L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

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A L

E S

E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Stéphane BIJAKOWSKI

Formes modulaires surconvergentes, ramification et classicité Tome 67, n^o6 (2017), p. 2463-2518.

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FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES, RAMIFICATION ET CLASSICITÉ

par Stéphane BIJAKOWSKI

Résumé. — Nous prouvons un résultat de classicité pour les formes modulaires surconvergentes sur les variétés de Shimura PEL de type (A) ou (C), sans hypo- thèse de ramification. Nous utilisons une méthode de prolongement analytique, qui généralise des résultats antérieurs dans le cas non ramifié. Nous travaillons avec le modèle rationnel de la variété de Shimura, et utilisons un plongement dans la variété de Siegel pour définir les structures entières sur l’espace rigide.

Abstract. — We prove in this paper a classicality result for overconvergent modular forms on PEL Shimura varieties of type (A) or (C), without any ramification hypothesis. We use an analytic continuation method, which generalizes previous results in the unramified setting. We work with the rational model of the Shimura variety, and use an embedding into the Siegel variety to define the integral structures on the rigid space.

Introduction

Les formes modulaires p-adiques et surconvergentes ont été introduites pour étudier des congruences entre formes modulaires. Pour prouver des propriétés sur ces nouveaux objets, il apparaît important de montrer qu’ils sont proches des formes classiques. Le résultat de Coleman [5] montre qu’une forme surconvergente propre pour l’opérateur de HeckeUp est classique si le poids est suffisamment grand devant la valuation de la valeur propre. Plus précisément, on a le résultat suivant.

Théorème. — Soitf une forme surconvergente de poidsk∈Z, propre pourUp de valeur propreap. Sik >1 +v(ap), alorsf est classique.

Mots-clés : Formes modulaires surconvergentes, variétés de Shimura, ramification, classicité.

Classification Mathématique (2010) :11F46,11S15,14G35.

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La preuve originale de Coleman repose sur une étude de la cohomolo- gie de la courbe modulaire rigide. Buzzard [4] et Kassaei [10] ont donné une nouvelle preuve de ce théorème en utilisant une méthode de prolongement analytique. Plus précisément, une forme modulaire surconvergente peut être vue comme une section d’un faisceau sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif (c’est-à-dire le lieu où le sous-groupe universel de lap-torsion de la courbe elliptique est multiplicatif). En utilisant la dy- namique de l’opérateur de HeckeU_p, on peut étendre facilement la forme au lieu supersingulier. Sur le lieu ordinaire-étale, les auteurs arrivent à construire des séries approchant la forme désirée, et arrivent à les recoller avec la forme initiale sous la condition du théorème. Cela prouve que la forme surconvergente peut être étendue à toute la variété rigide, et donc est classique.

De nombreux travaux ont ensuite été faits pour des variétés de Shimura plus générales. Citons notamment les résultats de Sasaki [20], Pilloni–

Stroh [16], Tian–Xiao [23], Johansson [9] dans le cas Hilbert, ainsi que Pilloni–Stroh [15] pour les variétés de Shimura déployées. L’auteur, dans un article publié avec Pilloni et Stroh [3], a notamment généralisé le résultat de classicité pour les variétés de Shimura avec bonne réduction, c’est-à-dire en supposant que le nombre premier pest non ramifié dans la donnée de Shimura. Ce résultat a été obtenu en généralisant la méthode du prolongement analytique. Le cas où le nombre premier p est ramifié pose des problèmes techniques. Il est possible, en adaptant cette méthode, de pro- longer la forme surconvergente au lieu de bonne réduction. Pour conclure à la classicité, il faudrait disposer de modèles entiers des compactifications toroïdales, et démontrer un principe de Koecher. C’est ce qui a été fait par l’auteur dans le cas Hilbert [2]. Notons également que Johansson [9] obtient des résultats dans ce cas.

Pour des variétés de Shimura plus générales, il semble très technique de construire des modèles entiers des compactifications. Les modèles rationnels des compactifications ont été construits par Pink [17]. Il est peut-être possible de les définir par normalisation dans un autre espace. En effet, si X désigne la variété de Shimura entière, il existe un morphisme X → Y, oùY est une variété de Siegel, pour laquelle il est possible de construire des modèles entiers des compactifications. On peut alors définir une compactification deX comme la normalisation de cet espace dans une compactification deY. La difficulté technique est alors de prouver que cet espace vérifie les propriétés attendues, notamment le principe de Koecher.

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Pour éviter ces difficultés, nous avons décidé de travailler avec le modèle rationnel de la variété de Shimura, et l’espace analytique associé. Rappelons que siKest une extension finie deQp, etX unK-schéma de présentation finie, alors on peut associer à X un espace rigide X^an, l’analytifié de X, dont lesK-points sont les mêmes que ceux deX. Nous travaillons donc avec l’analytifié de la variété de Shimura. Les principales difficultés concernent les structures entières, qui étaient présentes naturellement dans le cas de bonne réduction. En particulier, il est nécessaire de définir le degré d’un sous-groupe de la variété abélienne, ainsi qu’une norme sur l’espace des formes modulaires. Sixest un point de cet espace analytique, il correspond à une variété abélienneAdéfinie sur une extension finieLdeQp, avec des structures additionnelles. D’après un théorème de réduction semi-stable de Grothendieck, on sait que quitte à étendre L, il existe un schéma semi- abélien A0 sur OL égal à A en fibre générique. En utilisant ce schéma semi-abélien, on peut donc définir les degrés pour les sous-groupes deA, ainsi qu’un modèle entier pour l’espace vectorielωA.

Cette définition point par point des structures entières peut être globali- sée de la manière suivante. SoitX la variété de Shimura surK considérée etX^anson analytifié ; alors il existe un morphisme deXvers une variété de SiegelAg. SoitAg une compactification entière deAg, etAg

rig l’espace rigide associé. Alors on a un morphismeX^an→A_g^rig. Les structures entières définies surA_g^rig peuvent donc se transporter naturellement surX^an.

Puisque nous n’utilisons pas les modèles entiers des variétés de Shimura, nous devons modifier notre définition des formes modulaires surconvergentes. Dans les papiers précédents, nous utilisions une forme faible des formes surconvergentes : il s’agissait de sections définies sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif dans l’espace rigide X_rig associé au modèle entier de la variété de Shimura. Ici, puisque nous travaillons avec l’espace analytifié Xân, nous devons changer cette définition. Une défini- tion forte des formes surconvergentes est alors une section définie sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif dans l’espace rigideXân, où Xest une compactification rationnelle deXetXânson analytifié. Au final, nous obtenons le théorème de classicité suivant.

Théorème(Théorèmes 4.1 et 5.18). — Soitpun nombre premier, etX une variété de Shimura PEL de type (A) ou (C) de niveau Iwahorique enp.

On suppose que surQpl’algèbre de la donnée de Shimura est isomorphe à un produit d’algèbres de matrices. Soitf une forme modulaire surconvergente (au sens fort) surX de poids κ. On suppose quef est propre pour une famille(Ui)d’opérateurs de Hecke en p, de valeurs propres(ai). Si le

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poidsκ est suffisamment grand devant la famille des (v(a_i)), alors f est classique.

Dans le cas (A), nous devons supposer l’existence du lieu ordinaire pour que le problème ait un sens. Nous avons également un résultat de classicité pour les variétés de Shimura avec un niveau arbitraire enp. Remarquons que dans ce cas, la variété de Shimura ne possède pas de modèle entier, donc la situation est a priori plus compliquée que la précédente. Cependant, puisque nous travaillions avec l’espaceX^an, notre résultat se généralise dans ce cas.

Théorème (Théorème 6.11). — Soit pun nombre premier, et X une variété de Shimura PEL de type (A) ou (C) de niveau Γ1(pⁿ) en p. On suppose que surQp l’algèbre de la donnée de Shimura est isomorphe à un produit d’algèbres de matrices. Soitf une forme modulaire surconvergente (au sens fort) surX de poids κ. On suppose que f est propre pour une famille(Ui)d’opérateurs de Hecke enp, de valeurs propres(ai). Si le poids κest suffisamment grand devant la famille des(v(a_i)), alorsf est classique.

Dans les deux théorèmes précédents, les relations entre le poids et les pentes sont les mêmes, et sont analogues à celles des théorèmes dans le cas de bonne réduction (voir les théorèmes 4.1 et 5.18 pour plus de détails).

Parlons maintenant de l’organisation du texte. Nous traitons tout d’abord le cas des variétés de type (C). Après avoir introduit la variété de Shimura et l’espace des formes modulaires, nous définissons les structures entières sur l’espace analytique sur lequel nous travaillons. Nous montrons ensuite comment les résultats précédents de l’auteur sur le prolongement analytique permettent de prouver un théorème de classicité. Nous traitons le cas des variétés de type (A) dans la partie 5, et le cas d’un niveau arbitraire en pdans la partie 6. Enfin, dans l’appendice, nous rappelons certaines pro- priétés utiles sur les schémas semi-abéliens, et définissons les degrés partiels d’un schéma en groupe fini et plat avec une action d’un certain anneau.

L’auteur souhaite remercier son directeur de thèse Benoît Stroh pour ses conseils, remarques et encouragements. Il souhaite également remercier Pascal Boyer, Vincent Pilloni et Jacques Tilouine pour des discussions intéressantes. Il remercie enfin l’ANR Arshifo pour son soutien financier.

1. Espace de modules et formes modulaires

Nous étudions dans ce paragraphe le cas des variétés de Shimura de type (C), en autorisant le nombre premierpà être ramifié dans la donnée

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de Shimura. La principale difficulté dans ce cas provient de l’absence de modèles entiers pour les compactifications de la variété de Shimura. En effet, l’espace de modules définit un schéma sur l’anneau des entiers d’une extension finie deQp, et il est possible de construire des compactifications de cet espace après inversion de p. Construire des modèles entiers pour ces compactifications qui vérifierons des bonne propriétés est un exercice difficile (voir [18] dans le cas Hilbert). Il est peut-être possible de définir les compactifications en prenant la normalisation d’un certain espace dans un autre, mais vérifier que cette compactification vérifie les bonnes propriétés serait au minimum long et pénible.

La principale difficulté posée par l’absence de modèle entier des compactifications est l’absence du principe de Koecher. Ainsi, siX^rig est l’espace rigide associé à la variété de Shimura entière, une section du faisceau des formes modulaires sur X^rig ne provient plus nécessairement d’une forme modulaire classique. Pour remédier à ce problème, nous allons utiliser le modèle rationnel de la variété de Shimura, et travailler avec l’espace analytique associé. Nous adaptons ensuite les résultats obtenus dans les parties précédentes à cet espace analytique.

1.1. Données de Shimura

Rappelons les données paramétrant les variétés de Shimura PEL de type (C) (voir [12]. Soit B une Q-algèbre simple munie d’une involution positive ?. Soit F le centre de B et F₀ le sous-corps de F fixé par ?. Le corpsF0est une extension totalement réelle deQ, soitdson degré. Faisons les hypothèses suivantes :

• F=F0.

• Pour tout plongementF →R,B⊗F R'Mn(R), et l’involution? est donnée parA→A^t.

Soit également (U_Q,h•,•i) unB-module hermitien non dégénéré, l’accou- plement étant alterné. SoitGle groupe des automorphismes duB-module hermitienU_Q; pour toute Q-algèbreR, on a donc

G(R) = (

(g, c)∈GL_B(U_Q⊗_QR)×R^∗, hgx, gyi=chx, yi

pour toutx, y∈U_Q⊗_QR )

Soient τ1, . . . , τd les plongements de F dans R,et Bi = B ⊗F,τi R ' Mn(R). AlorsG_R est isomorphe à

G

d

Y

i=1

Sp_2g

!

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oùg= _2nd¹ dim_QU_Q.

Donnons-nous également un morphisme deR-algèbresh:C→EndBU_R tel quehh(z)v, wi=hv, h(z)wiet (v, w)→ hv, h(i)wiest définie positive.

Ce morphisme définit donc une structure complexe sur U_R : soit U_R^1,0 le sous-espace deU_Rpour lequelh(z) agit par la multiplication parz. On a alorsU^1,0

R 'Qd

i=1(Rⁿ)^g en tant queB⊗_QR'Ld

i=1M_n(R)-module.

Soient également un ordreOB deB stable par ?, et un réseau U deU_Q tel que l’accouplementh•,•irestreint àU×U soit à valeurs dansZ. Nous ferons les hypothèses suivantes :

• B⊗_QQ^pest isomorphe à un produit d’algèbres de matrices à coefficients dans une extension finie deQp.

• OB est un ordre maximal enp.

• L’accouplementU ×U→Zest parfait enp.

L’algèbre B est un Q-espace vectoriel. Soit α1, . . . , αt une base de cet espace vectoriel, et

det

U^1,0=f(X1, . . . , Xt) = det(X1α1+· · ·+Xtαt;U^1,0

C ⊗_CC[X1, . . . , Xt]) On montre [12] quef est un polynôme à coefficients algébriques. Le corps de nombresE engendré par ses coefficients est appelé corps réflexe, et est égal àQdans le cas (C).

Soithle nombre d’idéaux premiers deF au-dessus dep, que l’on notera π₁, . . . , π_h. Soient égalementf_ile degré résiduel ete_il’indice de ramification deπi. On a donc (p) =Qh

i=1π_i^eⁱ. AlorsB⊗_QQp'Qh

i=1Mn(Fi), oùFiest la complétion deF enπi. Le corpsFi est donc une extension finie deQ^p, de degrédi:=eifi, d’indice de ramificationei et de degré résiduelfi.

1.2. Variété de Shimura

Définissons maintenant la variété de Shimura PEL de type (C) associée à G. Soit K une extension finie de Qp contenant les images de tous les plongements possiblesF ,→Qp. SoitN>3 un entier premier à p.

Définition 1.1. — SoitX sur Spec(K) l’espace de modules dont les S-points sont les classes d’isomorphismes des(A, λ, ι, η)où

• A→S est un schéma abélien

• λ:A→A^t est une polarisation de degré premier àp.

• ι:O_B→EndAest compatible avec les involutions?et de Rosati, et les polynômesdetU^1,0 etdetLie(A)sont égaux.

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• η : A[N] → U/N U est une similitude symplectique O_B-linéaire, qui se relève localement pour la topologie étale en une similitude symplectiqueO_B-linéaire

H1(A,A^pf)−→U⊗_ZA^pf

Proposition 1.2. — L’espaceX est un schéma quasi-projectif surK.

De plus, il est possible de construire des compactifications toroïdales de l’espaceX. Celles-ci sont construites par exemple dans [17]. On rappelle que la construction de ces compactifications nécessite un choix combinatoire, que l’on supposera fait dans la suite. Rappelons ici le principal théorème de Pink quant aux compactifications toroïdales des variétés de Shimura, et la fonctorialité de ces constructions. On renvoie à [17] pour les définitions précises et les constructions.

Théorème 1.3 ([17, théorème 12.4]).

• SoitD une donnée de Shimura, et X la variété de Shimura asso- ciée ; c’est un schéma défini sur le corps réflexe E. Alors, à tout choix combinatoire suffisamment fin Σon peut associer une compactification toroïdaleX^Σ. C’est un schéma propre surE, lisse si le choix combinatoire l’est également.

• SiΣ1est un choix combinatoire plus fin queΣ2, alors l’identité deX s’étend de manière unique en une immersion ouverteX^Σ¹ ,→X^Σ².

• Soient D1 et D2 deux données de Shimura, avec un morphisme D1 → D2. Alors, on a une inclusion des corps réflexes E2 ⊂ E1, et un morphisme de variétés de Shimura X₁ → X₂×E2 E₁. Soit Σi un choix combinatoire pour Xi. Si Σ1 est suffisamment fin, alors le morphisme précédent s’étend en un morphisme X1

Σ1

→ X₂^Σ²×E₂E₁.

Soit donc X une compactification toroïdale de X, associé à un choix combinatoire lisse. C’est un schéma propre et lisse sur K. On supposera ce choix fixé dans la suite, en ayant à l’esprit que l’on peut prendre ce choix combinatoire arbitrairement fin. Le schéma abélien universelA→X s’étend en un schéma semi-abélienA→X. Nous allons maintenant définir une structure de niveau Iwahorique surX. SiA→Xest le schéma abélien universel surX, on a

A[p^∞] =

h

M

i=1

A[π_i^∞]

De plus, les groupes de Barsotti–TateA[π_i^∞] sont principalement polarisés de dimensionndig.

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Définition 1.4. — Soit X_Iw l’espace de modules sur K dont les S- points sont les(A, λ, ι, η, Hi,j)où(A, λ, ι, η)∈X(S)et 0 =Hi,0⊂Hi,1⊂

· · · ⊂H_i,g est un drapeau de sous-groupes finis et plats, stables par O_B, et totalement isotropes deA[πi], chaque Hi,j étant de hauteurnfij, pour tout16i6h.

L’espace XIw est un schéma quasi-projectif sur K, et on dispose du morphisme d’oubliX_Iw → X. Soit également X_Iw une compactification toroïdale lisse deXIw surK. On suppose que les choix combinatoires sont faits de telle manière à ce que le morphismeXIw→Xs’étend enXIw→X (cela est possible d’après le théorème 1.3).

Enfin, nous noterons Xân, X_Iwân, Xân et Xân_Iw les espaces analytiques associés respectivement aux schémas X et X_Iw, X et X_Iw (voir [1] par exemple).

1.3. Formes modulaires

Pour tout idéal premierπ_idivisantp, on rappelle queF_iest la complétion deF au-dessus deπi.

Soit Ale schéma semi-abélien universel sur X, et soit ωA =e^∗Ω¹

A/X le faisceau conormal relatif à la section unité deA; il est localement pour la topologie de Zariski isomorphe àSt⊗_QO_X commeB⊗_QO_X-module, où

St=

h

M

i=1

(F_iⁿ)^g SoitT = Isom_B⊗O

X(St⊗O_X, ωA). C’est un torseur surXsous le groupe M =

h

Y

i=1

Res_F_i_/_Q_pGL_g

!

×_Q_pK

SoitTM le tore diagonal deM,BM le Borel supérieur deM, etUM son radical unipotent. SoitX(T_M) le groupe des caractères deT_M, etX(T_M)⁺ le cône des poids dominants pour BM. Si κ ∈ X(TM)⁺, on note κ⁰ =

−w₀κ∈X(T_M)⁺, où w₀ est l’élément le plus long du groupe de Weyl de M relativement àTM.

Soitφ:T →X le morphisme de projection.

Définition 1.5. — Soit κ ∈ X(TM)⁺. Le faisceau des formes modulaires de poids κest ω^κ = φ_∗O_T[κ⁰], où φ_∗O_T[κ⁰] est le sous-faisceau de φ∗OT oùBM =TMUM agit parκ⁰ surTM et trivialement surUM.

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Le faisceau ω^κ est un faisceau localement libre de rang fini surX. Une forme modulaire de poidsκsurX est donc une section globale deω^κ, soit un élément deH⁰(X, ω^κ). En utilisant la projectionX_Iw→X, on définit de même le faisceauω^κ surXIw, ainsi que les formes modulaires surXIw. On notera encoreω^κ le faisceau analytifié surX^anet X^an_Iw.

Remarque 1.6. — Par équivalence de Morita, la catégorie desM_n(A)- modules et celle des A-modules sont équivalentes, pour tout anneau A.

L’équivalence de catégorie est explicite : à unA-moduleM, on associeMⁿ, qui est bien muni d’une action deM_n(A) ; réciproquement, à unM_n(A)- moduleN, on associe le A-moduleE1,1N, où E1,1 est la matrice avec un seul coefficient non nul en position (1,1) égal à 1. De cette manière, puisque B⊗_QQp =Qh

i=1M_n(F_i), et que le faisceauω_A est isomorphe àSt⊗ O_X commeB⊗_QO_X-module, l’équivalence de Morita associe àωA le faisceau de (Qh

i=1Fi)⊗_QO_X-modules défini parE·ωA, oùEest la projection défini par (E_1,1)_i∈Qh

i=1M_n(F_i). Ce faisceau est isomorphe à (Lh

i=1F_i^g)⊗_QO_X comme (Qh

i=1Fi)⊗_QO_X-module.

1.4. Opérateurs de Hecke

Soit 1 6 i 6 h. Soit Ci l’espace de modules sur K paramétrant les (A, λ, ι, η, H_j,k, L) avec (A, λ, ι, η, H_j,k)∈X_Iw et L un sous-groupe fini et plat deA[πi], stable parOB, totalement isotrope et supplémentaire deHi,g

dansA[π_i]. Nous avons deux morphismes finis étales p₁, p₂ : C_i → X_Iw : p1 est l’oubli de L, et p2 est le quotient par L. Une ambiguïté subsiste toutefois pour la polarisation surA/L. Soitξiun élément totalement positif de l’anneau des entiers deF, avecv_π_i(ξ_i) = 1 et v_π_j(ξ_i) = 0 sij 6=i. On définit la polarisation surA/L comme la polarisation descendue ξi·λ. Il s’agit bien d’une polarisation de degré premier àp. Le morphismep₂dépend donc du choix d’un tel élément ξi, mais ce choix n’est pas important en pratique (voir [3, remarque 2.3.2]). Remarquons que sipest inerte dansF, on peut choisirξi=p.

SoitC_iânl’espace analytique associé àCi; on note encorep1,p2:C_iân→ X_Iwân les morphismes induits. L’opérateur de Hecke agissant sur X_Iwân est défini parUπ_i(S) :=p2(p⁻¹₁ (S)) pour toute partieS deX_Iwân. Cette correspondance envoie les ouverts sur les ouverts, et les ouverts quasi-compacts sur les ouverts quasi-compacts.

Notonsq:A→A/Ll’isogénie universelle au-dessus deC_i. Celle-ci induit un isomorphismeq^∗ :ωA/L →ωA, et donc un morphisme q^∗(κ) :p^∗₂ω^κ →

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p^∗₁ω^κ. Pour tout ouvertU deX_Iw^an, nous pouvons donc former le morphisme composé

Ueπ_i:H⁰(Uπ_i(U), ω^κ)−→H⁰(p⁻¹₁ (U), p^∗₂ω^κ)

q^∗(κ)

−→ H⁰(p⁻¹₁ (U), p^∗₁ω^κ)^{T r}−→^p¹ H⁰(U, ω^κ) Définition 1.7. — L’opérateur de Hecke agissant sur les formes modulaires est alors défini parU_π_i =_p¹_niUe_π_i avecn_i=^fⁱ^g(g+1)₂ .

Remarque 1.8. — Le terme de normalisation _p¹_ni sert à maximaliser l’intégrabilité de l’opérateur de Hecke, comme le montre un calcul sur les q-développements.

A priori, cet opérateur n’est défini que sur l’espaceH⁰(X_Iw^an, ω^κ), et non surH⁰(X^an_Iw, ω^κ). Etudions les problèmes au bord.

Il existe une compactification toroïdaleCideCi. D’après le théorème 1.3, il existe un choix combinatoire pourCitel que le morphismep1:Ci→XIw

s’étend en un morphismeC_i →X_Iw. Par le même argument, il existe un autre choix combinatoire pour Ci tel que le morphisme p2 s’étend aux compactifications pour ce choix combinatoire. Or, étant donné deux choix combinatoires on peut toujours en trouver un troisième plus fin que les deux premiers. Le théorème 1.3 montre donc qu’il est possible de construire une compactification toroïdaleCitelle que les morphismep1etp2s’étendent en des morphismesCi→XIw. Si on noteCân_i l’espace rigide analytique asso- cié àC_i, on obtient des morphismesp₁, p₂:Cân_i →Xân_Iw. La même formule que précédemment permet de définir un opérateur de Hecke géométrique U_π_i agissant sur les parties de Xân_Iw. Néanmoins, les morphismesp₁ et p₂ n’étant plus finis étales, cette correspondance ne respecte plus la topologie, c’est-à-dire que l’image d’un ouvert n’est pas nécessairement encore un ouvert. Pour la même raison, il n’est pas possible de définir l’opérateurUπi

agissant sur H⁰(X^an_Iw, ω^κ) par la même formule que précédemment. Pour pallier à ce problème, nous utilisons le théorème suivant.

Théorème 1.9 ([14]). — Soit Y un espace rigide lisse quasi-compact, etZ un fermé Zariski deY de codimension supérieure ou égale à1. Alors toute fonction bornée surY\Z s’étend de manière unique en une fonction surY.

Soit f ∈ H⁰(X^an_Iw, ω^κ). Alors Uπ_if définit un élément deH⁰(X_Iw^an, ω^κ).

Comme l’espaceX^an_Iw est quasi-compact, la formef est automatiquement bornée (c’est-à-dire qu’il existe un recouvrement admissible deX^an_Iwpar des ouverts affinoïdes sur lesquels on a une trivialisation du faisceauω^κ, et la

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formef est bornée uniformément sur chacun de ces ouverts). Il n’est pas difficile de voir que l’opérateur Uπ_i est borné, donc que Uπ_if est bornée (c’est-à-dire qu’il existe un recouvrement admissible deXân_Iwpar des ouverts affinoïdes sur lesquels on a une trivialisation du faisceauω^κ, et Uπ_if est bornée uniformément sur chacun de ces ouverts intersectés avecX_Iwân). On peut alors appliquer le théorème précédent, et la forme Uπif s’étend en une section de ω^κ sur Xân_Iw. L’opérateur Uπ_i agit donc bien sur l’espace H⁰(Xân_Iw, ω^κ).

Remarque 1.10. — Nous définirons dans la suite une norme sur l’espace H⁰(X^an_Iw, ω^κ), et majorerons la norme des opérateurs U_π_i (voir la partie 2.2).

Nous avons donc défini h opérateurs agissant sur l’espace des formes modulaires.

2. Structures entières 2.1. Fonction degré

Nous souhaitons définir des fonctions degrés sur les espacesX_Iw^anetX^an_Iw. Les sous-groupes universelsHi,jétant définis sur des extensions finies deQp

(et non sur leur anneau des entiers), on ne peut appliquer directement les résultats de [7]. Le problème principal est l’absence de modèle entier pour la compactification ; en effet, si le schémaX_Iw admettait un bon modèle entier propre, on pourrait définir la fonction degré sur l’espace rigide associé à ce modèle entier, qui serait égal àX^an_Iw par propreté. Pour remédier à ce problème, nous allons utiliser une autre variété de Shimura, pour laquelle les structures entières sont bien connues.

Définition 2.1. — Soit 1 6i 6 h. Soit A_ndg,Iw_i la variété de Siegel surZpparamétrant

• un schéma abélienAde dimensionndg.

• λ:A→A^t est une polarisation de degré premier àp.

• une structure de niveau principale en N, c’est-à-dire un isomor- phismeA[N]'(Z/NZ)^2ndg qui respecte les formes symplectiques à un scalaire près.

• un sous-groupeH deA[p], totalement isotrope et de hauteurnf_ig.

On dispose d’un morphisme naturelPi:XIw→ Andg,Iw_i×K, défini par P_i(A, λ, ι, η, H_i,j) = (A, λ, η, H_i,g). On noteraA^an_ndg,Iw

i, l’espace analytique

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associé àAndg,Iwi×K, et on note toujours par Pi le morphismeX_Iw^an → A^an_dg,Iw

i. D’après [22], il existe une compactification Andg,Iw_i de Andg,Iw_i

définie surZp. Si on noteA^rig_ndg,Iw_il’espace rigide associé àAndg,Iw_i×_Z_pOK, et A^an_ndg,Iw

i l’espace analytique associé àA_ndg,Iw_i×K, alors ces deux es- paces sont égaux car l’espace compactifié est propre. Le sous-groupe uni- verselH sur Andg,Iw_i s’étend en un groupe quasi-fini et plat à Andg,Iw_i. De plus, d’après le théorème 1.3, on peut supposer (quitte à raffiner la dé- composition polyhédrale utilisée pour construireXIw) que le morphisme Pi:X_Iw→ Andg,Iwi×Ks’étende enX_Iw→ Andg,Iwi×K, et donc induise un morphismeX^an_Iw→ A^an_ndg,Iw

i.

Nous allons définir le degré de H sur A^rig_ndg,Iw_i. Si x est un point de A^rig_ndg,Iw

i, alors le schéma en groupesH correspondant à xest fini et plat sur l’anneau des entiers d’une extension finie deQp. On peut donc définir son degré par [7]. Dans le cas général, sixest unL-point deA^rig_ndg,Iw_i, alors le groupe H au-dessus de x est un schéma en groupes quasi-fini et plat surOL, l’anneau des entiers deL. Le schéma semi-abélienAau-dessus de xest obtenue par la construction de Mumford (voir [6] par exemple) en quotientant un schéma semi-abélienGe surOL, globalement extension d’un tore T et d’un schéma abélien A₀ sur O_L, par un réseau étale Y (on se référera à [22] partie 1 pour plus de détails). Comme explicité en annexe (partie 7.1), on a de plus une suite exacte en fibre générique

0−→(G[p])e η −→(A[p])η−→ 1

pY /Y −→0

oùηdésigne la fibre générique. Le sous-groupe (G[p])e ηs’étend en un schéma en groupes fini et plat sur O_L (qui est G[p]). Soite He l’intersection de H avecG[p] ; c’est un schéma en groupes fini et plat sure OL. Il s’agit en fait du plus grand sous-groupe deH qui est fini et plat surO_L. On peut donc définir son degré par [7].

Définition 2.2. — On définit la fonction degré sur A^rig_ndg,Iw_i par deg(x) =_n¹degH, pour toute x∈ A^rig_ndg,Iw

i.

On a ainsi défini une fonction deg : A^rig_ndg,Iw_i →[0, fig]. Cette fonction est définie surA^rig_ndg,Iw_i =A^an_ndg,Iw_i.

Définition 2.3. — On définit la fonction Deg_i : X^an_Iw → [0, f_ig] par Deg_i(x) = degPi(x). On définit également la fonction degré Deg :X^an_Iw→ Qh

i=1[0, fig]parx→(Deg_i(x))i.

(14)

Pour tout produit d’intervalle I=Qh

k=1I_k, où I_k est un sous-intervalle de [0, fkg], on note XIw,I := Deg⁻¹(I). Le lieu ordinaire-multiplicatif X^mult_Iw deX^an_Iw correspond au lieu où les degrés des H_i,g sont maximaux, soit àXIw,I avecI=Qh

i=1{fig}.

Proposition 2.4. — SiIest un produit d’intervalles compacts à bornes rationnelles, alorsXIw,I est quasi-compact.

Démonstration. — Commençons tout d’abord par remarquer que, puisque l’espace XIw est propre sur K, l’espace rigide-analytique X^an_Iw est quasi-compact. Soit q : A → A/H le morphisme universel au-dessus de Andg,Iw_i, il est quasi-fini et plat (il est fini sur Andg,Iw_i). Soit ω⁰_A = dete^∗Ω¹_A et ω_A/H⁰ = dete^0∗Ω¹_A/H les déterminants des faisceaux conor- maux associés à A et A/H en leurs sections unités e et e⁰. Soit L = ω⁰_A/H⁻¹⊗ω_A⁰ ; c’est un faisceau inversible sur Andg,Iw_i. Le morphisme q^∗:ω_A/H⁰ →ω_A⁰ donne une sectionδH ∈H⁰(Andg,Iw_i,L). On en déduit un faisceau inversible que l’on notera toujoursL surA^rig_ndg,Iw

i et une section δH ∈ H⁰(A^rig_ndg,Iw_i,L). Ce faisceau est naturellement muni d’une norme (voir [10]), et on a pour toutL-pointxdeA^rig_ndg,Iw_i (oùLest une extension finie deQp),|δH(x)|=p⁻ⁿ^deg^x. En effet, en reprenant les notations précé- dentes,xprovient d’un pointx⁰du schéma formel associé àAndg,Iw_i. SoitA le schéma semi-abélien défini surO_Lau-dessus dex⁰ (quitte à prendre une extension deL),Aest le quotient deG, extension d’un tore par un schémae abélien surO_L, par un réseau étaleY. On renvoie à l’appendice (partie 7.1) pour plus de détails. On a alors un isomorphismeωA'ω

Ge. De plus, si on note He l’intersection de H avec G[p], alorse A/H est le quotient de G/e He par un réseau étale. On a alors un isomorphismeω_A/H'ω

G/e ^He

. Au-dessus dex⁰, le faisceauLest isomorphe à (detω

G/e ^He

)⁻¹⊗detω

Ge. CommeHe est un schéma en groupes fini et plat surOL, on a bien |δH(x)| = p⁻ⁿ^deg^x. Cela prouve que la fonction degré, définie a priori point par point, est en fait la valuation d’une fonction analytique.

Soit Li := P_i^∗L, et δH_i,g := P_i^∗δH. Alors δH_i,g ∈ H⁰(X^an_Iw,Li), et la norme définie pourδ_H sur A^rig_ndg,Iw

i donne naturellement une norme pour δ_H_i,g, et on a |δHi,g(x)| = p⁻ⁿ^Degⁱ^(x) pour tout L-point x de X^an_Iw. Cela

permet de conclure la proposition.

Définition 2.5. — L’espace des formes modulaires surconvergentes est défini par

H⁰(X^an_Iw, ω^κ)^†:= colimVH⁰(V, ω^κ)

(15)

où la colimite est prise sur les voisinages strictsV deX^mult_Iw dansX^an_Iw. Remarque 2.6. — D’après le théorème 1.9, on a

H⁰(X^an_Iw, ω^κ)^†= colim_VH⁰(V, ω^κ)^b

où la colimite est prise sur les voisinages stricts du lieu ordinaire-multiplcatif dansX_Iw^an, et oùH⁰(V, ω^κ)^bdésigne les fonctions bornées surV (au sens de la norme que nous définirons dans le prochain paragraphe). La définition des formes surconvergentes est donc indépendante du choix combinatoire effectué pour la compactification.

Remarque 2.7. — Il s’agit d’une définition forte des formes surconvergentes. En effet, l’espaceX_Iwa un modèle entierX_Iw,0définie sur l’anneau des entiers d’une extension finie deQp. Une définition faible pour les formes surconvergentes est alors une section deω^κ sur un voisinage strict du lieu ordinaire-multiplicatif dansX_Iw,0^rig , ce dernier espace étant la fibre générique de la complétion formelle deXIw,0 le long de sa fibre spéciale.

Une forme modulaire surconvergente est donc définie sur un espace du typeX_Iw,I avecI=Qh

i=1[f_ig−ε, f_ig], pour un certainε >0.

Les fonctions degré se comportent relativement bien par rapport aux opérateurs de Hecke.

Proposition 2.8. — Soit 1 6 i 6 h, x ∈ X^an_Iw et y ∈ Uπ_i(x). Soit x_j = Deg_j(x), ety_j = Deg_j(y)pour16j6h. Alors

• y_j=x_j pourj6=i.

• yi>xi

De plus, s’il existey∈U_π^2e_iⁱ(x)avecDeg_i(y) = Deg_i(x), alorsxi∈ _e¹

iZ. Démonstration. — Au-dessus du pointx, on dispose d’une variété semi- abélienneA munie d’une action de OB, définie sur une extension finie M deQp, et d’un drapeau complet H_j,1 ⊂ · · · ⊂H_j,g de A[π_j] pour tout j.

De même, au-dessus dey, on a une variété semi-abélienneA⁰ et des sous- groupesH_j,k⁰ , tel que ceux-ci sont obtenus à partir des données précédentes en quotientant par un sous-groupeL de A[πi], qui est un supplémentaire deHi,g. De plus, quitte à remplacerM par une de ses extensions finies, il existe un schéma semi-abélienA₀défini surO_M, tel queA=A₀⊗OLL. Par extension des sous-objets, les sous-groupesHj,k etLdeA[p] s’étendent en des sous-groupesH_j,k,0 et L₀deA₀[p]. De même, l’action deO_B se relève àA0, et les sous-groupesHk,l,0sont dansA0[πk]. Enfin, il existe un schéma semi-abélien ˜Gsur O_M, extension d’un tore par un schéma abélien, telle queA0 soit obtenu par la construction de Mumford en quotientantGe par

(16)

un réseau étale (on renvoie encore à l’appendice pour plus de détails). On a alors une inclusionG[p]e ⊂A₀[p] ; soitHe_j,k=G[p]e ∩H_j,k,0etLe=G[p]e ∩L₀. SoitH_j,k,0⁰ l’image deHj,k,0 dansA0/L. CommeA0[p] =Lh

k=1A0[π^e_k^k] et queLe est inclus dansA₀[πi], sij 6=i, les groupes quasi-finis et platsHj,g,0

etH_j,g,0⁰ sont isomorphes, et doncyj=xj. L’élément xi est égal au degré deHei,gdivisé parn, et commeLest un supplémentaire deHi,gdansA[πi], l’élémentyiest égal au degré deG[πe i]/eLdivisé parn. Or par les propriétés de la fonction degré, on a

degHei,g+ deggLe6degg(Hei,g+L)e 6deggG[πe i] ce qui donnex_i6y_i.

Pour prouver le second point, supposons qu’il existe y ∈ U_π²ei i

(x) avec Deg_i(y) = Deg_i(x). On dispose au-dessus dexd’un couple (A, λ, ι, η, Hk,l), et le schéma semi-abélien au-dessus deyest obtenu en quotientant par un sous-groupeLdeA[π_i^2eⁱ]. De plus, commeA[π^∞_i ] est muni d’une action de Mn(Fi), il existe un groupe de Barsotti–Tate principalement polarisé Gi

muni d’une action de O_F_i tel que A[π_i^∞] = (Qp/Zp)ⁿ⊗_Z_pG_i. De même le sous-groupeHi,g s’écrit (Z/pZ)ⁿ⊗H_i,g⁰ , où H_i,g⁰ est un sous-groupe de G_i[π_i]. On voit donc que quitte à travailler avec G_i et H_i,g⁰ , on peut se ramener au cas oùn= 1.

On note F il_k = L[π_i^k], pour 0 6 k 62e_i, etGr_k =F il_k/F il_k−1 pour 16k62ei. De même que précédemment, il existe un schéma semi-abélien A₀défini sur l’anneau des entiers d’une extension finieM deQ^p, étendant le schéma semi-abélienA. L’action de OB se relève àA0, de même que les sous-groupesHi,getL. On noteraHi,g,0etL0 les sous-groupes deA0[π^2e_i ⁱ] étendant respectivement H_i,g et L. De même, il existe un schéma semi- abélienG, extension d’un tore par un schéma abélien sure OM, telle queA0

soit obtenue en quotientantGepar un réseau étale à l’aide de la construction de Mumford. On noteHe =Hi,g,0∩G[p] ; comme on a supposée n= 1, le degré deHe est précisémentxi. De même, on notegF ilk =L0[π_i^k]∩G[pe ²] et Grfk =gF ilk/gF il_k−1. NotonsHe^(k) = (G/ge F il_k−1)[πi]/Grfk, nous avons une chaîne de morphismes

He −→He⁽¹⁾−→He⁽²⁾ −→. . .−→He^(2eⁱ⁾

Dans (G/ge F il_k)[π_i], on a deux sous-groupes disjoints : He^(k) et Grf_k+1. On a alors

degHe^(k)+ deggGrf_k+16degg(He^(k)+Grf_k+1)6degg(G/ge F il_k)[π_i] d’où degHe^(k)6He^(k+1) pour toutk. On a donc degHe 6degHe⁽¹⁾ 6· · ·6 degHe^(2eⁱ⁾. Or Deg_i(x) = degH, et Dege _i(y) = degHe^(2eⁱ⁾, et par hypothèse

(17)

Deg_i(x) = Deg_i(y). On en déduit que les inégalités précédentes sont en fait des égalités, et que l’on a degHe^(k)= Deg_i(x) pour tout 06k 62e_i. L’égalité entre degrés montre que l’on a (G/ge F ilk)[πi] =He^(k)⊕Grfk+1. On voit que le degré de Grfk est constant, et que deggF ilk = kdeggF il1. En particulier pourk etl compris entre 0 etei, on a deggF ilk+l= deggF ilk+ deggF ill; d’après les propriétés de la fonction degré, la suite

0−→gF ilk −→gF ilk+l π_i^k

−→gF ill−→0

est exacte. En appliquant cette relation pour k = l = ei, on voit que Le est un Barsotti–Tate tronqué d’échelon 2. En particulier, son degré et celui degF ile_i sont entiers. La proposition découle de la relation Deg_i(x) = f_ig−_e¹

ideggF il_e_i.

L’opérateur de HeckeU_π_i augmente donc lai-ième fonction degré, et ne modifie pas les autres. De plus, il augmente strictement la fonction Deg_i, sauf éventuellement aux points où cette fonction est un multiple de 1/e_i. Nous avons même un résultat plus fort.

Proposition 2.9. — Soit 1 6 i 6 h, k un entier compris entre 0 et f_ie_ig−1 et 0 < α < β <1 deux rationnels. Alors il existe ε >0 tel que Deg_i(y)>Deg_i(x) +ε, pour toutx∈Deg⁻¹_i ([^k+α_e

i ,^k+β_e

i ])ety∈U_π^2e_iⁱ(x).

Démonstration. — DéfinissonsC_icomme l’espace de modules surKpa- ramétrant les (x, L) avecx= (A, λ, ι, η, Hj,k)∈XIw et L un sous-groupe fini et plat deA[π_i^2eⁱ], stable par OB, totalement isotrope et supplémen- taire deH_i,gdansA[π_i^2eⁱ]. NotonsC_iune compactification deC_icompatible avecX^an_Iw, etC_i^anl’espace analytique associé. On dispose d’un morphisme d’oublip1:Ci

an→X^an_Iw.

On veut définir les degrés de Hi,g etH_i,g⁰ :=Im (Hi,g→A/L) surCi an

comme valuations d’une fonction analytique. Il nous faut pour cela utiliser encore l’espace Andg,Iw_i. On définit deux morphismes f1, f2 : Ci → Andg,Iwi×K par

f1(A, λ, ι, η, Hj,k, L) = (A, λ, η, Hi,g) f2(A, λ, ι, η, Hj,k, L) = (A/L, λ⁰, η⁰, H_i,g⁰ )

On peut supposer que ces morphismes s’étendent aux compactifications et induisent des morphismes Ci

an → A^an_ndg,Iw_i. On démontre comme pré- cédemment qu’il existe des faisceaux inversibles LH_i,g, L_H⁰

i,g sur Ci an, munis d’une norme canonique, et des sections δ_H_i,g ∈ H⁰(C_i^an,LHi,g), δ_H⁰

i,g ∈H⁰(Ci an,L_H⁰

i,g), tels que les degrés deHi,g et H_i,g⁰ sont égaux (à un facteur près) à la valuation de la norme de ces sections.