Programme de colles 9

ECE2 Du 18/02/19 au 28/03/19

PROGRAMME DE COLLES n ^◦ 9

G´ EN´ ERALITES SUR LES VARIABLES AL´ EATOIRES R´ EELLES

• D´efinition d’une variable al´eatoire r´eelle.

• Fonction de r´epartitionFX d’une variable al´eatoire r´eelleX :

— Caract´erisation :FX `a valeurs dans [0,1], croissante, limites en−∞et en +∞, continuit´e `a droite.

— Si la fonction de r´epartitionFX est continue enx, alorsP(X =x) = 0.

— ∀(a, b)∈R²,P(a < X≤b) =FX(b)−FX(a).

• Loi d’une variable al´eatoire, caract´erisation de la loi d’une variable al´eatoire r´eelle par sa fonction de r´epartition.

• Ind´ependance de deux variables al´eatoires r´eelles quelconques :

— Somme de variables normales ind´ependantes.

— Calcul de la fonction de r´epartition deY = max(X₁, X₂), Y = min(X₁, X₂) avecX₁etX₂ind´ependantes et `a densit´e.

• Ind´ependance mutuelle :

— Somme de variables normales mutuellement ind´ependantes.

— Suite de variables al´eatoires discr`etes ind´ependantes.

— Lemme des coalitions.

— Calcul de la fonction de r´epartition deY = max(X1, X2, . . . , Xn), Y = min(X1, X2, . . . , Xn) avecX1, X2, . . . , Xn

mutuellement ind´ependantes et `a densit´e.

VARIABLES AL´ EATOIRES ` A DENSIT´ E

• Densit´e et fonction de r´epartition :

— Une variable al´eatoireX est une variable al´eatoire `a densit´e si sa fonction de r´epartition FX est continue sur Ret de classeC¹ surRsauf ´eventuellement en un nombre fini de points.

— Caract´erisation de la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire `a densit´e.

— D´efinition de la densit´e deX. Propri´et´es liant la fonction de r´epartition deX `a sa densit´e.

— Caract´erisation de la densit´e d’une variable al´eatoire.

— La fonction de r´epartitionFX d’une variable al´eatoire `a densit´e est de classeC<sup>1</sup>en tout point o`u sa densit´efX

est continue. En un tel point, on a : F_X⁰ (x) =fX(x).

• Exemples simples de calcul des fonctions de r´epartition et densit´es de variables al´eatoires fonction de variables al´eatoires `a densit´e :Y =aX+b, Y =X², Y = exp(X), Y =|X|. . .

Aucune formule th´eorique n’est `a connaˆıtre.

• Esp´erance et moments d’une variable al´eatoire `a densit´e :

— Esp´erance d’une variable al´eatoire `a densit´e, lin´earit´e, croissance, th´eor`eme de transfert.

— Moment d’ordrerd’une variable al´eatoire `a densit´e.

— Variance d’une variable al´eatoire `a densit´e, formule de Koenig-Huygens.

— Variables al´eatoires centr´ees, variables al´eatoires centr´ees r´eduites.

• Lois usuelles :

— Loi uniforme sur un intervalle [a, b] : densit´e et fonction de r´epartition, esp´erance, calcul de la variance, cas particulier de la loi uniforme sur [0,1].

— Loi exponentielle : densit´e et fonction de r´epartition, esp´erance et variance, caract´erisation par l’absence de m´emoire.

— Loi normale centr´ee r´eduiteN(0,1) : densit´e, esp´erance, variance, propri´et´es de la fonction de r´epartition Φ.

— Loi normaleN(m, σ²) : densit´e, esp´erance, variance.