A NALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

A NALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 2

1 E XERCICES DIVERS

1 Soient (u

_n

)

_n∈N

et (v

_n

)

_n∈N

deux suites.

1) Montrer l’équivalence : e

^un_n

∼

→+∞

e

^vn

⇐⇒ u

_n

− v

_n

=

n→+∞

o(1).

2) On suppose : u

_n

> 0 à partir d’un certain rang.

a) Montrer que si : u

_nn

∼

→+∞

v

_n

avec en outre :

n→

lim

+∞

u

_n

= + ∞ , alors : ln u

_nn

∼

→+∞

ln v

_n

. b) Montrer que si : u

_n

ln u

_{n n}

∼

→+∞

n, alors : u

_n

∼

n→+∞

n ln n . 3) Montrer que si : u

_n

=

n→+∞

o p n

, alors :

1 + u

_n

n

n

n→

∼

+∞

e

^un

.

————————————–

2 Calculer un développement asymptotique lorsque n ou x tend vers + ∞ :

1) de :

 1 + 1

n

‹

n

à la précision o

 1 n

³

‹ . 2) de : Arctan x à la précision o

 1 x

³

‹ .

3) de : 1

n!

X

n

k=0

k! à la précision o

 1 n

²

‹ .

————————————–

3 1) Montrer que pour tous n ∈ N

^∗

et x ∈ R : X

n

k=1

 n k

‹

( − 1)

^k−1

x

^k−1

= X

n

k=1

(1 − x)

^k−1

. 2) En déduire un équivalent simple de :

X

n

k=1

 n k

‹ ( − 1)

^k−1

k lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

2 É TUDES DE SOMMES

PAR ENCADREMENT D ’ INTÉGRALES

4 Déterminer un équivalent simple lorsque n tend vers + ∞ de : 1)

n

X

k=2

1

k ln k . 2)

n

X

k=1

1 k + p

k . 3) ln(n!). Quel développement asymptotique plus

précis la formule de Stirling fournit-elle ? 4)

n

X

k=1

1

k

^α

avec α ∈ ]0, 1[.

————————————–

5

1) Montrer que : X

n

k=1

ln k

k =

n→+∞

(ln n)

²

2 + ℓ + o(1) pour un certain ℓ ∈ R . A

TTENTION

, on demande un o(1) et non un O(1) !

2) Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

: X

2n

k=1

( − 1)

^k

ln k k = ln 2

X

n

k=1

1 k −

X

2n

k=n+1

ln k k . 3) En déduire que :

+∞

X

k=1

( − 1)

^k

ln k

k = γ ln 2 − (ln 2)

²

2 .

————————————–

6

1) Calculer : lim

n→+∞

1 n

X

n

k=1

k n ln k

n .

2) En déduire un développement asymptotique de : X

n

k=1

k ln k à la précision o n

²

lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

7 Déterminer un équivalent simple de :

n

v t (2n)!

lorsque n tend vers + ∞ : n!

1) en se ramenant à une certaine somme de Riemann.

2) en utilisant la formule de Stirling.

————————————–

3 S UITES D ’ INTÉGRALES ET FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE INTÉGRALE

8 On pose pour tout n ∈ N : u

_n

= Z

1

0

dt 1 + t

ⁿ

. 1) Calculer u

₀

, u

₁

et u

₂

.

2) Montrer que : u

_n

=

n→+∞

1 − ln 2 n + o

 1 n

‹ .

————————————–

9 Déterminer un équivalent simple lorsque n tend vers + ∞ de :

Z

1

0

t

ⁿ

p 1 + t e

^t

dt.

————————————–

10 Soit f ∈ C

²

[0, 1], R

. Déterminer un dévelop- pement asymptotique de :

Z

1

0

t

ⁿ

f (t) dt à la préci- sion o

 1 n

²

‹

lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

11 1) Montrer que pour tout f ∈ C [0, 1], R : Z

1

0

e

^{−x t}

f (t) dt =

x→+∞

O

 1 x

‹ . 2) Soit f ∈ C

²

[0, 1], R

. Déterminer un développe- ment asymptotique de :

Z

1

0

e

^{−x t}

f (t) dt à la précision O

 1 x

³

‹

lorsque x tend vers + ∞ .

————————————–

12 On pose pour tout n ∈ N : F(n) =

Z

π

0

sin(nt) t dt.

1

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A NALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 2

1) Justifier proprement la définition de F . 2) a) Pour tout k ∈ N

^∗

, montrer l’inégalité :

2 (k + 1)π ¶

Z

(k+1)π

kπ

| sin t |

t dt ¶ 2 kπ . b) En déduire l’équivalent : F (n)

_n

∼

→+∞

2 π ln n.

————————————–

4 S UITES RÉCURRENTES

13 Soit a > 1. On note (u

_n

)

_n∈N

la suite définie par : u

₀

= a et pour tout n ∈ N : u

_n+1

= 1

2

 u

_n

+ a

u

_n

‹ . On pose pour tout n ∈ N : v

_n

= u

_n

− p

a u

_n

+ p

a .

1) Calculer v

_n+1

en fonction de v

_n

pour tout n ∈ N , puis en déduire une expression de u

_n

en fonction de n.

2) En déduire que : u

_n

− p a ∼

n→+∞

2 p a

p a − 1 p a + 1

‹

²ⁿ

. 3) Cette méthode de calcul des valeurs approchées de

p a s’appelle la méthode de Héron ou méthode des Babyloniens. Interpréter géométriquement la défi- nition de (u

_n

)

_n∈N∗

et justifier ainsi l’intuition des Babyloniens. Pourquoi cette méthode est-elle par- ticulièrement intéressante ?

————————————–

14 On note (u

_n

)

_n∈N

la suite définie par : u

₀

= 1 et pour tout n ∈ N : u

_n+1

= 1 + n

u

_n

. Montrer que pour tout n ∈ N : p n ¶ u

_n

¶ p n + 1. En déduire un équivalent simple de u

_n

lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

15 On note (u

_n

)

_n∈N∗

la suite définie par : u

₁

= 1 et pour tout n ∈ N

^∗

: u

_n+1

= ln n + u

_n

.

1) Montrer que (u

_n

)

_n∈N∗

possède une limite et la dé- terminer.

2) a) On rappelle que : ln x ¶ x − 1 pour tout x > 0. Montrer que : u

_n

¶ ln(2n) pour tout n ¾ 2.

b) Montrer que : u

_nn

∼

→+∞

ln n.

3) Montrer que : u

_n

− ln n

_n

∼

→+∞

ln n n .

————————————–

16 On note (u

_n

)

_n∈N

la suite définie par : u

₀

= 1 et pour tout n ∈ N

^∗

: u

_n

= n + ln u

_n−1

.

1) Montrer que (u

_n

)

_n∈N

possède une limite et la dé- terminer.

2) Déterminer un réel λ > 0 pour lequel pour tout n ∈ N

^∗

: u

_n

¶ λn.

3) Montrer que : u

_nn

∼

→+∞

n.

4) Déterminer un développement asymptotique de u

_n

à la précision o(1) lorsque n tend vers + ∞ . 5) Pousser le calcul jusqu’à la précision o

 1 n

‹ .

————————————–

5 S OLUTIONS D ’ ÉQUATIONS DÉFINIES IMPLICITEMENT

17 1) Montrer que l’équation : x

⁵

+ t x − 1 = 0 d’in- connue x ∈ [0, 1] possède une et une seule solu- tion x

_t

pour tout t ¾ 0.

2) Montrer que : lim

t→+∞

x

_t

= 0.

3) Montrer que : x

_{t t}

∼

→+∞

1

t , puis calculer un équi- valent simple de x

_t

− 1

t lorsque t tend vers + ∞ .

————————————–

18 1) Montrer que l’équation : x

ⁿ

− nx + 1 = 0 d’in- connue x ∈ [0, 1] possède une et une seule solu- tion x

_n

pour tout n ¾ 2.

2) Étudier la convergence de (x

_n

)

_n¾2

. 3) Montrer que : x

_nn→

∼

_+∞

1

n .

4) Calculer un équivalent simple de x

_n

− 1 lorsque n tend vers + ∞ . n

————————————–

19 1) Montrer que la fonction x 7−→

^f

x + ln x est bijective de R

^∗

+

sur R . 2) Déterminer : lim

y→+∞

f

⁻¹

(y).

3) En déduire que : f

⁻¹

( y)

_y

∼

→+∞

y.

4) Montrer que : f

⁻¹

(y ) − y

_y

∼

→+∞

− ln y .

————————————–

20 1) Montrer que l’équation : tan xπ 2 = π

2nx d’in- connue x ∈ ]0, 1[ possède une et une seule solution x

_n

pour tout n ∈ N

^∗

.

2) a) Montrer que pour tout x ∈ h 0, π

2 h

: tan x ¾ x.

b) En déduire : lim

n→+∞

x

_n

, puis un équivalent simple de x

_n

lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

21 1) Montrer que l’équation : x

ⁿ

+ x − 1 = 0 d’in- connue x ∈ [0, 1] possède une et une seule solu- tion u

_n

pour tout n ∈ N

^∗

.

2) Étudier la monotonie de (u

_n

)

_n∈N∗

, puis sa limite.

3) On pose pour tout n ∈ N

^∗

: δ

_n

= 1 − u

_n

. a) Montrer que : ln δ

_nn

∼

→+∞

− nδ

_n

. b) En déduire que : ln δ

_nn

∼

→+∞

− ln n.

c) En déduire que : δ

_nn

∼

→+∞

ln n n .

————————————–

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

A NALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 2

22 1) Montrer que l’équation : tan x = x d’inconnue x ∈ i

nπ − π

2 , nπ + π 2 h

possède une et une seule solution x

_n

pour tout n ∈ N

^∗

.

2) Déterminer un équivalent simple de x

_n

lorsque n tend vers + ∞ .

3) On pose pour tout n ∈ N

^∗

: δ

_n

= x

_n

− nπ.

a) Exprimer δ

_n

en fonction de x

_n

et de la fonction arctangente pour tout n ∈ N

^∗

, puis calculer :

n→

lim

+∞

δ

_n

.

b) On rappelle que : Arctan x + Arctan 1 x = π pour tout x > 0. En déduire le développement 2 asymptotique :

x

_n

=

n→+∞

nπ + π 2 − 1

nπ + 1 2n

²

π + o

 1 n

²

‹ .

————————————–

23 1) Montrer que l’équation : sin x = x

n d’inconnue x ∈ ]0, π[ possède une et une seule solution x

_n

pour tout n ¾ 2.

2) Étudier la monotonie de (x

_n

)

_n¾2

.

3) Montrer que (x

_n

)

_n¾2

est convergente et préciser sa limite.

4) Montrer que : x

_n

=

n→+∞

π − π n + o

 1 n

‹ . 5) a) Calculer un développement limité de la fonc-

tion arcsinus au voisinage de 0 à l’ordre 3.

b) En déduire un développement asymptotique de x

_n

à la précision o

 1 n

³

‹

lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

24 1) Montrer que l’équation : x

ⁿ

= x + n d’incon- nue x ∈ R

₊

possède une et une seule solution x

_n

pour tout n ¾ 2.

2) Montrer que (x

_n

)

_n¾2

converge vers 1.

3) Déterminer un équivalent simple de x

_n

− 1 lorsque n tend vers + ∞ .

————————————–

25 1) Montrer que le polynôme X

²ⁿ

− 2nX + 1 possède au moins une racine réelle pour tout n ∈ N . On notera x

_n

la plus grande de ces racines.

2) Montrer que : lim

n→+∞

x

_n

= 1.

3) Montrer que : x

_n

=

n→+∞

1 + ln n 2n + o

 ln n n

‹ .

————————————–

26 1) Montrer que l’équation : e

^x

= α x d’inconnue x ¾ 0 possède exactement deux solutions pour tout α > e que nous notons x

_α

et y

_α

, dans l’ordre : x

_α

< y

_α

.

2) a) Montrer que : y

_αα

∼

→+∞

ln α.

b) Déterminer un équivalent simple de y

_α

− ln α lorsque α tend vers + ∞ .

3) a) Étudier la monotonie de la fonction α 7−→ x

_α

sur ]e, + ∞ [ et en déduire : lim

α→+∞

x

_α

. b) Déterminer un développement asymptotique de

x

_α

à la précision o

 1 α

²

‹

lorsque α tend vers + ∞ .

————————————–

3