Sur les images homomorphes d'un demi-groupe ordonné

B ULLETIN DE LA S. M. F.

M.-L. D ^UBREIL -J ^ACOTIN

Sur les images homomorphes d’un demi- groupe ordonné

Bulletin de la S. M. F., tome 92 (1964), p. 101-115

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Bull. Soc. math. France^

92, 1964, p. 101 à n5.

SUR LES IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNÉ ;

PAR

MARIE-LOUISE DUBREIL-JACOTIN

(Paris).

Dans tout ce qui suit il s'agira d'un demi-groupe S muni d'un ordre noté ^ (qui est en général un ordre partiel) supposé isotone par rapport à l'opération (a < b entraîne ax ^ bx et xa ^ xb). Un homomorphisme de S sur un demi-groupe S ordonné est une application y? de S sur S qui est un homomorphisme pour l'opération [^ (ab) === T] (d)r] (b)] et qui est isotone pour la relation d'ordre [a < b entraîne a == T] (a) ^ î = YÎ (6)].

Le problème posé est l'étude de telles images homomorphes et isotones et plus spécialement de celles qui sont des groupes.

Si la relation d'ordre dans S est l'égalité (a ^_ b si et seulement si a = b), on est ramené à l'étude classique des images homomorphes d'un demi- groupe (voir par exemple [2]). Un cas particulier fondamental du problème général est fourni par la théorie d'Artin-Prùfer ([14], § 131) : S est alors le treillis multiplicatif S des idéaux fractionnaires d'un anneau cl commutatif intègre et unitaire. S est l'ensemble quotient de J par l'équivalence d'Artin de : a = a' (c4) si e : a == e : a ' , où e est l'élément unité cl de J; r^ est l'application canonique de S sur J/clc; de plus, l'équivalence d'Artin peut aussi être considérée comme l'équivalence d'application de la fermeture considérée dans J par Prufer et qui n'est pas autre chose que û —> a == e : (e : a), et l'ensemble S des fermés est isomorphe à S, chaque classe correspondant bijectivement au fermé qu'il contient, à savoir son élément maximum. Enfin J est un groupe si et seulement si cl est « intégralement fermé ». Toutes les généra- lisations successives de ces résultats à des demi-groupes ordonnés plus ou moins généraux (M.-L. DUBREIL-JACOTIN [3], [4]; L MOLINARO [8];

G. MAURY [7]; J. QUERRÉ [9], [10], [11], [12], [13]; T. S. BLYTH [1]) ont

102 M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

trait à des demi-groupes supposés résidués (pour tout couple d'éléments a et b de S les ensembles ^ a ' . b ) > e i < ^ a . ' b ^ des x tels que xb ^ a et des y tels que by ^ a ne sont pas vides — ce que nous exprimerons en disant que les complexes ^ a ' . b )> et <^ a. ' 6 )> existent — et ont chacun un élément maximum respectivement les résiduels à gauche a ' . b et à droite a . ' b ) , et la solution est donnée indifféremment par des équi- valences généralisant l'équivalence d'Artin ou par des fermetures.

Bien que nous ayons déjà remarqué qu'une équivalence d'Artin géné- ralisée pouvait être considérée dans un gerbier non résidué ([4], p. 242), c'est seulement maintenant que le problème posé est abordé dans toute sa généralité. Il vient d'être résolu par L. FUCHS dans un travail intitulé On group homomorphic images of partially ordered semigroups présenté en décembre 1962 aux Acta Se. Math. Szeged, dans les hypothèses sui- vantes : S est supposé avoir un élément neutre e et être seulement quasi résidué c'est-à-dire les quasi-résiduels < ( a ' . b ^ e t ^ a . ' b ) > existent pour tous les couples d'éléments a et b de S. De plus L. FUCHS impose que tout élément a dont l'image a est inférieure à e est inférieur à e.

Dans ce travail, nous ne supposons plus S quasi résidué; nous suppo- sons seulement qu'existent les quasi-résiduels dont l'existence est néces- saire et suffisante pour obtenir des résultats tout à fait analogues à ceux de L. FUCHS; de plus, nous ne supposons plus que S admet un élément neutre e, mais seulement que l'image réciproque de e admet un élément maximum \ qui majore tout élément ayant son image plus petite que é. Dans la dernière partie, nous donnons des applications de ces résultats; nous indiquons aussi un exemple simple de demi-groupe ordonné pour lequel on obtient un groupe homomorphe S par une équi- valence d'Artin généralisée, alors qu'aucune fermeture ne peut donner ce résultat.

§ 1.

Rappelons d'abord qu'on appelle application de fermeture dans un demi-groupe ordonné S une application cp de S dans S vérifiant l'un ou l'autre des systèmes équivalents d'axiomes ([6], p. ig5) :

( (i °) a ^ a == 9 (a), (2°) a ^ b entraîne a ^=, b, ( (3o) a==^^(a))==a;

(F) (i°) a^a==^(a), (2'°) a ^ b entraîne a ^ b.

Soit alors êç l'équivalence d'application associée : a == a' (êç) si a == a'. En vertu de (3°) les éléments a et a appartiennent à la même classe A et, à cause de (i°), a est élément maximum de sa classe.

L'application 9 de S sur 5' = 9 (S) est isotone à cause de (2°) et si l'on définit dans S, qui n'est pas stable en général pour l'opération de S,

IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNÉ. lo3

l'opération « T » par le procédé classique dTb =aî, l'application est un homomorphisme si et seulement si cp (ab) == cp (ab), c'est-à-dire si et seulement si

(4°) ab = ~aÏ.

Et cette condition est évidemment nécessaire et suffisante pour que l'équi- valence d'application êy soit compatible avec l'opération,

Remarquons qu'à cause de (3°) cette condition est équivalente aux deux conditions ab = ab et ab == ab; mais la dernière exprime que ab et ab appartiennent à la même classe mod ê^ donc ab ^aÏ; inver- sement cette inégalité entraîne à cause de (2'°) ab ^ ab c'est-à-dire l'égalité puisque l'inclusion inverse est toujours vraie. La condition (4°) est donc équivalente à ab ^ ab et ab ^ ab', J. QUERRÉ a montré l'intérêt de ces inégalités dont chacune caractérise la régularité d'un côté de ê^

pour l'opération ([9]).

En résumé pour toute fermeture satisfaisant à (4°) la bijection qui associe à toute classe mod êç son élément maximum est un isomor- phisme de S sur 5'/^o. S étant ordonné par la restriction à S de l'ordre de S et les classes mod êç comme leurs représentants; cet isomorphisme est aussi un isomorphisme d'ensemble ordonné. On a en particulier, si S admet pour T un élément neutre e : la classe E == r^"^ (e) admet un élément maximum ^ ( == e) et (puisque a ^ a),

(g) tout élément a dont l'image a est plus petite que e est plus petit que Ï.

Soient alors S un demi-groupe ordonné et S une image homomorphe de S, le demi-groupe S étant ordonné et l'application YÎ de S sur S étant un homomorphisme isotone. Nous supposerons que S possède un élément neutre e, que le noyau E = y^"⁰ (e) admet un élément maximum \ et que la condition (g) est satisfaite (1), condition que nous écrirons encore : (g) a ^ e entraîne r/~^{1 )} (a) C ^

(^où ^ = \xç.S',x^\\ est la section commençante de ^).

Nous allons déduire quelques conséquences des hypothèses ci-dessus et de l'hypothèse supplémentaire éventuelle : S est un groupe.

LEMME 1 : < ^ ' . a ) > existe pour tout a dont l'image a est inversible à gauche dans S.

(1) Cette condition — équivalente à ï est élément maximum de sa classe dans le cas d'un gerbier et d'une application compatible avec v (sup) ([4], p. 180) — est en général plus forte que cette propriété, comme on le vérifie facilement sur des exemples.

104 M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

Soit en effet a1 ç.r}^ (a-1), on a

YÎ (a' a) = Y} (a') Y} (a) = a-1 a = e

et (g) entraîne : a'a ^ \, donc a'e< ^ '. a >, qui existe bien.

On montre naturellement de même que tout a' tel que aa' =='l appar- tient à <^.' a )> dont l'existence est ainsi assurée.

Soit encore a' tel que a'a = Ç et y tel que va' soit élément de < \ ' . a >;

on a ya'a ^ ^ donc YÎ (^a) ^ YÎ Ç) == e, d'où, puisque TÎ (a'a) = e, Y} (y) ^ e et comme conséquence de (g) : v ^ ^.

Nous dirons que u e [7 est « 1. m. m. » dans U si : vu ç. U entraîne v ^ i [notion introduite par L. FUCHS ([5]) dans le cas où ^ est élément neutre sous le nom de « left multiplicatively maximal »; et de même u sera

« r. m. m. » dans U si uvç. U entraîne v ^ i} (¹).

Nous pouvons donc compléter le lemme 1 par :

LEMME T. — Si a est inversible à gauche dans S tout a ' , tel que a'a == Ï, est 1. m. m. dans <( ^ '. a ^>.

La réciproque se présente sous la forme suivante :

LEMME 2. — Si a' est 1. m. m. dans ^ i ' . a ^ et si a' et a sont inver- sibles à gauche dans S alors a'a = E.

En effet, l'élément a'a est inversible à gauche (condition qu'il suffirait de supposer); soit alors bç.ri^ {a^à)-¹, la relation Y] (ba'a) = e entraîne ba' e <( \',\ a y et, puisque a' est 1. m. m. dans <^ ^ '. a y, b ^ H, d'où b ^ e.

On a, d'autre part, a'a ^ e, d'où ba'a == e^b, ce qui entraîne ~b — ê, et par suite a'a = e, c'est-à-dire a'a = Ï.

Du lemme 1' résulte en particulier que tout élément congru à ^, c'est-à-dire tout élément de E, est 1. m. m. dans < ^ ' . Ç > ; donc, en particulier, ^ a cette propriété, et par suite on a ^ ^ £ et ù^ ^_ ^ entraîne u^c, d'où résulte immédiatement que <^".^ == Y. Comme e est à la fois son inverse à gauche et à droite, on a aussi < ^ ^ . ' Ï ^ > == I.

Donc :

THÉORÈME 1. — L'élément ^ a la propriété que, dans S, les résiduels de '". par lui-même à gauche et à droite existent et sont égaux à "i.

Appelons ^2 l'ensemble des éléments 1. m. m. de <( 1 '.?.)>. On a les deux propriétés immédiates suivantes :

i° Si x est 1. m. m. dans <( \ ' . a y, on a xaç^î.

On a en effet xa^\, donc xaç. < Ï ' . T > et, si uxaç < ^ . ^ > c'est- à-dire TOÛE ^ i, on a urre < ^ '. a >, d'où u ^ .r, puisque a- est 1. m. m.

dans < ; ' . a > .

IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNE. lo5

•2° Si wç. ^ est divisible à droite par a, c«j == a'a, <( \ ' . a )> existe et a' est 1. m. m. dans <^ Ç '. a ^>.

De a^a ^ £ résulte déjà û^ e < [ î , ' . a ) > . Soit alors u tel que lia' ç. < '£ '. a )>, il vient 1 2 0 ^ = 0 0 0 ^ ^ , c'est-à-dire nc-oe ^ ^ . ' ^ , d'où VL^-\ puisque

G J 6 Î 2 .

Appelons A l'ensemble des éléments a de S pour lesquels ^ \ *. a >

existe. Les résultats ci-dessus se résument par :

THÉORÈME 2. — <^ S: ". a y contient des éléments 1. m. m. pour tout a e A 5i ^ seulement si quel que soit aç.A il existe a ' , élément de S, tel que a'aç^î.

Si 5 est un groupe, on a A == S, ^ = E et le théorème 2 exprime que E est net à gauche ce qui est une propriété bien connue ([2]), et l'on peut énoncer aussi :

THÉORÈME 3. — Si S est un groupe, quel que soit a, <( \ •. a ^ existe et les a' tels que a'a === \ sont les éléments 1. m. m. de <( ^*. a ').

Comme l'a signalé L. FUCHS, si a' est 1. m. m. dans <( \ ' . a ' ) , tout a" > a ' , a" e <( ^ •. a )> est aussi 1. m. m. dans <( \ ' . a )>. Donc, si <( ^ *. a )>

admet un élément maximum, (; '. a), les éléments 1. m. m. de <^ ^ *. a )

— s'il y en a — ont un élément maximum ^ '. a. Mais la réciproque est inexacte, le fait que les 1. m. m. de -( ^ '. a ' ) auraient un élément maximum entraîne seulement que cet élément est maximal dans <^*.a^>.

Revenons au cas général, nous avons :

LEMME 3. — Si ri (a) = Y] (b), < ^ ' . a > et < ^ . 6 > existent en même temps et sont égaux.

En effet, si <^ c '. a > existe, pour tout xç <(!;'. a ^ on a xa ^ c, d'où YJ (a;a) ^ ^; mais Y} (0:6) = T] (x) -n (b) = -n (x) -n (a) == ri (xa) ^ e. On a donc xb ^ £, c'est-à-dire :r€<( ^ '. 6 )>, et l'existence de <( ^ *. a ^ entraîne celle de < S i ' . 6 > , et l'on a < ^. a >C<^ ^ * . 6 >, d'où, en répétant le raisonnement en sens inverse, l'égalité. Naturellement on a aussi <( c.' a ' ) et <( Ç . ' b y existent en même temps et sont égaux.

LEMME 4. — Si <( a . ' a y =-- { x ; ax^a j, existe et si a est inversible à gauche alors <( a . ' a > C ^ .^

Soit x ç < ^ a . ' a ) ' , on a ax ^ a', soit a' tel que a'a = ^. On a donc a'a.r^a'a^, et .re<r." a'a>; le lemme 3 entraîne que < ^ . ' a ' a > = < ^ . ' ^ >

et par suite x ^ Ç. Naturellement on a encore, si <( a '. a ^ existe et si a est inversible à droite, <( a'. a )><^.

Remarquons qu'on a en particulier : < ( a ^ . ' a ^ > e t < ( ^ a ' . ^ a ) > existent quel que soit a, car î2 ^ £ entraîne l.^a^'.a et a ï . i ^ a i . Donc

106 M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

^ ^

S^^'.S^Q e t ^ C < ( . a ^ . ' a Ï > . Mais si a est inversible à gauche, il en est de même de al, et le lemme 4 joint à ce résultat donne :

LEMME 5. — Si a est inversible à gauche, on a < ai.' al > = f , c'est- à-dire le résiduel de ai par lui-même à droite existe et est H.

Considérons encore le cas particulier important où le résiduel î ^ ' . a existe. Soit alors . r e < Ç - . a > ; xa^i entraîne ^xa^y^i, et ix est un élément de < ^ •. a >, en particulier il en est ainsi de \ (^ •. a), et l'on a donc ^ 6-. à) ^= (;'. a), d'où ? C < (^. or) •. (^. a) >. On a donc :

LEMME 6. — Si le résiduel Ç \ a existe, le quasi-résiduel à gauche de Ç •. a.

par lui-même existe et ";C < (; '. a) '. (^. a) >.

Si alors a est inversible à gauche, il existe a' tel que a'a ^ ^, et l'on sait que a' est 1. m. m. dans < ^ ' . a > ; on a donc a^^-.a, d'où û ' a ^ ^ ' . a ) a ^ E , et en vertu de la convexité des classes due à l'iso- tonie de Y}, (i; •. a) a =E ;, c'est-à-dire n ((; '. a)a) = YÎ (:) et (lemme 3)

<^.G-.^>=<^.,>.

LEMME 7. — Si î, \ b existe, on a < ^ ' . ab > == < (^. 6) \ a >.

Ceci résulte de ce qu'il est équivalent d'écrire xab ^l ou xa^i'.b.

La condition précédente s'écrit donc < (s '. a) \ (^ '. a) > =f et nous avons :

THÉORÈME 4. — Si le résiduel à gauche \\ a existe et si a est inversible à gauche, on a (^ '. a) ' . (; '. a) == E.

Enfin si S est un groupe, les lemmes 4 et 5 donnent :

THÉORÈME 5. — S étant un groupe. Vêlement Ç est élément maximum de chacun des deux ensembles \^J < a ' . a >, U < a.' a > où la réunion est étendue à tous les a de S tels que < a ' . a > ^ < a . ' a > existent.

Si S est résidué, cet élément n'est pas autre chose que l'élément

« bi-maximum » mis en évidence dans le cas abélien par I. MOLINARO ([8]), et ainsi nommé dans le cas général par J. QUERRÉ ([11]).

L'égalité < ; - . a > = = < ^ - . 6 > entraîne que les éléments 1. m. m. de chacun de ces deux ensembles sont les mêmes. S'il en existe un dont l'image c soit inversible à gauche, on a, en vertu du lemme 2, si a et b sont inversibles à gauche : ça == cb -= \ et si dans S l'inverse à droite de c est unique, il en résulte a = b. On a donc en particulier :

THÉORÈME 6. — Si 5 est un groupe, < ^ . a ) > = < ^ \ & ) > entraîne Y} (a) = -n (b) et l'on a vu, lemme 3, que ceci entraîne aussi <^.' o>= <^.' b').

IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNÉ. 107

De plus

THÉORÈME 7. — Si S est un groupe, pour tout élément a, on a

< , ' . û > = < , / a > .

La propriété est en effet vraie pour tout a tel que à soit inversible à gauche et à droite dans 5. Soit en effet x tel que xa ^ ^ : on a T] (x) YÎ (a) ^ e, d'où YÎ (a) ^ (x)r] (a) ^ -n (a); r\ (a) étant inversible à droite, il en résulte Y} (ax) ^ e, donc ax ^ ^ et ^ ^ ' . a ^ C < ^ ^ . ' a ) > , et l'inclusion inverse se démontre de même.

Rappelons qu'on dit qu'un sous-ensemble X d'un demi-groupe D est réflectif si abçX entraîne baçX. Dans le demi-groupe ordonné S,

^

nous dirons que l'élément c»3 est réflectif si w est réflectif au sens ci-dessus (c'est-à-dire si ab ^ ex) entraîne ba ^ 00). Le théorème 7 exprime donc que Ç est réflectif.

En résumé, s'il existe une application homomorphe et isotone d'un demi-groupe S sur un groupe S vérifiant (g), la solution est nécessai- rement unique : l'élément maximum ^ du noyau est l'élément bimaximum de S et l'équivalence d'application est donnée par l'une ou l'autre des définitions équivalentes :

a==a' (a,) si ^\ay=^'.a!y, 0=0' Oa) si < ; / a > = a . ^ > .

De plus, s'il existe une application de fermeture dans S, compatible avec l'opération et donnant un groupe S comme image, elle est néces- sairement unique puisque l'équivalence d'application de cette ferme- ture est nécessairement l'équivalence ci-dessus.

§ r>

-"•

Étudions maintenant le problème inverse, celui des conditions suffi- santes pour obtenir une image homomorphe et isotone S de S vérifiant (g) et qui soit éventuellement un groupe.

Soit dans le demi-groupe ordonné S un élément \ réflectif et tel que son résiduel par lui-même à gauche et à droite existe et soit \.

LEMME 8. — Si <( \ ' . a ' ) existe, ^ ^ . ' a )> existe et lui est égal.

Soit en effet x ç . ^ ' ^ ' . a y , c'est-à-dire xa^î,\ "c, étant réflectif, il en résulte ax ^ \ et ^ " . a ^ est contenu dans < ( ^ . ' a ) > ; < ( i . ' a ^ existant alors, on a l'inclusion inverse, d'où l'égalité.

LEMME 9. — L'ensemble e^ des éléments x de S tels que ^ ' ^ ' . x ^ existe est un sous-demi-groupe de S.

108 M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

Soient en effet x et y deux éléments de ^; il existe donc u et v tels que ux^\, vy ^$, d'où puisque ^ est réflectif yu^^ et par suite on a uxyu ^ y ^ ^ d'où, toujours à cause de ce que \ est réflectif, vu.xy^^, c'est-à-dire : <:;'..n/> existe et xy est élément de ^.

De plus si xç^, tout élément u de < ^ ' . a ; > appartient aussi à ^, puisque ux^c, entraîne que < Ç . ' u > et par suite aussi < ^ '. u > existent.

^

Naturellement si ; est net (et \ étant réflectif, net d'un côté est suffi- sant) S == ^. Dans x^ on a encore : "i est réflectif et ^ ' . l = 1 . ' ' ^ == ^

LEMME 10. — Si < ; * . a > existe, on a < ^ ' . a: > = < î , . ' î , a > = < ^ ' . a>.

En effet .re< ^ •. a > entraîne rca ^ ^, .rûti ^ r2 ^ c, donc :re< Ç '. al >

et < c ' . a > C < Ç - . a ; > ; et inversement, î / e < ^ - . a ^ > donne ya^^ d'où

?/ae<^.;>, y a ^ S et y e < ^ . a > . On a de même < S . ' ^ > = < S . ' a >

et la propriété résulte du lemme 8 (elle résulte aussi immédiatement du lemme 7).

Définissons alors dans S — ou à défaut dans x^ — l'équivalence d'Artin généralisée à gauche :

a==a' (CU) si <^. a> = <^. a'>.

Cette équivalence est régulière à gauche pour la multiplication par un élément quelconque x de x^. En effet, uç<^^\xa)> entraîne uxç.^'.a'y = = < ; • . a >, donc uxa' ^ et < ^'..ra > c < ^ ' . . r a ' > , et l'on montre de même l'inclusion inverse. Utilisant alors le lemme 8, on a :

THÉORÈME 8. — L'équivalence ^ peut aussi être définie par a ^ a ' si < ^ . ' a > = < ( c . ' a ' >

et elle est compatible avec la multiplication.

Nous l'appellerons l'équivalence d'Artin généralisée relative à ^.

_ / ^ \ Appelons S l'ensemble quotient de S {ou ^ si ^ n'est pas net) par cette équivalence et r^ l'application canonique qui, à tout élément a, associe sa classe a == -/) (a).

Nous allons voir qu'on peut ordonner 5 de manière que l'homo- morphisme ri soit isotone et que (g) soit vérifiée. On a d'abord en vertu du lemme 10 :

THÉORÈME 9. — L'image homomorphe S admet un élément neutre bila- tère e qui est la classe de i:.

Dans S (ou ^), E :== r^-1) (e) est l'ensemble des éléments e., congrus à \ c'est-à-dire tels que < ^ ' . e^ > = < \'^ >. On a donc en particulier Ï e < ^ * . e v > , d'où \e^ ^-_\, e v e < Ï . ' ^ > et ev^Ç.

IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNÉ. 109

^ est donc élément maximum de sa classe E. De plus ue^ e <^ \ ' . 'c, )>

entraîne u e < ^ ' . e v ) > donc u ^ \ et les éléments de E sont les éléments 1. m. m. de <^ *. Ï ^>.

Plus généralement on a :

LEMME 11. — 5i Vêlement c est plus petit que ^ tout élément c' congru à c mod ct^ est aussi plus petit que c.

c <^ entraîne en effet <( \'.\ ^ ^ ^ S ' , c )> == ^ ^ ' . c ' ^ ; on a donc, en particulier, Ï € < ( ^ ' . c ' ^ > , d'où résulte c'e^.';:)>.

LEMME 12. — On ne pei^ pas trouver dans S un nombre fini d'élé- ments a, a\, a\, ..., an, a^ vérifiant a < ûi, a'i < a^ ..., a'^ < a,

^ =E a't•, a ^ ai, di ^ a;+i, 1 = 1 , 2 , . . . , n en posant an+\ == a.

De ^ < âi+i résulte <( ^ '. a^i ^ Ç ^ ^ '. a\ )> = <^ ^ '. a; )>, d'où, de proche en proche jusqu'à i == i, l'inclusion < ( S ' . a ) > C < ^ \ a i ^ qui, avec

^ Ï ' . ^a! Y^^ S ' - ^a ^» entraîné par a < ûi, donner ^ • . a ) > = < ( ^ ' . a i ^> en contradiction avec a^é ai.

Et ce lemme permet d'ordonner S par le procédé classique ([4], p. 177);

on pose a < b, s'il existe ûi, ..., an; a\, ..., a,, tels que

a < ûi, a\ < a-2, ..., a^ < b, a ^ ûi, a; = a,,

^. ^ a^i (i == i, 2, . . . , n) en posant a/,+i == ô.

On a bien : a < b entraîne a ^_ î ; et la relation considérée est la ferme- ture transitive de celle-ci. Dans ces conditions a < ~è veut dire qu'il existe a, ûi, ûi, ..., d,^ Cy tels que

açr^(a), e^çr^(e), ^ = a; (i = i, . . . , n);

a < a , , a ; < ^ + i , .... < < ^ (i = i, ..., n — i).

Mais ^ étant maximum dans sa classe, on a <4 < S; 1e lemme 11 et la transitivité de la relation d'ordre dans S entraînent alors ^"^(a)^

c'est-à-dire la condition (g). On a donc :

THÉORÈME 10. — Soit un demi-groupe ordonné S à tout élément \de S tel que, quel que soit açS, < ^ " . a ) > et < ^ . ' a ) > existent et sont égaux

^

et < ^ ' . ; ^ = = Ç , correspond un homomorphisme isotone et un seul (²) appliquant S sur un demi-groupe ordonné S possédant un élément unité bilatère ~e, dont V image réciproque admet ^ comme élément maximum et

(2) L'unicité veut dire que le demi-groupe S est déterminé à un isomorphisme près et qu'on peut ordonner S pour que l'application soit isotone et que la condi- tion <g) soit satisfaite.

ïl(^ M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

tel que a^e entraîne •n-1 (a) c \\ l'équivalence d'application est alors donnée par 0X3.

Nous sommes alors dans les conditions de l'étude du paragraphe précédent. On a :

THÉORÈME 11. — L'image homomorphe S est un groupe si et seulement si E est net, c'est-à-dire encore si et seulement si tout <^ ^ '. a y contient des éléments L m. m. De plus : ^ majore alors tous les < a ' . a > et < a . ' a >

qui existent et même est élément maximum de[ j < ( a ' . a> etde[ J < a . • a >.

Enfin, on peut encore énoncer la généralisation suivante d'un résultat bien connu. Considérons les équivalences ê^ définies dans le demi- groupe ordonné S, compatibles avec l'opération et la relation d'ordre (c'est-à-dire telles que 5 = 5/ê^ puisse être ordonné de manière que l'application canonique soit isotone) telles que 5 soit un demi-groupe unitaire dont la classe E == ~e admet l'élément maximum ^ et qui

^

vérifient (g). Soit a ==. a' (êv); si ^ est net la même démonstration que celle du lemme 3 donne a^a¹ (cX^); si de plus ^ est tel que a^ == ^a, ce qui est entraîné par ^ réflectif, on a : l'équivalence d'Artin généralisée est la moins fine des équivalences de la famille ê^.

Considérons encore le cas particulier où, quel que soit açS, le résiduel \'.a existe (et où par conséquent ^ . ' a existe aussi et lui est égal). Le théorème 11 joint au lemme 6 donne :

THÉORÈME 12. — S est un groupe si et seulement si \ == (^ '. a) '. (^ *. a) pour tout élément a de S.

Cette égalité est entraînée par la propriété nécessaire : \ est majorant de tous les < a ' . a > et < a : a > qui existent; on a donc aussi :

THÉORÈME 13. — Si les résiduels de c par a, à gauche par exemple, existent quel que soit a, S est un groupe si, et seulement si, ^ est élément « bi- maximum ».

Puisque S est l'ensemble quotient de S par l'équivalence d'Artin généralisée les propriétés des résiduels donnent encore que cette équi- valence est l'équivalence d'application de la fermeture a -> ^ ' . ( ^ . ' a).

Dans ce cas, il est donc équivalent de considérer les équivalences d'Artin généralisée ou les fermetures compatibles avec l'opération dans la recherche des groupes images homomorphes et isotones d'un demi- groupe ordonné S; nous allons voir par un exemple qu'il n'en est pas de même dans le cas général.

Prenons pour S l'ensemble des éléments o et p — ï- où n est un entier supérieur ou égal à 2 et p un entier de signe quelconque ou zéro.

IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNE. I I I

La relation

a==pa——^= b = pb—— si pa=pb et Ua^n^

Ha H/)

a <o si pa == o est une relation d'ordre dans S.

Définissons dans 5' l'opération T par

a T b = (pa + Pb) — I ^ ^ = inf(n^, m), a To = a =-- oTa, oTo == o.

Cette opération est visiblement associative et commutative, o est élément neutre.

Évidemment si a et b sont différents de o et si a ^ b, quel que soit x e S, on a aTx^bTx; si a^o, on a aTx = p . z — — p . — — ^ ^ oTrr == x et l'opération ainsi définie est bien isotone pour la relation d'ordre. On a o : o = = o, ^ o : a ^ == \ — pa — -( ensembles non vides pour tout a e S et qui n'ont d'élément maximum que pour a == o; de plus, pour tout a, a : a == o.

L'équivalence d'Artin généralisée relative à ^ == o : a == a' si ^ o '. a^ == ^ o ' . d ' y

donne comme ensemble quotient un groupe isomorphe au groupe additif des entiers, groupe non ordonné, image isotone vérifiant la condition (g) ; et nous avons ainsi un exemple de demi-groupe ordonné S ayant une image homomorphe et isotone S qui est un groupe et qui vérifie la condi- tion (g), mais qui est tel que V équivalence d'application n'est pas l'équiva- lence d'application d'une fermeture.

Considérons maintenant le cas particulier où S admet un élément neutre e bilatère; dans ce cas tous les ^ a ' . a ) > et ^ a . ' a ^ existent, car e en est élément, e est naturellement congru à \, et si nous voulons que e soit maximum dans sa classe nous devons avoir e == ^. Mais alors e devant aussi majorer tous les <[ a ' . a y et <^ a . ' a y, il est nécessaire que, pour tout a, les résiduels a ' . a existent et soient égaux à e, ce que nous exprimerons encore par : S est intégralement fermé.

Inversement si S est intégralement fermé, e est élément bimaximum;

et si Von suppose que les résiduels à gauche et à droite de e par tout élément a de S existent et sont égaux, l'équivalence d'Artin généralisée Oc et elle seule donne, d'après ce qui précède comme ensemble quotient un groupe ordonné S, image homomorphe et isotone de S vérifiant 0 ce qui généralise le résultat analogue obtenu dans les gerbiers résidués (voir par exemple [6]).

112 M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

§

Q

^.

Appliquons ces résultats au demi-groupe 'V associé à un demi-groupe D, où ^* est l'ensemble des complexes (ou parties non vides de D) avec AB = { ab; açA bç.B} et la relation d'ordre l'inclusion des ensembles.

Ce demi-groupe n'est pas résidué et admet l'élément bi-maximum \ === D.

Le résultat est trivial et donne comme image homomorphe le groupe à un seul élément.

Remarquons que, dans ^\ si <^ A ' . B y existe, alors A ' . B existe, car A ' . B == \^J X, X € < A \ B > .

Soit alors \ == H un élément de ^ réflectif et tel que H \ H = H . ' H = = H ' ,

et soit S le sous demi-groupe Gn des parties X de D telles que H ' . X existe. H étant supposé réflectif, H . ' X existe aussi et lui est égal.

Nous savons que l'ensemble quotient S de S par l'équivalence €in : X = Y si H ' . X = H ' . Y ,

est un demi-groupe qui peut être ordonné de manière que l'application Y]

qui associe à toute partie X de D appartenant à S sa classe X mod clj/

soit un homomorphisme isotone; S admet un élément neutre qui est la classe H de H et X ^ H entraîne XCH pour tout X de X (condition 0).

De plus S est un groupe si, et seulement si, H est élément bimaximum, propriété équivalente à H = ( H ' . A) '. ( H ' . A), pour tout A tel que H ' . A existe.

Remarquons que S contient le sous demi-groupe ^ = } { a } ; a ç D } isomorphe à D si, et seulement si, H est net. Nous nous placerons toujours dans ce cas; dans a) l'équivalence principale p^(') relative à X ([2]) n'est pas autre chose que la restriction à cP de cX^ et O^I^H ^ ^/Px-

La restriction de ^ à a) donne donc une image homomorphe D de D immergée dans le demi-groupe unitaire S. Le plus souvent nous iden- tifierons cP et JD, ^C et H et écrirons a au lieu de ! a j.

LEMME 13. — D contient l'élément neutre si, et seulement si, il existe h ç H tel que H\h=H.

En effet E est la classe de toutes les parties X de S dont le résiduel H ' . X est H, donc E appartient à D si et seulement si un élément a de D est tel que H\ { a } = H, et comme H .' H = H, on a nécessairement

i û j e T î .

(3) ^c étant le sous-ensemble de (Q image de H dans l'isomorphisme considéré.

IMAGES HOMOMORPHES D'UN DEMI-GROUPE ORDONNÉ, i l 3

D'autre part, il résulte de ce qu'on a vu que :

THÉORÈME 17. — Un demi-groupe D qui contient un complexe H net, réfîectif, vérifiant H ' . H ^ H et majorant les A ' . A qui existent lorsque H ' . A existe, admet une image homomorphe et isotone D immer- sible dans un groupe ordonné. L'équivalence OH est, dans ce cas, a fortiori simplifiable.

Rappelons que le complexe H est dit fort ([2]) si H ' . a r \ H ' .b -^ 0 entraîne H ' . a == H '. b, quels que soient les éléments a et b de D. Si H est fort et si Ay est une classe de D modulo l'équivalence principale OH relative à H, c'est-à-dire si A^ est l'ensemble des éléments ai tels que H ' . a > , = H ' . a ^ , on a, dans S, H ' . Ay == H ' , ûy == H ' . Xy quelle que soit la partie Xy non vide de Ay (X^e^* (Av)). Si Y est une partie de D coupant plusieurs classes Ay, H ' . Y est l'intersection des J ï ' . A y relatifs aux classes coupées, c'est 0 s'il y en a plus d'une et Y n'appar- tient pas à 5. On a donc, si H est fort, S = { ' ^ ( A v ) ; A ^ e D / p ^ i ; et ceci n'a lieu que dans ce cas puisque, si H n'est pas fort, il existe a et b différents tels que H ' . a n H ' . b 7^ 0 avec H ' . a y^ H ' . b et

Y == { a, b } appartient à S puisque

H - . Y = H ' . a r \ H ' . b

et Y^ { ^ (Av)} puisque a et b n'étant pas congrus appartiennent à des Av différents. Si H est fort les classes de S mod du sont donc les ensembles ^ (Av) et leur ensemble est isomorphe à l'ensemble des fermés dans la fermeture correspondante, c'est-à-dire aux éléments maximaux Av. On a donc :

THÉORÈME 18. — H étant supposé net, réfîectif et vérifiant H ' . H == H, on a

S^H^D^H

si et seulement si H est fort; et dans ce cas 5" = 5/cl/, est un groupe, image homomorphe et isotone de D.

Le fait que 5/cly/ est un groupe provient de ce que, dans ce cas, tout élément h de H étant congru à H, on a E = ^* (H), qui est alors net puisque, quel que soit XçS, Y = H \ X appartient à S, puisque XCH.- Y = H\ Y montre que H\ Y existe, et XYCH, donne XYç.~È.

Ceci justifie le théorème 11.2 de ([9]) et permet, pour la recherche classique des groupes homomorphes à un demi-groupe D, d'interpréter l'équivalence principale OH sans avoir besoin de considérer un sous-demi- groupe résidué ^ (H) de S ([12] et [13]).

Remarque. — La démonstration précédente a montré que H étant net, réfîectif et vérifiant H ' . H == H, la propriété H fort entraîne

I l 4 M.-L. DUBREIL-JACOTIN.

H ' . h = H , \fhçH; montrons que cette dernière propriété est équi- valente à « H est fort », sous les mêmes hypothèses.

Soit en effet x ç H ' . a r ^ H ' . b ; montrons par exemple l'inclusion H ' . a C H ' . b ; soit u ç ^ H ' . a ^ , donc uaçH, mais xbçH entraîne alors xbuaçH, d'où, H étant réuectif, axbuçH et comme axçH, il en résulte buçH, u ç . ^ H ' . b ^ .

Nous supposerons maintenant que H net, réflectif et vérifiant H ' . H == H n'est pas fort.

D'après la remarque ci-dessus, il en est sûrement ainsi si H, ayant plus d'un élément, vérifie H ' . a ^ H ' . b quels que soient les éléments a et b distincts de D. Dans ce cas l'équivalence principale relative à H est l'égalité et le demi-groupe 5 contient un sous-demi-groupe D image isomorphe de D.

Cette dernière condition et le théorème 17 donnent alors une condi- tion pour que D lui-même soit immersible dans un groupe. On peut la mettre sous la forme équivalente suivante :

THÉORÈME 19. — Si un demi-groupe D contient un complexe H tel que : i° Quels que soient les éléments a et b distincts de D, il existe xç.D tel que axçH, bx^H;

2° abc H entraîne bac H;

3 o H ' . H = H et, pour tout A CD tel que H ' . A ^ 0 , on a H = ( H ' . A ) \ ( H ' . A ) ;

D est immersible dans un groupe.

Des théorèmes 18 et 19 il résulte alors que, si H est fort, D est un groupe G; or dans un groupe G, H = { e } vérifie les conditions i°, 2°, 3°, et est fort. On a donc :

THÉORÈME 20. — L'existence, dans un demi-groupe D, d'un sous-demi- groupe H, fort et vérifiant i°, 2°, 3°, est nécessaire et suffisante pour que D soit un groupe.

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[11] QUERRÉ (J.). — Demi-groupe A-nomal, C. R. Acad. Se. Paris, t. 254, 1962.

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[13] QUERRÉ (J.). — Contribution à la théorie des structures ordonnées et des systèmes d'idéaux (Thèse Se. math., Paris, 1963).

{14] VAN DER WAERDEN (B. L.). — Algebra, II, 4te Auflage. — Berlin, Springer- Verlag, 1959 (Die Grundiehren der mathematischen Wissenschaften, 34).

(Manuscrit reçu le i5 juillet 1968.) Mme M.-L. DUBREIL-JACOTIN,

Professeur à la Faculté des Sciences de Paris, 26, rue Dufrenoy,,

Paris (16®).