)

o ù h est une constante. Notons tout de m ême que les syst èmes (3.14) et (3.15) sont impairs en y et ψ. Ainsi, tous les portraits de phase pr ésentent une double sym étrie, ce qui permet de r éduire l’analyse à (ψ ≥ 0, y ≥ 0). Lorsque σ ∈ i0, √3/2havecΩ < 0, c’est à dire pour c₂ > 0 et c₃ > 0, alors le système (3.15) a neuf points d’équilibre : l’origine O(0, 0), les points M₁±±√c2, 0

, M±₂0, ±√c3 , M±₃ −√c2, ± √ c3 , et M₄±√c2, ± √ c3 . Quand c2 = 0 et c3 , 0, ou c2 , 0 et c3 = 0, le syst`eme (3.15) n’a plus que trois points

d’ équilibre puisque les points M±₂0, ±√c₃, M₃±−√c₂, ±√c₃, et M±₄√c₂, ±√c₃sont respectivement confondus avec les autres points d’ équilibre du syst ème (3.14).

Soit M(ψl, yl), la matrice Jacobienne du syst `eme (3.15) aux points d’ ´equilibre (ψl, yl) ayant

pour d ´eterminant J (ψl, yl). Nous aurons :

J(0, 0) = detM(0, 0) = −c1c2c3, J(0, ±√c2) = detM(0, ± √ c2)= J(± √ c2, 0) = 2c1c2c3, J(±√c₂, ±√c₃) = detM(±√c₂, ±√c₃)= −4c1c2c3.

La th éorie des syst èmes dynamiques dans le plan de phase donne les r ésultats suivants pour un point d’ équilibre du syst ème :