TD 11 : Estimation - Corrigé

TD 11 : Estimation - Corrigé

Exercice 1 : D’après ESC 2006

5.

Exercice 2 : D’après EML 2012 Soit ∈ ℝ^∗.

=

+ 12 + 1 =

21 + 11 + 1 2

~ 2

sinon

Exercice 3 : D’après ESC 2009

, après dérivation : =

Conclusion : = + = 1 + et = = 1

4)

Exercice 4 : D’après ESC 2008 Partie A

Partie B 1.

2.

× ×

Exercice 5 : D’après EDHEC 2014 3.

Exercice 6 :

1. On sait que, si suit une loi de Poisson de paramètre 3, alors :

! ≤ 10 = $3^&

'! )^*

+,

&-,

2. Pour simuler cette somme, on va simuler un grand nombre de lois de Poisson de paramètre 3 et déterminer la proportion de valeurs inférieures ou égales à 10.

find(grand(1,n,’poi’,3)<=10) renvoie un vecteur dont les valeurs sont inférieurs ou égales à 10 length(find(grand(1,n,’poi’,3)<=10)) renvoie le nombre d’éléments du vecteur dont les valeurs sont inférieurs ou égales à 10

Enfin length(find(grand(1,n,’poi’,3)<=10))/n renvoie la proportion des éléments précédents.

Pour n=10000, Scilab renvoie : ans =

0.9998

Pour n=100000, Scilab renvoie : ans =

0.99971

Exercice 7 : 1 $ 10'

√1 + '^/

+,

&-,

= $ 2^+,

√1 + '^/

+,

&-,

× 10' 01 21

&

01 21

+,*&

Grâce au théorème de transfert, la somme correspond à l’espérance de la variable =_√+4²³₅ où suit une loi binomiale de paramètres 10 et ⁺ : on va estimer cette somme à l’aide de la moyenne empirique.

On construit le vecteur ₊, , … , et on calcule sa moyenne.

On créée d’abord le vecteur ₊, , … , :

y=2^10*ones(1,n)./sqrt(1+(grand(1,n,’bin’,10,0.5).^4)) Puis on calcule la moyenne des valeurs du vecteur obtenu :

m=sum(y)/n

Après trois essais pour n=100000, Scilab renvoie : m =

64.339696138403 m =

64.520817416365 m =

64.902525112992

2 $1 ) √'

'!

8

&-+

$ √' 1^&

'!

8

&-+

)^*+ $ √' 1^&

'!

8

&-,

)^*+

Grâce au théorème de transfert, la somme correspond à l’espérance de la variable = √ où suit une loi de Poisson de paramètre 1 : on va estimer cette somme à l’aide de la moyenne empirique.

On construit le vecteur ₊, , … , et on calcule sa moyenne.

On créée d’abord le vecteur ₊, , … , : y=sqrt(grand(1,n,’poi’,1))

Puis on calcule la moyenne des valeurs du vecteur obtenu : m=sum(y)/n

Après trois essais pour n=100000, Scilab renvoie : m =

0.7733623611594 m =

0.7736400334573 m =

0.7754627778695

3 $ 1

'2^&

8

&-+

$ 1

'

8

&-+

1 2 01

21

&*+

Grâce au théorème de transfert, la somme correspond à l’espérance de la variable =₄⁺₉ où suit une loi géométrique de paramètre ⁺ : on va estimer cette somme à l’aide de la moyenne empirique.

On construit le vecteur ₊, , … , et on calcule sa moyenne.

On créée d’abord le vecteur ₊, , … , :

y=ones(1,n)./((grand(1,n,’geom’,0.5)).^3) Puis on calcule la moyenne des valeurs du vecteur obtenu : m=sum(y)/n

Après trois essais pour n=100000, Scilab renvoie : m =

0.5371978045009 m =

0.5359285497733 m =

0.5359281321983

Exercice 8 : 1 : ;1 < ⁼><

+ ∶ d^Aaprès le théorème de transfert, cette intégrale est l^Aespérance de la variable définie par ;1 ⁼ où suit la loi uniforme sur W1; 2Y.

On estime cette valeur grâce à l’estimateur classique de la moyenne : la moyenne empirique 1

$ _&-+ ^& où ₊, , … , est un échantillon de la variable . On créée d’abord le vecteur ₊, , … , :

y=sqrt(1+grand(1,n,’unf’,1,2).^5)

Puis on calcule la moyenne des valeurs du vecteur obtenu : m=sum(y)/n

Après 3 essais, pour n=100 000, Scilab renvoie les valeurs

3.1554338436265, 3.1457093746594, 3.147035072448

2 : )^*]

1 <^/><

8

, : 1

1 <^/ )^*]><

8

D^Aaprès le théorème de transfert, cette intégrale est l, ^Aespérance de la variable définie par 1

1 ^/ où suit la loi exponentielle de paramètre 1.

On estime cette valeur grâce à l’estimateur classique de la moyenne : la moyenne empirique 1

$ _&-+ ^& où ₊, , … , est un échantillon de la variable . On créée d’abord le vecteur ₊, , … , :

y=ones(1,n)./(1+grand(1,n,’exp’,1).^4) Puis on calcule la moyenne des valeurs du vecteur obtenu : m=sum(y)/n

Après 3 essais, pour n=100 000, Scilab renvoie les valeurs

0.6319015564869, 0.6321750889907, 0.6307853808621

3Par parité, : )^*]a 1 <><

8

, 1

2 : )^*]a 1 <><

8

*8

La densité d’une loi normale de paramètres b et cest définie par : d: < ↦ 1

c√2gexp 0h1

2 < h b c

1

On en déduit que la densité d’une loi normale de paramètres 0 et ⁺

est définie par : d: < ↦ √2

√2gexph< 1

√g)^*]a 1

2 : )^*]a 1 <><

8

*8 √g

2 : 1

1 < 1

√g)^*]a><

8

D^Aaprès le théorème de transfert, cette intégrale est l*8 ^Aespérance de la variable définie par √g

2 1

1 où suit la loi normale de paramètres 0 et 0 1

√21.

On estime cette valeur grâce à l’estimateur classique de la moyenne : la moyenne empirique = 1

$ _&-+ ^& où (₊, , … , ) est un échantillon de la variable . On créée d’abord le vecteur (₊, , … , ) :

y=sqrt(%pi)/2*ones(1,n)./(1+grand(1,n,’nor’,0,1/sqrt(2)).^2) Puis on calcule la moyenne des valeurs du vecteur obtenu :

m=sum(y)/n

Après 3 essais, pour n=100 000, Scilab renvoie les valeurs

0.6710823470904, 0.6714306677270, 0.6722606725135

Exercice 9 :

1. Pour tout ' ∈ i1; j, (_& ) =0 + 2 =

2 et (^&) =( − 0) 12 =

12 ( ) =k

lmnéopmqé

$ 2 ^&

&-+

= 2

× 0

21 = et =k

mnréstnronut02 1

$ _&

&-+

= 4

× w

12x = 3 est bien un estimateur sans biais = et son risque quadratique (égal à sa variance) converge vers 0 donc il est également convergent.

Étudions l’estimateur y : Pour cela étudions la variable aléatoire z = Max₊, , … , :

∀< ∈ ℝ, !z ≤ < = !}₊ ≤ < ∩ ≤ < ∩ … ∩ ≤ < = !₊ ≤ < × … × ! ≤ < = }€<

où € est la fonction de répartition des variables _& de loi uniforme sur W0, Y.

∀< ∈ ℝ, €< =

‚

ƒ

‚„ 0 si < < 0

<

si < ∈ W0; Y 1 si < >

, donc ∀< ∈ ℝ, !z ≤ < =

‚

ƒ

‚„ 0 si < < 0 <

si < ∈ W0; Y 1 si < >

On en déduit une densité de z :

∀< ∈ ℝ, d< = €^A< =

‚

ƒ

‚„ 0 si < < 0 <

*+ si < ∈ W0; Y

0 si < >

= ‡< ^*+

si < ∈ W0; Y 0 sinon

On en déduit l’espérance et la variance de z : z = : <d<><⁸

*8 = : << ^*+

><

ˆ

, =

: <^ˆ ><

, =

× ⁺

+ 1 = + 1 On en déduit que (y ) = + 1

(z) = + 1

×

+ 1 = y est donc un estimateur sans biais de .

Il reste à déterminer sa variance. Commençons par la variance de z : z = : <⁸ d<><

*8 = : << ^*+

><

ˆ

, =

: <^{ˆ +}><

, =

×

+ 2 = + 2 Ainsi z = z − z =

+ 2 − + 1

= 0 1

+ 2 −

+ 11

= w + 1

+ 2 + 1− + 2

+ 2 + 1x =

+ 2 + 1

Enfin, y = 0 + 1 1

z = 0 + 1 1

+ 2 + 1 =

+ 2

Conclusion ∶ y est bien un estimateur sans biais y = et son risque quadratique (égal à sa variance) converge vers 0 donc il est également convergent.

2. n=input(‘entrez la valeur de n :’);

theta=input(‘entrez la valeur de theta :’);

y=0 ;z=0 ;

for k=1:1000 ; x=grand(1,n,’unf’,0,theta) ; y=y+2*sum(x)/n/1000;

z=z+(n+1)/n*max(x)/1000 end

disp(y,’y est égal à:’); disp(z,’z est égal à :’) En trois essais, pour = 3 et n=100, Scilab renvoie :

y est égal à:

2.9974665210244

y est égal à:

3.0030461471289

y est égal à:

2.9958794153877

z est égal à : 2.9993097247482

z est égal à : 3.0003877081149

z est égal à :

2.9989419509175

3. On a vu que les risques quadratiques respectifs de et y sont ^ˆa et ^ˆa

: le deuxième converge plus vite vers 0 que le premier, il est donc logique que z soit plus proche de 3 que y …