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Induction
v 7
16
2
Loi de Faraday
Flux:
€
φ(surface) = dφ
surface
∫∫
= B r ⋅dSsurface
∫∫
B
α
€
d φ = (ˆ n ⋅ r
B )dS = cos α BdS
Faraday découvre en 1830 qu' un champ magnétique peut induire un courant électrique dans une spire de fil électrique.
Il constate que la condition nécessaire est que la "quantité" de champ qui traverse la boucle varie dans le temps.
En termes mathématiques: une variation du flux de B dans une boucle induit un champ électrique dans le fil, ce qui produit un courant
dans la boucle fermée.
1 Tm2 = 1 Weber (Wb) n ^
3
Loi de Faraday .2
Considérons une boucle plane de surface A. Si B est constant dans la boucle,
€
φ = cos α BA
Une variation du flux peut s'obtenir par 1) changement de A
2) de B
3) de l'angle α, c.à d. de l'orientation de la boucle par rapport à B
La loi de Faraday dit que la Force ElectroMotrice (FEM) instantanée vaut
€
V(t) = − d φ
dt (t)
V
B α
n ^
4
Loi de Faraday .3
Exemple 20.2 R
Boucle A = 0.1 m2 R = 10 ohm
B = 0.2 T normal à la boucle
On fait diminuer B à 0 en 10-4 s
t [s]
B 0,2 T
10-4
€
B = 0.2 1− t 10−4
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ [T]
€
φ (t) = + AB(t)
€
dφ
dt = A dB dt dB/dt = -0.2/10-4
€
V = −dφ
dt = −(0.1m2) (−0.2T)
(10−4s) = 200V
I = V/R = 20 A V est constante entre t= 0 et t=10-4 s
n ^
avec //B n ^
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Loi de Faraday .4
R
I n ^
Le courant I produit lui aussi un champ magnétique, qui est dirigé de façon parallèle à à l'intérieur de la boucle.
Le courant est positif: il tourne
autour de selon les aiguilles d'une montre.
n ^
n ^
Ce courant cherche donc à s'opposer au changement de B, donc du flux.
Loi de Lenz: le champ dû au courant induit s'oppose toujours aux modifications du flux.
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Générateur électrique
Boucle de surface A qui tourne dans un champ B avec vitesse angulaire ω
€
φ (t) = ABcos( ω t)
€
V = − dφ
dt = ωABsinωt On produit donc un courant alternatif:
"alternateur".
Par des contacts glissants on peut rendre le courant continu: "dynamo".
B
~
=
dynamo de Gramme 1870
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Transformateur
Deux ou plusieurs enroulements sur un noyau ferromagnétique.
Le flux est obligé de passer par le noyau.
On injecte un courant alternatif dans un des enroulements. L'autre voit un flux variable dans le temps, ce qui induit une FEM.
N1 spires
N2 spires
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Transformateur .2
N1 spires
N2 spires
primaire secondaire
Si la totalité du flux est contenue dans le "circuit magnétique",
alors chaque spire voit une FEM
€
δV = − dφ dt
V1 V2
Au total, on aura:
€
V1 = N1δV V2 = N2δV
€
V
2V
1= N
2N
1Ex.: 220V CA à 12V CA: utiliser un rapport de spires 220/12 donc
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Les substances magnétiques
L'introduction d'un corps dans un champ magnétique B modifie la valeur de ce champ par la constante magnétique Km : KmB (attention: souvent à la place de Km on utilise le symbole µ)
Dans le cas des substances ferromagnétiques: Km>>1 (1000 ou plus).
La valeur dépend de B. Ces substances sont: Fe, Co, Ni, Gd, Dy.
Les moments magnétiques s'alignent spontanément. Normalement, ils forment des "domaines" magnétiques qui constituent des petits aimants puissants. Toutefois, l'orientation des domaines est aléatoire.
Sous l'effet de B, ils s'alignent parfois de façon permanente (aimants).
Cas diamagnétique Km<1: est dû au mouvement des e- dans les atomes. Par la loi de Lenz, les courants microscopiques
s'opposent aux variations de B.
Cas paramagnétiques Km>1: les atomes possèdent des dipôles magnétiques permanents, qui s'orientent dans B, en augmentant sa valeur.
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Example de construction d'un transformateur
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Auto-induction
Un circuit peut stocker de l'énergie dans des condensateurs, sous forme d'un champ électrique, mais aussi dans les bobines, sous forme de champ magnétique.
Dans le cas d'une bobine, quand on ouvre le circuit, on force le courant vers zéro. Par la loi de Lenz, le circuit s'oppose alors à la chute du champ magnétique et une FEM élevée s'installe, capable d'ioniser l'air. L'énergie magnétique stockée se reverse dans le canal ionique et forme une étincelle.
Dans ce cas, la FEM n'est pas provoquée par une variation de champ (par exemple dans l'enroulement primaire d'un
transformateur), mais par le changement du champ que la bobine elle-même provoque: on parle donc d'auto-induction.
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Auto-induction .2
€
V = − d φ
Loi de Faraday
dt
La variation du flux doit être proportionnelle à la variation du courant dans le circuit.
Donc:
G
€
V = − L dI dt
L est le coefficient d'auto-induction ou inductance qui dépend de la capacité de stockage magnétique du circuit.
On voit des deux équations plus haut que
€
dφ
dt = L dI
dt ⇒ φ = LI car le flux est nul quand I=0
€
L = φ /I
donc L'unité est le Henry (H)
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Auto-induction .3
Bobine n spires par mètre:
€
B = 4 π k'In
Si la surface d'une spire = A, longueur de la bobine = d, n le nombre de spires/m, N=nd le nombre total, le flux total vaut
€
φ = NAB= ndA4πk'nI = 4πk'n2dAI
€
L = φ /I = 4 π k'n
2dA
Si l'on introduit un noyau de constante magnétique Km, B est modifié par ce facteur, de même que φ et L
€
L = 4 π K
mk'n
2dA
inductanced'un solénoïde (Remarquez que cette formule est approximée, car on a utilisé la valeur de B d'une bobine infiniment longue)
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Auto-induction .4
Ex: solénoïde de 100 spires en l'air, d=0.02 m, r=0.01m n = 100/0.02 = 5000 spires/m
A = 3.14 (0.01)2 = 3.14 10-4 Km = 1
k' = 10-7
€
L = 4 π K
mk'n
2dA
L = 1.97 10-4 H = 19.7 mH
Si l'on introduit un noyau avec Km=1000, on aurait 19.7 H.
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Energie dans une inductance
€
V = −L dI
De on tire la puissance à fournir pour dt que le changement de courant ait lieu :
€
P = VI = L dI dt I
Le travail à fournir pour porter le courant de I=0 à I=If
€
W = Pdt =
0 IF
∫
L IdI =0 IF
∫
L2 If2Dans une bobine de 1 H parcourue par 1 A, on a 1/2 Joule d'énergie magnétique.
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Circuit RL
Un traitement mathématique, similaire à celui développé pour les condensateurs, sert à calculer l'évolution au cours du temps du courant qui parcourt le circuit de la figure:
V R
L
Quand on ferme l'interrupteur, l'inductance L s'oppose au changement brusque du courant.
€
I(t) = I
f( 1 − e−t / T)
où If est le courant à un temps infini If = V/R et T est la constante de temps du circuit: T = L/R Ex.: Déterminer la formule pour I(t).
Dessiner I(t) pour L=1H, R=1 ohm
