Correction Nom : ... Correction DS n°2A - Quatrième - Octobre 2018
Devoir Surveillé n°2A Correction
Quatrième
Continuité et Convexité
Durée 2 heures - Coeff. 5 Noté sur 20 points
Exercice 1. Application directe du cours 3 points
On considère le triangle DE F rectangle en D avec DE=7cm et E F=8cm.
1. Construire le triangleD E F.
2. Calculer la valeur exacte puis une valeur approchée au mm près deD F.
• Données.
Le triangleDE Fest rectangle enD. L’hypoténuse est donc le côté [E F].
• Le théorème.
Donc d’après lethéorème de Pythagore:
E F2=E D2+DF2 82=72+DF2 DF2=82−72 DF2=15
• Conclusion.
Et puisqueDF est une longueur, on a DF=p
15≈3, 9 cm à 0, 1 cm près.
Exercice 2. Application directe du cours 2 points
On considère le triangleK L MavecK L=6 km,K M=8 km etL M=10 km.
Le triangleK L Mest-il rectangle ?
• Données.
Si le triangle KLM est rectangle, c’est en K car [LM] est le plus grand côté.
• Le test.
( LM2 = 102 = 100 LK2+K M2 = 62+82 = 100
• Conclusion.
On a donc égalité,LK2+K M2=LM2.
De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en K.
Exercice 3. Déjà vu 5.5 points
b
A A
b BB
bC
C
b
b
b
D
27 8
3 28
Le triangle BCD est-il rectangle ?
On a :
• AC=8 cm ;
• AB=27 cm ;
• C D=3 cm ;
• BD=28 cm.
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1. [2.5 points] CalculonsC B.
• Données.
Le triangleABCest rectangle enA. L’hypoténuse est donc le côté [C B].
• Le théorème.
Donc d’après lethéorème de Pythagore:
C B2=C A2+AB2 C B2=82+272 C B2=793
• Conclusion.
Et puisqueC Best une longueur, on a BC=p
793≈28, 2 cm à 0, 1 cm près.
2. [3 points] Le triangle BCD est-il rectangle?
• Données.
Si le triangle BCD est rectangle, c’est en D car [BC] est le plus grand côté.
• Le test.
( BC2 = 793
BD2+DC2 = 282+32 = 793
• Conclusion.
On a donc égalité,BD2+DC2=BC2.
De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en D.
Exercice 4. Course à pied 6 points
Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre. On convient que :
• Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
• ABC est un triangle rectangle en A.
• AB=300 m,AC=400 m,C E=1000 m etC D=1250 m
Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.
A (Départ)
B C D
E (Arrivée) 300m 400m
1 000 m
1 250 m
• [2 points] LongueurBC:
Dans le triangleABCrectangle enA, le théorème de Pythagore permet d’écrire : BC2=AB2+AC2
BC2=3002+4002 BC2=250000 OrBCest positif car c’est une longueur donc
BC=p
250000=500 m
• [3=2.5+1 points] LongueurDE:
Les droites (DE) et (AB) sont parallèles et la droite (AE) est perpendiculaire à (AB), elle est donc aussi perpen- diculaire à (DE). En effet par théorème :
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Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elles est perpen- diculaire à l’autre.
Théorème 1
Dans le triangleC DErectangle enE, le théorème de Pythagore permet d’écrire : C D2=C E2+E D2
12502=10002+E D2 E D2=12502−10002 E D2=562500 OrC Dest positif car c’est une longueur donc
C D=p
562500=750 m
• [0.5 points] LongueurABC DE:
ℓ(ABC DE)=AB+BC+C D+DE=300+500+1250+750 ℓ(ABC DE)=2800 m
Exercice 5. Qui a raison ? 3.5 points
Voici la figure à main levée d’un quadrilatère : Marie sou- tient que OELM est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n’est pas vrai. Qui a raison ? Pourquoi ?
b b b
b
O E
M L
4 cm 5,6cm
Ce quadrilatère est un losange car il a ses côtés de même mesure.
Pour que ce soit un carré, il faut qu’il ait un angle droit. Vérifions donc si le triangle ELM isocèle en L est rectangle.
• Données.
Si le triangle ELM est rectangle, c’est en L car [EM] est le plus grand côté.
• Le test.
( E M2 = 5, 62 = 31, 36
ML2+LE2 = 42+42 = 32
• Conclusion.
On a donc pas égalité,LK2+K M26=LM2.
De ce fait, d’après lacontraposée du théorème de Pythagore, le triangle ELM n’est pas rectangle.
De ce fait, le quadrilatère n’est pas un carré, c’est donc Charlotte qui a raison.
[ Fin du devoir \
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