THÈSE Présentée à la Faculté des Sciences et Techniques de Fès En vue de l’obtention du titre de :

N° d’ordre : 38 / 2017

THÈSE

Présentée à la Faculté des Sciences et Techniques de Fès En vue de l’obtention du titre de :

Docteur de l’Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Discipline : Génie Mécanique Spécialité : Mécanique et Energétique

Par :

MOHAMED EL HAROUI

MODELISATION ET ANALYSE DE LA CONVECTION THERMOSOLUTALE DANS UN MILIEU POREUX

SATURE DE FLUIDE BINAIRE

Soutenue le 11 / 11 / 2017 devant le jury composé de :

Pr Mohammed EL HAMMOUMI PES USMBA, FST - Fès Président

Pr Mohamed TOUZANI PES UMI, FST - Errachidia Rapporteur

Pr Ahmed EL BIYAALI PES USMBA, FST - Fès Rapporteur

Pr Mbarek BAKKAS PH UMI, ENSAM - Meknès Rapporteur

Pr Salahddine KAMMOURI ALAMI PH USMBA, FP - Taza Examinateur

Pr Mohammed SRITI PES USMBA, FP - Taza Directeur

Pr Driss ACHEMLAL PESA UMP, ENSA – El Hoceima Invité

Laboratoire d’Accueil: Sciences de l’Ingénieur (LSI) Établissement: Faculté Polydisciplinaire de Taza

Université Sidi Mohamed Ben Abdallah

Faculté des Sciences et Techniques - Fès

CED : Sciences et Techniques de l’Ingénieur

i

Ce travail de thèse est spécialement dédié :

Dédicace

• A mon père, Ahmed et ma mère, Fatna, sans lesquels je n’aurais jamais pu exister,

• A mes sœurs et frères,

• A ma femme, Salwa,

• A ma petite fille, Nirmine,

• A tous mes proches,

• A tous mes ami(e)s,

• A tous ceux qui m’ont aidé et encouragé,

• A tous ceux qui me sont chers.

ii Le présent travail a été réalisé au Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur (LSI) de la Faculté Polydisciplinaire de Taza sous la direction du Professeur Mohammed SRITI.

C’est avec une certaine émotion et beaucoup de sincérité que je voudrais remercier toutes les personnes ayant soutenu et apprécié mon travail.

En premier lieu, j’exprime ma profonde gratitude et mes sincères remerciements à mon directeur de thèse, Monsieur M. SRITI, Professeur à la Faculté Polydisciplinaire de Taza et directeur du Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur, pour m’avoir donné la chance de préparer cette thèse de doctorat et pour m’avoir parfaitement guidé et m’encouragé tout au long de ce travail. Je le remercie très chaleureusement pour sa disponibilité, ses compétences scientifiques et pédagogiques, ses idées originales ainsi que ses qualités humaines.

Je tiens à exprimer mes vifs remerciements à Monsieur M. EL HAMMOUMI, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Fès, qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury, malgré ses multiples occupations, qu’il veuille trouver ici, l’expression de ma gratitude pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail.

Je remercie sincèrement Messieurs : M. TOUZANI, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques d’Errachidia, A. EL BIYAALI, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Fès et M. BAKKAS, Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers de Meknès pour avoir accepté de rapporter cette thèse. Ils m’ont permis de bénéficier de leurs solides compétences scientifiques par l'analyse attentive et constructive qu'ils ont portée à ce travail.

Je suis très reconnaissant à Monsieur S. K. ALAMI, Professeur à la Faculté Polydisciplinaire de Taza et je le remercie d’avoir bien voulu accepter d’examiner ce travail, notamment d’un point de vue mathématique et numérique.

Je remercie également Monsieur D. ACHEMLAL, Professeur à l’Ecole Nationale des Sciences Appliquées d’El Hoceima, pour le soutien qu'il m'a apporté tout au long du déroulement de ma thèse et pour avoir accepté d’assister au jury, en tant que membre invité.

AVANT - Propos

iii Je voudrai aussi témoigner ma reconnaissance à tous les membres du laboratoire des sciences de l’ingénieur, notamment E. FLILIHI et M. LAKHCHINE et je leur souhaite le bon courage pour leurs thèses de doctorat.

Je ne saurais oublier mes amis et collègues du Lycée, en particulier M. ABARBACH, A.

ASSAYHI et M. FARHI de leur témoignage avec toute ma reconnaissance et ma sympathie.

Enfin, je remercie tous les membres de ma famille pour ses encouragements et leur compréhension et patience pendant toutes les années de doctorat.

iv L’intérêt porté à la convection thermosolutale avec l’effet Soret a émergé dans les dernières décennies et ce, à cause de son importance dans de nombreuses applications naturelles et industrielles. L’extraction pétrolière, le moulage des alliages, la croissance cristalline, la pollution des sols et des nappes phréatiques, les opérations de dessalement de l’eau de mer, en sont quelques exemples. Dans l’ensemble des investigations menées dans ce cadre, l’objectif primaire était de comprendre les différents mécanismes résultant des mouvements convectifs engendrés. Dans toutes ces situations, les forces de volume sont responsables de la naissance de ces mouvements convectifs. Notons que ces forces de volume sont soit d’origine thermique, soit d’origine solutale. C’est pour cette raison que l’écoulement ainsi induit prend le nom « thermosolutale ».

Dans cette thèse, la convection thermosolutale naturelle ou mixte dans un milieu poreux saturé de fluide binaire, en présence de l’effet Soret et de la réaction chimique, avec et sans source interne de chaleur, a été étudié de point de vue théorique et numérique. Le domaine d’étude considéré est assimilé à une plaque plane perméable, chauffée et émergée verticalement dans un milieu poreux saturé avec un fluide binaire newtonien. Les écoulements engendrés au sein du système proposé sont régis par les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie et de la concentration couplées avec des conditions aux limites s’appuyant sur une température variable le long de la plaque, une concentration constante et une vitesse d’aspiration ou d’injection à travers la plaque. Le problème a été modélisé en adoptant la méthode semi-analytique, connue généralement par la méthode de similarité. Le problème mathématique se ramène à un système d’équations différentielles adimensionnelles non-linéaires, de second ordre, dont la résolution est faite par la méthode de Runge-Kutta-Fehlberg d’ordre cinq couplée avec la technique itérative de Tir.

Pour la validation du modèle mathématique, nous avons constatés un excellent accord entre les résultats obtenus et ceux déjà publiés pour les différents cas étudiés. Les effets des paramètres de contrôles sur les solutions de similarité sont étudiés et analysés en détail et les résultats obtenus ont permis de mettre en évidence l’influence majeure de l’effet Soret, de l’état thermique de la plaque, de l’aspiration/injection du fluide, ainsi que de la perméabilité du milieu poreux sur la convection thermosolutale.

Mots clés :

Résumé

v The interest in thermosolutal convection with Soret effect has emerged in recent decades, because of its importance in many naturel and industrial applications, such as oil extraction, casting of alloys, crystal growth, soil and groundwater pollution, seawater desalination operations and many others applications. The primary objective in the investigations carried out in this framework, was to understand different mechanisms resulting from the convective movements generated. In all these situations, the volume forces of thermal or solutal origin are the principal cause of these convective movements. This is why the induced flow is called

"thermosolutal" or "double diffusive".

In this thesis, the free and mixed thermosolutal convection in a binary fluid saturated porous medium, in the presence of the Soret effect and chemical reaction, with or without an internal heat generation, have been numerically studied. The physical model considered is a vertical permeable flat plate, emerged in the binary fluid saturated porous medium. The plate is subjected to a variable temperature, a constant concentration and a suction/injection velocity.

In the present work, the flows generated within the proposed system, are governed by the conservation equations of mass, momentum, energy and concentration which are nonlinear and strongly coupled. The mathematical model of the problem is reduced into a set of coupled nonlinear ordinary differential equations using similarity method. The resulting equations are solved numerically by a computational code based on the fifth order Runge-Kutta scheme coupled with the shooting technique. The obtained results are graphically displayed for various controlling parameters. A comparison with previously published work is performed and the results were in an excellent agreement.

Keywords :

l

Abstract

vi

SOMMAIRE

Liste des symboles ... 1

Liste des figures ... 3

Liste des tableux ... 5

Introduction générale ... 7

CHAPITRE I Généralités et revue bibliographique

I Introduction ... 9

II Notions sur le milieu poreux ... 9

II.1 Définition ... 9

II.2 Paramètres caractérisant le milieu poreux ... 11

II.2.1 Porosité ... 11

II.2.2 Perméabilité ... 13

II.2.3 Tortuosité ... 14

II.2.4 Conductivité thermique équivalente ... 15

II.2.5 Volume élémentaire représentatif ... 15

III Echelles de modélisation en milieux poreux ... 17

III.1 Echelle microscopique ... 17

III.2 Echelle macroscopique ... 17

III.3 Changement d’échelle ... 17

IV Phénomènes des transferts par convection ... 18

IV.1 Transfert de chaleur par convection ... 18

vii

IV.1.1 Convection naturelle ... 18

IV.1.2 Convection forée ... 18

IV.1.3 Convection mixte ... 19

IV.2 Convection thermosolutale ... 19

V Effet Soret ... 19

V.1 Intérêt pratique et industriel de l’effet Soret ... 21

V.2 Colonne thermogravitationnelle ... 21

VI Revue bibliographique ... 22

VI.1 Convection thermosolutale sans effet Soret ... 23

VI.2 Convection thermosolutale avec effet Soret ... 26

VII Situation du problème ... 29

VIII Conclusion ... 30

CHAPITRE II Formulation mathématique

I Introduction ... 31

II Problème physique ... 31

II.1 Domaines d’applications ... 31

II.2 Position du problème ... 32

II.3 Hypothèses de travail ... 33

II.4 Approximation de Boussinesq ... 34

III Equations de conservation en milieu poreux ... 34

III.1 Equation de continuité ... 35

III.2 Equation de conservation de la quantité de mouvement ... 35

III.3 Equation de conservation de l’énergie ... 36

viii

III.4 Equation de Conservation de l’espèce ... 37

IV Equations régissant le problème physique ... 37

IV.1 Analyse d’échelle de la couche limite ... 38

IV.2 Système d’équations retenu ... 40

V Conclusion ... 41

CHAPITRE III Méthode de résolution 43

I Introduction ... 43

II Approche de similarité ... 43

II.1 Méthode de similarité ... 43

II.2 Mise en forme adimensionnelle des équations ... 44

II.3 Nombres adimensionnels ... 46

II.3.1 Nombre de Nusselt local ... 47

II.3.2 Nombre de Sherwood local ... 48

II.3 Coefficient de frottement ... 48

III Résolution numérique ... 50

III.1 Méthode de Runge-kutta Fehlberng ... 50

III.2 Procédure de résolution numérique ... 52

III.3 Algorithme de résolution ... 52

III.4 Organigramme de calcul ... 53

IV Conclusion ... 55

CHAPITRE IV Effets Soret-Dufour en présence de réaction chimique et génération interne de chaleur

I Introduction ... 56

ix

II Position du problème ... 57

III Analyse des résultats ... 59

III.1 Validation ... 61

III.2 Influence des paramètres sur la convection thermosolutale ... 61

III.2.1 Profils dynamique, thermique et massique ... 61

III.2.1.1 Effet de Le ... 61

III.2.1.2 Effet de N ... 63

III.2.1.3 Effet de fw ... 65

III.2.1.4 Effet de Df ... 68

III.2.1.5 Effet de Sr ... 70

III.2.1.6 Effet de γ ... 71

III.2.1.7 Effet de λ ... 72

III.2.2 Taux des transferts thermique et massique ... 74

III.2.2.1 Effets de fw et SCI ... 74

III.2.2.2 Effets de Sr et λ ... 75

III.2.2.3 Effet de γ ... 77

IV Conclusion ... 79

CHAPITRE V Convection thermosolutale mixte dans un milieu poreux à perméabilité non uniforme

I Introduction ... 81

II Position du problème ... 81

III Hypothèses du travail ... 82

IV Modèle mathématique et analyse de similarité ... 82

x

IV.1 Nombre de Nusselt et de Sherwood ... 85

IV.2 Technique de résolution numérique ... 85

V Discussion des résultats numériques ... 86

V.1 Profils de vitesse... 87

V.1.1 Effet du paramètre γ ... 87

V.1.2 Effet du paramètre p ... 88

V.2 Profils de température ... 89

V.2.1 Effet du paramètre γ ... 89

V.2.2 Effet du paramètre p ... 91

V.3 Profils de concentration ... 91

V.3.1 Effet du paramètre γ ... 91

V.3.2 Effet du paramètre p ... 92

V.4 Taux de transfert de chaleur et de masse ... 93

V.4.1 Effet des paramètres γ et p ... 93

V.4.2 Effet des paramètres fw et λ ... 95

V.4.3 Effet des paramètres δ et Sr ... 96

VI Conclusion... 98

Conclusion générale ...

Références ... 103

Publications ... 110

Communications ... 111

1

LISTE DES SYMBOLES

A Paramètre de température de surface R_e Nombre de Reynolds a Diffusivité thermique équivalente (m². s⁻¹) RK5 Runge-Kutta d’ordre 5 B Paramètre de la vitesse V_w SCI Source de chaleur interne

C Concentration (Kg .m^-3) Sr Nombre de Soret

Cp Chaleur spécifique du fluide (J.Kg^-1.K^-1) Shx Nombre de Sherwood Cw Concentration à la plaque (Kg .m^-3) T Température de fluide (K) C_∞ Concentration à l’infini (Kg .m^-3) Tw Température de la plaque (K)

Da Nombre de Darcy T_∞ Température à l’infini (K)

DM Coefficient de diffusion massique (m².s^-1) u Vitesse axiale (m.s⁻¹⁾ D_T Coefficient de thermodiffusion (m².s^-1.K^-1) v Vitesse orthogonale (m.s⁻¹)

ER Erreur relative Vw Vitesse d’aspiration/injection (m.s⁻¹) f Fonction du courant adimensionnelle x Axe des abscises (m)

fw Paramètre d’aspiration/injection y Axe des ordonnées (m)

g Acceleration de la gravité (m.s^-2) βc Coefficient d’expansion massique (Kg^-1.m³) H Longueur de la plaque (m) β_T Coefficient d’expansion thermique (K^-1) K Perméabilité du milieu poreux (m²) γ Paramètre de la réaction chimique Kw Perméabilité à la plaque (m²) ε Porosité du milieu poreux

K_∞ Perméabilité à l’infini (m²) δ Paramètre du terme source de chaleur

KB Méthode de Keller-Box η Variable de similarité

k_t Conductivité thermique (W.m^-1. K⁻¹) θ Température adimensionnelle

Le Nombre de Lewis λ Exposant de la température de surface

L Largeur du domaine d’étude (m) ν Viscosité cinématique (m².s⁻¹)

2 N Rapport des forces de volume µ Viscosité dynamique (Pa.s)

Nux Nombre de Nusselt local ρ Masse volumique du fluide (Kg.m⁻³) n Ordre de la réaction chimique ρ_∞ Masse volumique de référence (Kg .m⁻³) pex Nombre de peclet local ϕ Source de chaleur interne (W.m⁻³) p Paramètre de la perméabilité ψ Fonction du courant

qm Densité de f lux massique (Kg .m^-2. s^-1) w Condition à la surface q_T Densité de flux thermique (W.m^-2) ∞ Condition à l’infini Rax Nombre de Rayleigh local ′ Dérivée par rapport à η

3

LISTE DES FIGURES

I.1 Représentation d’un milieu poreux ...10

I.2 Exemples de milieux poreux naturels ...11

I.3 Détermination de la tortuosité du milieu poreux ...14

I.4 Volume élémentaire représentatif du milieu poreux ...16

I.5 Moyennement de la porosité ε sur le volume élémentaire représentatif ...17

I.6 Schéma représentatif de l’effet Soret ...20

I.7 Principe de la colonne thermogravitationnelle...22

II.1 Modèle physique et système des coordonnées ...33

IV.1 Schéma représentatif du modèle physique ...57

IV.2 Effet de Le sur les profils de la vitesse avec source de chaleur interne...60

IV.3 Effet de Le sur les profils de température avec source de chaleur interne...61

IV.4 Effet de Le sur les profils de concentration avec source de chaleur interne...61

IV.5 Effet de N sur les profils de la vitesse avec source de chaleur interne...62

IV.6 Effet de N sur les profils de température avec source de chaleur interne...63

IV.7 Effet de N sur les profils de concentration avec source de chaleur interne...63

IV.8 Effet de fw sur les profils de la vitesse avec source de chaleur interne...64

IV.9 Effet de fw sur les profils de température avec source de chaleur interne...65

IV.10 Effet de fw sur les profils de concentration avec source de chaleur interne...65

IV.11 Profils thermiques pour différentes valeurs de fw. sans source de chaleur interne ...66

IV.12 Profils de concentration pour différentes valeurs de fw sans source de chaleur interne ...67

IV.13 Profils de la température pour différentes valeurs de Df ...68

4

IV.14 Profils de la concentration pour différentes valeurs de Df ...68

IV.15 Profils de la température pour différentes valeurs de Sr. ...69

IV.16 Profils de la concentration pour différentes valeurs de Sr…...70

IV.17 Profils de la concentration pour différentes valeurs de γ...70

IV.18 Profils de la température pour différentes valeurs de λ ...72

IV.19 Profils de la concentration pour différentes valeurs de λ . ... ....72

IV. 20 Effet de fw sur le nombre de Nusselt avec et sans source de chaleur interne ...73

IV. 21 Effet fw sur le nombre de Sherwood avec et sans source de chaleur interne... ...74

IV. 22 Profils du nombre de Nusselt local en fonction de Sr pour différentes valeurs de λ...75

IV. 23 Profils du nombre de Sherwood local en fonction de Sr pour différentes valeurs de λ...75

IV.24 Profils du nombre de Nusselt local en fonction de fw pour différentes valeurs de λ...76

IV.25 Profil du nombre de Nusselt local en fonction de γ pour différentes valeurs de n...77

IV.26 Profil du nombre de Sherwood local en fonction de γ pour différentes valeurs de n...77

V.1 Schéma représentatif du modèle physique ... ...81

V.2 Profils de la vitesse autour pour p = 2 à différentes valeurs du paramètre γ ... ...87

V.3 Profils de la vitesse autour pour γ = 1 à différentes valeurs du paramètre p ...88

V.4 Profils de la température pour p = 2 à différentes valeurs du paramètre γ ...89

V.5 Profils de la température pour γ = 1 à différentes valeurs du paramètre p ...90

V.6 Profils de la concentration pour p = 2 à différentes valeurs du paramètre γ ...91

V.7 Profils de la concentration pour γ = 1 à différentes valeurs du paramètre p ...92

V.8 Taux de transfert de chaleur et de masse à la surface en fonction de γ pour λ = 1/3 , p = 2..93

V.9 Taux de transfert de chaleur et de masse à la surface en fonction de p pour λ = 1/3 , γ = 2..93

5 V.10 Taux de transfert de chaleur à la surface en fonction du paramètre fw pour les trois états thermiques à γ = 1 et p = 5 ...94 V.11 Taux de transfert de masse à la surface en fonction du paramètre fw pour trois états thermiques à γ = 1 et p = 5 ...95

V.12 Taux de transfert de chaleur à la surface de la plaque en fonction de δ pour différentes valeurs de Sr ...96

V.13 Taux de transfert de masse à la surface de la plaque en fonction de δ pour différentes valeurs de Sr ...97

6

LISTE DES TABLEAUX

I.1 Porosité de quelques matériaux ... 13

I.2 Perméabilité de quelques matériaux ... 14

III.1 Valeurs des différentes constantes de Runge-Kutta/Fehlberg ... 51

IV.1 Comparaison des gradients thermiques à la surface pour différentes valeurs de N, Df et Sr à Le=1, f_w= 0, λ = 0 et γ = 0 ... 59

IV.2 Comparaison des gradients massiques à la surface pour différentes valeurs de N, Df et Sr à Le=1, f_w= 0, λ = 0 et γ = 0 ... ...54

V.1 Valeurs de −θ'(0) à la surface sans effet Soret pour λ=1 / 3, f_w≠0, δ=0 ,γ → ∞ et p=1...86

7

INTRODUCTION GENERALE

Le phénomène de transfert couplé de chaleur et de masse par convection naturelle où mixte dans les milieux poreux, est généralement causé par la présence de gradients de température et de concentration. Ces deux gradients engendrent une distribution non uniforme de la densité du mélange, ce qui provoque un mouvement convectif sous l’effet de la gravité.

Dans le cas où les forces de volume sont d’origine thermique, la convection naturelle est dite thermique, elle est thermosolutale si les effets thermiques et solutaux coexistent.

La modélisation de ce mode de convection en milieu fluide ou poreux s’est particulièrement développée ces dernières années, à cause de son intérêt pour la résolution de certains problèmes technologiques importants, et son intervention dans de nombreuses applications potentielles dans divers domaines à savoir : l’extraction de l’énergie géothermique, du pétrole et du gaz à travers le sol, le traitement des déchets nucléaires, la croissance cristalline, le séchage des produits industriels, le transport de polluants dans les sols et les aquifères, le dessalement de l’eau de mer et plusieurs autres applications.

La convection naturelle, résultant de l'application d'un gradient thermique à tout mélange binaire dans le champ de pesanteur, est souvent accompagnée de la diffusion thermique, encore appelé thermodiffusion (ou effet Soret), qui est une découverte relativement récente.

Ce phénomène qui se produit aussi bien en phase liquide qu’en phase gazeuse, conduit à l’apparition d’un gradient de concentration à cause du gradient thermique, ce qui se traduit par un flux de matière au sein du mélange.

Dans un milieu poreux, la résolution d’un problème de la convection thermosolutale, nécessite la prédiction de la distribution des champs de température, de concentration et de la vitesse de filtration en fonction des divers paramètres intervenants. Il est également important de prévoir les taux des transferts thermique et massique correspondants.

L’objectif principale du travail de la présente thèse, est la contribution à l’étude de la convection thermosolutale en régime laminaire, se développant autour d’une plaque plane chauffée et insérée verticalement dans un milieu poreux saturé de fluide binaire, considéré newtonien et incompressible, avec et sans présence de l’effet Soret. Pour ce faire, nous avons adopté pour tout le travail, la méthode de similarité pour transformer les équations aux dérivées partielles résultantes, décrivant le problème, en un système d’équations différentielles ordinaires qui sont résolues ensuite numériquement, à l’aide d’un code de

8 calcul basé la méthode de Runge- Kutta-Fehlberg d’ordre 5, couplée avec une technique de Tir.

La thèse comporte une introduction générale, cinq chapitres et une conclusion générale avec des perspectives pour les futurs travaux.

Dans le premier chapitre, les caractéristiques des milieux poreux y sont définies et une recherche bibliographique détaillée sur la convection thermosolutale en milieux poreux est également effectuée.

Le deuxième chapitre est consacré à la formulation mathématique du problème physique, où les équations générales de conservations en milieu poreux, les hypothèses simplificatrices et l’écriture des équations de conservations locales, adaptées à notre problème physique sont présentées.

La présentation de la méthode de résolution des équations de conservations associées à notre problème physique, ainsi que la description de la procédure de résolution numérique et l’algorithme générale utilisé font l’objet du troisième chapitre.

Le quatrième chapitre est consacré à l’étude des effets Soret-Dufour sur la convection thermosolutale induite par une plaque à température variable, émergée dans un milieu poreux saturé de fluide binaire, en présence de la réaction chimique destructive et génération interne de chaleur variant dans l’espace. La validation de notre code de calcul avec les travaux déjà publiés, sur une large gamme de variation des paramètres de contrôles est effectuée.

Dans le dernier chapitre, nous étudions les effets de l’anisotropie du milieu poreux en perméabilité sur la convection thermosolutale mixte le long de la plaque considérée, en faisant intervenir les paramètres de la perméabilité et de la convection mixte. Les différents résultats numériques obtenus sont graphiquement présentés et discutés en détail.

En fin nous terminons ce travail par une conclusion générale qui récapitule les principaux résultats dégagés de ce travail. Quelques recommandations pour les études futures sont finalement émises.

9

CHAPITRE I

Généralités et revue bibliographique

I I ntroduction

Le phénomène des transferts couplés de chaleur et de masse dans les milieux poreux par la convection thermosolutale, intéresse plusieurs industriels et chercheurs à cause de son intervention dans les différents domaines physiques, technologiques, chimiques et microbiologiques. Parmi les applications potentielles, on peut citer l’extraction de l’énergie géothermique, la croissance cristalline où l'on essaie d'obtenir un monocristal à partir d'un mélange fondu, l’isolation thermique des bâtiments, la dispersion des polluants dans les aquifères et les sols saturés, etc…. Plusieurs travaux sur ce sujet ont été réalisés en utilisant l’expérimentation et la simulation numérique, ainsi que les développements analytiques dans des cas simples.

Dans ce chapitre, en premier lieu, nous avons commencé à rappeler des notions fondamentales portant sur les milieux poreux et leurs grandeurs physiques caractéristiques, ainsi que les phénomènes des transferts de chaleur et de masse par convection. En second lieu, nous proposons une revue bibliographique des travaux antérieurs, portant sur le phénomène de la convection doublement diffusive dans les milieux poreux saturés avec et sans effet Soret.

II Notions sur le milieu poreux

II.1 Définition

Plusieurs matériaux naturels ou artificiels sont poreux. Un matériau poreux est constitué d’une matrice solide qui comporte des pores distribués plus ou moins dans toute la masse de façon désordonnée et non‐uniforme. Ces espaces vides, peuvent être interconnectés ou déconnectés. Un fluide peut s’écouler à travers un milieu poreux à condition que la plupart des espaces vides soient interconnectées. Lorsque tous les pores sont remplis par la même phase (liquide ou gazeuse), le milieu poreux est dit saturé par le fluide.

10 Au voisinage des grains solides, des forces d’attraction moléculaire existent et créent de fines pellicules d’eau autour des grains. Cette eau est appelée eau liée ou adsorbée (Figure I.1). En dehors de ces zones d’attraction, le liquide peut circuler librement. Ainsi, les zones de circulation varient selon la distance entre les grains.

Dans notre étude, nous nous restreindrons aux cas d’une matrice solide non déformable, totalement saturée par une seule phase fluide binaire. De plus, nous adoptons l’hypothèse qu’il n’y a pas d’échange de matière entre la phase fluide et la matrice solide.

Figure I.1 – Représentation d’un milieu poreux [1]

Il existe de nombreux exemples de milieux poreux dans la nature (Figure I-2) comme le sable (a), les sols (b - pierre), les matériaux de construction (c - chaux), les aliments (d – pain sec), le papier ou le bois (e), les tissus (f - poumon humain).

D'une très grande variété de structure et de nature, les milieux poreux occupent une large place et jouent un rôle important dans de nombreux secteurs industriels et phénomènes naturels. On peut notamment citer, comme exemples typiques : le génie pétrolier, le génie chimique, l'hydrogéologie, la géothermie, le génie civil, la médecine …etc.

11 Figure I.2 – Exemples de milieux poreux naturels [2]

Un milieu poreux est caractérisé principalement par deux propriétés macroscopiques liées entre elles qui sont la porosité et la perméabilité. Du fait que la disposition et la taille de ces pores soient irrégulières, la variation des paramètres régissant cet écoulement, sera elle aussi irrégulière. En pratique, ces paramètres sont mesurés à l’échelle macroscopique moyennée. La technique utilisée est la méthode spatiale, définie comme étant une moyenne appropriée sur un volume élémentaire représentatif (V.E.R.) suffisamment large.

Dans ce qui suit, nous définissons les différents paramètres qui apparaissent au niveau des différents modèles empiriques de description macroscopique des écoulements en milieu poreux.

II.2 Paramètres caractérisant le milieu poreux II.2.1

La plupart des roches et des sols contient un pourcentage de vide qui peut être occupé par de l’eau ou d’autres fluides. C’est ce que nous appelons leur porosité. Cette grandeur est

12 notée, généralement ,ε et définie comme étant le rapport du volume occupé par les espaces vides (pores) Vp au volume total du milieu poreux VT.

p T

V ε =V

(I.1) ε varie entre 1 (solide plein) et 0 (volume complétement vide). Puisqu’il s’agit d’un rapport de mêmes propriétés, la porosité n’a pas d’unité et elle est souvent exprimée en pourcentage. Un autre paramètre caractérisant la proportion de pores dans un milieu poreux est l’indice de vides e, qui est défini par le rapport du volume de vides Vv sur celui des solides Vs

v S

e V

=V

(I.2)

Cette grandeur est plus utilisée en géotechnique, car il permet d’utiliser un volume de référence (celui des solides) qui reste constant, contrairement au volume totale qui peut varier considérablement dans des matériaux compressibles comme les silts et les argiles. La relation entre la porosité et l’indice de vides est exprimée par :

1 e ε = e

+ (I.3) La porosité est un concept indépendant de la forme et des connexions entre les pores, elle dépend fortement de l’arrangement et de la taille des grains. Des mesures expérimentales réalisées par Kaviany [3] résument dans le tableau (I.1) quelques valeurs de la porosité pour différents matériaux.

Matériaux Porosité

Matériau mousseux Fibre de verre Fil à tisser Grains de silice

Poudre d’ardoise noire Cuir

0.98

0.88 − 0.93 0.68 − 0.76 0.65

0.57 − 0.66 0.56 − 0.59

13 Catalyseur

Granulé de pierres Terre

Sable

Poudre de silice Sphère bien empilée Filtre de cigarettes Briques

Poudre de cuivre

Pierre à chaud, Dolomite Houille

0.45

0.44 − 0.45 0.43 − 0.54 0.37 − 0.50 0.37 − 0.49 0.36 − 0.43 0.17 − 0.49 0.12 − 0.34 0.09 − 0.34 0.04 − 0.10 0.02 − 0.07 Table I.1 – Porosité de quelques matériaux

II.2.2

La perméabilité traduit la facilité avec laquelle le fluide s’écoule dans le milieu poreux sous l’effet d’un gradient de pression. Cette perméabilité notée K, dépend uniquement de la porosité et de la géométrie de la matrice solide. Plusieurs modèles empiriques expriment la perméabilité en fonction de la porosité et d’une dimension caractéristique de la matrice solide à l’échelle du pore. La relation de Kozeny-Carmen [4] donne une estimation de la perméabilité K pour un milieu poreux non consolidé constitué d’éléments identiques de géométrie simple comme suit.

3 2

2

36 0(1 ) K D

C ε

= ε

− (I.4) Où C₀ est un coefficient de forme, compris entre 3.6 et 5 et D représente une dimension caractéristique des éléments qui constituent la matrice poreuse.

Ergun [5], a établi une expression semblable à l’équation de Kozney - Carmen en considérant l’écoulement unidirectionnel d’un fluide incompressible au sein d’une colonne poreuse, constituée de particules sphériques de diamètres moyenneD et soumise à un gradient de pression.

14

3 2

150 (1 )2

= −

K ε D

ε (I.5)

Le tableau (I.2) ci-dessous, présente la perméabilité de quelques matériaux poreux définis par Nield et Bejan [6].

Matériaux Perméabilité K (en m²)

Ardoise (en poudre) Brique

Béton bitumineux Cuivre (en poudre) Feutre

Cuir

Calcaire (dolomite) Sable

Silice (en poudre) Sol

4.9 10⁻¹⁴− 1.2.10⁻¹³ 4.8.10⁻¹⁵− 2.2.10⁻¹³ 1.0.10⁻¹³− 2.3.10⁻¹¹ 3.3.10⁻¹⁰− 1.5.10⁻⁹ 8.3.10⁻¹⁰− 1.2.10⁻⁹ 9.5.10⁻¹⁴− 1.2.10⁻¹³ 2.0.10⁻¹⁵− 4.5.10⁻¹⁴ 2.0.10⁻¹¹− 1.8.10⁻¹⁰ 1.3.10⁻¹⁴− 5.1.10⁻¹⁴ 2.9.10⁻¹³− 1.4.10⁻¹¹

Table I.2 – Perméabilité de quelques matériaux

II.2.3 Tortuosité

La description de la géométrie des pores fait intervenir la notion de connectivité, correspondant à la complexité d’un chemin continu à travers l’espace des pores. Il faut également tenir compte des bras morts qui sont nombreux dans les milieux moins poreux et fortement hétérogènes (Figure I.3). Pour décrire ces différents aspects, on introduit le paramètre 𝜏𝜏 désignant la tortuosité, que l’on définit par la relation suivante:

' 2

L τ _{=  }^ L ^

  (I.6)

15 Où 𝐿𝐿’ est la longueur réelle des lignes de courant du fluide traversant un échantillon de longueur 𝐿𝐿 d’un milieu poreux, modélisé sous la forme d’un réseau de capillaires parallèles ou ondulés. Cette grandeur joue un rôle crucial dans les problèmes de diffusion.

Figure I.3 – Détermination de la tortuosité du milieu poreux II.2.4 Conductivité thermique équivalente

La conductivité thermique équivalente est une fonction complexe des conductivités du solide et du fluide. En général, on ne pourrait pas évaluer la valeur exacte de la conductivité.

Le moyen efficace est la mesure expérimentale dans les conditions d’utilisation en régime permanent.

II.2.5 Volume élémentaire représentatif

L’étude des écoulements impose la description des phénomènes intervenants dans le milieu poreux saturé. L’échelle des pores, ou échelle microscopique est associée au diamètre moyen des pores d, à l’intérieur de cette échelle les grandeurs locales peuvent très largement varier. A l’échelle du milieu poreux, ou l’échelle macroscopique, la variation des grandeurs physiques est définie en moyenne, sur un certain volume de milieu poreux, appelé volume élémentaire représentatif et noté V.E.R. Cette échelle macroscopique est associée à une dimension géométrique Ldu milieu. Soit  la dimension caractéristique du V.E.R (Figure I.5). Cette dimension  doit satisfaire à la double inégalité suivante :

16 d << << L (I.7)

Figure I.4 – Volume élémentaire représentatif du milieu poreux

La taille du V.E.R est donc choisie de manière théorique, en fonction de la division du milieu, de telle sorte que :

● Le V.E.R soit suffisamment grand pour contenir un grand nombre de pores, de manière à pouvoir y définir une propriété moyenne homogène telle que l’effet de fluctuation d’un interstice à un autre soit négligeable.

● Le V.E.R soit suffisamment petit pour que les variations des propriétés d’un domaine au domaine voisin puissent être approchées par des fonctions continues sans introduire d’erreur décelable par les instruments de mesure à l’échelle macroscopique.

Nous supposerons par la suite, l’existence du volume élémentaire représentatif pour obtenir les équations à l’échelle macroscopique par prise de moyenne sur le V.E.R des équations données à l’échelle microscopique, Dal Pont [7].

Les grandeurs physiques caractérisant le milieu poreux sont donc obtenues par prise de moyenne sur le V.E.R (Figure I.5).

17 Figure I.5 – Moyennement de la porosité ε sur le volume élémentaire représentatif

III Echelles de modélisation en milieux poreux

En partant de l’échelle du pore à l’échelle macroscopique, ils existent différentes échelles pour observer un milieu poreux.

III.1 Echelle microscopique

L’échelle microscopique, ou du pore, est une échelle à l’intérieur de laquelle les grandeurs physiques locales peuvent subir de larges variations. En général, cette échelle est associée au diamètre moyen des pores, soit d.

III.2 Echelle macroscopique

L’échelle macroscopique, ou du milieu poreux, est une échelle caractéristique des variations significatives de ces mêmes grandeurs, définies en moyenne sur le volume élémentaire représentatif (V.E.R). Cette échelle macroscopique est associée à la dimension géométrique du milieu, soit L.

III.3 Changement d’échelle

Les changements d’échelles sont des méthodes mathématiques permettant de simplifier la modélisation et la résolution de problèmes physiques. Dans la littérature se trouvent plusieurs travaux qui font la comparaison entre les méthodes de changement d’échelle existantes [8] et [9]. Dans la plupart des cas, les résultats obtenus lors de l’utilisation d’une méthode ne varient pas beaucoup par rapport aux résultats d’une autre, et donc le choix d’une méthode est souvent gouverné par sa connaissance approfondie.

18 La méthode de prise de moyenne volumique sur laquelle est fondé notre travail, est une technique mathématique de changement d'échelles largement utilisée dans l'étude des milieux poreux, dont l'objectif est de créer des modèles macroscopiques à partir de problèmes à l'échelle microscopique. Cette technique permet notamment d'obtenir la loi de Darcy, valable à l'échelle macroscopique, en moyennant le problème de Navier Stokes décrivant l'écoulement à l'échelle microscopique, elle a été largement utilisée par de nombreux chercheurs dans l’étude des phénomènes des transferts de chaleur et de masse en milieux poreux : Whitaker [10], Jomaa [11], Quintardet al. [12], Zabaras et Deep [13] et Delmi et al. [14]. Ces auteurs et autres nous rassurent quant à la validité des résultats dans une échelle où la longueur caractéristique du rayon  du V.E.R se trouve entre d et L.

IV Phénomène de transfert par convection

IV.1 Transfert de chaleur par convection

La convection est un mode de transfert de chaleur dû à une différence de température qui engendre un déplacement de matière dans un milieu fluide (liquide ou gaz). Dans ce mode de transfert, on distingue trois mécanismes qui sont : la convection naturelle, la convection forcée et la convection mixte.

IV.1.1 Convection naturelle

Il y a convection naturelle lorsque le mouvement du fluide est provoqué par des gradients de densité dû à la distribution non uniforme de la température. Les zones chaudes de poids spécifique plus faible, sont soumises à des forces dirigées vers le haut suivant un mécanisme similaire à celui de la poussée d’Archimède. Dans les zones où la température est élevée, le fluide prend donc un mouvement ascendant. Le phénomène inverse de courants descendants se produit pour les parties du fluide dont la température est inférieure à celle du fluide chaud.

Les courants de convection naturelle sont alors dus à des différences de poids spécifique, et par conséquent le phénomène se produit en raison de l’existence du champ de pesanteur [15].

IV.1.2 Convection forée

La convection forcée se distingue de la convection naturelle par le fait que le mouvement du fluide s’effectue grâce à des effets externes (pompe, ventilateur, agitateur, etc…) où l’effet de la poussée d’Archimède est négligeable devant les forces génératrices du mouvement du fluide. En réalité, dans la majorité des applications industrielles, la convection forcée s’accompagne souvent de la convection naturelle.

19 IV.1.3 Convection mixte

Il existe, un grand nombre de situations où les mécanismes de la convection naturelle et la convection forcée coexistent dans des ordres plus ou moins comparables, il s’agit donc d’un mécanisme de la convection mixte. Parmi les exemples les plus répondus, nous citons les écoulements dans les canalisations (chauffage central, radiateurs, climatisation), les écoulements atmosphériques, les courants marins, etc.

IV.2 Convection thermosolutale

Quand les mouvements convectifs sont générés par des gradients de densité induits par l’action simultanée des champs de température et de concentration, on appel ce type d’écoulement la convection double diffusive ou thermosolutale. Ce phénomène qui peut avoir lieu dans un fluide où dans un milieu poreux saturé par le fluide intervient dans divers cas réels. Ainsi, par exemple, on peut citer les applications suivantes :

● Milieux fluides : la croissance de cristaux destinés à l’industrie des semi-conducteurs, le processus de fusion-solidification des mélanges binaires, le stockage des gaz liquides ou l’oxydation des surfaces métalliques.

● Milieux poreux : ce phénomène intervient dans divers problèmes d’ingénierie comme la migration de l’humidité dans les isolants thermiques fibreux, le transport des contaminants dans les sols saturés et les procédés de séchage

.

V Effet Soret

Le comportement des fluides multiconstituants est caractérisé par de nombreux phénomènes n’ayant pas cours dans les fluides purs. En particulier, lorsqu’un mélange de fluide binaire, initialement homogène, est soumis à un gradient de température, il apparait un gradient de concentration dû au gradient thermique, c’est l’effet Soret, appelé aussi effet Ludwig. Plus généralement, le nom « thermodiffusion » désigne cet effet en milieu gazeux, alors que l’expression « effet Soret » sera plus utilisé dans les liquides. Historiquement, on attribue la découverte de la thermodiffusion à Ludwig qui mentionnait le premier en 1856 [16] avoir observé une différence de concentration dans une solution aqueuse de sulfate de sodium soumise à un gradient thermique. Il faut cependant attendre les travaux de Soret en 1880 [17] et 1881 [18] sur des solutions électrolytiques pour donner une explication approfondie du phénomène, qui porte depuis son nom. Il met en évidence l’existence d’un

20 gradient de concentration ionique de sens opposé à celui du gradient de température, correspondant à une migration des ions vers les parties froides du récipient (Figure I.6).

Notons qu’entre temps, en 1872, Dufour a découvert l’effet inverse qui porte son nom, à savoir l’établissement d’un gradient de température comme conséquence d’un gradient de concentration. Cet effet est souvent négligé en dehors des phases gazeuses.

Il s'en suit, entre 1887 et 1892, une série de travaux de différents géologues qui essayent de prendre en compte la thermodiffusion pure pour expliquer les phénomènes de différentiation magmatiques par l’existence de gradients thermiques au sein des magmas.

Cependant, faute de recul par rapport à la découverte du phénomène et de résultats suffisants, ces travaux ont été remis en cause, dès 1893. Cette controverse a été alimentée par le fait que l’ampleur des variations de composition reste faible, et que le temps requis est très long. Ils n’ont alors pas tenu compte des courants de convection présents dans les magmas, ce qui sera fait beaucoup plus tard. La thermodiffusion est de nouveau étudiée à partir de 1911, lorsque des prédictions sur des gradients de concentration se produisant dans un mélange de gaz sous l’influence d’un gradient de température, issues de calculs basés sur la théorie cinétique des gaz, ont été retrouvées expérimentalement. Cependant, comme les variations des concentrations étaient encore trop faibles à cause de la dépendance de la masse moléculaire, l’effet Soret, qui aurait pu être utilisé pour une séparation partielle des isotopes, n’a pas pu être développé efficacement.

Figure I.6 – Schéma représentatif de l’effet Soret

T

T

21 Dans le cas général, lorsqu'un mélange est soumis à un gradient de température dans le champ de pesanteur, les phénomènes de convection et de thermodiffusion sont présents. Le couplage de ces deux phénomènes est appelé diffusion thermogravitationnelle. Cependant, la diffusion thermogravitationnelle n'a pas eu jusqu'à présent d'applications industrielles très larges en raison essentiellement de son coût énergétique élevé.

V.1 Intérêt pratique et industriel de l’effet Soret

Les écoulements monophasiques et multiconstituants interviennent dans de nombreux secteurs industriels. Les combustibles sont en effet souvent stockés sous forme liquide ou solide pour les moteurs à combustion interne ou pour les moteurs fusées, il est aussi possible de séparer les isotopes d’un même élément. De plus, en couplant la convection naturelle au phénomène de thermodiffusion, il est possible d’accroitre notablement le degré de séparation.

La maitrise de la quantification de ces écoulements est très importante pour les métallurgistes lors des traitements thermochimiques des métaux dans les bains salins. Dans un but d’optimisation des coûts de production lors de l’extraction des fluides de gisements par les producteurs pétroliers, il est important de connaitre de façon précise la distribution des différentes espèces à l’intérieur d’un gisement. Cette distribution s’est établie pendant de longues périodes de formation du gisement et a été principalement influencé par la gravité ainsi que par la distribution des pressions dans le réservoir. Des moyens importants ont été mis en œuvre afin d’obtenir des modèles thermodynamiques fiables, permettant de restituer de manière correcte la répartition des espèces dans le réservoir. Etant donné qu’il n’est pas possible de négliger l’importante extension d’un gisement, il est très probable que cette répartition soit influencée par la convection naturelle, mais aussi par le gradient géothermique (gradient de température naturelle de la Terre), ce gradient pourrait être la cause de la migration d’espèces par l’effet Soret. Ce dernier consiste en l’établissement d’un gradient de concentration d’un composant chimique par la présence d’un gradient thermique.

V.2 Colonne thermogravitationnelle

Parmi les méthodes qui permettent de mesurer le coefficient de thermodiffusion (Coefficient de Soret), on trouve celle de la colonne thermogravitationnelle qui se compose de deux plaques verticales séparées par un espace étroit sous un gradient thermique horizontale selon Lorenz et Emery [19] (Figure.I.7). Le principe consiste à utiliser un gradient thermique pour produire à la fois un flux de masse par thermodiffusion et un flux de convection. À partir

22 d'un mélange de composition homogène, le couplage des deux mécanismes de transport conduit à une séparation des composants. Dans la plupart des dispositifs expérimentaux, le gradient thermique appliqué est horizontal et le gradient de composition finale est globalement vertical. Le taux de séparation dans ce système correspond à la différence de concentration entre le haut et le bas de la cellule. La colonne thermogravitationnelle a été conçue par Clusius et Dickel [20]. La phénoménologie de transport thermogravitationnelle a été exposée par Furry et al. [21] et validée ensuite par de nombreuses expériences.

Figure.I.7 – Principe de la colonne thermogravitationnelle

VI Revue bibliographique

Durant les dernières décennies, le phénomène de la convection naturelle a été largement abordé. Il s’agit d’un mode de transfert de chaleur d’un milieu chaud vers un milieu froid sous l’action d’un mouvement des particules de fluides produite par des effets de Poussée d’Archimède quand on applique un champ de gradient de température. Dans le cas le plus fréquent, les deux paramètres responsables de ces mouvements convectifs sont les gradients thermiques et de concentration. Ils peuvent agir ensemble ou bien en opposition. Ce phénomène cruciale est connu sous le nom de convection thermosolutale ou double diffusion.

Le phénomène de la convection peut se produire dans les liquides, tels que les océans, ou dans les milieux poreux, tels que dans les systèmes géothermiques. Rappelons que la porosité est reliée au vide (appelé pores) qui se trouve dans une matrice solide constitué par des grains consolidés. Une synthèse des travaux antérieurs est présentée dans le livre de Nield et Bejan

23 [22] pour les milieux poreux et dans le livre de Brandt et Fernando [23] pour les milieux fluides. Le but de ce paragraphe de ce chapitre est de présenter les travaux de recherche déjà menés sur le phénomène de la convection naturelle thermosolutale dans les milieux poreux avec et en absence de l’effet Soret.

VI.1 Convection thermosolutale sans effet Soret

La convection thermosolutale (l’existence d’un gradient thermique et solutale) est considérée par les industriels et les scientifiques comme un domaine très important et très vif, à cause de la multitude d’applications telles que les systèmes d’énergie géothermique, l’exploitation des réserves pétrolières, la dynamique du noyau terrestre, la croissance cristalline où l'on essaie d'obtenir un monocristal à partir d'un mélange fondu, siège d'une solidification par ségrégation, la pollution des sols et la géologie. Cela a motivé les chercheurs et industriels à mener des recherches dans ce cadre dont l’objectif principal est de comprendre les différents mécanismes résultants des mouvements convectifs engendrés.

L’intérêt pour la convection thermosolutale dans les milieux poreux a commencé après que Nield [24] ait étudié la stabilité de l’écoulement dans une couche poreuse horizontale, chauffée par le bas. En utilisant l’analyse de la stabilité linéaire, il a déterminé les valeurs des nombres de Rayleigh critiques caractérisant la naissance de la convection stationnaire pour différentes conditions aux frontières.

Trevisan et Bejan [25] ont utilisé une méthode numérique pour étudier la convection thermosolutale dans une cavité à section carrée remplie d’un milieu poreux et saturée par un fluide binaire, avec des parois verticales maintenues à des températures et à des concentrations constantes et avec des parois horizontales adiabatiques et imperméables. Une analyse d’échelle a été utilisée pour traiter ce problème dans les cas limites des écoulements entraînés par les effets thermiques ou massiques afin de dégager les divers effets qui influencent les résultats globaux de transfert de chaleur et de masse. Ces auteurs ont montré que l’écoulement du fluide était possible au-delà d’un certain nombre de Rayleigh critique quand le nombre de Lewis Le ≈ 1. Cependant, le mouvement du fluide disparaît complètement pour Le = 1 et pour un rapport des forces de poussée d’origine solutale sur les forces de poussée d’origine thermique N = −1. Les résultats de cette analyse sont en accord avec les résultats des calculs numériques.

Le transfert de chaleur et de masse dans une couche poreuse avec des températures et des concentrations imposées sur les parois horizontales a été étudié analytiquement par Trevisan

24 et Bejan [26] pour des nombres de Rayleigh poreux thermiques élevées (50 à 2000) et dans le cas d’un écoulement de Darcy dont les forces de volumes sont essentiellement d’origine thermique. L’analyse des ordres de grandeurs a permis d’établir différentes échelles pour le transfert de masse en fonction du nombre de Lewis.

Jang et Chang [27] ont analysé l’instabilité de la convection dans un milieu adjacent à une paroi horizontale chauffée par le bas, et présentent des résultats numériques pour des nombres de Lewis compris entre 1 et 10 et des rapports de forces de volume variant de 0.5 à 4. Les auteurs ont montré que le nombre de Rayleigh poreux thermique critique augmente avec la décroissance du nombre de Lewis qui caractérise le rapport entre la diffusion thermique et massique. Chen et Chen [28] ont considéré cette configuration pour étudier la convection double diffusive en utilisant une équation de conservation générale comptant les termes de Darcy, Brinkman et Forchheimer.

Parmi les premières études expérimentalement de la convection double diffusive dans un milieu poreux, on trouve celle réalisée par Murray et Chen [29]. Leur dispositif, composé d’une boîte métallique remplie de billes de verre saturées avec de l’eau distillée, était soumis à des flux de masse et de chaleur. Le nombre de Rayleigh thermique obtenu par les expériences concorde avec celui obtenu par la théorie de la stabilité linéaire.

Rastogi et Poulikakos [30] ont étudié la convection doublement diffusive sur une surface verticale encastrée dans un milieu poreux saturé par un fluide non newtonien. Les cas où la surface verticale est chauffée et salée selon une distribution de température et de concentration constante ou bien par des flux de chaleur et de masse, ont été considérés. Une analyse d’échelle a permis d’identifier plusieurs régimes d’écoulements liés au rapport des forces de volume et au nombre de Lewis. Une solution numérique a permis de mettre en évidence la dépendance des champs de fonction de courant, de température et de concentration de l’indice de comportement du fluide non newtonien.

Une étude de la convection thermosolutale au sein d’un milieu poreux isotrope obéissant à des flux uniformes de chaleur et de soluté imposés à la paroi inférieure a été réalisée par Mamou et al. [31], et Amahmid et al. [32]. Une bonne concordance a été trouvée dans cette investigation entre les résultats obtenus analytiquement par Sen et al. [33] et numériquement par Alavyoon [34]. Les auteurs se sont focalisés particulièrement au cas où les forces de poussée thermiques et solutales s’opposent et sont de même intensité. Le nombre de Rayleigh critique marquant l’amorcement du phénomène de la convection a été calculé analytiquement pour différents nombres de Lewis et Darcy. Ces auteurs ont trouvé que le nombre de Rayleigh

25 thermique critique augmente lorsque le nombre de Darcy augmente pour un nombre de Lewis égal à 1. Pour des nombres de Rayleigh supérieurs au nombre critique l’augmentation du nombre de Darcy réduit l’intensité de l’écoulement ainsi que le taux de transfert thermique et solutale.

Younsi et al. [35] ont analysé la convection double diffusive dans une cavité partiellement poreuse. Les auteurs ont utilisé une seule équation de quantité de mouvement valable dans toute la cavité, ce qui permet d’affranchir du problème des conditions conditions aux limites hydrodynamiques à l’interface milieu poreux/milieu fluide. L’effet des paramètres gouvernant le problème, tels que la perméabilité, l’épaisseur de la couche poreuse et le rapport de poussée a été mis en évidence. Il a été montré, à partir des profils de vitesse et des coefficients de transfert thermique et massique, que pour une couche poreuse de faible perméabilité, quelle que soit son épaisseur induit une chute abrupte des transferts, et l’écoulement est confiné dans la couche fluide. Dans une autre investigation, Younsi et al.

[36] ont analysé l’influence d’un champ magnétique transversal sur la convection thermosolutale dans une cavité verticale partiellement occupée par une couche poreuse. Les auteurs ont combiné la formulation de Darcy-Brinkman-Forchheimer dans le milieu poreux et l’équation de Navier-Stokes dans le milieu fluide pour aboutir à une seule équation valable dans toute la cavité. Des simulations numériques ont été effectuées pour une large gamme de paramètres. Le nombre de Hartman caractérisant l’intensité du champ magnétique de 0 à 100 et le nombre de Darcy de 10^-8 à 1. L’un des résultats essentiels auquel les auteurs ont abouti est que le champ magnétique affecte considérablement la structure de l’écoulement ainsi que les transferts de chaleur et de masse.

Bennacer et al. [37] ont réalisé une étude numérique et analytique concernant le transfert combiné de chaleur et de masse dans un milieu poreux. Ce milieu est globalement homogène et présente une anisotropie thermique. L'équation qui gouverne l’écoulement est celle de Darcy-Brinkman. Le système d'équations couplées est résolu par la méthode classique des volumes finis. Dans le cas d'écoulements d'origine thermique, l'analyse d'échelle est appliquée pour prédire analytiquement l'évolution du transfert de chaleur et de masse en fonction de l'anisotropie thermique. Les simulations numériques sont présentées pour une cavité carrée en faisant varier une large gamme de paramètres. Les résultats numériques ont été analysés en termes de transfert moyen de chaleur et de masse sur les parois verticales de la cavité et ont montré l’existence d’un maximum de transfert de masse, pour un rapport d'anisotropie

26 critique. Cette situation critique dépend de plusieurs paramètres notamment le nombre de Lewis du fluide saturant.

Bahloul [38] a étudié analytiquement et numériquement la convection naturelle en couche poreuse rectangulaire. Il a montré que le coefficient de stratification thermique, dépend essentiellement du rapport d’aspect de l’enceinte et qu’il devient presque indépendant du nombre de Rayleigh dans le régime de couche limite. L’étude de stabilité linéaire de l’écoulement parallèle a été utilisée pour déterminer le nombre de Rayleigh critique pour une cavité de grande extension. L’auteur a trouvé que l’écoulement est stable indépendamment du coefficient de stratification.

N. Retiel et H. Bougurra [39] ont étudié l’influence du nombre de Rayleigh thermique et du nombre de Lewis sur la structure de l’écoulement et sur la distribution de la température et de concentration du phénomène de convection thermosolutale dans une cavité demi- cylindrique horizontale fermée, chauffée et salée par la paroi horizontale qui coupe le cylindre verticalement en deux. L’investigation est faite pour différents rapports des poussées des forces themique et solutale N dans le cas où les forces de poussé s’opposent (N<0) ou s’additionnent (N>0), pour un nombre de Prandtl=0,7. D’après les résultats trouvés, les auteurs ont remarqué que les profils de température et de concentration varient considérablement en fonction des nombres de Rayleigh thermique et du nombre de Lewis.

Récemment, des études théorique et numérique du phénomène de la convection double diffusive ont été effectuées par Sammouda [40]. L’auteur a considéré une cavité cylindrique remplie par un milieu poreux et saturé par un fluide newtonien, les propriétés thermo physiques sont constantes, à l’exception de la densité qui varie linéairement avec la température selon l’approximation de Boussinesq. La paroi latérale de l’enceinte est supposée rigide, imperméable et adiabatique. Les parois horizontales sont maintenues à des températures et concentrations constantes. La porosité du milieu est considérée variable, cette variation est décrite par une loi empirique exponentielle en fonction du rayon de l’enceinte.

Les effets des nombres adimensionnels de, Rayleigh thermique (Ra), Darcy (Da), Prandt (Pr), Lewis (Le) et du rapport des forces de volume (N), sur l’écoulement et sur les transferts de chaleur et de masse ont été bien analysé.

VI.2 Convection thermosolutale avec effet Soret

L’effet Soret ne peut pas être négligé dans de nombreux processus physiques. Il est bien connu depuis longtemps que, sans l’effet Soret, la convection est déclenchée lorsque le