FIER LES PERFORMANCES DES SYS -
TÈMES COMBINATOIRES ET SÉQUENTIELS .
CI-5-1 C ODER L ’ INFORMATION - R EPRÉSENTER ,
SIMPLIFIER , VALIDER DES EXPRESSIONS LOGIQUES
Objectifs MODELISER-SIMULER-VALIDER
A la fin de la séquence, l’élève devra être capable de :
• B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement
◦ Coder une information
◦ Exprimer un fonctionnement par des équations logiques
Table des matières
1 Système de numération - codage de l’information 2
1.1 Base de la numération . . . . 2
1.1.1 Définition . . . . 2
1.1.2 Bases de numération usuelles . . . . 2
1.1.3 Exemples . . . . 2
1.2 Changement de bases . . . . 2
1.2.1 Passage d’une base BNà la base décimale B10. . . . 2
1.2.2 Passage de la base décimale B10à une base BN . . . . 2
1.2.3 Passage de la base 2pà la base 2q . . . . 3
1.3 Codage de l’information . . . . 3
1.3.1 Code binaire naturel . . . . 3
1.3.2 Code binaire réfléchi (code Gray) . . . . 3
1.3.3 Le code 3 parmi 5 . . . . 4
1.3.4 Code décimal codé binaire (DCB) . . . . 4
2 Systèmes logiques combinatoires 5 2.1 Définitions . . . . 6
2.1.1 Variables logiques . . . . 6
2.1.2 Système Logique . . . . 6
2.2 Algèbre de Boole . . . . 7
2.2.1 Définition . . . . 7
2.2.2 Propriétés de l’algèbre de Boole . . . . 7
2.2.3 Théorèmes de De Morgan . . . . 7
2.2.4 Identités remarquables . . . . 7
2.2.5 Autres propriétés . . . . 8
2.3 Représentation des fonctions logiques . . . . 8
2.3.1 Table de vérité . . . . 8
2.3.2 Equations logiques . . . . 8
2.3.3 Opérateurs logiques élémentaires . . . . 9
2.3.4 Logigrammes . . . . 9
2.3.5 Schémas à contacts . . . . 10
2.4 Réorganisation des fonction logiques . . . . 11
2.4.1 Cellule universelle . . . . 11
2.4.2 Simplification algébrique d’une fonction . . . . 11
2.4.3 Simplification graphique : tableaux de Karnaugh . . . . 11
3 Complément sur les opérateurs exclusifs 12 3.1 ET et OU exclusif . . . . 12
3.1.1 Définitions . . . . 12
3.1.2 Tables de vérités . . . . 12
3.2 Propriétés . . . . 13
3.2.1 Premières propriétés . . . . 13
3.2.2 Associativité . . . . 13
3.2.3 Complément de la fonction . . . . 13
3.3 Cryptage . . . . 13
3.3.1 Principe . . . . 13
3.3.2 Exemple . . . . 13
3.4 Parité . . . . 14
3.4.1 Enoncé . . . . 14
3.4.2 Démonstration . . . . 14
3.5 Damiers . . . . 14
4 Circuits logiques hydrauliques et pneumatiques 15
1. SYSTÈME DE NUMÉRATION-CODAGE DE L’INFORMATION 2/18
1 Système de numération - codage de l’information
1.1 Base de la numération
1.1.1 Définition
Une base BN={Ci}i=1N est un système libre de N éléments (chiffres ou caractères) tel que :
∀a∈N,∃m∈N/a= Xm
j=0
Cj.Nj avec Cj∈ {Ci}Ni=1
∀a∈R+,∃{Cj}∞j=−∞/a=
+∞
X
j=−∞
Cj.Nj avec Cj∈ {Ci}i=1N 1.1.2 Bases de numération usuelles
Les 3 bases les plus utilisées dans les systèmes industriels sont :
• Base décimale :
B10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• Base binaire : B2={0,1}
Les chiffres sont alors appelés bit, pourbinary digit
• Base hexadécimale :
B16={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
1.1.3 Exemples
Base Base Base
décimale binaire hexadécimale
B10 B2 B16
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
Décomposons (2014)10en base 10, 2 et 16 : Base 10 (2014)10 2.103+0.102+1.101+4.100
Base 2 (11111011110)2 1.210+1.29+1.28+1.27+1.26+0.25+1.24+1.23+1.22+1.21+0.20 Base Hex (7DE)16 7.162+13.161+14.160
REMARQUE:Pour différencier les bases, on reporte le numéro de la base en indice : (2014)10
1.2 Changement de bases
1.2.1 Passage d’une base BNà la base décimale B10
En base BN, chaque chiffre est affecté d’un poids (Nn) avec n le nombre de chiffres à sa droite dans le nombre complet. Pour obtenir le nombre en base 10, il suffit de faire la somme des chiffres du nombre en base N multipliés, par leur poids.
(120)3=1.32+2.31+0.30=9+6+0=15 1.2.2 Passage de la base décimale B10à une base BN
La passage de la base décimale B10à une base BNse fait en recherchant la puissance de N immédiatement inférieure au nombre décimal
à convertir, puis la puissance de N immédiatement inférieure au reste, et ainsi de suite jusqu’à un reste nul.
a= Xm
j=0
aj.Nj En factorisant par N, on obtient : a=N.
m−1X
j=0
aj+1.Nj
+a0 Le reste de la division de a par N est égale au
coefficient a0. Par division successive par N, on obtient les autres cœfficients associés aux puissances de BN:
a=N.
N.
Xm−2
j=0
aj+2.Nj
+a1
+a0 EXEMPLE:(105)10⇔( ?)2
105 = 52.2+1 52 = 26.2+0 26 = 13.2+0 13 = 6.2+1
6 = 3.2+0 3 = 1.2+1 1 = 0.2+1
105 2
1 52 2
0 26 2
0 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
Ainsi 105 en base 10 s’écrit 1101001 en base 2.
1.2.3 Passage de la base 2pà la base 2q
Pour le passage de la base 2p à la base 2q, le plus simple est de repasser par la base 2, pour convertir chaque chiffre en son équivalent binaire. Ainsi chaque chiffre de la base 2pse code en p chiffres de la base binaire (p bits). En convertissant le nombre binaire par paquet de q chiffres (bits), nous obtenons les chiffres du nombre en base q.
EXEMPLE:(247)8⇔( ?)4
La base 8 se code sur 3 bits (8=23), et la base 4 se code sur 2 bit (4=22)
(A)8 = 247 (A)8 = 2
|{z}
010
|{z}4
100
|{z}7
111
(A)2 = 10100111 (A)2 = 10
|{z}
2
10
|{z}
2
01
|{z}
1
|{z}11
3
(A)4 = 2213
1.3 Codage de l’information
Coder une information revient à fixer une convention permettant de lire et écrire cette information sans ambiguïté. Les chiffres arabes sont notre code humain pour les données numériques. Ce code est peu approprié aux machines. Les systèmes automatiques exploitent des codes basés sur le binaire pour des raisons d’architecture.
Les qualités requises pour un code sont principalement :
• La taille du codage (nombre de bits nécessaires)
• La fiabilité de lecture
• La simplicité de manipulation 1.3.1 Code binaire naturel
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
Il permet de coder les nombres.
C’est le seul code binaire qui permet de réaliser des opérations.
La taille du codage est optimale (minimum de bits pour coder un nombre) REMARQUE: 4 bits sont nécessaires pour coder un chiffre entre 0 et 9
1.3.2 Code binaire réfléchi (code Gray)
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 0 1 0
4 0 1 1 0
5 0 1 1 1
6 0 1 0 1
7 0 1 0 0
8 1 1 0 0
9 1 1 0 1
... ... ... ... ...
Le passage d’un nombre au suivant se fait en changeant la valeur d’un seul bit. Ceci peut apporter une garantie sur l’interprétation du code. On peut ainsi détecter des erreurs. La taille du codage est optimale.
Ce code présente des symétries d’où le nom de code binaire réfléchi :
• Colonne en 20 : le couple (0,1) subit un effet miroir et ainsi de suite
• Colonne en 21 : même chose avec (0,0,1,1)
• Colonne en 22 : même chose avec (0,0,0,0,1,1,1,1)
1. SYSTÈME DE NUMÉRATION-CODAGE DE L’INFORMATION 4/18
Il est utilisé dans les capteurs de position absolus et évite des sources d’erreur dans les positions intermédiaires.
1.3.3 Le code 3 parmi 5
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 1
2 1 0 0 1 1
3 1 0 1 0 1
4 1 1 0 0 1
5 1 1 0 1 0
6 1 1 1 0 0
7 0 1 1 0 1
8 0 1 1 1 0
9 1 0 1 1 0
Ce code consiste à choisir 3 bits à 1 parmi 5 bits.
Le nombre de combinaison vaut :
5
3
!
= 5 !
3 !.(5−3) ! =10
Il permet donc de coder les dix chiffres décimaux.
Avantage Auto-détection d’erreurs de lecture Codage personnalisable (10 ! possibilités)
Inconvénients La taille du codage n’est pas optimale, toute opération né- cessite un décodage préalable.
Ce code est utilisé à la poste pour la lecture du code postal
CPGE du Lycée Carnot 16, bd Thiers 21000, DIJON
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 1
2 0 1 1 0 1
3 0 1 1 1 0
4 1 0 0 1 1
5 1 0 1 0 1
6 1 0 1 1 0
7 1 1 0 0 1
8 1 1 0 1 0
9 1 1 1 0 0
1.3.4 Code décimal codé binaire (DCB)
Affichage E1 E2 E3 E4 A B C D E F G DP
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
Chaque chiffre décimal est codé en binaire sur 4 bits.
Ce code est utilisé sur les afficheurs 7 segments. Chaque afficheur reçoit le chiffre codé en binaire sur 4 bits.
Avantage le code est plus proche de la base 10 les opérations peuvent être adaptées Inconvénients la taille n’est pas optimale
1.3.4.1 Code ASCII
Le code ASCII permet de coder sur 8 bits 256 caractères classiques du clavier :
• alphabet en majuscule et en minuscule
• les chiffres
• les lettres accentuées
• la ponctuation EXEMPLE:le transfert des mails s’effectue en code ASCII.
2 Systèmes logiques combinatoires
Eclairage d’un escalier
On souhaite réaliser un escalier contenant 4 lampes qui s’allument automatiquement lorsque l’on monte ou descend l’escalier. Pour
2. SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES 6/18
l’esthétisme, on désire que les lampes s’allument puis s’éteignent successivement lorsqu’une présence est détectée.
On utilise 3 détecteurs de présence notés a, b, c. L’utilisateur doit toujours être éclairé par deux ampoules. L’objectif est de déterminer le câblage des lampes aux détecteurs de présence. Chaque capteur détecte une présence sur 3 marches autour de celui-ci.
2.1 Définitions
2.1.1 Variables logiques
Les variables logiques n’admettent quedeux valeurs. Elles sont du type :
• Vrai ou Faux
• 0 ou 1
• Tout ou Rien
Composant réel Variable associée avec t0<t
REMARQUE:L’association d’une variable logique à un composant ne peut pas rendre compte des états transitoires apparaissant. C’est donc une simplification du comportement réel.
2.1.2 Système Logique
Un système logique est un système modélisé par des variables logiques. Il en existe deux grandes familles :
Systèmes logiques combinatoire Systèmes logiques séquentiels L’état des sorties est donné de façon unique par l’état des
entrées à l’instant présent (système instantané)
L’état des sorties est fonction de l’état des entrées à l’instant présent, mais aussi de l’histoire de l’évolution des entrées et sorties.
EXEMPLE:Dispositifs pour allumer une lampe :
Interrupteur (2 positions) Contacteur
•1ère position, la lampe est éteinte
•2ème position, la lampe est allumée
•1er impulsion : la lampe s’allume
•2ème impulsion : la lampe s’éteint
Système logique combinatoire Système logique séquentiel
2.2 Algèbre de Boole
2.2.1 Définition
Soit l’ensembleBconstitué des deux éléments 0 et 1 :B ={0,1}.
• 0 : élément nul
• 1 : élément identité
Cet ensemble présente une structure d’algèbre avec les lois sui- vantes :
• Relation d’équivalence : égale ou=
• Fonction ET (ou produit booléen) B2 7→ B
(a,b) 7→ a ET b=a.b=ab a.b possède la valeur 1 si et seulement si a est à 1 et b est à 1.
a.b=1 ⇔
a=1 b=1
a b a.b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
• Fonction OU (ou somme booléenne) B2 7→ B
(a,b) 7→ a OU b=a+b a+b possède la valeur 1 si et seulement si a est à 1 ou b est à 1.
a+b=1 ⇔ a=1 OU b=1
a b a+b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
• fonction NON (ou complément) B 7→ B
a 7→ NON(a)=a
a est à 1 ssi a est à 0 et a est à 0 ssi a est à 1.
a a 0 1 1 0
2.2.2 Propriétés de l’algèbre de Boole
Fonction OU (+) Fonction ET (.)
Commutativité a+b=b+a a.b=b.a
Distributivité a.(b+c)=a.b+a.c a+(b.c)=(a+b).(a+c) Associativité a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c a.(b.c)=(a.b).c=a.b.c
Elément neutre a+0=a a.1=a
Antisymétrie a+1=1 a.0=0
Complémentarité a+a=1 a.a=0
Idempotence a+a=a a.a=a
Absorption a+a.b=a a.(a+b)=a
2.2.3 Théorèmes de De Morgan
• Premier théorème :
Le complément d’une somme logique est
égal au produit des termes complémentés. a+b=a.b X
i
vi= Y
i
vi
• Deuxième théorème :
Le complément d’un produit logique est
égal à la somme des termes complémentés. a.b=a+b Y
i
vi= X
i
vi
EXEMPLE:Pour 2 variables : a b a+b a.b a.b a+b
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0
2.2.4 Identités remarquables
Afin de simplifier les fonctions logiques, on utilisera couramment les identités
remarquables suivantes : Absorption a+a.b=a
Inclusion a+a.b=a+b
2. SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES 8/18
2.2.5 Autres propriétés
Propriété de la complémentation : a=a
Multiple du complément : a.(a+b)=b.(b+a)=a.b a+a.b=b.a+b=a+b
2.3 Représentation des fonctions logiques
Toute fonction logique peut être définie et représentée à partir :
• d’équations logiques (EXEMPLE:s1=e1.(e1+e3) )
• de tables de vérité (ou des tableaux de Karnaugh)
• de représentations graphiques : logigramme, schéma à contact
2.3.1 Table de vérité
Toutes les combinaisons d’entrées sont recherchées. La valeur de la ou les sorties pour chaque combinaison sont fournies par l’analyse du système.
EXEMPLE:Système d’éclairage de l’escalier Table de vérité liée à l’allumage des lampes L1et L2:
a b c L1 L2
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2.3.2 Equations logiques
La sortie est caractérisée par une équation faisant intervenir les fonctions logiques de l’algèbre de Boole. Il existe 2 modes d’écriture particuliers :
• somme canonique. (somme de produits).
• produit canonique (produit de sommes).
On distingue deux méthodes pour obtenir l’équation logique simplifiée associée à une table de vérité.
• Méthode 1 : pour chaque ligne où la sortie vaut 1, déterminer la combinaison d’entrées correspondantes à l’aide de l’opérateur ET puis sommer ces combinaisons.
EXEMPLE: : Système d’éclairage d’escalier
Equations logiques des lampes L1et L2sous forme de somme canonique : L1 =
L2 =
L’écriture obtenue est sous la forme d’unesomme canonique. Afin de réaliser le câblage de ces fonctions, il sera nécessaire de simplifier ces équations.
• Méthode 2 : Déterminer l’expression de S ce qui revient à : Déterminer la combinaison d’entrées pour chaque ligne où la sortie vaut 0, les sommer, puis passer au complémentaire en utilisant les théorèmes de De Morgan.
EXEMPLE: : Système d’éclairage d’escalier
Equations logiques des lampes L1et L2sous forme de produit canonique :
L1 = a.b.c+a.b.c+a.b.c+a.b.c L2 = a.b.c+a.b.c+a.b.c+a.b.c+a.b.c En appliquant le théorème de De Morgan :
L1 = (a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c) L2 = (a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c)
= (a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c) = (a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c)
= (a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c) = (a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c)
L’écriture obtenue est sous la forme d’unproduit canonique. Cette méthode est utile lorsque la sortie comporte peu de 0 et beau- coup de 1.
2.3.3 Opérateurs logiques élémentaires
Pour représenter des fonctions logiques indépendamment d’une technologie, on utilise une représentation symbolique normalisée. On note a et b deux variables d’entrée d’un système combinatoire et S la sortie.
REMARQUE:Le tableau des opérateurs logiques élémentaires est porté en dernière page.
2.3.4 Logigrammes DÉFINITION: Logigramme
Représentation graphique d’une équation à partir des opérateurs normalisés.
Un logigramme est une représentation graphique d’une équation logique combinatoire au moyen des symboles de cellules logiques.
1
&
1
&
&
≥1
≥1
a b c d
a.b+c.a b.d
S =a.b+c.a+b.d a.b
c.a
REMARQUE:Un logigramme n’est pas unique pour une équation donnée.
EXEMPLE:Soit la fonction logique : S =a.b+c.a+b.d. Le logigramme se trace de la sortie vers les variables d’entrée. Les différentes étapes peuvent être les suivantes :
2. SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES 10/18
une cellule OU donne a.b+c.a+b.d à partir de a.b+c.a et de b.d
≥1 a.b+c.a
b.d
S =a.b+c.a+b.d
une cellule OU donne a.b+c.a à partir de a.b et de c.a
≥1 a.b c.a
a.b+c.a
une cellule ET donne a.b à partir de a et de b, a étant obtenu à partir de a par une cellule NON
a 1
&
a b
a.b
une cellule ET donne a.c à partir de a et de c,
&
a c
a.c
une cellule ET donne b.d à partir de b et de d, b étant obtenu à partir de b par une cellule NON
b 1
&
b d
b.d
REMARQUES:
• Un◦représente la fonction NON
• La propagation des informations (de la gauche vers la droite) se fait de façon instantanée
• La représentation n’est pas unique. Cela dépend des simplifications ou des factorisations effectuées.
2.3.5 Schémas à contacts
La réalisation électrique d’un système combinatoire est représentée par un schéma à contacts. Les entrées sont représentées par des interrupteurs (contacteurs) et les sorties par des lampes.
On distingue 2 types d’interrupteurs :
• contacteurs normalement ouverts : Au repos ils sont ouverts et ne laisse pas passer le courant. Lorsqu’ils sont actionnés (fermé), le courant peut passer. On les désigne généralement par des lettres minuscules a,b, . . .
Position ouverte Position Fermée
• contacteurs normalement fermés : Au repos, ils sont fermés et laissent passer le courant. Lorsqu’ils sont actionnés, le circuit est ouvert et le courant ne passe plus. On les désigne généralement par a,b, . . .
Position ouverte Position Fermée
REMARQUE:Une sortie intermédiaire utilisée comme une entrée dans une autre équation est représentée par un relais.
Un relais est un composant électrique qui ouvre ou ferme un circuit de grande puissance à partir d’un signal électrique de commande.
2.4 Réorganisation des fonction logiques
2.4.1 Cellule universelle
Une cellule (ou fonction) est diteuniversellesi elle permet de réaliser les fonctions ET, OU, NON. Il est alors possible de réaliser toutes les fonctions logiques à l’aide de cette seule cellule.
EXEMPLE: : cellule NON-ET (NAND) : a NAND b=a.b a = a.a
a.b = a.b=a.b.a.b a+b = a+b=a.b=a.a.b.b
De la même manière la cellule NON-OU (NOR) a+b est une cellule universelle.
2.4.2 Simplification algébrique d’une fonction
Il s’agit d’utiliser les propriétés, théorèmes et identités remarquables de l’algèbre de Boole afin de simplifier une équation.
EXEMPLE: : Système d’éclairage d’escalier L1 =
=
=
=
=
La lampe L1n’est allumée que si le capteur a détecte une présence.
L2 =
=
=
2.4.3 Simplification graphique : tableaux de Karnaugh
Le tableau de Karnaugh est une présentation particulière de la table de vérité permettant de simplifier graphiquement une expression analytique.
Le tableau répartit les entrées en lignes et en colonnes de manière à n’obtenir qu’un seul changement d’une entrée au passage d’un case à une case mitoyenne (code binaire réfléchi).
Application table de vérité (code binaire réfléchi)
a b c s
⇒
Tableau de Karnaugh à 3 variables :
Axes de symétrie Dans l’exemple, n=3=p+q :
• p le nombre de variables formant 2pcolonnes
• q le nombre de variables formant Zplignes avec p≥q et|p−q| ≤1
3. COMPLÉMENT SUR LES OPÉRATEURS EXCLUSIFS 12/18
Pour simplifier les expressions :
• On effectue des regroupements de 2.m cases à 1 adjacentes en respectant les axes de symétrie (avec m le plus grand possible).
• Pour chaque regroupement de 2mcases, on peut supprimer les m variables dont la valeur change.
• Il faut faire le moins de regroupements possibles.
• Des recoupements entre les regroupements sont possibles.
APPLICATIONtableau à 5 variables :
a b c
d e
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0
00 01 11 10
00 01 11 10 a.b c.d
1 1
1 1 1
1 1 0
0 0
0 0
Dans certains cas, les fonctions sont définies par des tableaux qui sont incomplets, c’est-à-dire que la valeur de la fonction n’est pas définie, donc indifférente, pour certaines combinaisons d’entrées.
Dans ce cas, on choisit d’attribuer à ces valeurs indéterminées la valeur assurant l’expression la plus simple.
Application : tableau incomplet à 4 entrées :
3 Complément sur les opérateurs exclusifs
3.1 ET et OU exclusif
3.1.1 Définitions
La structure de l’algèbre de Boole repose sur les fonctions ET, OU et sur le complément.
A partir de ces fonctions il est possible de construire d’autres fonctions comme le OU Exclusif (XOR) ou l’identité (NON OU Exclusif NXOR) :
Ou Exclusif
a⊕b=a.b+a.b
Identité
a⊕b=a⊙b=a.b+a.b
3.1.2 Tables de vérités
Ou Exclusif
a⊕b=a.b+a.b
a b a⊕b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
a
b 1
1 0
0
Identité
a⊕b=a⊙b=a.b+a.b
a b a⊙b
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a
b 0
0 1
1
3.2 Propriétés
3.2.1 Premières propriétés
a⊕b a⊙b
Commutativité a⊕b=b⊕a a⊙b=b⊙a Elément neutre a⊕0=a a⊙1=a
Antisymétrie a⊕1=a a⊙0=a Complémentarité a⊕a=1 a⊙a=0 Idempotence a⊕a=0 a⊙a=1
a a 0 1 a⊕a a⊕a a⊕0 a⊕1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0
a a 0 1 a⊙a a⊙a a⊙0 a⊙1
0 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0 1
3.2.2 Associativité
a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c=a⊕b⊕c a b c a⊕b b⊕c (a⊕b)⊕c a⊕(b⊕c)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c=a⊙b⊙c a b c a⊙b b⊙c (a⊙b)⊙c a⊙(b⊙c)
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1
3.2.3 Complément de la fonction
a⊙b=a⊕b=a⊕b=a⊕b et a⊕b=a⊕b ; a⊕b=a⊙b=a⊙b=a⊙b et a⊙b=a⊙b
3.3 Cryptage
3.3.1 Principe
(a⊕b)⊕b=a⊕(b⊕b)=a⊕0=a
Cette propriété permet le cryptage symétrique où la même clé sert à coder le message et à le décoder.
En effet, si c est le résultat du codage de a par la clé b alors c=a⊕b.
En appliquant la clé à c, nous avons c⊕b=(a⊕b)⊕b=a On retombe alors sur a. Il convient donc de connaître la clé. . .
3.3.2 Exemple
a 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
b 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
c 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
b 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
a 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
3. COMPLÉMENT SUR LES OPÉRATEURS EXCLUSIFS 14/18
3.4 Parité
3.4.1 Enoncé
La fonction OU Exclusif donne un résultat vrai si le nombre d’entrées à 1 est impair.
La fonction NON OU Exclusif (l’identité) donne un résultat vrai si le nombre d’entrées à 0 est pair.
3.4.2 Démonstration
Montrons par récurrence les propriétés.
Soient deux variables a et b. Par définition :
a⊕b=1⇔
a=1 et b=0 ou a=0 et b=1
Pour n =2, a⊕b =1 ⇔le nombre d’entrées à 1 est impair. Supposons la propriété vraie au rang n.
Montrons qu’elle est alors vraie au rang n+1.
⊕ni=+11xi= ⊕ni=1xi
⊕xn+1
Parité des n premiers à 1 ⊕ni
=1xi xn+1 ⊕ni+1
=1xi Parité des n+1
pair 0 0 0 pair
pair 0 1 1 impair
impair 1 1 0 pair
impair 1 0 1 impair
L’hypothèse est alors vraie au rang n+1. Elle est donc vraie pour tout n.
Soient deux variables a et b. Par définition :
a⊙b=1⇔
a=0 et b=0 ou a=1 et b=1
Pour n = 2, a⊙b = 1 ⇔ le nombre d’entrées à 0 est pair. Supposons la propriété vraie au rang n.
Montrons qu’elle est alors vraie au rang n+1.
⊙ni=+11xi= ⊙ni=1xi
⊙xn+1
Parité des n premiers à 0 ⊙ni
=1xi xn+1 ⊙n+1i
=1xi Parité des n+1
pair 1 0 0 impair
pair 1 1 1 pair
impair 0 1 0 impair
impair 0 0 1 pair
L’hypothèse est alors vraie au rang n+1. Elle est donc vraie pour tout n.
3.5 Damiers
Puisque la fonction⊕(resp.⊙) donne la parité du nombre d’entrée à 1 (resp 0), alors la représentation dans un tableau de Karnaugh est celle d’un damier.
a
b 0
0 1
1
a b
c
1 1
1 1
0 0
0 0
a b
d c
0
0
0
0 0
0
0
0 1
1
1
1 1
1
1
1
