Le but de ce problème est d'étudier des méthodes permettant d'obtenir des valeurs approchées de en mettant en évidence des suites dont √

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Problème : CONCOURS COMMUN I.N.A. E.N.S.A. 1997

Remarques préliminaires

Le but de ce problème est d'étudier des méthodes permettant d'obtenir des valeurs approchées de en mettant en évidence des suites dont √

2 est la limite. On pourra utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées des termes successifs des suites, mais évidemment pas pour obtenir une valeur approchée de lui-même... On pourra par contre, utiliser, en les justiant des encadrements usuels comme : 1 < √

2 < 3 2

PARTIE I Première approximation de √ 2

On dénit la fonction f qui à tout réel x positif ou nul associe : x ² − 2 . On notera C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan, B son point d'intersection avec (Ox) et A le point de C d'abscisse a , où a désigne un réel strictement positif. On supposera de plus que les points A et B sont distincts.

1. Montrer qu'on peut dénir par récurrence une suite (M _n ) n∈ N de points de C de la manière suivante :

+ M ₀ est un point quelconque de C distinct de A et de B .

+ Pour tout n entier naturel, M n+1 est le point de C de même abscisse que le point d'intersection de l'axe (Ox) avec la droite (A M _n ) .

On notera u _n l'abscisse de M _n et (u _n ) n∈ N la suite de terme général u _n . Montrer que l'on a, pour tout n entier naturel, la relation : u _n+1 = 2 + au _n

a + u _n et que M _n+1 est distinct de A , de B et de M _n .

2. (a) Justier, pour tout entier naturel n : u _n+1 − √

2 = a − √ 2 a + u _n

u _n − √ 2 (b) En déduire, pour tout entier naturel n :

u _n+1 − √ 2

6

1 −

√ 2 a

×

u _n − √ 2

puis que :

u _n − √ 2

6

1 −

√ 2 a

n

×

u ₀ − √ 2

(c) Comment peut-on choisir a pour pouvoir en déduire que la suite (u n ) n∈ N converge ? On précisera sa limite.

3. Dans cette question on suppose : a = 1, u ₀ = 2 .

(a) Montrer qu'on a, pour tout entier naturel n non nul :

u _n − √ 2

6

1

2

n

En déduire un rang n 0 à partir duquel u n est une approximation de √

2 à 10 ⁻³ près.

Justier l'encadrement : 1, 4 < √

2 < 1, 5

(b) Cette question est destinée à préciser la rapidité de la convergence de la suite (u _n ) n∈ N . Pour cela on considère la suite (v _n ) n∈ N dénie pour tout entier naturel n par la relation : v _n = u _n − √

2 u _n + √

2 .

Montrer que c'est une suite géométrique. Préciser sa raison et son terme de rang 0 .

En déduire : ⁿ √ 2n+2

puis la majoration : √

n+1

PARTIE II La méthode de Newton (Algorithme de Babylone) On reprend la courbe C dénie dans la partie précédente.

1. (a) Montrer qu'il est possible de dénir par récurrence une suite a = (a n ) n∈ N par les deux conditions :

+ a 0 est un réel strictement positif.

+ Pour tout n entier naturel, a _n+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe (Ox) avec la tangente en P n à C , P n désignant le point de C d'abscisse a n .

Déterminer une relation entre a _n+1 et a _n .

(b) On considère la fonction g dénie, pour tout réel x strictement positif par :

g(x) = 1 2

x + 2

x

Etudier les variations de g sur R ^∗ +

(c) Montrer que, pour n non nul, a _n est supérieur ou égal à √ 2 .

En déduire que, à partir du rang 1, la suite (a n ) n∈ N est décroissante et admet une limite réelle.

Vérier que cette limite est √ 2 .

2. Cette question est destinée à préciser la rapidité de la convergence de la suite (a _n ) n∈ N . Pour cela, on prend : a ₀ = 1, 5 et on considère la suite (b _n ) _{n∈ N} dénie par : b _n = a _n − √

2 a _n + √

2 (a) Justier la relation : b _n+1 = b ² _n , pour tout entier naturel n .

Déterminer une expression de b _n en fonction de n et de b ₀ . (b) Vérier : b 0 6 0, 04

(c) En déduire l'encadrement : 0 < a _n − √

2 6 3 × (0, 04) ²

ⁿ

On dira que la convergence de a = (a n ) n∈ N est quadratique.

(d) En déduire un rang n ₁ à partir duquel a _n est une approximation de √

2 à 10 ⁻¹⁰ prés.

PARTIE III Un problème de point xe

Dans cette partie, on se propose de généraliser certains résultats mis en évidence dans les parties précédentes. On considérera une fonction φ dénie et de classe C ¹ sur un intervalle réel I = [a, b] . On note m un réel tel que, pour tout x de I , on ait : |φ ⁰ (x)| 6 m et on supposera que m est un réel strictement inférieur à 1 . Enn, on supposera qu'il existe α élément de I vériant la condition : φ(α) = α . On se propose de trouver des valeurs approchées de α comme limite d'une suite et d'examiner la rapidité de la convergence de cette suite.

1. On dénit par récurrence la suite u = (u _n ) n∈ N par les conditions : + u ₀ est élément d'un intervalle centré en α et inclus dans I . + Pour tout n entier naturel, u n+1 = φ (u n )

En utilisant l'inégalité des accroissements nis, montrer que, pour tout entier naturel n , u n est élément de I et justier la relation, pour tout n entier naturel : |u _n − α| 6 m ⁿ |u ₀ − α|

En déduire que la suite u = (u _n ) n∈ N converge vers α .

2. On suppose désormais que est de classe C sur et que est un réel tel que, pour tout de

(a) On suppose la formule de Taylor-Lagrange armant :

∀t ∈ I, ∃θ ∈ ]0, 1[

φ(t) = φ(α) + (t − α) φ ⁰ (α) + (t − α) ²

2 φ ⁰⁰ (α + θ (t − α)) Montrer que : ∀n ∈ N , |u _n+1 − α| 6 K

2 × (u _n − α) ² puis que

∀n ∈ N , |u _n − α| 6

K

2 2

ⁿ

−1

× |u ₀ − α| ²

ⁿ

(b) En déduire que l'on peut choisir u ₀ de manière à ce qu'il existe un réel strictement positif A et un réel q strictement compris entre 0 et 1 tel que : |u _n − α| 6 Aq ²

ⁿ

(c) Application En utilisant l'approximation de √

2 trouvée dans la partie I.3)a) et en ap- pliquant les résultats précédents à la fonction g dénie dans la partie II, donner un indice n 2 à partir duquel a n est une approximation de √

2 à 10 ⁻¹⁰ près.

Correction : Suites convergeant vers √

2

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C O R R IG E

PARTIE I Première approximation de 2 On définit la fonction f qui à tout réel x positif ou nul associe : x2 - 2. On notera C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan, B son point d'intersection avec (Ox) et A le point de C d'abscisse a, où a désigne un réel strictement positif. On supposera de plus que les points A et B sont distincts. 1) Montrer qu'on peut définir par récurrence une suite (Mn) de points de C de la manière suivante : * M0 est un point quelconque de C distinct de A et de B. * Pour tout n entier naturel,Mn+1 est le point de C de même abscisse que le point d'intersection de l'axe (Ox) avec la droite (A Mn) On notera un l'abscisse de Mn et u la suite de terme général un . Montrer que l'on a, pour tout n entier naturel, la relation : un+1 = 2 + a un a + un et que Mn+1 est distinct de A, de B et de Mn. Soit Pn la propriété de récurrence : " Mn existe, c'est un point de C distinct de A et de B " P0 vraie ? M0 est un point de C distinct de A et de B donc P0 est vraie Si Pn est vraie, Pn+1 est-elle également vraie ? On a Mn point de C distinct de A et de B. La droite (AMn) est alors bien définie et n'est ni parallèle à (Ox) (car Mn étant sur C n'a pas la même ordonnée que A) ni parallèle à (Oy). Donc (AMn) coupe (Ox) en un point d'abscisse positive. Or A n'est pas dans (Ox) et la courbe C ne contient pas trois points alignés (l'équation x2 – 2 =α x +β ne pouvant pas avoir trois solutions réelles). Aussi le point d'intersection de (AMn) et (Ox), est d'abscisse différente de celle de A et de B. Aussi, en posant Mn+1 le point de C de même abscisse que l'intersection de (Ox) avec (AMn), Mn+1 existe bien et est un point distinct de A et de B.On en déduit que Pn+1 est vraie Ainsi on a montré que P0 est vraie et que, si Pn vraie, Pn+1 est également vraie. Aussi, par le théorème de récurrence, on a : ∀n∈IN, Pnvraie i.e. ∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, Mn existe et est un point de C distinct de A et de B. En particulier la suite

( )

Mnn∈∈∈∈INest bien définie Si on note un l'abscisse de Mn , l'équation de (AMn) est : Y – f(a) = (X – a) f(un) − f(a) un− a . Ainsi un+1 étant l'abscisse du point de cette droite d'ordonnée nulle, on a : un+1 = a – f(a) un− a f(un) − f(a) . Or f(un) = un2 – 2 et f(a) = a2 – 2 D'où : un+1 = a – (a2 – 2) un− a un2− a2 = a – a2 – 2 un + a = 2 + a un a + un . D'où : un+1 =2 + a un a + un On a déjà montré que tous les points Mn étaient distincts de A et de B. Par ailleurs un+1 et un sont distincts sinon on aurait : un =2 + a un a + un ⇔ un2 = 2⇔ un =2 ce qui est faux car Mn différent de B. Ainsi Mn+1 est distinct de A, de B et de Mn 2) a) Justifier, pour tout entier naturel n : un+1 −2 = a − 2 a + un (un −2) un+1 –2 =2 + a un a + un –2 =2 + a un− a2−2un a + un = a − 2 a + un (un−2) . D'où un+1−−−−2 = a−−−− 2 a + un (un−−−−2) 2) b) En déduire, pour tout entier naturel n :un+1 –2⩽1 −2 a⨯un –2 puis que un –2 ⩽1 − 2 a n ⨯u0 –2 un+1 –2=a − 2 a + un⨯un –2. Or a et un sont positifs, a étant non nul. Donc a − 2 a + un =

1−2 a 1 +un a

⩽1−2 a Ainsi :∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, un+1 –2⩽1−−−−2 a⨯un –2 Par récurrence immédiate, on en déduit :∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, un –2⩽1−−−−2 a

n ⨯u0 –2 2) c) Comment peut-on choisir a pour pouvoir en déduire que la suite u converge ? On précisera sa limite. Si on choisit a de telle sorte que 1 −2 a soit inférieur strictement à 1, alors la suite

( )

unn∈IN converge et sa limite est2 Il suffit de prendre a >2 2 et la suite

( )

unn∈∈∈∈IN converge vers 2 3) Dans cette question on suppose : a = 1, u0 = 2.

5 /7

) Montrer qu'on a, pour tout entier naturel n non nul : un –2 ⩽

( )

1 2 n En déduire un rang n0 à partir duquel un est une approximation de 2 à près. Justifier l'encadrement : 1,4<2 <1,5 a :∀n∈IN, un –2⩽1− 2

n ⨯2 –2 . Or 1− 2⩽1 2 car 1 <2 <3 2 et de même 2 –2⩽1 ù :∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, un –2⩽

( )

1 2 n On cherche n tel que

( )

1 2

n ⩽10– 3. a :

( )

1 2

n ⩽10– 3⇔− n ln(2) ⩽− 3 ln(10) ⇔ n⩾ 3ln(10) ln(2)= 9,96 à 10-2 près si, en posant n0 = 10, on a, pour tout n⩾ n0 , un est une approximation de 2 à 10- 3 près que

( )

1 2

7 ⩽10– 2, u7 est une approximation de 2 à 10 – 2 près . Or u7 =816 577 = 1,414 à 10 – 3 près par défaut. si : 1,404⩽2 ⩽1,425 eten particulier 1,4⩽2 ⩽1,5 ) On veut préciser la rapidité de la convergence de la suite u. On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par la relation : vn =un− 2 un +2 trer que c'est une suite géométrique. En déduire : vn = (– 1)n()2 − 1

2n + 2 puis la majoration :un –2⩽4⨯ (0,2)n+1 st bien défini car un > 0. = un+1 − 2 un+1 +2 =2 + un 1 + un− 2 2 + un 1 + un +2 = 2 − 2 + (1 −2) un 2 +2 + (1 +2) un = (1−2) (un − 2) (1 +2) (un +2) . D'où :∀n∈IN ,vn+1 =1 −2 1 +2 vn suite

( )

vnn∈∈∈∈IN est géométrique de raison 1−−−−2 1 +2 =−−−−

( )

2−−−− 1

2 et de premier terme v0 =2 −−−−2 2 +2 =

( )

2−−−− 1

2 en déduit : ∀∀∀∀n∈∈∈∈IN,vn = (– 1)n

( )

2 −−−− 1

2n + 2 : un –2 = vn× (un +2) donc un –2⩽ vn⨯un +2 s d'après 3)a), un +2⩽ 22 + 1⩽ 4 et vn= (3 – 22)n+1⩽ (0,2)n+1 car 1,4⩽2 ⩽1,5 si :∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, un –2⩽4⨯ (0,2)n+1 RTIE II La méthode de Newton (Algorithme de Babylone) eprend la courbe C définie dans la partie précédente. Montrer qu'il est possible de définir par récurrence une suite a = (an) par les deuxconditions : est un réel strictement positif. 1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe (Ox) avec la tangente enPn à C, Pndésignant le point de C d'abscissean . Déterminer une relation entre et an . Rn la propriété de récurrence : " Pn existe, c'est un point de C d'abscisse strictement positive " R0 vraie ? P0 est un point de C d'abscisse strictement positive donc R0 est vraie Si Rn est vraie, Rn+1 est-elle également vraie ? On a Pn point de C d'abscisse strictement positive. La tangente en Pn à la courbe C est de pente strictement positive. Donc cette tangente coupe l'axe (Ox) en un point d'abscisse strictement positive car C est au dessus de ses tangentes. Donc Pn+1 est un point de C d'abscisse strictement positive : d'oùRn+1 est vraie Ainsi on a montré que R0 est vraie et que, si Rn vraie, Rn+1 est également vraie. Aussi, par le théorème de récurrence, on a : ∀n∈IN, Rnvraie i.e. ∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, Pn existe et est un point de C d'abscisse strictement positive. particulier la suite

( )

Pnn∈∈∈∈INest bien définie n est l'abscisse de Pn, l'équation de la tangente en Pn est : Y – f(an) = f '(an) × (X – an). ù : an+1 = an – f(an ) f '(an ) car f '(an) ≠ 0 D'où : an+1 = an –an2− 2 2 an = an2 + 2 2 an= 1 2

( )

an +2 an : ∀∀∀∀n∈∈∈∈IN,an+1 =1 2

( )

an +2 an On considère la fonction g définie, pour tout réel x strictement positif par : g(x) = 1 2

( )

x +2 x Etudier les variations de g sur +* fonction g est de classeC ∞ sur * +. ∀x∈* +, g'(x) =x2 − 2 2 x2 qui est du signe de x –2 . Ainsi g est décroissante sur ]0, 2[ roissante sur [2, +∞[ et de plus, le minimum de g sur * + est atteint en2 et vaut 2. Montrer que, pour n non nul,an est supérieur ou égal à2 . éduire que, à partir du rang 1, la suite a est décroissante et admet une limite réelle. Vérifier que cette limite est 2 .

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Pour tout n>0, an = g(an-1) avec an-1 > 0 donc d'après l'étude de g, on a :pour tout n>0, an⩾2 Soit n>0. On a : an+1 – an =1 2

( )

2 an− an =2− an2 2 an⩽ 0 car pour tout n>0, an⩾2 Ainsila suite

( )

ann⩾1 est décroissante Cette suite

( )

ann⩾1 est décroissante et minorée par2, donc d'après le théorème de la limite monotone, la suite

( )

ann⩾1 est convergente. Sa limite l vérifie l⩾2 et g(l) =l par continuité de g. Or l'équation g(x) = x n'admet que 2 pour solution positive, donc l =2 . Ainsila suite

( )

ann⩾1 converge vers 2 2) On veut préciser la rapidité de la convergence de la suite a. Pour cela,on prend :a0 = 1,5 et on considère la suite b définie par : bn =an − 2 an +2 2) a) Justifier la relation : bn+1 = bn2 , pour tout entier naturel n. Déterminer une expression de bn en fonction de n et de b0. bn+1 =

an+1− 2 an+1 +2

=

an2 + 2 − 22 an an2 + 2 + 22 an = (an − 2)2 (an +2)2

= bn2 : ∀∀∀∀n∈∈∈∈IN,bn+1 = bn2 Par récurrence immédiate, on en déduit :∀∀∀∀n∈∈∈∈IN,bn =(b0)2n

2) b) Vérifier : b0≤ 0,04 b0 =a0 − 2 a0 +2 =(a0− 2)2 a02 − 2 . Or a02 – 2 =1 4 et |a0 –2| = |1,5 –2| ⩽ 0,1 donc (a0− 2)2⩽ 0,01 Ainsi b0≤≤≤≤ 0,04 2) c) En déduire l'encadrement : 0⩽ an –2⩽3× (0,04)2ⁿ On déduit des deux questions précédentes que, pour tout n, bn⩽(0,04)2n Or : |an –2| = |bn| ×|an +2| Or 2⩽1,5 et an⩽sup (a0 , a1) = 1,5 car

( )

ann⩾1 est décroissante, a0 = 1,5 et a1 =17 12 Donc : ∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, |an –2|⩽3××××(0,04)2n

2) d) En déduire un rangn1 à partir duquelan est une approximation de 2 à10-10prés. On cherche n tel que 3×(0,04)2n ⩽10- 10 . On a : 3×(0,04)2n ⩽10- 10 ⇔ ln3− 2n ln(250) ⩽− 10 ln(10) ⇔ n⩾1 ln(2)× ln

( )

10 ln(10) + ln3 ln(250): il suffit de prendre n⩾ n1 = 3 PARTIE III Un problème de point fixe. Dans cette partie, on se propose de généraliser certains résultats mis en évidence dans les parties précédentes. On considérera une fonction ϕ définie et de classe C1 sur un intervalle réel I = [a,b]. On note m un réel tel que, pour tout x de I, on ait : |ϕ'(x)|⩽ m et on supposera que m est un réel strictement inférieur à 1. Enfin, on supposera qu'il existe α élément de I vérifiant la condition : ϕ(α) =α On se propose de trouver des valeurs approchées de α comme limite d'une suite et d'examiner la rapidité de la convergence de cette suite. 1) On définit par récurrence la suite u par les conditions : *u0 est élément d'un intervalle centré en α et inclus dans I. * Pour tout n entier naturel : un+1= ϕ( un) En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout entier naturel n, un est élément de I et justifier la relation, pour tout n entier naturel : |un − α| ⩽ mn |u0 − α| En déduire que la suite u converge vers α. ϕ étant 1-lipschitzienne etϕ(α) = α, on a :∀ε>0, ϕ ( [α − ε, α + ε]) ⊂[α − ε, α + ε] Ainsi, en choisissant ε>0 tel que [α − ε, α + ε] = J⊂ I et u0∈ J, on a :∀n∈IN, un∈ J Or, en appliquant l'inégalité des accroissements finis, on a :∀n∈IN, |ϕ(un) −ϕ(α) | ⩽ m |un−α| donc |un+1−α | ⩽ m |un−α| Aussi, par récurrence immédiate, on en déduit :∀∀∀∀n∈∈∈∈IN, |un−−−−αααα| ⩽ mn |u0−−−−αααα| Puisque |m| < 1, mn tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ etdonc

( )

unn∈∈∈∈IN converge vers αααα 2) On suppose désormais que ϕ est de classeC2 sur I et que K est un réel tel que, pour tout x de I on ait :|ϕ"(x)|⩽ K. Dans cette question, ou fera de plus les hypothèses supplémentaires suivantes: ϕ'(α) = 0 et ϕ"(α) ≠ 0 2) a) On suppose la formule de Taylor-Lagrange affirmant : ∀t ∈I, ∃θ ∈]0,1[ | ϕ(t) = ϕ(α) + (t – α) ϕ'(α) + (t – α)2 2 ϕ"(α + θ (t – α)). Montrer que : ∀n∈ ,un+1 –α⩽K 2()un – α2 puis, ∀n∈: un –α⩽

( )

K 2 2n − 1 ()u0 –α²

n On a :∀t ∈I, | ϕ(t) – ϕ(α)| ⩽K 2()t –α2 . En particulier : ∀∀∀∀n∈∈∈∈ ,un+1 –αααα⩽K 2()un –αααα2 Par récurrence "immédiate", on en déduit :∀∀∀∀n∈∈∈∈: un –αααα⩽

( )

K 2

2n −−−− 1 ()u0 –αααα²

n

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2) b) En déduire que l'on peut choisiru0 de manière à ce qu'il existe un réel strictement positif A et un réel q strictement compris entre 0 et 1 tel que : un – α⩽Aq2n

On pose q =K 2 |u0−α | . On peut choisir u0 de telle sorte que l'on ait |q| < 1. On pose A =2 K ∀∀∀∀n∈∈∈∈: un –αααα⩽Aq2n 2) c) Application : En utilisant l'approximation de 2 trouvée dans la partie I.3) a) et en appliquant les résultats précédents à la fonction g définie dans la partie II, donner un indice n2à partir duquelanest une approximation de 2 à10-10 près. On travaille avec la fonction g de la partie précédente. On a g'(2) = 0 , g"(2) =2 2≠ 0 Sur [1,4 ; 1,5], |g"| est majorée par K = 0,75. Si on prend u0 = 1,5, on a q = 0,0375 et A= 2,67 < 3 Avec n2 = 3, on a pour tout n⩾ n2, Aq2n ⩽ 1,2 . 10 – 11 ⩽ 10 – 10 Donc pour a3 est une valeur approchée de 2 à 10 – 10 près Or on a : a0 = 3 2 = 1,5, a1 = 17 12 = 1,416667 à 10-6 près , a2 = 577 4082 = 1,414215 à 10-6 près et enfin a3 = 665857 470832 = 1,4142135623 à 10-10 près