Méthodes hilbertiennes pour la correction d'atténuation en Tomographie d'Émission Monophotonique

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Méthodes hilbertiennes pour la correction d’atténuation

en Tomographie d’Émission Monophotonique

Elie Nasr

To cite this version:

THÈSE

présentée à

L'UNIVERSITÉ BORDEAUX I

ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

par Elie NASR

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPÉCIALITÉ : Mathématiques Pures

*********************

MÉTHODES HILBERTIENNES POUR LA CORRECTION

D'ATTÉNUATION EN TOMOGRAPHIE D'ÉMISSION

MONOPHOTONIQUE

*********************

Soutenue le 11Juillet 2008 à l'Institutde Mathématiques de Bordeaux

Après avis de :

H. AMMARI Dire teur de re her hes, É ole Polyte hnique (CMAP) Rapporteur

R.NOVIKOV Dire teur de re her hes, Universitéde Nantes Rapporteur

Devant la ommissiond'examen omposée de :

H. AMMARI Dire teur de re her hes, É ole Polyte hnique (CMAP) Rapporteur

J-F. CROUZET Maître de onféren es, UniversitéMontpellier II

C. DOSSAL Maître de onféren es, UniversitéBordeaux I

C. JEANGUILLAUME Maître de onféren es (HDR), Universitéd'Angers

E.OUHABAZ Professeur, Université BordeauxI

A. YGER Professeur, Université BordeauxI Dire teur

-Une longue histoire de inq ans a vu la lumière le 11 juillet à 15h30 à l'Institut

de Mathématiquesde Bordeaux.Desmomentsmagiques,des momentstragiques,des

plaisirs etdes déliresont marqué toutes leslignes de ma thèse.

J'avaisl'honneurdemebattreà tédemondire teurdethèseAlainYgerquim'a

soutenu jusqu'àlan sans au une faille.Il asuorienter mes premierspas dansla

re- her he etm'aamenéprogressivementvers l'autonomie.Grandmer iAlainYger, ton

a ompagnementétait pour moiun enseignement aussibien humainques ientique.

Je tiensà remer ier RomanNovikov etHabib Ammari d'avoir a eptés d'êtreles

rapporteursde lathèse et de leurs disponibilités.

ElMaatiOuhabazaa eptédeprésiderlejurydemathèse,jetiensàluitémoigner

le plus grandrespe t.

Je suis très re onnaissant envers Christian Jeanguillaume etJean-François

Crou-zet, qui ont faitle dépla ement pour faire partiede e jury.

Je suis également très re onnaissant envers Charles Dossal qui a a epté d'être

le membre du jury le plus jeune. Mer i pour ton enthousiasme et les nombreuses

dis ussions que nous avons partagées.

Je tiens à remer ier tous les ingénieurs et les se retaires pour leurs patien es et

leurs disponibilités.

Je remer ie mon ollègue de bureau Abdallah d'avoir supporté le long de es

annéesun fumeur ommemoi. N'est e pas Baptiste? mer iàtoiaussi de ne pasme

laisser seul à fumer sous la pluie.

Pendant les années de travail à l'IMB j'ai dû roiser une équipe formée de trés

bons joueurs. Leur sport préferé s'appelle l'Amitié. Oswaldo, ta améra est témoin

de tous les agréables moments qu'on s'est partagés. Issam, tues un sa ré animateur

de soirée,mais ommen e àa hetertes propres igarettes!Radouane, tu roisquetu

saisdan er?Walid,je roisqueGeorgestevamieux(Mer iIssam!).Julien,j'attends

toujours la bouteille de Boukha. Anders, press play...press play. Pierre, tu veux une

bière? Ludivine, onl'ani ette thèse.Mer i à vous tous lesgars (on remarquequ'il

y'apeu de lledans etteéquipe.Quellemisère!).Vous étiezpourmoiunedeuxième

famille,je vous dis aurevoir etbonne han e dans lavie.

Un énorme mer i à mes parents pour tout e qu'ils ont fait pour moi et de moi.

Sans eux, ette thèse n'aurait jamais vu la lumière. Mi hel, Antoinette et Jawad je

vous embrasse fortement.

Finalement je tiens à dire à ma petite Elsy que ta forte présen e et ton soutien

ontété un soulagementetune inspirationpendant ladernière lignedroitede lathèse

Introdu tion I

0.1 Prin ipes de l'imageriemédi ale . . . I

0.2 Modèle analytique des mesures . . . II

0.3 Corre tion d'atténuationen TEMP . . . IV

0.4 Plan de la thèse . . . IV

1 Tomographie et imagerie médi ale 1

1.1 Introdu tion . . . 1

1.2 LesDiérentes Te hniques d'Imagerie Médi ale . . . 2

1.2.1 Imagerie morphologique . . . 2

1.2.2 Imagerie fon tionnelle . . . 5

1.3 LaTomographie d'ÉmissionMonophotonique . . . 7

1.3.1 Lesradiotra eurs . . . 7

1.3.2 Ledispositif de déte tion . . . 9

1.4 Types d'a quisition . . . 13

1.4.1 Lemode statique planaire . . . 13

1.4.2 Lemode tomographique . . . 13

1.4.3 Rangementdes données : lesinogramme . . . 14

1.5 Leslimites de l'imagerieTEMP . . . 15

1.5.1 Fa teursphysiologiques . . . 15

1.5.2 Fa teurste hnologiques . . . 16

1.5.3 Fa teursphysiques . . . 17

1.5.4 L'atténuation . . . 20

2 Modélisation et re onstru tion en TEMP 23 2.1 Introdu tion . . . 23

2.2 Lemodèle simplié en TEMP . . . 23

2.2.1 Lemodèle physique . . . 23

2.2.2 Latransformée de Radon. . . 25

2.3 Méthodes analytiques de re onstru tion . . . 27

2.3.2 Larétroproje tion ltrée . . . 29

2.3.3 Implémentation numérique de larétroproje tion ltrée . . . . 31

2.3.4 Exemples de re onstru tion numériques . . . 34

2.4 Méthodes algébriques de re onstru tion . . . 37

2.4.1 Formulationalgébrique du problème . . . 38

2.4.2 Cal ulde lamatri e de proje tion . . . 39

2.4.3 Dualitéentre l'aspe t algébrique etanalytique . . . 40

2.4.4 Résolutionitérativedu problème algébrique . . . 40

2.4.5 Méthode MLEM . . . 41

2.4.6 Méthode OSEM . . . 43

2.4.7 Méthode ART . . . 44

2.5 Lemodèle réaliste en TEMP . . . 46

2.5.1 L'atténuation . . . 46

2.5.2 Estimationde la arte d'atténuationdu patient . . . 47

2.5.3 Latransformée de Radon atténuée . . . 48

2.6 Méthodes analytiques de orre tion de l'atténuation . . . 49

2.6.1 Méthodes de orre tion de l'atténuation sur lesproje tions a -quises . . . 49

2.6.2 Méthodes de orre tion de l'atténuation sur les oupes re ons-truites . . . 51

2.7 Lesméthodes itérativesde orre tion de l'atténuation . . . 51

2.7.1 Laméthode de Changitérative . . . 52

2.7.2 Modélisation de l'atténuation dans l'opérateur de proje tion-rétroproje tion . . . 52

2.8 Con lusion . . . 54

3 A urate attenuation orre tion for algebrai re onstru tion te h-nique in SPECT 57 3.1 Introdu tion . . . 57

3.2 Ka zmarz'smethod . . . 61

3.3 Derivation of the algorithm . . . 63

3.4 Numeri alsimulations . . . 65

3.4.1 Phantoms . . . 66

3.4.2 Re onstru tion . . . 67

3.4.3 Re onstru tion from noisydata . . . 75

3.5 Con lusion and dis ussion . . . 77

4 Algorithmes et simulations numériques 79 4.1 Introdu tion . . . 79

4.2.2 Algorithmes . . . 82

4.3 Résultatsnumériques . . . 84

4.4 Méthode de re onstru tion algébrique . . . 87

4.4.1 Cadre mathématique . . . 87

4.4.2 Algorithmenumérique . . . 88

4.5 Résultatsnumériques . . . 90

4.5.1 Dépendan e en la solutioninitiale . . . 91

4.5.2 Inuen e de l'ordred'a quisition. . . 92

4.5.3 Contraintes physiques . . . 94

4.5.4 Choix du paramètre de relaxation . . . 97

4.5.5 Re onstru tion ave des données in omplètes . . . 98

4.6 Con lusions . . . 101

5 Con lusions et perspe tives 103 A Résultats de re onstru tion 107 A.1 Solutioninitialenulle . . . 108

A.2 Solutioninitialeanalytique . . . 109

Cette thèse traite de re onstru tion d'images à partir de proje tions parallèles

atténuées. Ce problème mathématiquetrouve son appli ation prin ipale en imagerie

médi ale,etenparti ulierentomographied'émissionmonophotoniqueave orre tion

d'atténuation sous l'hypothèse que l'atténuation (supposée quel onque) est onnue

et quel onque sur la région d'émission. Dans un premier temps, nous dé rivons les

prin ipesphysiologiquesetmathématiquesde latomographied'émission

monophoto-nique. Ensuite,nous présentons une méthode de re onstru tion itérative baséesur la

prise en onsidération du phénomène d'atténuation, prin ipal élément perturbateur

en imagerie par émission monophotonique. Cette méthode est une généralisationde

l'algorithme de re onstru tion algébrique lassique (ART); elle introduit un terme

de orre tion d'atténuation exa t. Finalement, nous exposerons des exemples

numé-riques et nous dis uterons de la performan e de notre algorithme selon le hoix de

plusieursparamètres.

0.1 Prin ipes de l'imagerie médi ale

Mis à part le prin ipe physique sur lequel ils sont basés, les diérents modèles

de s anner existants dièrent par le type d'information qu'ils fournissent.

Contraire-mentaux s anners à rayons X, qui fournissent une informationdu type anatomique,

les s anners utilisés en imagerie nu léaire fournissent une informationdite

fon tion-nelle.L'imagerienu léaireest uneimagerieparémissionutiliséeen méde inedans un

but diagnostique; elle onsiste à déterminer la distribution dans l'organisme d'une

substan e radioa tive administrée au patient. Cette substan e appelée radiotra eur,

va se xer de manière préférentielle dans l'organe à étudier ( oeur, erveau, ...). La

distribution spatiale de on entration de e radioélément indique l'état fon tionnel

lo al des tissus, omme par exemple leur degré d'irrigation sanguine ou en ore leur

apa ité de xation du radioélément.

Le but en imagerie nu léaire est de déterminer, nous dirons plutt re onstruire,

une image pré ise de la distribution spatiale du tra eur radioa tif. Il existe deux

modalités d'imagerie par émission:

Pho-ton Emission Computed Tomography) pour laquelle le radiotra eur émet des

photons gammadéte tés par une gamma améra;

 la tomographie par émission TEP de positons (PET pour Positron Emission

Tomography) pour laquelle le radiotra eur émet des positons qui, suite à leur

annihilationave des éle trons du milieu, donnent lieu à une paire de photons

gammaémis en oïn iden e.

La seule information a essible sur la distribution spatiale du tra eur, et don les

données duproblème dere onstru tion, estfournie parles anner. Cesera HalAnger

qui, au début des années 1960, proposera l'outil moderne de déte tion des rayons

γ

,

la gamma- améra: derrière un ollimateur per é d'un réseau régulier de trous

lais-sant passer les photons in idents selon une dire tion privilégiée, un ristal d'iodure

de sodium est pla é devant un réseau de photomultipli ateurs. Un ir uit al uleles

oordonnées du point d'impa tde haque photonsur le ristal età partir de es

o-ordonnées, l'image est formée sur un os illos ope athodique. Les données a quises

par le déte teur sont re onstruitesà l'aide d'un algorithme de re onstru tion an de

fournir une estimation de la distribution multidimensionnelle du radiotra eur dans

l'organisme. Le problème de re onstru tion d'imagesen TEMP se heurte ependant

auxdiversobsta lesquesontleslimitesdesperforman esdesdéte teurs(entermesde

résolution spatiale,de résolution en énergieetde sensibilitéde déte tion), les

pro es-sus physiquesquidégradentlaformationdel'image(telsl'atténuationetladiusion)

etaussilesphénomènesphysiologiquesliésaupatient(telsquelesmouvements

respi-ratoireet ardiaque).Ilestindispensabled'entenir ompteetde ompenser esdivers

eets pour avoirune re onstru tion abled'images àpartirdes données fournies par

le s anner.

0.2 Modèle analytique des mesures

Considérons une oupe d'organe dans laquelle une zone a tive est déte tée. Soit

f (x, y)

la fon tion qui représente la on entration d'a tivité en un point

(x, y)

de

ette zone. Lorsque la gamma- améra tourne autour de l'organe, elle a quiert pour

haque dire tion

θ

de déte tion une proje tion 1D de la oupe2D.

Eneet, en première approximation,le nombre de photons aptéspar le

ollima-teuraupoint

s

de la améraestégal àlasommedes photonsémis lelongdeladroite

passant par e point etde dire tion

θ

⊥

et est dire tement proportionnelàl'intégrale

de la fon tion

f

le long de ette droite (voir gures 1(a) et 1(b)). La proje tion

pa-rallèle de

f

dans la dire tion

θ

⊥

est alors vue omme l'ensemble des intégrales de la

fon tion

f

le long de la famille de droites parallèles

L(s, θ) := {h(x, y), θi = s}

de

l'espa e

R

2

, de dire tion

θ

⊥

et se situant à la distan e

s

de l'origine ( entre de la

améra notées

g(θ, s)

et modéliséespar la transformée de Radon

(θ, s) 7−→ R

θ

[f ](s)

,

dénie don par :

R

θ

[f ](s) =

Z

h(x,y),θi=s

f (x, y)dλ

s,θ

(x, y) = g(θ, s).

(1)

I i

dλ

s,θ

représentelarestri tiondelamesuredeLebesguedans

R

2

surlaligne

L(s, θ)

, ave

θ =

 cos ϕ

sin ϕ



,

θ

⊥

=

 − sin ϕ

cos ϕ



ave

0 ≤ ϕ < ϕ

max

.

PSfrag repla ements

s

f

Camera (a)Deté teur PSfrag repla ements

f

(x)

ϕ

(L)

s

s

x

y

(b) Système d'a quisition Fig. 1. S anner

Leproblèmedelare onstru tiond'unefon tion

f

àpartirdesesproje tionsparallèles

est aujourd'hui bien maîtrisé (voir Natterer [33℄). Cependant, e modèle est trop

simplié et fournit généralement des images re onstruites de faible qualité et don

d'intérêt limité pour le méde in. Dans la littérature, onparle de re onstru tion sans

orre tion d'atténuation lorsque e modèle est tout de même utilisé.

Pour obtenirunere onstru tionplusablede ladistributionspatiale

f

dutra eur

radioa tif, il est indispensable de tenir ompte de l'atténuation dans le modèle aux

ns de pour dé rire les proje tions fournies par le s anner. Dé rivons brièvement le

phénomène d'atténuation. Les photons émis par le tra eur radioa tif interagissent

ave la matière au ours de leur trajet entre le point d'émission et le déte teur. Les

deuxprin ipalesintera tionsentrelesphotonsetleséle tronsdelamatièresontl'eet

photoéle trique et l'eet Compton; elles onduisent toutes deux à une atténuation

du rayonnement photonique, provoquée par une absorption ou un hangement de

dire tion d'une partie des photons émis. Les eets photoéle trique et Compton au

point (

x, y

) sont ara térisés par un oe ient linéique d'atténuation noté

a(x, y)

.

La fon tion

a(x, y)

est souvent appelée arte d'atténuation dans la littérature. Elle

présente des valeurs pon tuelles typiques 0.0152mm

−1

pour le torse, 0.0032mm

unerédu tiondunombrede photons aptésparla amérad'Angeretlemodèleutilisé

pour les proje tions est alors lesuivant :

R

a,θ

[f ](s) =

Z

h(x,y), θi=s

exp



₋

Z

+∞

0

a((x, y) + tθ

⊥

) dt



f (x, y) dλ

s,θ

(x, y) = g

a

(θ, s).

(2)

L'appli ation

(s, θ) → R

a,θ

[f ](s)

estalors appeléetransformationde Radonatténuée

delafon tion

f

.Ilestànoterque emodèlenetientpas ompted'autresphénomènes

physiques tels la résolution spatiale du déte teur, le bruit statistique du pro essus

d'émission ou en ore le diusé Compton. Néanmoins, l'atténuation est un obsta le

majeur àl'obtention d'imagesre onstruitesde qualité.Lorsque e modèle est utilisé,

onparle de re onstru tion ave orre tion d'atténuation.

0.3 Corre tion d'atténuation en TEMP

Avant que Novikov [37℄ ne propose une solution analytique exa te pour

l'inver-sionde latransformée deRadon atténuée dansun milieuatténuantnon uniforme,les

eets physiques dégradantla qualité des imagesre onstruites ont longtemps été

or-rigés par des méthodes analytiques appliquées aux proje tions (Keyeset al. [24℄) ou

auximages re onstruites(méthode de Chang [5℄); es méthodes qui restent

approxi-matives puisqu'on supposait que l'atténuation était onstante sur le volume étudié.

Uneappro he alternative onsisteà orriger es eets par uneméthodeitérative(par

exemple,ML-EM,gradient onjugué),lorsdelare onstru tiontomographique.à

par-tirdela onnaissan edela artedes oe ientsd'atténuation

a

,leprin ipe onsisteà

modéliserles phénomènesphysiques ette hnologiques qui dégradent lesimages dans

lapaireproje teur/rétroproje teur(Gullbergetal.[14℄)ouen oredanslamatri e

sys-tèmequidé ritmathématiquementlepro essusdeformationdesproje tions/images,

e de manièreà orrigerintrinsèquement de l'atténuation .

0.4 Plan de la thèse

Tout aulongde ettethèse,noussupposeronsque

f

et

a

sontdesfon tionsréelles

dénies sur

R

2

, bornées et à support ompa t. De plus, nous onsidèrerons la arte

d'atténuation

a(x, y)

onnue et non-uniforme sur un domaine onvexe ontenant le

supportde

f

.

Dans ettethèse, nousavons envisagé leproblèmede lare onstru tion algébrique

exa teetstablede

f

suivantdesméthodeshilbertiennesave orre tiond'atténuation,

mathé-l'outil mathématiquequ'est latransformation de Radon atténuée. Cette transformée

intégrale a été introduite à l'équation (2). En parti ulier, le hoix d'un modèle pour

la des ription mathématique du système d'imagerie est une donnée primordiale du

problème etne peut être dé idéà lalégère; il détermineaussi bien laqualité des

ré-sultats,vialedegréde sonadéquationave equenoussavons dudispositifphysique.

Il inuen e aussi bien sûr grandement les développements mathématiques possibles.

Tout d'abord, nous nous sommes laissés guider par le seul sou i d'une bonne qualité

d'image, e qui nousa onduitàé arterles méthodes analytiques,basées sur

l'inver-siond'un opérateurde proje tion ontinu, ar ellesnous ontparutroplimitéesquant

àlapossibilitéd'in orporerunmodèleréalistede orre tiond'atténuation (surtoutsi

l'on suppose que la arte d'atténuation non-uniforme et de géométrie irrégulière). Il

nous fallaitdon trouverun modèle appropriéet adaptéaux di ultés imposées par

les ontraintes dont nous avons parlé plus haut.

L'appro healgébriqueimpliqueunedis rétisationdel'ensembleduproblème

préa-lableàla on eptiondesméthodes derésolution,àl'inversedesméthodesanalytiques

dans lesquelles les formules de re onstru tion sont issues d'un raisonnement

impli-quant une distribution et des proje tions ontinues et dis rétisées ensuite.

Compte-tenudu faitque ladistributionsera for ément re onstruitede manièredis rète, mais

aussi de e que les proje tions sont dis rètes (images omposées de pixels) et

sépa-rées par des pas d'angle dis rets, raisonner sur es données dis rètes paraît adapté

à la situation physique on rète. L'appro he algébrique donne l'opportunité de

mo-déliser impli itement les eets parasites, notamment la arte d'atténuation, e qui

permet ainsi de simplier le problème de re onstru tion en TEMP ave orre tion

d'atténuation.

Un système algébrique est dit onsistant s'il admet une unique solution. Cette

ondition peut être envisagée d'un point de vue mathématique si la matri e du

sys-tèmeestune matri e arréededéterminantnonnul.Dèslors,ildevraitsured'avoir

un nombre susant d'équationspour éliminertoutesles autresenvisageables;même

la surdétermination du système ne devrait pas entraver l'obtention d'une solution

unique. Il n'en est malheureusement pas ainsi, d'une part par e qu'une omposante

aléatoireexistedanslesmesuressous laformed'unbruitnonnégligeable,notamment

en méde ine nu léaire, d'autre part par e que la taillede la matri e du système est,

dans les as réels, très importante (elle peut atteindre quelques entaines de

giga-o tets). Pour es raisons, nous sommes dans le adre d'un problème mal posé au

sens de Hadamard.Pour aborder e typede problème, onaeu re oursauxméthodes

d'inversion itératives, notamment la méthode de Ka zmarz pour la résolution des

systèmes linéaires basée sur des prin ipes hilbertiens et qui trouve son appli ation

en tomographie sous la nomination ART pour  Algebrai Re onstru tion Te hnique

. L'obje tif de ette thèse était don de mettreen oeuvre etd'évaluer une méthode

de latransformation de Radon atténuée en deux opérateurs : le premierétant

l'opé-rateur de la transformation de Radon non-atténué, le deuxième étant un opérateur

de multipli ationpar une fon tion modélisante la ontributionde l'atténuation dans

laformationdes proje tions atténuées de l'a tivité

f

.Parlasuite,leproblème dire t

ainsi posé est résolu en appliquant la méthode itérative de Ka zmarz. La apa ité

de notre algorithme à re onstruire des images de bonne qualité en présen e d'une

atténuation irrégulièreest mise àl'épreuvesur des fantmes aussi variésque possible

pour ouvrir des onditions réelles et tester l'inuen e des paramètres intervenants

dans lapro édure de re onstru tion.

Le déroulement de notre travailsuivra l'ordresuivant :

Lesprin ipesde laTomographie d'EmissionMonophotoniquedu point de vuede

son utilisationbiomédi ale ( e dont traite e travailde thèse) sont présentés au

ha-pitre1,ainsiquelesdiérentes te hniquesd'imageriemédi ale.LeslimitesduTEMP,

résultantprin ipalementdefa teurste hnologiquesetphysiques,sontennabordées:

lesphénomènesmajeursperturbantlaformationdesimagesquesontl'atténuation,la

diusion, la variabilitéde la fon tion de réponse du déte teur, sont dé rits ainsi que

leurs onséquen es sur l'interprétationqualitative etsurtoutquantitative des images

re onstruites.

Le hapitre 2 présente le adre mathématique du problème de la re onstru tion

tomographique en dé rivant tout d'abord un modèle simplié (sans orre tion

d'at-ténuation) et les méthodes d'inversion adéquates analytiques et algébriques pour le

résoudre. Ensuite, après avoir dé rit le phénomène d'atténuation prin ipal

phéno-mène dégradant l'image etempê hant une quanti ation ableet pré isedes oupes

re onstruites, on aborde le modèle réaliste qui tient ompte de l'eet de

l'atténua-tion et puis nous dressons un panorama des divers méthodes de ompensation de e

dernier phénomènedu pointde vueanalytique et itératif.

L'obje tif du hapitre 3 est d'élaborer un modèle algébriqueadapté au problème

tomographiqueenTEMPave orre tiond'atténuationetdelerésoudreitérativement

par desméthodeshilbertiennes derésolution desystèmes linéaires.Premièrement,on

présente la méthode de Ka zmarz indépendamment du problème de tomographie.

Deuxièmement, on pose le modèle dire t en tant que système linéaire, ela en

sup-posant que l'opérateur de la transformation de Radon atténuée est le omposé de

deux opérateurs omme indiqué plus haut. Ensuite, nous proposons de résoudre le

problème de re onstru tion ainsi posé en adaptant l'algorithme itératifde Ka zmarz

àlanaturedu système linéairedé rivantlemodèle dire t.Lesperforman es de notre

algorithme ont été testées à l'aide de deux fantmes informatiques : le premier

re-présente une a tivité de géométrie dis ontinue quiservira àmettre à l'épreuve notre

méthodeàreproduirelesdétailsns;lese ondsimuleunea tivitéàvariationspatiale

d'atténuation non-uniforme et d'un nombre de proje tions relativement faible. Les

images re onstruites ave notre méthode ont été omparées ave elles re onstruites

ave l'algorithmeART lassique. Lare onstru tion via etteméthode en présen ede

données bruitées ainsi que l'eet d'une étape de ltrationseront dis utés.

Dansle hapitre4,nousexposeronsl'algorithmenumériquequenousavonsutilisé

pour l'implémentation de la méthode étudiée au hapitre 3. Nous verrons de plus

omment mettre en oeuvre un algorithme numérique fa ilement implémentable et

exploitable pour la dis rétisation de la transformation de Radon atténuée. À l'aide

de fantmes informatiques, nous mettrons en éviden e le fait que l'erreur purement

numériqueestfaibleetque,sous etteimplémentation,l'algorithmeproposé onverge

bien (et rapidement) vers une solution très pro he de l'objet ave lequel nous avons

simuléles proje tions. Tous lesparamètres sur lesquels l'expérimentateur peut jouer

(telsquele oe ientderelaxation,lasolutioninitiale,maisaussil'ordred'a quisition

des proje tions etles ontraintes physiques) sont importantspourobtenirle meilleur

résultat, notamment en termes de résolution spatiale et de onvergen e numérique.

Nousdis uteronsen détailsl'eetde esparamètressurlaperforman e numériquede

notrealgorithme.Nousnousintéresseronségalementàl'étudedu asdere onstru tion

ave des donnéesin omplètes,i.e.a quisesseulementsurledemi- er le;nousverrons

i ique lesrésultatsthéoriques s'avèrent en défaut, que et algorithmes'avère malgré

tout empiriquement e a e.

Les perspe tives ouvertes par e travail et les on lusions générales de la thèse

Tomographie et imagerie médi ale

1.1 Introdu tion

L'imageriedevientunmodeprivilégiéd'aideaudiagnosti enméde inedepuisque

ertainsoutils permettentde visualiserdans une ertaine mesure l'intérieurdu orps

humain.Leste hniquesdere onstru tiontomographiquesontutiliséesdanslaplupart

des types d'examens d'imagerie médi ale ainsi que dans d'autres domaines tels que

l'o éanographie, lagéophysique, la sismologieou en orela météorologie. Il n'est pas

dans notreproposde fairele tourdes diverses te hniques d'imagerie, maisseulement

d'illustrerparquelques exemplesla omplexitédes te hniques généralementmisesen

oeuvre pour a quérir une information multidimensionnelle, puis pour en extraire ou

re onstruireuneimagebioutridimensionnellesus eptibled'apporterauprati ienune

informationspé iqued'un type de pathologie.Ilexiste diérentes te hniques

d'ima-gerie médi alepermettant d'apporter des informationsaussi bien sur lamorphologie

etsur lefon tionnementdes organesétudiés.Ceste hniques sont regroupées endeux

atégories nommées imagerie stru turelle etimagerie fon tionnelle.

Ce premier hapitrerappellebrièvementlesprin ipesphysiquesde es diérentes

te hniques d'imagerie médi ale et s'intéressera parti ulièrement aux prin ipes de la

Tomographie d'Emission Monophotonique (TEMP) qui fait partie des te hniques

d'imagerie nu léaire. Nous présentons aussi les phénomènes ae tant la

quanti a-tion des images,eten parti ulierlesphénomènesphysiquesetleurs onséquen essur

laabilité des images.

Le prin ipe de la TEMP est basé sur l'inje tion d'un produit radioa tif souvent

appelléradiotra eurdansunorganedupatientetl'étudedeladistributionspatialede

la on entration de e produit dontles informationssur sontfournies par le s anner.

Lesphotons-Gammasontdéte tésparune améraéquipéed'unegrillede ollimateurs

qui séle tionnent lesradiationsémises suivant un anglepriviligié

ϕ

. L'utilisationdes

informationssurla on entrationspatialedu tra eurradioa tifenun point

(x, y, z) ∈

1.2 Les Diérentes Te hniques d'Imagerie Médi ale

Suivantleste hniquesutilisées,lesexamensd'imageriemédi alepermettent

d'ob-tenir des informations sur l'anatomie des organes (leur taille, leur volume, leur

lo- alisation, la forme d'une éventuelle lésion, et .) ou sur leur fon tionnement (leur

physiologie, leur métabolisme, et .). Dans le premier as, on parle d'imagerie

mor-phologique et dans le se ond d'imagerie fon tionnelle. Ces diérents types de

te h-niques sont parfois employés de façon omplémentaire au sein d'un même système

d'imagerie.

1.2.1 Imagerie morphologique

Parmi lesméthodesd'imageriemorphologique,lesplus ourammentemployéesen

méde ine, on peut iter d'une part les méthodes tomographiques basées soit sur le

rayonnement X (radiologie onventionnelle, tomodensitomètre (TDM) ou CT-s an,

et .) soitsur larésonan e magnétique (IRM) et, d'autrepart, lesméthodes

é hogra-phiques(quiutilisentlesultra-sons).Sur etyped'exameneneet, 'estpluslaforme

de l'organeque safon tion qui est étudiée, e qui signieque l'imagemorphologique

ne rend omptequede laprésen e etde lastru ture des tissus,os,oud'ailleurstoute

matière.

Imagerie par résonnan e magnètique

L'imagerieparrésonan emagnétiquenu léaire(IRM)estunete hniqued'imagerie

médi aled'apparitionré ente(débutdes années1980)permettantd'avoirunevue2D

ou 3D d'une partie du orps, notamment du erveau. Le nom omplet de l'IRM est

image à résonan e magnétique nu léaire (ou IRMN); onomet souvent son ara tère

nu léaire.Cetteomissionest surtoutlàpour nepas erayerlespatientsqui asso ient

souvent, età tort, le mot nu léaireave lesrayonnementsionisants.

L'imagerieparrésonan emagnétiquerepose essentiellementsurlespropriétés

ma-gnétiquesdes atomesetplus parti ulièrementde leurs noyauxquel'on étudiegrâ eà

un hampmagnétiqueetuneondederadiofréquen e;au uneradiationionisanten'est

émise. la lo alisation spatialedes atomes est obtenue en ajoutant un gradient

dire -tionnel sur le hamp magnétique de base. Les protons soumis au hamp magnétique

s'alignent parallèlement à elui- i omme des petites boussoles. Lorsque l'on envoie

des ondes radio-fréquen e vers une zone donnée, es petites boussoles vont hanger

de dire tion(démagnétisation),puisretourner àleur positioninitialeen émettant un

signal qui est enregistré et traité par un système informatique.Ce signal dépend du

tissuétudié.L'intensitédu signalestreproduitepoint-à-pointselonuneé hellede gris

La résolution spatiale est liée à l'intensité du hamp magnétique et à la durée

de l'a quisition (en général une dizaine de minutes). L'IRM fournit les meilleures

images de la morphologie érébrale en termes de résolution spatiale et de ontraste.

On atteinta tuellementune résolution de l'ordredu millimètre.

(a) (b)

Fig. 1.1. IRM : (a) ma hine IRM, (b) Images IRM d'une tête humaine vue de prol en

oupe sagittale. On peut voir apparaître le erveau en gris lair entouré de liquide

éphalo-ra hidien (en noir), la boite rânienne (en blan ), ainsi que d'autres tissus (langue, fosses

nasales,et .).

La tomodensitométrie

La tomodensitométrie (TDM), dite aussi tomographie axiale al ulée par

ordi-nateur, CT-s an ou simplement s anner, est une te hnique d'imagerie médi ale qui

onsiste à al uler une re onstru tion 2D ou 3D des tissus à partir d'uneanalyse

to-mographiqueobtenueensoumettantlepatientaubalayaged'unfais eauderayonsX.

Bienquelapossibilitéthéoriquede réerdetelsappareilsétait onnue depuisledébut

du siè le, en'est qu'audébutdes années1970qu'apparaîtrontlespremiersappareils

dotés d'ordinateurs apables de réaliserles al ulsné essaires àla re onstru tion des

images.Pourlamiseaupointde este hniques,GodfreyNewboldHounseldetAllan

Ma LeodCorma k seront ré ompensés par le PrixNobelde méde ine en 1979.

rayons après leur passage dans le orps. Les données obtenues sont ensuite traitées

par ordinateur, e qui permet de re omposer des vues en oupe des organes ou des

vues en trois dimensions. C'est don en quelque sorte une image d'ombre qui est

obtenue : plus les stru tures traversées sont atténuantes, plus faible est la fra tion

de rayonnement quiparvientjusqu'audéte teur (gure1.2b).Cette imagene fournit

don des renseignements que sur les oe ients d'absorption en haque point, qui

sont relatifsà une énergie de rayonnement donnée (en général, plus un rayonnement

est énergétiqueetmoinsilest atténué) etdépendent essentiellementde ladensitédes

tissus auxquels ils appartiennent.

On peut faire ressortir ertains tissus, en parti ulier les vaisseaux sanguins, en

inje tant un produit dit  de ontraste  (souvent un omplexe de l'iode) qui a la

propriété de fortementabsorberlesrayonsX etdon de rendretrès visibles lestissus

où e produit est présent (qui apparaissent alors hyperdenses). On peut aujourd'hui

obteniren quelques se ondes, grâ eaux s anners multidéte teurs àa quisition

spira-lée, une exploration très pré ised'un large volume du orps humain.

Commepourlaradiographie,l'expositionrépétéeàdesradiationspeutêtreno ive

pour l'organisme,mais lerapportbéné e/risqueliéàl'irradiationpen he largement

en faveur de la tomodensitométrie,qui en fait un examen de plus en plus largement

pratiqué. L'imageriepar résonan e magnétique (IRM), te hnique non irradiante, est

une alternative. Cette dernière ore une meilleure résolution pour les tissus mous

alors que la tomographieaxiale al uléeest supérieure pour les zones on ernant les

parties osseuses.

(a) (b)

1.2.2 Imagerie fon tionnelle

Lesméthodesd'imagerie fon tionnellesontaussi très variées.Ellesregroupentles

te hniquesdeméde inenu léaire ommelaTomographied'ÉmissionMonophotonique

(TEMP) (Single Photon Emission Computed Tomography en anglais) etla

tomogra-phie d'Émissionà Positons (TEP) (Positon Emission Tomography en anglais).

Ces te hniques reposent sur l'administration d'un tra eur, 'est-à-dire une

sub-stan erepérable, ar marquéeparun atomeradioa tifémetteurGamma,s'ins rivant

dans un métabolisme, sans interférer ave elui- idu fait que l'on en administre une

quantité innitésimale.Ainsi,lesrayonnementsservantà former l'imageproviennent

de l'objetd'étude lui-même.Surleprin ipedes organismesphosphores ents, le orps

oul'objetesté lairéparsaproprelumièreetl'onparlede tomographied'émission

pour désigner lesproblèmes detomographiequisontratta hésà e genrede pro édé.

On parle ainsi de tomographie d'émission monophotonique lorsque le tra eur utilisé

émet des photons Gamma et de tomographie par émission de positons lorsque les

imagessont obtenues par inje tion dans l'organismed'une molé uleradioa tive

mar-quée par des isotopesdu arbone, du uorou de l'oxygène (émetteurs de positons).

Cette te hnique d'imagerie onstitue un examen d'imagerie médi ale qui permet

de visualiserlesa tivités dumétabolismeetde mesurer les hangements fon tionnels

de l'organeétudié,pluspré isémentdes tissus, hez leshumains.Elledièredes

te h-nologies onventionnelles aux rayons-X et par résonan e magnétique qui se limitent

auximagesdel'anatomie.Les hangementsphysiologiquespré èdentles hangements

anatomiqueset,par onséquent,l'imageriefon tionnellepermetdedé eleràunephase

plus pré o e les dommages métaboliques et ainsi à aider à ontrer leur progression.

Ellefournit ainsi une imagequantitative du fon tionnement de l'organe étudié.

La abilité de la quanti ation des images obtenues est ae tée à la fois par les

limites des performan es des déte teurs (résolution spatialeeten énergie,sensibilité,

et .), par leseets physiques tels que l'atténuation etla diusion, qui perturbent la

formation des images, par des eets physiologiques (mouvements du patient) et par

des eets liésà lare onstru tion tomographique.

La tomographie à émission de positon

Unetomographiepar émissiondepositonsestunexamend'imageriemédi alepar

s intigraphieréalisé dans lesservi es de méde ine nu léaired'un hpital.

La s intigraphie en TEP est obtenue par inje tion d'un tra eurfaiblement

radio-a tif par voie intraveineuse. Ce tra eur est le plus souvent le uor (18F) in orporé

dans unemolé ulede glu oseformantle

18

F-urodéoxyglu ose(en abrégé

18

F-FDG).

Cetra eurestsemblableauglu ose:ilsexeauniveaudestissusqui onsommentde

grandesquantités de e su re ommelestissus an éreux, lemus le ardiaque ou

à une améra spé iale, une améra TEP. Le uor 18 ainsi que les autres isotopes

pouvant être utilisés (oxygène (15O), azote (13N), arbone (11C)) ont une ourte

demi-vie, jusqu'à110 minutes pour leuor. Ces isotopesde ourtedurée né essitent

pour leur produ tion un y lotron.

Une améraTEP estunappareilquial'aspe td'uns anner ,maissonprin ipe

de fon tionnementest diérent.Eneet, l'atomeradioa tif(parexemple,leuor 18)

se désintègre en émettant un positon. Celui- i va s'annihiler ave un éle tron du

milieuaprès un très ourt par ours (en généralinférieurà 1mm). Cetteannihilation

produit deux photons Gamma de 511 keV qui partent en dire tion opposée, e qui

rend possible le traitement tomographique des données. En eet, les apteurs situés

tout autour du patient déte tent les photons d'annihilation en oïn iden e

( 'est-à-dire eux quiarrivent enmêmetemps), e quipermetd'identierlalignesur laquelle

setrouvel'émissiondesphotons.Unsystèmeinformatiquere onstitueensuiteàl'aide

d'un algorithme de re onstru tion les images de la répartition du tra eur au niveau

d'une partie ou de la totalité du orps sous la forme d'une image 2D ou d'un objet

3D. Les images ainsi obtenues (gure 1.3) sont dites  d'émission (la radioa tivité

provientdutra eurinje téaupatient).Ilestpossibled'améliorerlaqualitédesimages

en utilisantle prin ipe de orre tion d'atténuation. Lors de latraversée du orps,de

nombreux photons Gamma subissent une atténuation liée aux stru tures traversées

(faible dans l'air des poumons, forte dans les stru tures plus solides omme les os

et mus les). Pour ee tuer ette orre tion, on réalise des images de transmission

obtenues grâ e àune sour e radioa tive qui tournerapidementautour du patient.

Fig.1.3. TEP

fon tion-des améras TEP sont fréquemment ouplées à un tomodensitomètre à rayons X

(système TEP/TDM ou PET/CT en anglais), e qui permet de superposer l'image

fon tionnelle (imageTEP) àsa lo alisationanatomique pré ise dans le orps (image

CT).Dans e asla orre tiond'atténuations'obtientpar letomodensitomètre

beau- oupplusrapidementetest meilleurequ'ave lesimagesde transmissionave sour es

radioa tives.

1.3 La Tomographie d'Émission Monophotonique

La tomographie d'émission monophotonique est un pro édé d'imagerie

fon tion-nelle et morphologique utilisé en méde ine nu léaire dans un but diagnostique ou

thérapeutique. Elle onsiste à déterminer, et le plus souvent à visualiser sous forme

d'images, la lo alisationtridimensionnelle et la on entration dans l'organisme d'un

radiotra eur,substan e radioa tiveémettri e de photons Gammaadministrée au

pa-tient, en déte tant les photons Gamma émis au moyen d'une Gamma- améra. Les

images a quises onduisent, après re onstru tion tomographique, à l'estimation

tri-dimensionnellede la on entration du radiotra eur dans les oupes re onstruites. La

mesure pré ise de la radioa tivité ontenue dans les images re onstruites, nommée

quanti ation, est ae tée par de nombreux phénomènes lors de la formation des

images quialtèrentles informationsextraites de es images.

Cettese tionrappellelesprin ipesphysiquesdelatomographied'émission

mono-photonique relatifsau radiotra eur,audispositif de déte tion et auxdiérentstypes

d'a quisition réalisés. Nous présentons aussi les phénomènes ae tant la

quanti a-tion des images eten parti ulier lesphénomènes physiques etleurs onséquen essur

laabilité des images.

1.3.1 Les radiotra eurs

En1923, GeorgVonHevesy futlepremierà employerlaméthode des indi ateurs

radioa tifs. Il montra qu'ilest possible, grâ e aux isotopes radioa tifs,de suivre àla

tra e une espè e himique, une parti ule, sans perturber le omportement physique,

hydrodynamique oubien himique de l'objet que l'on suit.

Les radiotra eurssont des molé ules marquées par un isotoperadioa tif, hoisies

pour mettreen éviden e ertainspro essusphysiologiquesoupathologiques.Le hoix

du radiotra eurdépend de sa apa ité àsuivre un métabolismeouàfournir un

diag-nosti sur le fon tionnement d'un organe donné. Le tra eur peut être un atome seul

(iode 123), une molé ulemarquée (diphosphonate marqué au te hnétium 99m), une

hormone marquée ou en ore un anti orps marqué par un isotope. Cet isotope doit

pro-déta he pas,auquel as onsuivrait lepar ours de l'élémentradioa tifetnon eluide

lamolé ule ible.L'a èsin vivoauxinformationssurledevenirduradiotra eurdans

l'organisme tellesque sadistributiondans lestissus (distributionbiologique,xation

préférentielle sur ertaines ellules ...) etson évolution en fon tion du temps

(méta-bolisme,éliminationetdégradation...)permettentl'étude,d'unefaçonnoninvasive,

de ertainspro essuspathologiques (miseen éviden e de métastases),physiologiques

et bio himiques(e.g., mesuredu débit sanguinet du métabolisme du glu ose).

L'isotope radioa tifest égalementséle tionné selon les ara téristiquesphysiques

suivantes :

•

la nature de son rayonnement : les radio-isotopes émetteurs Gamma sont

pri-vilégiés ar ils se prêtent bien à une déte tion externe et minimisent la dose

d'irradiationsubie par le patient;

•

lademi-viephysique del'isotope( 'est-à-direletempsauboutduquel sa

popu-lation est réduite de moitié par désintégrations spontanées) doit être

susam-ment longue pour permettre de suivre le pro essus physiologique onsidéré et

susamment ourte pour éviter une irradiationinutile;

•

l'énergiedesphotonsGammaémisdoitêtresusammentélevéepourpermettre

à eux- i de s'é happer de l'organisme et susamment faible pour permettre

une déte tion e a e par ledéte teur.

En TEMP, l'isotope le plus adapté, ar présentant de bonnes propriétés pour

l'ima-gerie, est leTe hnétium 99métastablenoté

99

m T . Le

99

m

T aune durée de demi-vie

de 6 heures et il est émetteur de rayonnements Gamma (98%) ayant une énergie de

140 keV, sa ourtedemi-viephysiqueetl'absen e deraies d'émissionse ondaires

per-mettent de minimiser la dose délivrée au patient. La produ tion du

99

m

T à partir

du

99

Mo est possible à partir d'un générateur portable, d'où la simpli ité de

l'a - ès en routine linique et le faible oût. Il est utilisé dans environ 90% des examens

en TEMP : par exemple, pour les examens osseux pour la déte tion de métastases,

pour les s intigraphies ventri ulaires an de ara tériser la fon tion ardiaque

(vo-lume d'éje tion, fra tion d'éje tion, et .) en marquant des globulesrouges au

99

m T ,

pour diagnostiquer la présen e de tissus non irrigués dans le myo arde en marquant

des ellulesdumus le ardiaque,pourlerepérageduganglionsentinelleenparti ulier

dans le traitement hirurgi aldu an erdu sein.

Le radio-isotope est souvent administré par voie intraveineuse, parfois par

inha-lation pour étudier la ventilation pulmonaire. Il peut être administré par voie orale

(spé ialementpour l'étudede lavidange gastriqueetdes reux gastro-oesophagiens)

ou bien par voie intrathé ale (spé ialement pour l'étude de la ir ulation du liquide

éphalo-ra hidien).

Après administration au patient du radiotra eur, elui- i se répartit dans le(s)

spé i-tivitédans l'organisme. Ce dispositif est dé rit dans leparagraphe suivant.

1.3.2 Le dispositif de déte tion

En1957, laGamma- améraou amérad'Anger aété développée par le physi ien

Hal Anger qui remplaça alors less intigraphes à balayage utilisésen 1950.

Le rle de la Gamma- améra est de déte ter et de omptabiliser les photons

Gamma émis par le radiotra eur dans l'organisme, de re ueillir et de sto ker des

informations relatives à es photons (position, énergie) et enn de déterminer la

lo- alisationdes sour es d'émission de es photons et d'en fournir une représentation.

Une Gamma- améra (gure 1.4) se ompose d'une ou de plusieurs têtes de

dé-te tion, d'un ir uit analogiquefournissant lalo alisationdes photons Gamma dans

le ristalet réalisantla spe trométrie,ainsi que de pro esseurs assurant l'a quisition

des données, leur sto kage et leur traitement : orre tions en ligne, re onstru tion,

manipulationet a hage des images.

Fig. 1.4. Diérents éléments omposant une têtede déte tion deGamma- améra.

Le ollimateur

habituel-suivantun systèmed'axesdéterminé.L'utilisationd'un ollimateurpermetde

privilé-gier unedire tionqui orrespond àlaproje tion de ladistributionde laradioa tivité

sur le ristal déte teur, laplus ouranteétant laperpendi ulaire au ristal.Les

pho-tons

γ

dontlepar oursn'empruntepas esdire tionssontabsorbésparle ollimateur

avantd'atteindre le ristal.La loison séparantdeux trous voisins est appelée 

sep-tum . L'épaisseur de plomb est al ulée pour entraîner une atténuation d'au moins

95% de l'énergie des photons traversantles septas.

Lepremierprototypede ollimationpour la amérad'Angerétait de géométrie

pinhole(sténopé). Le ollimateurpinhole est employé liniquementpour

l'ima-gerie des petites surfa es omme la thyroïde où un agrandissement important peut

êtreréalisé.Pourdesorganesdedimensionslarges,le ollimateuràtrousparallèlesest

plussouventutilisé.D'autresgéométriessontégalementdisponiblespourdes

appli a-tionsspé iques,àtitred'exemple,les ollimateurs onvergents,divergentsouen ore

en éventail Fanbeam .La gure 1.5montre quelques exemples de géométries.

Fig. 1.5. Diérents types de ollimation pour la Gamma améra : (a) ollimateur à trous

parallèles. (b) ollimateur à trous onvergents. ( ) ollimateur à trous divergents. (d)

olli-mateur pinhole(sténopé).

Le ollimateur de lagamma améra est l'élément ru ialqui détermine lasensibilité,

las- onventionalparallel holes ollimator)ont a tuellementplusieurslimitations.

Spé i-quement,leursensibilitéestextrêmementfaible:pour

10

4

photonsémisparlepatient

seulement un photon passera par un trou du ollimateur et arrivera au ristal de la

améra.

Le système CACAO (Caméra A Collimation Assistée par Ordinateur) est une

gamma améra ave une ollimationà grandtrous (gure 1.6). Il aété introduit par

Christian Jeanguillaume [15℄ [16℄ pour améliorer la qualité des images des systèmes

SPECT.Ce systèmeest ara térisé pardes trous ave uneouverture plusgrandeque

la résolution intrinsèque du déte teur. Cela permet d'obtenir une sensibilité

géomé-trique bien meilleure par rapport aux autres systèmes s intigraphiques. Une valeur

de l'ordrede

10

2

esttout àfaita essible, 'est-à-dire,pour

10

4

photons ondéte tera

100 photons ave le système CACAO ontre 1 seul pour les systèmes lassiques de

typeAnger équipéd'un ollimateur à trous ns.

Fig. 1.6. S héma illustrant la diéren e entre le ollimateur lassique et le ollimateur

CACAO.

Le s intillateur

Le rle du ristal s intillant est d'absorber les photons in idents et de onvertir

l'énergie qu'ils déposent en s intillation lumineuse. Le ristal s intillant doit avoir

un pouvoir d'absorption élevé pour les photons; 'est pour ela qu'on hoisit des

ristaux denses et ayant un numéro atomique élevé. On utilise souvent l'iodure de

sodium dopé au thallium NaI(Tl) qui a une densité susante (3,7 g/ m

3

) et un

numéro atomique assez élevé (iode, Z = 73) pour pouvoir absorber la majorité des

photons ayantune énergie ompriseentre 70keV et200 keV en quelques millimètres,

in idents en énergie lumineuse. Lorsqu'un photon interagit dans le ristal de NaI

(Tl) viaun eetphotoéle triqueou un eetCompton, il lui ède son énergiedans le

premier as ouune partiede elle idanslese ond as;le ristalàson tourémet des

photons lumineux(photonsde s intillation)ayantune longueurd'onded'environ415

nm (lumière bleu-verte dans lespe tre visible) bien adaptée à un traitementpar des

tubesphotomultipli ateurs.

Les intillateurNaI(Tl)présenteaussiunbonrendementlumineux:13%de

l'éner-giedéposéeestréémisesousformedephotonsdeuores en ed'énergie3eV(430nm).

Ilest transparentàsaproprelumièrede s intillation, e quin'engendrepas de pertes

de lumière de s intillationliées à l'auto-absorption.Sa onstante de temps de 230 ns

luipermetd'enregistrerplusieurs dizainesde milliersde oupspar se ondeautorisant

ainsi un taux de omptage élevé. Son prin ipalin onvénientest son ara tère

hygro-s opique (sensible à l'humidité) : il requiert don une isolation hermétique. An de

protéger le ristalde lalumière etde l'humiditéetde minimiserlapertedes photons

de s intillation,onenveloppe souvent le ristalave une ou he de rée teur(Al

2

O

3

,

MgO,époxy,...).Le hoixdel'épaisseurdu ristalestun ompromisentrel'e a ité

de déte tion (plus le ristal est épais, plus la déte tion est e a e), et la résolution

spatialequi se dégrade quand le ristal devient plus épais.

Les photomultipli ateurs

Un photomultipli ateur onsiste en un tube transparent ave une ou he

photo-émissive (appeléphoto athode) et une série d'éle trodes dénommées dynodes. Dans

unephoto athode, lesphotonsde s intillationlibèrentleséle trons quisonta élérés

par une diéren e de tension vers la première dynode ren ontrée. L'énergie a quise

par les éle trons est susante pour libérer des éle trons additionnels lors du ho

ave la dynode; es éle trons sont a élérés vers la dynode suivante et le pro essus

est répété jusqu'àladernière dynode. Ainsi,l'amplitudedes impulsionsdépendde la

tensionappliquéeaudynodes,de leur nombreetdu nombreinitiald'éle trons libérés

par la photo athode. Une ampli ation d'un fa teur

10

10

est ouramment utilisée,

ellepermet de déte ter des photons de faibleénergie (60KeV).

L'éle tronique

L'impulsionéle troniqueproduiteparlesphotomultipli ateursdoitêtreassez

puis-santepour permettre latransmissionsur le âble oaxial desinformationsauxautres

elluleséle troniques.Ledispositiféle troniquese ompose despréampli ateurs,des

ampli ateursetanalyseurd'amplitude.Lesignalde sortieduPMseradon amplié

et ajusté. Une analyse numérique permet d'obtenir un spe tre (nombre de photons

déte tés en fon tionde leur énergie) ara téristiquedu rayonnement déte té.Les

en impulsions par se onde (ips) ou en oups/se onde ( ps). À partir du omptage

des photons déte tés dansune fenêtred'énergie hoisie, ilest possiblede visualiserla

répartition des sour es émettri es de rayons

γ

.

1.4 Types d'a quisition

1.4.1 Le mode statique planaire

En mode statique,les informationstemporelles relativesaux photons déte tés ne

sont pas exploitées.On exploiteuniquement lesinformationsspatiales.

Pendant une a quisition en mode statique planaire, la Gamma- améra reste

im-mobile etles proje tions a quises fournissent une informationbidimensionnelle de la

distribution tridimensionnelle du radiotra eur dans l'organe. Cette information

bi-dimensionnelle permet essentiellement une étude qualitative du fon tionnement de

l'organe étudié, peu quantitative vu qu'on n'a pas d'informations sur la profondeur

des lieuxd'émission.Pour en tenir ompte, une orre tion de l'atténuationest

né es-saire.

Pour une a quisition statique planaire optimisée, il est important de hoisir une

fenêtre spe trométrique adaptée à l'énergie d'émission du photon et un ollimateur

dont le hamp de vue ouvre l'organeétudié etayant une sensibilitéassez élevée. Le

temps d'attente après l'inje tion est aussi un élément important dans la mesure où

il est parfois souhaitable d'attendre l'élimination du radiotra eur de ertains tissus

pour visualiser de façonplus spé ique les organes ibles.

1.4.2 Le mode tomographique

Contrairementàlas intigraphieplanaire,laTomographied'Émission

Monophoto-niqueestunete hnique oùlaGamma- améradé rituneorbite ir ulaireouelliptique

autourdu patientetfournitdes proje tionsbidimensionnelles sousdes in iden es

va-riées. Lamiseen oeuvre de laTEMP fournit,par rapportàlas intigraphieplanaire,

une amélioration de ontraste entre les zones des diérentes fon tions organiques,

une meilleure lo alisationspatiale, une déte tion améliorée des fon tions anormales

et surtoutune amélioration de la quanti ation.

Dans le as de la tomographie dite  transaxiale , les oupes re onstruites sont

perpendi ulaires à la fa e de déte tion de la Gamma- améra. La Gamma- améra

fournit un ensemble d'images 2D, ou proje tions, onsistant en de multiples prols,

haque prolreprésentant uneproje tion1D delaradioa tivitédans uneseule oupe

du patient (gure 1.7a). Ainsi, l'objet 3D est divisé en de multiples se tions 2D et

haquese tionestreprésentéeparunensembledeprols1Ddis rets.Chaquepointdu

ollimateur.Siunnombreimportantdedonnéeslinéairesetangulairessonta quises,il

estalorspossibledere onstruiredesimagesde oupesquireprésententladistribution

du radiopharma eutique dans l'organisme.

Typiquement, une a quisitiontomographique omporte 128 proje tions, ha une

d'entreelles omprenant

128 × 128

pixelseta quisepour 64(ou 128)valeursd'angles

dis rètes balayant un angle de

360

◦

autour du patient. En utilisant des algorithmes

de re onstru tion (les diérents algorithmes disponibles seront présentés au hapitre

2), il est possible d'obtenir des images de se tion transaxiale, sagittale, et oronale

(gure 1.7b).

profil

gamma-caméra

section

transaxiale

(a)

G

D

I

S

A

R

G

P

I

A

P

S

coupe

transaxiale

coupe

coronale

coupe

sagittale

su

p

érieure

(S)

postérieure

(P)

antérieure (A)

gauche (G)

droite (D)

inférieure (I)

(b)

Fig. 1.7. Modetomographique :(a) Prolobtenu à l'aided'unegamma- améra, (b)

orien-tations des oupes re onstruites.

1.4.3 Rangement des données : le sinogramme

Tous leséléments de proje tion d'une oupe de l'objetsont rangés dans une

ma-tri e appelée sinogramme.Chaque ligne de lamatri ereprésentelaproje tion

mono-dimensionnelle de la oupe pour un ertain angle

ϕ

. La matri e a autant de lignes

quelenombre d'anglesde mesureetautant de olonnes quelenombre d'é hantillons

spatiaux (déte teurs) de mesurepour un angle

ϕ

donné.

Un point du sinogramme orrespond à l'intensité mesurée dans l'angle

ϕ

et au

déte teur dans la position

s

(gure 1.8) . Si on néglige l'atténuation, l'intensité du

Les détails de la modélisation mathématique de l'a quisition du sinogramme en

TEMP seront exposés au hapitre 2; on y traitera un premier modèle simplié en

négligantl'atténuation,puis lemodèleréaliste en tenant omptede la présen e

d'at-ténuation.

-1

-0.5

0

0.5

1

0

20

40

60

80

80

100

100

120

140

160

PSfrag repla ements

ϕ

s

Fig. 1.8. Sinogramme :180 prises d'angleet 128 déte teurs.

1.5 Les limites de l'imagerie TEMP

Denombreux fa teursae tent lapré isionqualitativeetquantitativedes images

obtenues en TEMP (Rosenthal etal.[41℄),parmilesquels lesfa teursphysiologiques

relatifs au patient (émission et inétique du radiotra eur, mouvement du patient),

les fa teurs te hnologiques (performan es du système de déte tion) et les fa teurs

physiques (atténuation, diusion,bruit de mesure).

1.5.1 Fa teurs physiologiques

Un ertain nombre de fa teurs physiologiques ontribue à réduire le nombre de

photonsdéte téspendantunea quisitionetdefaitlimitelaquanti ationdesimages:

ils'agitde fa teursasso iésaux ara téristiquesdu radiopharma eutique(spé i ité,

bio inétique,dose administrée)etde fa teurs relatifsaupatient.

Les radiotra eurs a tuellement utilisés onduisent à une xation plus ou moins

Les problèmes des mouvements sont d'une part eux liés aux mouvements

invo-lontaires du patient pendant la longue durée des a quisitions (en moyenne 30 min),

d'autre part eux liés aux mouvements physiologiques tels que les battements

ar-diaquesetlarespiration.Ces mouvementsintroduisentdes ous inétiquesàl'origine

d'artefa ts dans les imagesre onstruites. Par exemple,en TEMP ardiaque, le

mou-vement respiratoire peut diminuer les rapports de xation mesurés entre la paroi

antérieure et la paroi latérale de 25% par rapportaux valeurs qui seraient mesurées

en l'absen e de mouvement respiratoire (Cooperet al.[7℄).

Letempsd'a quisition onstitueaussiunparamètreimportant:ilestsouventxé

de façon àpermettre d'a quérirsusammentd'é hantillons statistiquespourobtenir

des images de bonne qualité eten tenant omptede latoléran e du patient pendant

l'examen.Eneet, lesmouvements,qu'ilssoientdenaturephysiologique(battements

ardiaques, respiration, ...) oufortuite (mouvements du patient pendant l'examen)

o asionnent un ou inétique dans les images et peuvent réer des artefa ts non

négligeables pouvant ensuite gêner l'interprétation des images. Enn, la taille du

patient ae te la fra tion de photons atténués et la fra tion de photons diusés, e

qui ontribue à diminuerle nombre de photons réellementdéte tés.

1.5.2 Fa teurs te hnologiques

Les fa teurs te hnologiques sont liés dire tement à l'appareillageet à ses limites.

Parmi es fa teurs te hnologiques, que nous rappelons brièvement i i, ertains sont

orrigésen lignedurantl'a quisitionpar lepro esseur, mais d'autres, dont la

résolu-tionspatiale,ontdes onséquen es trèsimportantessurlesproje tionsa quises etles

oupesre onstruites: es onséquen essont présentées i-après,ainsi quel'eet de 

volumepartiel  quiest liéà es fa teurs te hnologiques.

Réponse du ollimateur

La variation de la fon tion de dispersion pon tuelle en fon tion de la distan e

sour e / déte teur a des onséquen es importantes en tomographie : par exemple,

une sour e pon tuelle dé entrée va se projeter sur le déte teur ave une résolution

diérentesuivant la position angulaire de elui- i. Le point se trouvant au entre va

se projeter ave la même résolution spatialedans toutesles dire tions de proje tion.

Qualitativement, la variation de la fon tion de dispersion pon tuelle induit un ou

ainsi que des distorsions géométriques dans les imagesre onstruites.

Dans e asetanderéduirelesdistorsionsgéométriques,ilest onseillédepla er

Eet de volume partiel

L'eet de volume partiel provient de la résolution spatialedu dispositif de

déte -tion.Lafon tionderéponsedela améra,modéliséegénéralementparunegaussienne,

dégrade le signal de telle sorte que le signal déte té présente une plus faible

ampli-tudequelesignaloriginal.Cettedégradationfaitqu'une partiedel'a tivitédans une

stru ture est déte tée à l'extérieur de ette stru ture et qu'une partie de l'a tivité

extérieure à ette stru ture est déte tée dans la stru ture. Ce i se traduit par une

sous-estimationde la radioa tivité dansles petits volumes,d'autant plus grandeque

les volumes deviennent petits. Cet eet est présent jusqu'à e que la taille de

l'ob-jet soit approximativement le triple de la résolution spatiale de la améra. An de

montrer la nature qualitative de et eet, prenons l'exemple d'un objet

unidimen-sionnel re tangulaire de 2 m de longueur et dégradons l'objet à l'aide de fon tions

gaussiennesde largeuràmi-hauteurvariables(gure1.9).L'eet globaldesfon tions

gaussiennes est d'étaler l'objet. De fait, il y aura ontamination des a tivités entre

régions voisines. Pour une stru ture de petite taille, la on entration de radiotra eur

quiluiestasso iée vaêtrenoyée parlaxationalentouretlastru turene pourrapas

être déte tée. Lesbiais observés dépendentdon de lataillede lastru ture d'intérêt,

du ontrasteentre l'a tivitédanslastru tureetl'a tivitédanslestissusenvironnants

et de l'algorithmede re onstru tion.

1

0

-1

1

-2

2

0,8

0,6

0,4

0,2

5 mm

1 cm

2 cm

Fig. 1.9. Illustration de l'eet de volume partiel.

1.5.3 Fa teurs physiques

l'image re onstruite en termes de ontraste et de résolution. Trois fa teurs ae tent

enfaitlaquanti ationdelaradioa tivitéabsolue,defaçonplusoumoinsimportante

selon leradiotra eur utilisé etla morphologiedu patient :

•

l'atténuation des photons par les tissus traversés;

•

ladiusion des photons dans lepatientet ledéte teur;

•

le bruit de mesure résultant de la nature statistique de l'émission des photons

etle bruitae tant lesignal déte té.

Le fa teur physique le plus pénalisant est l'atténuation; pour ela, on exposera sa

des ription etses onséquen es dans lasous-se tion 1.5.4.

La diusion

Tout au long de sa traje toire dans la matière,un photon peut subir une ou

plu-sieursdiusionsComptonouRayleigh.Lesphotonsdiusésayant hangédedire tion

onduisentàune informationerronée sur leur position d'émission.Lesphotons

diu-sésintroduisentdeserreursdelo alisationdel'a tivitéprésentedansl'organisme.Par

exemple, en déte tant des photons diusés, ondéte te de l'a tivité dans des régions

oùil n'y apas de radiotra eur.

⋆

La diusion Rayleigh. Dans la diusion Rayleigh, appelée aussi diusion

o-hérente, le photon in ident n'interagit pas ave un seul éle tron mais ave tous les

éle trons de l'atome. L'énergie de ho du photon se trouve ainsi absorbée par la

totalité de l'atome. Les éle trons de e dernier se mettent à os iller en phase avant

d'émettre un photon de même énergie quele photonin ident. Le photoninitial

in i-dentse trouve don nalement dévié de satraje toire touten onservantson énergie

prin ipale. La probabilité d'une diusion Rayleigh est élevée pour les photons de

faible énergie et pour les matériaux de numéro atomique élevé. L'angle de diusion

est d'autantplus faiblequel'énergiedu photonestélevée, d'oùl'importan ede l'eet

Rayleighpour lesfaiblesénergies.

⋆

L'eet photoéle trique.Un photon d'énergie

E = hν

est omplètement absorbé

par un atome : le photon ède son énergie à un éle tron lié àl'atome, appelé

photo-éle tron, qui est éje té ave une énergie inétique

E

in

= hν − E

l

, où

E

l

est l'énergie

de liaison de l'éle tron sur sa ou he éle tronique d'origine(gure1.10).

Àlasuitedel'eetphotoéle trique,ilseproduitquasiinstantanémentun

réarran-gementdu ortègeéle troniquedel'atome,ave émissionderayonsX ara téristiques

oud'éle trons Auger qui emportent l'énergied'ex itation.

L'eet photoéle trique on erne en priorité les éle trons les plus liés, mais il ne

peutseproduireave leséle tronsd'une ou he

i

quesi

hν > E

l

,i

,où

E

l

,i

,est l'énergie

une dire tion préférentielle qui dépend de l'énergie

hν

du photon in ident. Pour les

photons de basse énergie,la distribution est pratiquement symétrique par rapportà

θ = 90

◦

,où

θ

estl'angleentreladire tionduphotonin identet elledel'éle tronémis.

Lorsque

hν

roît,

θ

tendverszéro.Lase tione a ephotoéle triqueparatome

σ

Photo

roîtrapidementave lenuméroatomique

Z

ets'exprimeest approximativementen :

σ

Photo

=

Z

5

E

3.5

.

D'aprèsl'équationpré édente,onpeutnoterquel'eetphotoéle triqueestfavorisé

pour les milieux de numéro atomique élevé alors qu'il est une fon tion dé roissante

de l'énergie.

3

- électron

Auger

photo-électron

2 -

comblement de

l ’orbitale

ou

photon de

fluorescence

1 - expulsion

d ’un électron

photon gamma

incident

Fig. 1.10. L'eet photoéle trique.

⋆

La diusion Compton. Une diusion Compton se produit lorsqu'un photon (X ou

Gamma)interagitave unéle tron quel'onpeut onsidérer ommelibreetaurepos:

et éle tron est lié àun atome, mais ave une énergienégligeable devantl'énergie du

photon(gure1.11).Aprèsla ollision,lephotondiuséfaitl'angle

θ

ave ladire tion

du photon in ident, l'éle tron re ulantselon l'angle

ϕ

ave ette dire tion.

photon gamma

incident

photon gamma

diffusé

électron de

recul

Les lois de onservation de l'énergieet de l'impulsiondu système permettent de

dé-duirelarelationentrel'énergieduphotondiuséet elleduphotonin ident.L'énergie

de liaison de l'éle tron est onsidérée ommenégligeable puisque l'eet Compton ne

on erne pratiquement que les éle trons appartenant aux ou hes périphériques de

l'atome.L'énergie du photon diusé h

ν

′

est alors exprimée par :

h

ν

′

=

h

ν

1 + α(1 − cos θ)

où h

ν

est l'énergie du photon in ident,

α =

h

ν(

MeV

)

m

0

c

2

ave

m

0

c

2

l'énergie de masse

de l'éle tron et

θ

l'angle de diusion du photon.

En 1929, Klein et Nishina ont formulé la relation exprimant la probabilité

σ

e

(se tione a e) par éle tron qu'un photond'énergie h

ν

0

soitdiusé ave un angle

θ

par unité d'angle solide

Ω

:

d

σ

e

d

Ω

= r

2

₀



1

1 + α(1 − cos θ)



2

 1 + cos

2

_θ

2

 

1 +

α

2

(1 − cos θ)

2

(1 + cos

2

_{θ) [1 + α(1 − cos θ)]}



où

r

0

= 2, 818

fm est le rayon standard de l'éle tron.

Lase tione a e paréle tron estobtenue en faisantl'intégraledel'équation

pré- édentesurtouslesangles.Onutilisesouventl'expressiondese tione a eCompton

paratome:

σ

Compton

= Z × σ

e

,proportionnelleà

Z/E

.L'eet Comptonest don peu

sensible aumilieu.

Le bruit de mesure

Lebruit orrespond àune u tuationstatistiquesesuperposantausignalet

pou-vant provenir du déte teur (bruit d'émission, bruit de omptage) ou de la

re ons-tru tion. L'émission des photons, la réation des photoéle trons, la onversion en

éle trons, sont des phénomènessto hastiques,et suivent des loisde Poisson. La

pré-sen ed'un bruitde naturepoissonnienneintroduitdes erreursetinuen e lerapport

signal-sur-bruit. Idéalement, il est né essaire de prendre en ompte e bruit lors de

la re onstru tion tomographique, et lorsde l'interprétation des mesures ee tuées à

partir des images.

1.5.4 L'atténuation

Des ription du phénomène physique