Chapitre 1: Cinématique du Point

Chapitre 1: Cinématique du Point

1. Position par rapport à un référentiel

Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est rectiligne ou parabolique (tir oblique, ...)

La position du mobile M est repérée par son vecteur position : OM $$$$$$$⃗ &x

y

z ⇔ OM $$$$$$$⃗ = 𝑥 𝚤⃗ + 𝑦 𝚥⃗ + 𝑧 𝑘$⃗

b) Repère de Frenet (M, T$$⃗, N$$⃗) (lié au mobile) La trajectoire doit être connue d’avance !

Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est circulaire/elliptique (satellites, charges dans un champ magnétique, ...)

La trajectoire est munie d’une origine O. Elle est orientée (si possible dans le sens du mouvement).

La position du mobile M est repérée par son abscisse curviligne s.

k j i ! !

! , ,

OM!!!!"

Le repère de Frenet est lié au point M. Il comporte deux vecteurs unitaires et :

• est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens de l’orientation de la trajectoire.

• est perpendiculaire (= normale) à et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

Si la trajectoire n'est pas plane on ajoute un troisième vecteur unitaire bi-normal k$⃗

perpendiculaire à T$$⃗ et N$$⃗.

2. Vitesse par rapport à un référentiel

(1)

La vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps.

La vitesse exprime la rapidité avec laquelle la position varie.

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.

T! N! T!

N!

T!

dt OM d t lim OM v t 0

¾®

¾

¾®

¾

®

D =

D

= D

!

v! ^¾¾®

OM

v!

b) Coordonnées cartésiennes

(2)

(3)

(1) et (3) Þ

(4)

(2) et (4) Þ

c) Coordonnées de Frenet

Comme est tangent à la trajectoire vN = 0 Þ Définition de la vitesse : v$⃗=^dOM$$$$$$⃗_dt = lim

Δt→0 ΔOM$$$$$$⃗

Δt = lim

Δt→0 M₁M₂

$$$$$$$$$$$$⃗

Δt avec Dt = t2 – t1

Si : Dt ® 0 Þ M$$$$$$$$$$$⃗→∆s∙T$$⃗ Þ v$⃗ = lim₁M₂

Δt→0

∆s Δt ∙ T$$⃗

Finalement : Þ et vN = 0 Comme vN = 0, la norme de v$⃗ vaut : v = |vT | = D^EF_EGD

k v j v i v v v v v

v _{x y z}

z y

x ! ! ! !

! Û = + +

k z j y i x OM z y x

OM ! ! !

+ +

= Û ^¾¾®

¾®

¾

) k z j y i x dt(

v!= d !+ !+ !

dt k j dz dt i dy dt

v!= dx!+ !+ !

dt v_x = dx

dt v_y = dy

dt v_z = dz

N v T v v v

v

v _{T N}

N

T ! ! !

! Û = +

v!

v v T= T×!

!

dtT v!= ds !

dt v_T = ds

d) Vitesse linéaire et vitesse angulaire dans le cas du mouvement circulaire uniforme Un mobile M se déplace à vitesse constante v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

Origine des temps et des espaces: à t = 0, M se trouve à l'origine O de la trajectoire circulaire que l'on oriente dans le sens du mouvement.

La position du mobile peut être repérée soit par son abscisse curviligne s, soit par son abscisse angulaire q qui mesure l'angle de la rotation depuis l'origine O sur le cercle.

A l'instant t1, son abscisse

curviligne est s1, à l'instant t2, il est s2. Son déplacement pendant la durée Dt = t2 - t1 est Ds = s2 - s1. A l'instant t1, son abscisse angulaire est q1. (C'est l'angle entre CO et CM1.) A l'instant t2, il est q2. Son angle de rotation pendant la durée Dt = t2 - t1 est Dq = q2 - q1.

La mesure de l'abscisse angulaire q est positive si la trajectoire du

point a été orientée dans le sens du mouvement ! Cette mesure s'exprime en radians (rad) dans le Système International d'unités.

• Relation entre l’arc et l’angle :

, où Dq est exprimé en rad Le radian est donc l'angle pour lequel l'arc est égal au rayon.

Pour 1 tour complet, Ds = 2pR.

On a donc : 1 tour = 360° = 2p rad.

• Vitesse linéaire v (instantanée) :

C'est la vitesse instantanée de M: .

Dans le cas du mouvement uniforme (formule vue en classe de 2^e) Ds R= ×Dq

dt v ds v= _T =

v s t

= D D

• Vitesse angulaire w (instantanée) :

C'est l'angle duquel M tourne par unité de temps:

Dans le cas du mouvement uniforme Û (formule à retenir) Unité S.I.: 1 rad/s.

• Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point :

Finalement: (formule à retenir)

• Période de rotation T : C'est la durée d'1 tour :

Û Période (formule à retenir)

• Fréquence de rotation f :

C'est le nombre de tours par seconde.

En T secondes il y a 1 tour En 1 seconde il y a 1/T tours

Fréquence exprimée en hertz (Hz) (formule à retenir)

t 0

lim d

t dt

D ®

Dq q

w= =

D t

w= Dq

D Dq =w×Dt

s R

v R R

t t t

D ×Dq Dq

= = = × = ×w

D D D

v R= ×w

t T si 2 D = Dq= p 2

T

w= p 2

T p

= w

f 1

=T

3. Accélération par rapport à un référentiel

(1)

L’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

L'accélération exprime la rapidité avec laquelle la vitesse varie.

Comme

L’accélération est la dérivée seconde de la position par rapport au temps.

b) Coordonnées cartésiennes

(2)

(3)

(1) et (3) Þ

(4)

(2) et (4) Þ ; ;

dt v d t lim v a t 0

!

! ! =

D

= D

® D

a!

v!

2 2

dt OM d dt

OM d dt a d dt , OM v d

¾®

¾

¾®

¾

¾®

¾

÷=

÷÷ ø ö çç

ç è æ

=

= !

!

a! OM^¾¾®

k a j a i a a a a a

a _{x y z}

z y

x ! ! ! !

! Û = + +

k v j v i v v v v v

v _{x y z}

z y

x ! ! ! !

! Û = + +

) k v j v i dt(v

a!= d _x!+ _y!+ _z! dt k j dv dt i dv dt

v

a!= d ^x !+ ^y !+ ^z !

dt v a_x = d ^x

dt v a_y = d ^y

dt v a_z = d ^z

Or Þ

De même pour ay et az Þ

c) Coordonnées de Frenet

L’accélération exprime la rapidité avec laquelle varie en norme et en direction.

• Accélération d’un mobile en mouvement rectiligne : a$⃗ ∥ v$⃗ Þ a$⃗=a_T∙ T$$⃗ car aN = 0 Déterminons aT !

Finalement : et aN = 0

La coordonnée tangentielle de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la norme de la vitesse varie.

v$⃗ et a$⃗ de même sens Û norme v augmente Û mvt de plus en plus rapide v$⃗ et a$⃗ de sens opposé Û v diminue Û mvt de plus en plus lent (freinage)

dt

v_x = dx _x ²₂ dt

x a = d

2 2 2 z

2 2 y

2

x dt

z a d

dt ;

y a d

dt ;

x

a = d = =

N a T a a a

a

a _{T N}

N

T ! ! !

! Û = +

v!

t lim v a t 0 D

= D

® D

! !

t T v lim v

a ^{2T 1T}

0 t

! !

D

= -

® D

t T lim v

a ^T

0 t

! !

D

= D

® D

dt T a! = dv^T !

T T

a dv

= dt

• Accélération d’un mobile en mouvement circulaire uniforme Méthode 1

M effectue un mouvement uniforme de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

A l’instant t = 0, la position du mobile M0 est donnée par le vecteur position OM₀

$$$$$$$$⃗ et par l’abscisse angulaire q0 = 0.

Soit un repère cartésien (O, i⃗ , j⃗) tel que l’axe Ox soit colinéaire à OM$$$$$$$$⃗₀.

A l’instant t, le vecteur position est OM$$$$$⃗

et l’abscisse angulaire q.

La relation du mouvement circulaire uniforme s’écrit ici : .

Exprimons les coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération !

Vecteur position : OM $$$$$$$⃗ Lx=OM⋅ cos θ=R⋅ cos (ω t)y=OM⋅ sin θ=R⋅ sin (ω t) (1)

Vecteur vitesse : v $$⃗= ^{dOM $$$$$$$⃗}_dt ⇒ v$⃗ W^vx=

dx

dt= - ω ∙ R ∙ sin (ωt) v_y=^dy

dt= ω ∙ R ∙ cos (ωt) Vecteur accélération : a $$⃗= ^d_dt^{v $$⃗} ⇒ a$⃗ W^ax=

dvx

dt = - ω² ∙ R ∙ cos (ωt) = - ω² ∙ x a_y=^dvy

dt = - ω² ∙ R ∙ sin (ωt) = - ω² ∙ y (2)

• (1) et (2) Þ a $$⃗ = - ω^Y∙ OM$$$$$$⃗ Þ a $$⃗ est de même direction que OM$$$$$$⃗ (colinéaire à N$$⃗)

• Comme , a $$⃗ est de sens contraire à celui de OM$$$$$$⃗ ⇔ a $$⃗ centripète

• Norme de a $$⃗:

• Coordonnées de a $$⃗ : (v = Rw)

La cordonnée normale de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la direction de la vitesse varie.

Dq =w× Dt

q=wt

2 0

-w <

2 2

a=w ×OM=w ×R

2 2

T N

a 0 et a R v v

= = w = R = w

M (t=0)⁰ R

M (t)

O

y

x

N a

i j

T

Méthode 2

M effectue un mouvement uniforme de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

v constant Þ et a$⃗=a_N∙ N$$⃗

Déterminons aN !

* Signe de aN :

Dt ® 0 Þ Þ direction et sens de ® direction et sens de Donc : de même direction et de même sens que Û aN > 0 Û est centripète

* Valeur de aN :

Dt ® 0 Þ Dq ® 0 Þ corde AB ® arc

Þ ou (v1 = v2 = v)

(Dq entre et = abscisse angulaire entre les vecteurs positions et

!)

Comme v = Rw

T T

a dv 0

= dt =

t lim v a t 0 D

= D

® D

! !

0 v !

! ®

D Dv! N!

a! _N^! a!

t lim v t

lim v a

a N t 0 t 0 D

= D D

= D

= D® D®

! !

AB! v AB v!

D ®" = × Dq

N t 0

t 0

a limv t v lim

t v

D ®

D ®

= × Dq D

= × Dq D

= ×w v1

! v2

!

OM!!!!!"1

OM!!!!!"2

w

= w

=

= R v

R

a v ²

2 N

Conclusions:

1. Au cours d'un mouvement circulaire uniforme de rayon R et de vitesse v (de vitesse angulaire w), l'accélération est centripète et de norme :

Coordonnées de a$⃗ : aT = 0 ;

2. La coordonnée normale de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la direction de la vitesse varie.

d) Remarque : mouvement curviligne quelconque

Dans le cas général d'un mouvement circulaire non uniforme, l’accélération s’écrit : 𝑎⃗ = 𝑎_b∙𝑇$⃗ +𝑎_d∙𝑁$$⃗ = dv_T

dt ∙𝑇$⃗ +v² r ∙𝑁$$⃗

et : v = |vT | = D^EF_EGD

Cette expression reste même valable pour un mouvement curviligne quelconque. Ici r désigne alors le rayon de courbure de la trajectoire qui peut varier durant le mouvement.

Ce n'est que pour un mouvement circulaire que le rayon de courbure r est constant.

Exemples : v

$$⃗∙ a$⃗ > 0 ⇔ angle entre v $$⃗ et a$⃗ aigu

⇔ v aumente

⇔ mvt de plus en plus rapide v

$$⃗∙ a$⃗ < 0 ⇔ angle entre v $$⃗ et a$⃗ obtus

⇔ v diminue

⇔ mvt de plus plus lent (freinage)

v

$$⃗∙ a$⃗ = 0 ⇔ angle rectangle entre v $$⃗ et a$⃗

⇔ v constant

⇔ mvt circulaire et uniforme v

$$⃗∙ a$⃗ = 0 ⇔ 𝑠𝑖 a$⃗ = 0$⃗ ⇔ v$⃗ constant

⇔ mvt rectiligne et uniforme

2

v 2

a R

= R = w

2

2 N

a v R

= R = w

4. Mouvements rectilignes

Nous les étudions dans un repère cartésien comportant un seul axe Ox parallèle au mouvement.

Nous établirons les formules vues en classe de 2^e beaucoup plus aisément à l'aide des relations avec les dérivées.

a) Mouvement rectiligne uniforme (MRU) C'est un mouvement à vecteur accélération nul!

* Conditions initiales (C.I.)

t = 0 Þ x = x0 (1)

vx = v0x (2)

* Accélération

"t

* Vitesse

(K = constante d'intégration) (3) Déterminons K : t = 0 : (2) Þ vx = v0x

(3) Þ vx = K D'où : K = v0x !

Finalement : "t

* Position

Or (K' = constante d'intégration) (4)

Déterminons K' : t = 0 (1) Þ x = x0

(4) Þ x = K’

D'où : K' = x0 !

Finalement : "t Þ

=0

a! ! a_x =0

x

x x

a dv 0 v K

= dt = Þ =

x 0

x v

v =

x 0x 0x

v dx v x v t K '

= dt = Þ = +

0 x

0 t x

v

x= +

b) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) C'est un mouvement à vecteur accélération constant!

* Conditions initiales (C.I.)

t = 0 Þ x = x0 (1)

vx = v0x (2)

* Accélération

constant Þ ax constant "t

* Vitesse

(K = constante d'intégration) (3) Déterminons K : t = 0 : (2) Þ vx = v0x

(3) Þ vx = K D'où : K = v0x !

Finalement : "t (4)

* Position

Or (K' = constante d'intégration) (5)

Déterminons K' : t = 0 (1) Þ x = x0

(5) Þ x = K' D'où : K' = x0 !

Finalement : "t (6)

En éliminant t entre (4) et (6) on obtient une relation entre les vitesses et les abscisses : Û

a!

x

x x x

a dv constant v a t K

= dt = Þ = +

x 0 x

x a t v

v = +

2

x x 0x x 0x

dx 1

v a t v x a t v t K '

dt 2

= = + Þ = + +

0 x 0 2

xt v t x

2a

x= 1 + +

) x x ( a 2 v

v²_x - ²_0x = _x - ₀

( )

x = D

D