Une méthode de calcul de voies couplées

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Une méthode de calcul de voies couplées

J.P. Boisson, C. Gignoux

To cite this version:

J.P. Boisson, C. Gignoux. Une méthode de calcul de voies couplées. Journal de Physique, 1972, 33

(2-3), pp.183-187. �10.1051/jphys:01972003302-3018300�. �jpa-00207236�

UNE MÉTHODE DE CALCUL DE VOIES COUPLÉES

J. P. BOISSON et C. GIGNOUX

Institut des Sciences

Nucléaires,

^Cédex

257, 38,

Grenoble-Gare

(Reçu

^{le 22}

septembre 1971,

révisé le 21 octobre

1971)

Résumé. ²⁰¹⁴ Une méthode matricielle, utilisant la base des états _propres de Kapur-Peierls, ^est proposée pour des calculs de voies couplées rencontrés aussi bien dans des problèmes de diffusion que dans des problèmes d’états liés. Pour illustrer cette méthode nous étudions en détail le problème

des états liés dans un potentiel de Saxon-Woods déformé ; ^de plus quelques ^{résultats sont} présentés

dans le cadre du problème ^{à trois} corps.

Abstract. ²⁰¹⁴ A matrix method based on the Kapur-Peierls ^{basis is} proposed ^{for the} coupled

channel calculations encountered in scattering ^{as well as in bound state} problems. ^We illustrate this method by studying in detail the bound state problem in the deformed Saxon-Woods potential. ^We

also give ^some results obtained in the framework of the three-body problem.

Classification

Physics Abstracts : 12.10

1. Introduction. ^- Dans de nombreux

problèmes

de structure ou de réactions la résolution de

l’équation

de

Schrôdinger

conduit à un

système d’équations

différentielles ou

intégro-différentielles couplées.

^Un

tel

système

peut ^être résolu directement

[1], [2] ; cependant lorsque

^c’est

possible,

^{il est}

plus

^{facile et}

plus rapide

^de se ramener par

projection

^{à un}

système

matriciel

qui présente

^{entre autres}

l’avantage

^{de mettre}

en évidence certaines

propriétés

^{de la solution}

qui n’apparaissent

pas dans le

système

initial. Avec les bases utilisées habituellement

(états

propres ^d’un oscillateur

harmonique sphérique

^ou

non) qui

^ne

dépendent

pas de

l’énergie,

la méthode matricielle ne

permet pas d’obtenir correctement la

partie

^extérieure

de la fonction

d’onde ;

^c’est

pourquoi

^{cette méthode}

n’est _pas utilisée _{s’il y} a des voies ouvertes. Dans cet

article,

nous avons utilisé deux types ^{de bases}

qui

^ont

l’avantage

^{de ne} pas avoir de

spectre

^{continu et}

qui cependant diagonalisent Ho - E, Ho

^{étant la}

partie

non

perturbée

de l’hamiltonien. Les états de ces bases

qui dépendent

^de

l’énergie

^{ont un} comportement extérieur d’ondes sortantes. Il s’ensuit d’une part ^une amélioration de la détermination des états liés

lorsque

toutes les voies sont fermées et d’autre part ^la

possi-

bilité d’utiliser cette méthode matricielle même

lorsqu’il

y ^a des voies ouvertes. Au

paragraphe 2,

^nous

présen-

tons ces bases et

explicitons

^{une méthode}

qui grâce

^à

leur utilisation permet de résoudre un

système d’équa-

tions différentielles ou

intégro-différentielles couplées.

Au

paragraphe

³

grâce

^{à cette}

méthode,

^{nous déter-}

minons

quelques

états liés de

particule

^{dans un}

potentiel

^de Saxon-Woods déformé. Nous ^avons volontairement choisi le

potentiel correspondant

^au

cas de l’239U car c’est pour les noyaux lourds que les difficultés sont les

plus grandes.

^De

plus

^nous

indiquons

des résultats obtenus par ^cette méthode pour ^{le pro-} blème de trois bosons en interaction. Pour ces deux

problèmes

^{on constate} que la

première

^base

(Kapur- Peierls)

^{est du}

point

^{de vue} de la convergence rela- tivement bonne et bien meilleure _{que la} deuxième

(Sturm-Liouville).

2.

Rappels

^des

propriétés

des bases de

Kapur-Peierls

et de Sturm-Liouville et méthode de résolution d’un

système couplé.

^{- Nous nous} proposons de résoudre le

système d’équations couplées

^{suivant :}

dans

lequel

les fonctions d’onde _ui satisfont aux condi- tions

Le terme

Fi(r)

^{contient au moins le}

potentiel

^centri-

fuge lïCli

⁺

1)/r2

^et

lorsqu’il

^n’est pas nul le

potentiel

coulombien

2 ni ki/r Vi(r)

^{est la}

partie

^du

potentiel qui

n’est pas contenue dans

Fi(r). L’opérateur Wij’

^local

ou non, traduit le

couplage

^{entre les voies i et}

j.

Dans les

problèmes

^de

diffusion, ui(r)

^ne

décrit, d’après

^{la condition}

(2),

que la

partie

^{sortante de la}

voie i. C’est-à-dire que dans la voie entrante la fonc- tion d’onde de la voie i est décrite _par

ui=o(r)

^à

laquelle

on doit

ajouter

la solution

optique qJo(r).

Ceci entraîne

l’apparition

^{d’un terme}

hi(r)

^{dans les}

équations

^du

système (1)

^et habituellement on a

hi(r)

⁼

W;o(r) qJo(r).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003302-3018300

184

Selon _que la voie i est ouverte ou

fermée, k;, qui dépend

linéairement de

l’énergie,

^est

positif

^ou

négatif.

Dans la

plupart

^des

^{cas Vi}

^ne

dépend

pas de la

voie,

mais cela

peut

^se

produire

^par

exemple

^{dans le cas}

d’un

potentiel optique dépendant

^de

l’isospin [3].

^Un

système

^de

type (1)

^{est obtenu} aussi bien dans le cas

des états liés d’une

particule

^{dans un}

potentiel

^déformé

que dans le cas de la dérivation des

équations

^de

Faddeev pour le

problème

à trois corps.

La

première

^base considérée est celle des états de

Kapur-Peierls [4].

Cette base est constituée des solu- tions continues à dérivées

premières

continues des

équations

et

qui

^{satisfont aux} conditions aux limites

(2).

^{Il a été}

montré

[4]

que l’ensemble discret des fonctions

un(k, r)

forme une base

complète

^sur

[0, Re]

pour ^toute fonc- tion ayant ^au

point Re

la même dérivée

logarithmique, indépendante

^{de n,} que les

un(k, r).

^Les

propriétés

^du

wronskien permettent aisément d’obtenir la relation :

où par

définition ( 1 )

^{est le}

produit

^{direct défini} par :

La seconde base considérée est celle des états de Sturm-Liouville

qui

^sont les solutions continues à dérivées

premières

continues de

l’équation :

satisfaisant de

plus

^aux conditions aux limites

(2).

Il a été

rappelé ^[5]

^{que, dans la mesure où}

V(r) garde

^un

signe

^{constant, ces états forment une base}

complète

^discrète pour des fonctions satisfaisant aux

conditions aux limites

(2).

^De

plus,

^les

propriétés

^du

wronskien

permettent

^{de montrer} que

Projetons chaque

^fonction

ui(r)

^{sur les états}

uc(ki, r) correspondant

^aux

potentiels Vi

^et

Fi

^{et à}

l’énergie kt

Ceci n’est

possible

^{avec les états de}

Kapur-Peierls

^que

si

hi

^et

Wij

uj s’annulent pour r >

Rc,

c’est-à-dire si

j

le

potentiel perturbateur

^{est nul dans cette}

région :

en

effet,

^{dans ce cas la fonction}

ui(r)

^{a au}

point R,,, la

même dérivée

logarithmique

que les fonctions

utc(r)

^et

par suite comme on l’a

rappelé précédemment

^les

uc(r)

forment une base

complète

pour

ui(r).

En reportant ^{dans le}

système (1)

^le

développement (9)

et en utilisant les relations

(5)

^ou

(8),

^{on se ramène au}

système

^matriciel

En utilisant les états de

Kapur-Peierls

^{on obtient :}

et

et avec les états de Sturm-Liouville

et

Dans le cas où l’une au moins des voies est ouverte,

l’énergie E

^{est connue et} par suite le

système (10)

^est

un

simple système

^linéaire

inhomogène.

Dans le cas où toutes les voies sont fermées

Iî

^est

nul et le

système (10)

^{est un}

système

^infini

d’équations homogènes dépendant

^non linéairement de E. On se

ramène à un

système

^{fini en faisant}

l’approximation qui

^{consiste à} tronquer ^{la base de}

projection.

^Ce

système tronqué

n’admet de solutions _que pour des valeurs de

l’énergie qui

^{annulent le} déterminant d’éléments

A7(E).

^On détermine les zéros de ce

déterminant _par

approximations

successives. Il est à noter

qu’il

^faut recalculer les états de base et tous les éléments du déterminant pour ^chacune des valeurs de la suite

d’approximations

successives. Nous avons mis

au

point

^{une méthode} permettant de déterminer ces

états de base de manière

rapide

^et sûre pour ^toute

énergie

^et pour ^tout nombre de noeuds. Par cette

méthode,

^{on détermine une}

énergie Ef qui

^n’est pas la solution exacte du

système (10) puisqu’on

^a

tronqué

la base. Un des buts de cet article est de montrer

qu’avec

^un

système tronqué

^{de taille}

raisonnable,

^on obtient une solution très voisine de la solution exacte.

Il est

possible

^{d’obtenir la solution exacte du} sys-

tème ( 1 )-(2) équivalent

^au

système (10)

par ^une méthode itérative du type de celle utilisée par ^Rost

[7].

^{Une telle}

méthode ne converge

rapidement

que si l’on connaît

une solution

approchée

suffisamment bonne. De manière

pratique,

^{on a}

pris

pour

énergie approchée Ef

et pour ^fonction d’essai celle obtenue _par

projection

sur une base

tronquée correspondant

^à

l’énergie Ef.

Dans ce

qui

^{suit nous avons} testé la méthode

proposée

par

comparaison

^{avec cette} méthode exacte, d’une

part

^{dans le}

problème

des états liés de

particule

^dans

un

potentiel déformé,

^d’autre

part

^{dans le}

problème

des états liés de 3 bosons en interaction. Nous avons

ensuite

indiqué qu’il

^est

possible

d’utiliser notre méthode pour d’autres

problèmes.

3.

Applications.

^{- Comme}

première application,

nous avons étudié le

problème

^{de la} détermination des états liés de

particule

^{dans un}

potentiel

^{de Saxon-}

Woods déformé

correspondant

^{au cas de}

^i,239u.

On cherche à résoudre

’

où E est

l’énergie

^{d’un état lié de}

particules

De

plus g(8)

^{= 1}

+ fI YÎ(8) - P’/4 n, fi

^étant le para- mètre de déformation

qui

^{a été}

pris égal

^à

^0,268,

^valeur

donnée par Davidson

[8].

Enfin pour les

paramètres

du

puits

^{nous avons}

pris

les valeurs données _par Ross et al.

[9]

^{A =}

39,5

^{a =}

0,69 R.

⁼

1,30 Al/3.

La

profondeur Vo

^du

puits

^{a été}

ajustée

^de

façon

^à

retrouver pour l’état fondamental

5/2+ [622]

^{sa valeur}

expérimentale qui

^{est de l’ordre de -}

4,80

^MeV.

Développons

x ^sur les fonctions propres du ^moment

angulaire

^total

Substituant cette relation dans

(13),

^{on obtient un}

système d’équations

différentielles

couplées

^du type

(1).

Dans ce cas

hi

^est

nul, kf

^{= k2 = 2}

melh’

^et

avec Fi

⁼

li(li

+

1)/r2

pour la base de

Kapur-Peierls auquel

^on

ajoute

pour celle ^de Sturm-Liouville

(2 m/1i2) V.0(0, r) qui

^n’a pas ^un

signe

^constant.

Les états de

Kapur-Peierls dépendent

^du rayon de coupure

Rc.

Différents essais ont montré que la convergence du

développement

était d’autant

plus rapide

que ^ce

paramètre

^était

petit.

^{On est}

cependant

limité _par

l’hypothèse

^de

départ

^selon

laquelle

Y_ Wg(r) uj(r)

^est nulle pour ^r >

Rc.

^Cette

approxi-

i,j

mation entraîne une erreur

qui,

^{évaluée au}

premier

ordre des

perturbations,

^{est :}

En

pratique

^avec

Re égal

^au rayon nucléaire

augmenté

de 5 à 6

fois,

^le

paramètre

de diffusivité a du

puits

^AE

est de l’ordre de

10-3

MeV. On

développe

^alors

chaque

^fonction _ulj.Q ^{sur les états}

uü(k, r) :

avec

où n

représente

le nombre de

nceuds,

^{n0153ud à l’infini}

compris,

^{des états de}

projection.

^{On a étudié la conver-}

gence de

l’énergie

^en fonction de

Nmax

pour ^tous les états liés de l’uranium. Sur les

figures

^{1 et}

2,

^{on a}

porté l’énergie

^en fonction de

N Max

pour deux états : le fondamental

5/2+ [622]

^{et un état} peu ^lié

3 j2- [752].

L’énergie

^exacte

qui correspond

^à

N Max

^{= 00 a été}

obtenue _par une méthode itérative. Par des

croix,

^nous

avons

indiqué l’énergie

^{obtenue en}

projetant

^{sur la}

base des fonctions _propres de l’oscillateur

harmonique sphérique.

^{On constate sur ces}

figures

l’excellente convergence ^en

énergie

obtenue par

projection

^sur

les états de

Kapur-Peierls.

^{Nous avons fait la même}

constatation pour ^tous les autres états et d’autres noyaux. Cette convergence ^se manifeste dans la décrois-

sance

rapide

^à

partir

^d’un certain ordre N de

comme on peut ^{le voir sur} les tableaux 1 et II.

FIG. 1. ^- Dépendance ^en fonction de Nmax ^de l’énergie ^{de l’état} 5/2+ [622] ^{de 1’239U} par utilisation respective des bases de Kapur- Peierls (KP), Sturm-Liouville (SL) ^et de l’oscillateur harmonique (OH). ^{La valeur} exacte est obtenue _par utilisation d’une méthode

itérative (IT).

186

FIG. 2. ^- Même étude _pour l’état 3/2- [752].

On remarque aussi l’existence d’une couche

prédo-

minante

Nprédominante ; ^cependant

l’influence des cou-

ches

Np,édominante

^{± 2 est} loin d’être

négligeable.

L’ensemble de ces résultats montre que pour la déter- mination des

énergies

^{des états}

liés,

^{les états de}

Kapur-

Peierls sont très bien

adaptés.

Avec les bases

classiques indépendantes

^de

l’énergie

utilisées

habituellement,

^on peut obtenir aussi une

bonne convergence ^en

énergie

^{mais il est} presque

impos-

sible de décrire correctement la queue de la fonction d’onde et ceci peut entraîner des estimations erronées pour certains éléments de matrices. Avec les bases

adaptées

^et

spécialement

^{avec celle de}

Kapur-Peierls,

ce

problème

^{ne se} pose pas : ^en

effet,

^si

l’énergie

^de

l’état est bonne il en est aussi de même par construction de la queue de la fonction d’onde. Ceci a d’ailleurs été mis en évidence

numériquement

par la compa-

raison avec les fonctions d’onde obtenues _par une

méthode itérative.

Comme autre

application,

nous avons considéré le

problème

des états liés de 3 bosons en interaction.

Habituellement on est conduit à résoudre une

équation intégrale

^double

[10]. Cependant,

^{il est}

possible

^d’ob-

tenir à

partir

^des

équations

de Faddeev une

équation intégro-différentielle qui

peut se ramener à un

système analogue

^au

système (1).

^On peut ^{alors utiliser la} méthode

exposée précédemment

^et les comparer à la solution exacte obtenue par ^une méthode itérative.

Ces détails _propres au

problème

^{à trois} corps ainsi que

l’application

^{à la} recherche des états liés de trois nucléons feront

l’objet

^d’une

publication

ultérieure.

Nous mentionnons seulement sur la

figure

^{3 la} compa-

FIG. 3. ^- Dépendance ^en fonction de Nmax de l’énergie ^{de l’état}

fondamental (en bas) ^et de l’état excité (en haut) ^{de 3} bosons interagissant ^{entre eux par un} potentiel ^{de Yukawa.}

TABLEAU 1

Variation de

p2(N)

^{pour l’état}

5/2+ [622]

TABLEAU II

Variation de

p2(N)

pour l’état

3/2- [752]

raison des 2 types ^de

développement

pour le

problème

maintenant

classique [ 11 de

^l’état fondamental et de l’état excité de 3 bosons

interagissant

^{deux à deux}

par le

potentiel

^{de Yukawa}

(1i2j2 m)

^À

e-ur jr

^avec

À ⁼

1,6 Fm-’, y

⁼ 0,633 Fm-1. ^{Sur cette}

figure,

^on peut ^constater que la base de

Kapur-Peierls, indépen-

damment des avantages ^{dus à} la limitation du pro- blème au rayon de coupure

R,,,,

^{donne de meilleurs}

résultats _que celle de Sturm-Liouville.

Les états de

Kapur-Peierls

peuvent ^{aussi être utilisés} dans les

problèmes

de diffusion. On peut ^{ainsi traiter} le

problème

^{de deux}

puits

^carrés

couplés [12], [13] ;

avec un seul état de

projection

^dans

chaque voie,

on rend compte ^du

phénomène

de résonance à la bonne

énergie.

D’une manière

générale,

l’utilisation de ces bases

adaptées

^en

énergie correspond

^à

approximer

^{la fonc-}

tion de Green _par un

développement séparable.

^Avec

les états de Sturm-Liouville une telle

approximation

est

équivalente

^au

développement séparable

^{de Wein-}

berg [14]

^de

l’opérateur

de transition utilisé

depuis

un certain temps ^{dans le}

problème

^{à trois} corps. Avec les états de

Kapur-Peierls,

^{une telle}

approximation séparable

de la fonction de Green a été

envisagée

d’une manière

générale [14], [15].

^A

partir

^{de cette}

fonction de Green, ^on peut ^{obtenir un}

développement

de la matrice S

qui

doit être

distingué

de celui de

Kapur-Peierls généralisé

par

Lejeune

^et

Nagara-

jan [14]

^{aux voies}

couplées.

^En

effet,

^{même dans le cas} de la diffusion d’une

particule

par ^un

potentiel,

^on

obtient deux

développements

^de la matrice S non

équi-

valents. Celui obtenu à

partir

de la fonction de Green est en

général

^meilleur pour la section efficace et l’unitarité aux

voisinages

des résonances.

4. Conclusion. ^- La

projection

^{sur les états de}

Kapur-Peierls

pour la résolution de ^deux

problèmes

d’états liés

physiquement

différents se révèle

particu-

lièrement

adéquate.

L’utilisation de base

dépendante

de

l’énergie permet

^de

diagonaliser Ho - E, Ho

^étant

la

partie

^non

perturbée

^de

l’hamiltonien,

^{tout en}

évitant les difficultés d’un spectre continu. Grâce à cette

dépendance

^en

énergie

les fonctions d’onde obtenues ont un bon comportement ^{extérieur ce}

qui

est essentiel pour le calcul de certains éléments de matrice en

particulier

par l’influence de la _queue ^sur la normalisation ou pour le calcul des facteurs de forme pour des réactions de transfert. De

plus,

^cette pro-

jection

^est

possible

^{dans le cas où il y a des voies}

ouvertes. Les états de Sturm-Liouville

possèdent

^les

mêmes

propriétés ; cependant

pour l’obtention d’une

précision égale

leur utilisation conduit à effectuer des calculs ^au moins deux fois

plus longs.

Remerciements. ^- Nous souhaitons remercier le Professeur J. Yoccoz _pour nous avoir

guidés

^{dans ce}

travail.

Bibliographie [1] NEMIROVSKII (P. E.) ^{et CHEPURNOV} (V. A.), ^{Sov. J.}

Nucl. Phys., 1966, 3, ^730.

CHEPURNOV (V. A.), ^{Sov. J. Nucl.} Phys., 1968, 7, ^715.

[2] ^TAMURA (T.), ^{Rev. Mod.} Phys., 1965, 37, 679.

BUCK (B.) ^{et HILL} (A. D.), ^Nucl. Phys., 1967, ^A 95,271.

RAYNAL (J.), ^MELKANOFF (M. A.) ^{et SAWADA} (T.),

Nucl. Phys., 1967, ^A 101, ^369.

[3] ^LANE (A. M.), Phys. ^Rev. Letters, 1962, 8,171.

LANE (A. M.), ^Nucl. Phys., 1962, 35, ^676.

[4] ^KAPUR (P. L.) ^{et PEIERLS} (R.), ^Proc. Roy. ^Soc. (Lon- don), 1938, ^A 166, ^277.

[5] ^ANDERSEN (B. L.), ^BACK (B. B.) ^{et BANG} (J. M.), ^Nucl.

Phys., 1970, ^A 147, ^33.

[6] ^HUMBLET (J.), ^ROSENFELD (L.), ^Nucl. Phys., 1961, 26, 529.

[7] ^RosT (E.), Phys. Rev., 1967, 154, 994.

[8] ^DAVIDSON (J. P.), ^{Rev. Mod.} Phys., 1965, 37, ^105.

[9] ^Ross (A. A.), ^MARK (H.) et LAWSON (R.D.), Phys. Rev., 1956,102,1613.

[10] AHMADZADEH (A.) ^{et TJON} (J. A.), Phys. Rev., 1965, 139, ^B 1085.

[11] ^OSBORN

(T.

^{A.), SLAC} Report, ^n° 79, décembre 1967.

[12] ^WEINBERG (S.), Phys. Rev., 1963, 131, ^440.

[13] ^GIGNOUX (C.), ^J. Physique, 1971, 32, 467.

[14] ^LEJEUNE (A.), ^NAGARAJAN (M. A.), ^Nucl. Phys., 1970,

A 154, ^602.

[15] ^MINELLI (T. A.) ^{et ZARDI} (F.), Report ^IFPTH 1/171.