M2 Recherche Finance de Marché
Examen - Théorie et évaluation des options
Pierre-Alain Patard 30/04/2014
Exercice 1 –Asiatique ‡oorée (2 points)
On considère deux payo¤s asiatique 1et 2 de même strikeK:
i= max Sn(i) K;0 :
La di¤érence entre les deux produits réside dans la formule utilisée pour la moyenne Sn(i). Dans le premier cas, il s’agit d’une moyenne arithmétique classique. Dans le second cas, la moyenne est un peu plus élaborée, car toute observation inférieure au strikeK est remplacée parK. En termes mathématiques :
Sn(1)= S1+S2+ +Sn
n ; Sn(2) =max(S1; K) + max(S2; K) + max(Sn; K)
n :
Expliquez en donnant des arguments précis et concis quel payo¤ doit avoir le prix le plus élevé.
Exercice 2 –Couverture statique (4 points)
L’objectif est de démontrer que toute fonctionhdeux fois dérivable surR+ admet la décomposition suivante : h(S) =h(S ) + (S S )h0(S ) +
Z S 0
(K S)+h00(K)dK+ Z +1
S
(S K)+h00(K)dK; (0.1) oùS etS sont deux réels positifs quelconques ;h0 et h00 sont les dérivées première et seconde deh. Cette formule intervient notamment dans la couverture statique des variance swaps.
1. En partant de l’identitéh(S) h(S ) =RS
S h0(K)dK, montrer que : h(S) h(S ) = (S S )h0(S ) +
Z S S
(S K)h00(K)dK: (0.2)
Indication : on pourra faire une intégration par partie faisant intervenir la fonctionu(K) =S Kainsi queh0(K).
2. Montrer que : Z S
S
(S K)h00(K)dK = Z S
S
(S K)+h00(K)dK+ Z S
S
(K S)+h00(K)dK: (0.3) Indication : on pourra utiliser la relation entre le payo¤ d’un call et celui d’un put de mêmes caractéristiques.
3. En exploitant les propriétés du payo¤ d’un call et d’un put montrer que l’on peut "étendre" les bornes d’intégration dans les deux intégrales entreS etS :
Z S S
(S K)+h00(K)dK =
Z +1 S
(S K)+h00(K)dK; (0.4)
Z S S
(K S)+h00(K)dK = Z S
0
(K S)+h00(K)dK: (0.5)
4. Montrer la formule (0.1). En déduire le portefeuille de couverture du log-contrat de payo¤h(S) = ln (S).
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Exercice 3 –Option Asiatique Géométrique (6 points)
On se place dans le cadre d’analyse de Black-Scholes-Merton avec des paramètres constants et un sous-jacent qui ne détache pas de dividende. La dynamique dans l’univers risque-neutre est donnée par :
St=S0exp r
2
2 t+ Wt ; t 0; (0.6)
(Wt)t 0est un mouvement Brownien standard sous la mesure risque-neutre. En cours nous avons déterminé le prix d’un call Européen de type asiatique géométrique en calculant explicitement l’espérance suivante :
C=e rT E[ n] où n= max Sn K;0 : (0.7)
T et K désignent respectivement la date d’expiration et le prix d’exercice de l’option,Sn = (Qn
k=1Sk)1=n est la moyenne géométrique des cours du sous-jacent aux datest1 = ; t2 = 2 ; : : : ; tn=n =T. L’objectif de l’exercice est d’aborder une résolution "plus intelligente" qui consiste à se ramener à l’évaluation d’un call vanille traditionnel sur un sous-jacent "virtuel" pour ensuite obtenirC en appliquant simplement la formule de BSM73 sans e¤ectuer aucun calcul supplémentaire.
1. Montrer queST s’écrit :
Sn=S0exp Xn avec Xn= 1 n
Xn
k=1
Xk; (0.8)
où l’on a poséXk = ln (Sk=S0). Expliquer pourquoiXn suit une loi normale.
2. Pour toutk 1montrer que :
Xk Xk 1=a+bGk; (0.9)
avecG1; : : : ; Gn des variables aléatoires iidde loiN(0;1) et les constantesaet bdonnées par : a= r
2
2 ; b= p
: (0.10)
3. En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que : Xn= n+ 1
2 a+ b n
Xn
k=1
(n+ 1 k)Gk: (0.11)
4. En utilisant la formule précédente, montrer que : E Xn =n+ 1
2 a; V ar Xn =(2n+ 1) (n+ 1)
6n b2: (0.12)
Indication : pour la seconde formule, on rappelle que Pn
i=1i2=n(n+1)(2n+1)
6 .
5. Déduire de ce qui précède qu’il existeqn et n >0 tels queSn s’écrive sous la forme : Sn=S0exp r qn
2n
2 T + np
T G ; (0.13)
oùGsuit une loiN(0;1). On déterminera explicitement n et on montrera simplement comment obtenirqn. 6. Expliquer pourquoi il est à présent très facile d’obtenir une formule explicite pour le prix de notre option géométrique.
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