Comparaison d'estimateurs de la ressource forestière tropicale basés sur plan de sondage et sur modèle compte tenu d'une post-stratification

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Comparaison d’estimateurs de la ressource forestière

tropicale basés sur plan de sondage et sur modèle

compte tenu d’une post-stratification

Hélène Dessard

To cite this version:

Article

_original

Comparaison

d’estimateurs

de la

ressource

forestière

tropicale

basés

sur

plan

de

sondage

et

sur

modèle

compte

tenu

d’une

_{post-stratification}

Hélène Dessard*

Cirad-forêt,

Campus

international de

_Baillarguet,

BP 5035, 34 032

_Montpellier

Cedex 1, France

(Reçu

le 17 décembre 1998 ;

_accepté

le 16

_juin

1999)

Abstract -

_Comparison

of

_design-based

and model-based estimates for

_{tropical forestry}

resource with

_{post-stratification.}

Forest resource _management

_{planning provides today}

the

_guide

line for

_harvesting:

the forest is cut in

_{high yield}

units from which forest managers

successively

extract

_quantities

of timber.

_{Management mapping}

needs local assessment of the resource over the whole forest from a forest

_inventory.

Prediction of the resource is made

_by

two methods of

_kriging:

one is

_{ordinary kriging}

and the other one, named stratified

_kriging,

takes into account an

_{auxiliary qualitative}

variable. Results obtained from these technics are

compared

with those

_{yielded by}

classical

_sampling.

Thanks to an

_{exhaustively sampled}

_area, one can

_judge

more

_objectively

the

suitability

of each

_technique.

If the total is similar for the different estimators, variances obtained

_{by kriging}

are smaller. The difference between

_ordinary

and stratified

_kriging

concerns the distribution of the estimation.

_Taking

into account the stratification

was not very efficient and it

might

be better to use _{survey estimators. © 1999}

Inra/Éditions scientifiques

et médicales Elsevier SAS.

management

planning

/ forest inventory / kriging /

_{post-stratification}

Résumé -

_{L’exploitation}

forestière est

_{aujourd’hui guidée}

par un

_{plan d’aménagement,}

c’est-à-dire par un

_découpage

en

_grandes

uni-tés de la forêt d’où

_{l’exploitant}

extrait successivement une certaine

quantité

de bois. L’établissement de ce

_plan

_passe en

_premier

lieu

par l’estimation locale de la ressource sur l’ensemble de la forêt, effectuée à

_partir

d’un inventaire forestier. La

_prévision

de la res-source est _{réalisée par deux méthodes de}

_{krigeage :}

l’un est le

_krigeage

ordinaire et l’autre,

appelé krigeage

stratifié tient _compte d’une variable auxiliaire

_qualitative.

_{Les résultats obtenus par} ces diverses

_procédures

sont

_comparés

à ceux _{obtenus par les méthodes}

usuelles relevant de la théorie des

_sondages.

Il est

_{également possible}

de

_juger

de

_{façon plus objective}

la

_pertinence

de

_chaque

tech-nique

en comparant les estimations des totaux à ceux d’une

_région

échantillonnée exhaustivement. Si le total estimé ne diffère

_guère

pour chacune des méthodes les variances sont

_plus

_{faibles pour les}

_procédures

de

_krigeage.

La _{distribution des estimations par}

krigea-ge stratifié est

_{plus homogène}

_{que par}

_krigeage

_{ordinaire pour} un total

_équivalent.

La

_prise

en _compte de la stratification n’a finale-ment _pas

_permis

d’améliorer les estimations et nous recommandons

_plutôt

d’utiliser les estimateurs relevant des

_plans

de

_sondage.

© 1999

Inra/Éditions scientifiques

et médicales Elsevier SAS.

plan

d’aménagement

/ inventaire forestier /

_krigeage

/

post-stratification

1. Introduction

Dans le cadre d’une

_gestion

durable de la forêt

tropi-cale,

les inventaires forestiers servent à établir un

_plan

*

Correspondance

et tirés à _part E-mail : dessard@cirad.fr

d’aménagement.

Au delà de la

_simple

estimation de la

ressource forestière et de sa

_précision,

la

_gestion

des forêts

_s’appuie

de

_plus

en

_plus

_[11]

sur le

_découpage

de

les autres

_pendant

un certain _temps. Le

_temps

de rotation

total,

c’est-à-dire la

_période

au bout de

_laquelle

l’exploi-tant revient à la

_première

unité

_exploitée

doit _permettre la reconstitution d’un certain taux de la ressource.

Lorsque

le

_parcellaire

est établi à

_quantité

de ressource

égale,

en l’occurence à volume

_{exploitable égal}

_par

unité,

il est

_{beaucoup plus simple}

d’effectuer le

découpa-ge en unité si l’on

_possède

_{déjàune cartographie}

de l’estimation sur l’ensemble de la forêt. Or la construction du

_parcellaire

est à l’heure actuelle très

_empirique

puisque

les outils

_permettant

son

_{élaboration,}

voire son

optimisation

«

_automatique

_{», compte-tenu} de diverses

contraintes,

quelles

soient de nature

_{géographiques}

ou

statistiques,

n’existent _pas encore.

Classiquement,

les inventaires en forêts

_tropicales

sont réalisés selon un

_{plan d’échantillonnage}

systéma-tique

en transects continus. Ces transects constituent des unités

_primaires

et sont

_découpés

en unités

secondaires,

dans ce cas des

_{placettes rectangulaires contigues,}

repé-rées par leur centre

_{géométrique}

et échantillonnées exhaustivement. Le traitement

_statistique

devrait en

prin-cipe

relever de la

_procédure

de

_single

_stage cluster

sam-pling

[4]

pour estimer la ressource sur l’ensemble de la

forêt. En

_revanche,

la délimitation des unités

d’exploita-tion

_(UE)

nécessite une estimation locale sur de

_petites

sous-unités dont

_{l’agrégation}

_permet

la constitution des UE. Cette estimation locale

_pourrait

être effectuée _par

exemple

par la méthode des estimateurs à noyaux

[ 13] :

il faut

_cependant

choisir la taille du

_voisinage,

c’est-à-dire un nombre « raisonnable » de

_placettes.

Le calcul du

coefficient de variation donnera _par la suite une idée de la

_précision

de l’estimation. Cette méthode constitue une

première approche

du

_problème

mais reste néanmoins soumise à l’arbitraire du

_voisinage.

Traditionnellement,

la méthode

_employée,

tout aussi fastidieuse mais

_plus

simple,

utilise la théorie des

_sondages

_[5]

et consiste pour chacune des UE délimitées a

_priori,

à

_appliquer

les

formules de calcul du total

(ou

de la

_moyenne)

et de sa

variance à un échantillon de

_placettes

considéré comme

aléatoire

_{simple. L’opération}

est

_répétée

pour divers

découpages

de la forêt en UE

_jusqu’à

l’obtention d’UE de volumes

_{approximativement}

_égaux

_[11].

Une

_cartographie

de l’estimation de la ressource

s’impose

donc comme aide à la constitution du

parcellai-re, à _{condition que} la méthode d’estimation soit la

_plus

objective

possible,

autrement dit

_qu’un

critère d’erreur soit minimisé.

L’analyse statistique

usuellement

_{employée néglige}

en

_général

les corrélations entre les unités secondaires. Cette

_pratique

est

_justifiée

_lorsque

la variable d’intérêt

est distribuée selon une loi uniforme dans la forêt. En

revanche,

si l’on _{suppose que la} variable mesurée est

structurée

_{spatialement,}

une méthode naturelle

d’estima-tion

_spatiale

_qui

_prenne en

_compte

les corrélations est le

krigeage

[1].

On

_{dispose également}

d’une variable auxiliaire

cor-respondant

au

_type

de strate _{forestière déterminée par}

photo-interprétation

(carte

de la stratification du massif de

_{Sangha-Mbaéré).}

On considère _que cette information

supplémentaire

doit a

_priori

améliorer les estimations

locales

_puisque

d’une

_part

elle est échantillonnée exhaustivement sur le domaine et d’autre

_part

elle est

sensée être corrélée avec la variable d’étude.

L’objectif

de ce travail est de _comparer deux

approches

de l’estimation de la ressource :

_l’une,

basée

sur

_plan

de

_sondage

et l’autre basée sur un modèle _par la

technique

du

_krigeage,

_compte-tenu

ou non d’une variable auxiliaire de nature

_qualitative.

Pour

cela,

toutes les estimations sont effectuées au

sein d’un bloc du

_parcellaire

contenant _quatre transects

tronqués.

Ce nombre restreint d’unités

_primaires

ne

per-met _{pas d’estimer} correctement la variance de

l’estima-teur du total de la ressource sur _{le bloc par}

_single

_stage

cluster

_[4].

On

_explicitera

donc les

_hypothèses

émises pour travailler à

partir

de

_plans

de

_sondage

aléatoire

stra-tifié et

_{post-stratifié.}

On aimerait donc

_apporter

des élèments de

_réponse

à deux

_{questions :}

i)

quelle

est la « meilleure

» technique

d’estimation au sens de l’erreur

_quadratique

_{moyenne : celle fondée} sur un

_modèle,

comme dans le cas du

_krigeage

ou celle

_qui

se fonde sur un

_plan

de

_sondage,

même

_inadapté

a

priori ?

ii)

la stratification

_proposée

est elle

_pertinente,

autre-ment dit

_permet-elle

réellement d’améliorer la

_précision

des estimateurs de la ressource ? On

_pourrait

aussi refor-muler la

_question

dans le sens suivant : la variable

rete-nue

_{explique-t’elle}

tout ou en

_partie

la stratification ?

2.

Matériel

2.1. L’inventaire

_{d’aménagement}

L’inventaire est réalisé selon un

_plan

de

_sondage

sys-tématique :

des

_layons

de 25 m de

_{largeur espacés}

de 1

000 m les uns des autres traversent la forêt dans sa

totali-té si bien _{que la}

_longueur

de

_{chaque layon}

est déterminée par les lisières de la forêt.

Chaque layon

est

_découpé

en

parcelles

de 100 m de

_longueur.

Pour

_{chaque parcelle,}

2.2. Une variable auxiliaire : la stratification du couvert

Une stratification du couvert forestier a été établie _par

[10]

à

_partir

de

_l’analyse

de

_{photographies}

aériennes : dix strates ont été déterminées

(tableau I).

Les strates 1, 2, 3

_{représentent}

un _pourcentage de

fer-meture du couvert

_végétal,

4, 5, 6, 7, 9 caractérisent l’état de la forêt

_(zones

de recrues, forêt

inondable, etc),

tandis _que les strates 10 et 11

_{correspondent}

à des forma-tions

_homogènes.

2.3. L’inventaire

_{d’exploitation}

Une

_parcelle

de 1 500

₍₃

km x 5

km)

hectares environ située au centre de la forêt

_(la

carte de la stratification situe

_{l’inventaire)}

a été échantillonnée

_{exhaustivement,}

mais à la différence de l’inventaire

_{d’aménagement,}

les

comptages des arbres de diamètre

_supérieur

à 120 cm

sont tous

_regroupés

au sein d’une même classe. Les

comptages

sont effectués au sein de

_quadrats

de 25 m x

25 m de surface. Cet inventaire servira de

_jeu

de

valida-tion des

_techniques

utilisées

_après

transformation des variables.

L’ensemble de l’étude _portera sur une essence

com-mercialisée

_{prioritaire :}

le

_{Sapelli (Entandrophragma}

cylindricum).

Cette essence est _{à peu}

_{près présente}

sur

l’ensemble de la forêt à raison de 0,5 à 1

_tige

_{par hectare} pour des diamètres

supérieurs

à 60 cm. Elle

_représente

70 % des

_espèces

_exploitées

en

République

La variable

_interpolée

est la surface

terrière,

c’est-à-dire la surface de la section de tous les arbres à hauteur de

1,30

mètre par unité

d’aire,

en

_principe

un hectare. Cette surface sera en fait ramenée à l’unité de

_base,

c’est-à-dire la

_placette

de

0,25

hectare. On a choisi la surface terrière

_plutôt

que le

volume,

usuellement

esti-mé,

afin de ne _pas utiliser les tarifs de

_{cubage qui}

ajou-tent un arbitraire aux données brutes.

3.

Méthodes

3.1.

_{Analyses exploratoires}

On

_examine,

dans un

_premier

_temps,

la distribution de

la surface terrière à l’aide d’un

_histogramme

sur

l’ensemble de la

forêt,

puis

à l’intérieur des strates _par

des

_box-plots.

Ces

_descriptions

seront suivies d’une

ana-lyse

de variance à un facteur à dix modalités en

_plan

déséquilibré

de

_façon

à détecter un effet de la

stratifica-tion.

Dans un deuxième

_temps,

on examine les données en

tenant

_compte

de leur

_{spatialisation}

au _moyen du

h-scat-terplot.

Introduite par

[12],

cette

_analyse

consiste à

représenter

le

_graphe

des valeurs observées de

Z(x

+

_h)

contre

_Z(x).

La

_dispersion

_{du nuage de}

_points

autour de la bissectrice reflète la variabilité des mesures

_séparées

d’une distance h. La forme _{du nuage permet} de détecter aussi bien des

_{points qui}

_présentent

des valeurs

particu-lières

_qu’une

dérive,

autrement

dit,

un écart à la

station-narité.

3.2.

_{Interpolation}

_par

_krigeage

L’interpolation

est _{d’abord effectuée par}

_krigeage

ordinaire

_[7],

sans tenir _compte de la stratification

_puis

nous utilisons un

_système

de

_{krigeage qui incorpore}

une

variable auxiliaire

_qualitative.

Ce sont surtout les méthodes de

_cokrigeage

_[15],

_qui

tiennent _compte d’une

ou

_plusieurs

variables auxiliaires

_{quantitatives, qui}

ont

fait

_l’objet

de

_{développements théoriques.}

En

_revanche,

le cas des variables

_{exogènes qualitatives}

_{n’est que peu} traité

_[6]

et c’est

_pourquoi

nous _proposons la méthode suivante.

3.2.1.

_{Krigeage stratifié}

Modèle

On fait

_{l’hypothèse}

_que la variable

_Z(x)

se

_décompose

en une _moyenne

_m(x)

constante dans

_chaque

strate au

point

x et un résidu

_Y(x)

_qui

vérifie

_{l’hypothèse}

station-naire

_{[15] d’ordre}

2 :

Avec

Le

_{covariogramme}

_C(h)

est donc évalué indifféremment pour toutes les

_paires

de

_points

x et x +

h,

que x et x + h

appartiennent

à la même strate ou non. La

_part

de

varia-bilité

_spatiale

éventuellement due à la stratification est

donc

_incorporée

dans le

_{covariogramme.}

Système

de

_krigeage

On construit de manière

_classique

l’estimateur du kri-geage

Z

*(x

0

)

au

_point

_x0,

_qui

est

_linéaire,

sans biais et

dont la variance d’erreur

σ

2

E

=

Var(Z*(x

0

) -

Z(x

0

))

est

minimale. On note

_Z*(x

₀

_{) =}

_Σ

_α

_λ

_α

_Z(x

_α

_).

La condition de

non biais

E[Z*(x

0

) -

_Z(x

₀

_)]

= 0 se

_développe

comme

suit :

Le

_premier

terme de

₍₁₎

est

_toujours

nul en raison des

hypothèses

sur Y. En

revanche,

_{pour que le} second terme

soit

_toujours

_{nul pour} tous

m

j

et

x

α

il suffit que :

Il faut noter _que

comme Σ

J

j=1

1s

j

(x)

= 1

, l’ensemble

des

pondérateurs

vérifie

_toujours

_Σ

_α

_λ

_α

= 1. Ce

_système

de

pondération

permet donc d’accorder une

_importance

_plus

grande

aux

_points

_appartenant à la même strate

_{que x}

₀

(ils

ont un

_poids

total

_égal

à

₁₎

et

_plus

faible dans les

autres strates

_(le

_poids

total _y est

_nul),

tout en les faisant intervenir dans le

_système

de

_krigeage.

En notant

C

αβ

=

_E[Y

(x

α

)

Y(x

β

)],

la variance d’erreur s’écrit :

La minimisation de

_σ

₂

_E

_est

obtenue

_{classiquement}

en

les J contraintes

_(3).

À

cet

effet,

on introduit les

multipli-cateurs de

_Lagrange

_2μ

_j

_{, j}

=

1,...,

J. On aboutit alors au

système :

Dans le

_système

_(4),

C est la matrice n x n des

cova-riances

_C

_{αβ}

_,

_C

₀

est le vecteur de dimension n des

cova-riances

_C

_α0

_,

A est le vecteur de dimension n des

pondé-rateurs

_λ

_α

_{, μ}

est le vecteur de taille J des

_{pondérateurs}

de

Lagrange,

et 0 est une matrice J × J dont tous les

élé-ments sont nuls. F est la matrice n x J de l’indicatrice des strates au

_point

_x

_α

_:

_F

_αi

= 1 si

x

α∈

_S

_i

et

_F

_αi

= 0 si

x

α

∉

_S

_i

_.

De la même

_façon,

_F

₀

est le vecteur de taille J

d’appartenance

aux strates.

On vérifie aisément _que la variance d’estimation vaut

où

σ

2

=

Var(Y(x

0

)),

j

0

est la strate au

_point

0 et

μ

j

0

le

mul-tiplicateur

de

_Lagrange

associé à la strate au

_point

0. 3.2.2. Procédure d’estimation par

krigeage

Ajustement

d’un modèle de

_variogramme

Il est

_plus

usuel de donner les

_expressions

_{pour le}

variogramme

mais on retrouve la covariance _par la for-mule

_C(h)

=

_{C(0) -}

_γ(h).

Le

_variogramme

_{retenu est un}

modèle

_sphérique

de

_portée

a, de seuil

_C

₁

=

C(0),

com-portant un effet de

_{pépite γ(0),}

soit :

Il est

_plus

usuel de donner les

_expressions

_{pour le} vario-gramme mais on retrouve

_C(h)

=

C

1

-

γ(h).

Le vario-gramme est _{estimé par :}

où

_{N(h) représente}

l’ensemble de tous les

_points

_{i et j}

tels que

_d(x

_i

_{, x}

_j

₎

= h

_(d

pour la distance

euclidienne)

et

|N(h)|

correspond

au nombre de

_{paires qu’il}

contient.

Le

_variogramme

est

_ajusté

_{par la méthode des}

moindres carrés

_[3].

Le

_{paramètre γ(0) appelé}

couram-ment « effet de

_{pépite » correspond}

à une discontinuité à

l’origine

h = 0. Cette

quantité représente

les erreurs de

mesures, de localisation et surtout la variabilité

résiduel-le du

_{phénomène qui}

_s’exprime

aux échelles inférieures

à celles

_disponibles

_{expérimentalement.}

Le _type de dis-continuité est lié au modèle et

_{s’interprète}

en terme de

régularité spatiale

du _processus étudié. Ainsi dans un

modèle

_sphérique,

le _comportement à

_l’origine

est

linéai-re et

_témoigne

d’un processus continu mais non

différen-tiable. La

_portée

a

_correspond

à la distance au-delà de

laquelle

la corrélation

_spatiale

est nulle et

_C

₁

la valeur maximale atteinte _par la

covariance,

c’est-à-dire

C

1

=

_C(0)

=

_{γ(∞).}

Effet de

_support

La formule du

_variogramme

donnée ci-dessus

corres-pond

en fait au

_{variogramme ponctuel,}

autrement dit à

une variable mesurée sur un _support réduit à un

_point.

En

pratique,

les données sont en

_général

accessibles à

_partir

d’un volume ou d’une

surface,

par

exemple

une carotte

de terre ou une

_{placette. Implicitement,}

on mesure en fait

une variable

_{régularisée,}

c’est-à-dire

_intégrée

(ou

moyen-née)

sur son

_support.

En

_principe,

l’estimation

_requière

l’utilisation d’un

_{variogramme ponctuel}

déduit du vario-gramme

régularisé

(estimé

à

_partir

des

_{données) [7]}

lorsque

l’on

_prédit

la variable sur un _support de

dimen-sions différentes. Dans notre cas, nous

prendrons

cet

effet en

_compte

lors du

_krigeage

de l’inventaire en

_plein

comme nous

_{l’expliquons}

dans le

_paragraphe

3.4.1.

Définition du domaine

_{d’interpolation}

L’interpolation

par

krigeage

sur le bloc est effectuée pour un ensemble de sites

_disposés

selon une maille

régulière

100 m x 25 m entre les

_layons

de _{comptage :}

ces

_{points représentent}

le

_barycentre

des

_placettes

inter-polées qui possèdent

alors une surface

_identique

à celles mesurées. L’estimation est donc

_ponctuelle,

réalisée à

partir

d’un modèle de

_{variogramme (figure}

4)

à _support considéré comme

_{ponctuel. Cependant,}

comme les unités

d’échantillonnage

et les unités

_prédites

sont en fait

repré-sentées par un

_point

_{pour le même support,}

l’approxima-tion émise ci-dessus n’a aucune

_conséquence

sur la

pré-diction.

Calcul de la variance

_globale

sur le bloc

La variance du total

_σ

₂

_B

_prédite

_{pour le} bloc ne se

déduit pas directement de la somme des variances

d’esti-mation

_{ponctuelles, puisque}

les

_placettes

ne sont _pas

indépendantes.

Soit n le nombre de sites _x0d’estimation

du bloc. Pour faciliter la lecture, on

_adopte

les notations

suivantes : on note _{pour les} n sites d’estimation

i,

_Z*

l’estimateur de la variable au site i et

_σ

₂

_iE

sa variance

d’estimation

_ponctuelle.

Les

_poids

affectés à

_chaque

observation _xα

_dépendent

du site i si bien

_qu’ils

sont

on a

Les covariances

_C

_α

_iα

_l

entre les sites de

_sondage

_α

_i

et

_α

_l

sont obtenues à

_partir

du modèle de

_variogramme

_ajusté

(figure

4).

3.3.

_Comparaison

_{des estimations obtenues pour} des

_sondages

stratifiés et

_{post-stratifiés}

3.3.1.

_{Explicitation}

des

_{approximations}

usuelles L’évaluation de la ressource à

_partir

d’inventaires

tro-picaux

en transects continus

_{systématiques}

est

usuelle-ment _{effectuée par}

_l’emploi

de

_{statistiques simples}

mais

qui

normalement relèvent de

_plans

de

_sondage

soit aléa-toire

_simple

ou stratifié. Les estimateurs des totaux et de leurs variances sont alors biaisés. Il nous

_paraît

impor-tant

_{d’expliciter}

les

_hypothèses

_presque

_toujours

impli-cites en

_pratique,

_qui

_permettent,

en

_pratique,

l’utilisation

de ces

_{statistiques.}

i)

La variable auxiliaire est utilisée comme une

pré-stratification alors

_qu’en

réalité elle

_apparaît

comme une

post-stratification.

ii)

Les strates sont considérées comme

_{indépendantes}

alors

_qu’elles

ont des relations

_{spatiales qui}

_laissent sup-poser une

_{corrélation,}

même faible.

iii)

Le

_plan

de

_sondage

est souvent considéré comme

aléatoire

_simple

alors

_qu’il

est de _type

_{systématique}

simple

à un

_degré.

Bien _{que la} stratification soit antérieure à la mise en oeuvre de l’inventaire

_{d’aménagement,}

_{elle n’a pas été} utilisée pour la construction d’un

plan

de

_sondage

à allo-cation

_{proportionnnelle}

ou

_optimale

_{[2] :}

en

_effet,

les contraintes de terrain en forêt

_tropicale

sont telles

_qu’il

est

_plus

_avantageux

de _progresser de

_façon

continue,

une

fois le

_layon

ouvert. Cette information auxiliaire doit donc être en toute

_rigueur

utilisée comme une

post-strati-fication.

L’estimateur

_qui

serait a

_priori

bien

_adapté

à ce _type

de

_sondage

serait donc un estimateur du total _pour un

sondage systématique simple

à un

_degré

où les unités secondaires sont

_{post-stratifiées.}

Toutefois,

l’expression

de la variance de cet _{estimateur n’est pas}

_simple

_[14]

et

son estimation resterait

_{également approximative}

du fait

du nombre de transect _trop faible sur le bloc 1

_(quatre

transects).

Usuellement,

l’estimateur

_employé

est celui du total pour un

_sondage

aléatoire stratifié. Il _comporte

cepen-dant des biais induits _par les

_hypothèses

énoncées

ci-des-sus. Si

_l’objet

de ce travail n’est _pas de fournir les

expressions théoriques

de ces

_biais,

il n’en est _{pas moins}

intéressant de comparer les estimations du total et de leur

précision

obtenues _{pour les} estimateurs du

_krigeage

et de l’estimateur d’un

_sondage

_{post-stratifié.}

On note _pour la

_{strate j}

indicée

_{par j :}

n

j

le

nombre de

_{placettes, z}

_ij

la variable mesurée sur la

placette

α de surface

_s

_aj

_{, s}

_j

la _moyenne des surfaces des

placettes, S

j

la surface totale de la

_{strate j,}

z

j

=

1 n

j

α=1

Σ

_zαj la

variance

_empirique.

Les estimateurs

_requièrent

une

esti-mation du nombre total d’unités élèmentaires dans

chacune des strates, soit

_N

_j

=

S

j

s

j

.

Pour les deux _types de

_sondage,

l’estimateur du total

est

&jadnr;=Σ

N

_j

_z

_j

_{tandis que les} estimateurs de la variance du total sont

[4] :

• _Stratifié

_(S)

• _{Poststratifié}

(P)

Ces deux estimateurs sont sans biais si Nj et

s

2

j

sont

connus, or ces termes ne sont _{pas forcément accessibles}

dans le contexte de cette étude. En

effet,

une UE _peut

très bien contenir une strate non échantillonnée

_(figure

₅₎

puisque

le

_parcellaire

est _conçu

_après

l’inventaire.

Ainsi,

Un moyen de

_quantifier

_{les biais introduits par}

« l’oubli » de la strate 6 est d’utiliser _{la moyenne de la} surface terrière calculée à

_partir

de l’échantillon de la

strate 6 sur l’ensemble de la forêt. Ainsi le total dans la

strate 6 est estimé à 16 et la variance est

_approchée

de la

façon

suivante : on alloue un nombre fictif de

_placettes

secondaires en

_appliquant

à la surface totale de la strate

le taux

_{d’échantillonnage}

_{moyen obtenu} sur le

bloc,

soit deux à trois

_{placettes :}

la variance serait alors

_comprise

entre 671 et 1015. Dans cette

étude,

ce biais est

négli-geable puisque

la surface de la strate 6 était

_petite

au

regard

de la surface du bloc 1 mais il est _{évident que}

celui-ci

_peut

très vite

_augmenter

avec la taille de la

surfa-ce non-traversée par les

_layons.

3.4. Méthode de validation

3.4.1. Procédure de

_krigeage

sur l’inventaire en

_plein

L’inventaire en

_plein

_permet de _comparer les

estima-tions du total et leur

_précision

obtenues _par les

tech-niques

de

_krigeage

et de

_sondage.

Les données relevées diffèrent toutefois de celles de l’inventaire

d’aménage-ment

_puisque

d’une

_part,

tous les arbres de diamètres

supérieurs

à 120 cm sont

_agrégés

dans une classe

_unique

et d’autre _part, les dimensions de la

_placette

unitaire de

sondage

sont de 25 m x 25 m. On a donc

_ajusté

un

modèle de

_variogramme

à

_partir

des données de l’inven-taire

_{d’aménagement, regroupées}

dans une seule classe pour les diamètres

supérieurs

à 120 cm. Le

_krigeage

a

ensuite été effectué sur toutes les

_placettes

25 m x 25 m.

La

_procédure

_{d’interpolation}

doit tenir compte de la réduction de la taille des

_{placettes :}

en effet les sites

d’estimation

_{représentent}

en fait une surface

_(Se)

de

0,0625

ha alors _que les

_points

de

_sondages

servant à l’estimation du

_variogramme

_{représentent}

une surface

(S)

de 0.25 ha. On utilise alors la

_technique

du

_krigeage

par bloc

[7]. Concrétement,

chaque

surface est discréti-sée en un certain nombre de

_points.

On

_{dérégularise}

le

variogramme

γ(h)

estimé sur S _pour obtenir le

vario-gramme

ponctuel

γ

o

(h)

en

_appliquant

les formules

sui-vantes :

et L

_correspond

ici à la différence entre la

_{plus grande}

longueur

des surfaces soit 75 m.

Concrétement,

on

_remplace

dans le

_système

de

krigea-ge

(4)

C

0

respectivement

par

Cette déconvolution est basée sur des

_règles

empi-riques

et

_&jadnr;

_o

_(S,

_S)

obtenu à l’aide

_d’abaques

_[7].

3.4.2. Mesure de la

_qualité

des estimations par

krigeage

La

_qualité

de l’estimation

_peut

être mesurée _par les

quantités

suivantes :

et

où

_σ

₂

_(x

_α

₎

_représente

la variance d’estimation au

_point

_x

_α

due au modèle.

B

_correspond

à la _moyenne des biais locaux et fournit ainsi une mesure du

_sur-lissage

ou

sous-lissage

du

kri-geage tandis que

EQP

estime

l’adéquation

du modèle

aux données.

4.

Résultats

4.1.

_{Analyses exploratoires}

Les

_histogrammes

de la surface terrière _par

_placette

sont

_{représentés}

_{pour les dix} strates

_(figure

_1).

Le

_pourcentage

de

_placettes

_comptant

au moins un

arbre de l’essence considérée sur l’ensemble des

pla-cettes _appartenant à une même strate est faible

_(pour

toutes les

_strates),

aussi la classe des valeurs nulles n’est pas

représentée

afin de pas écraser les autres classes. La distribution de la variable

_présente

une forme

leptokur-tique classique

en forêt

_tropicale

humide. Les

_box-plot

(figure

2)

par strates

_indiquent

des différences dans la distribution de la ressource _par strate.

L’analyse

de variance à un facteur est

_{significative}

bien que la

disproportion

des effectifs entre les strates

puisse

diminuer la

_puissance

du test.

_L’analyse

a été

alors reconduite dans un cadre

_{non-paramétrique :}

le test

de Kruskal-Wallis

_permet

_également

de

_rejeter

l’hypo-thèse de l’absence d’un effet strate au seuil de 5 %. Un

test de

_{comparaison multiple}

_pour toutes les _moyennes de _type Kruskal-Wallis a été

_également

effectué au seuil

global

de 20 % sans

_qu’aucune

différence

_{significative}

ne soit détectée. Le résultat de ce test n’est

_guère

aucune conclusion hâtive n’est tirée et

_l’analyse

est

pour-suivie.

Les résultats des

_{h-scatterplot}

sont donnés dans la

figure

3. La

_dispersion

des _nuages est à la fois assez éta-lée autour de la bissectrice et assez _peu variable avec

l’augmentation

de l’interdistance h

_indiquent

des corréla-tions

_spatiales

assez faibles. Par contre, aucun écart à la

stationnarité n’est détecté.

_Quelques

_points

ont des fortes valeurs : ils

_{correspondent}

à des

_placettes

contenant des arbres de diamètres

_{exceptionnellement importants}

et ont

donc été éliminés de

_l’analyse.

4.2.

_Comparaison

des estimations obtenues par

krigeage

et par

sondage

Les _{résultats obtenus par les différentes}

_techniques

de

krigeage

sont

_comparés

en les référant à l’estimation

pour les

plans

de

sondage.

Les

paramètres

estimés du

variogramme (figure 4)

sont

_γ(0)

=

0,3245,

C

1

= 0,370 et a = 410 _m.

Z

T

et V(Z

T

)

correspondent respectivement

à l’estimation du total de la surface terrière sur la zone

d’étude et à l’estimation de la variance du total.

Bloc 1

Le _{total obtenu pour} un

_plan

de

_sondage

aléatoire

simple

est

_égal

_{à 2 159 pour} une variance de 160 225. La

variance obtenue par

post-stratification

et _par

pré-stratifi-cation sont très

_proches

et restent

_{approximatives}

à la fois du fait des estimations du nombre de

_placettes,

du

taux _moyen de

_sondage

et du fait d’une strate non

échan-tillonnée.

Inventaire en

_plein

À

titre

_indicatif,

nous donnons les estimations

sui-vantes. La variance de l’estimateur du total

_{post-stratifié}

est

_égale

à 62 102. L’estimation aléatoire

_simple

fournit

un total de 1 360 avec une variance

_égale

à 58 807. La variance pour un

_{échantillonnage systématique}

non

stra-tifié

_égale

58 441.

Pour les deux

tableaux,

les variances totales

représen-tent la somme des variances d’erreurs locales

_plus

les covariances entres les

_placettes

calculées à

_partir

du

variogramme.

En

revanche,

si l’on additionne les variances

_globales

obtenues dans les strates, on obtient des totaux

_légèrement

inférieurs à ceux obtenus par le

calcul sur le bloc entier : ceci est

_simplement

du à la non

5. Discussion

5.1. Bloc 1

Les variances obtenues _par

_{post-stratification}

et par

pré-stratification

sont très

_proches

et restent

approxima-tives à la fois du fait des estimations du nombres de

pla-cettes, du taux _{moyen de}

_sondage

et du fait de la strate 6

non échantillonnée. Les totaux obtenus _par les trois méthodes sont assez

_proches

sur l’ensemble du bloc : les

différences observées sur _{les estimations pour les}

_plans

de

_sondage

sont trop faibles _pour

_préférer

une

_technique

à une autre. En

revanche,

certaines différences sont

des strates pour les

techniques

de

_krigeage.

Le total dans

_{sinage glissant}

utilisé était

_supérieur

aux dimensions du

la strate 6 est

_{particulièrement}

sous

estimé,

voire

_ignoré

_{bloc). Globalement,}

le

_krigeage

stratifié n’a pas

_apporté

par la méthode de

krigeage

ordinaire.

_{L’explication}

est d’améliorations

intéressantes,

en revanche l’examen des

similaire à celle donnée dans le cas du

_sondage

_post-stra-

histogrammes

des

prédictions

_pour les deux méthodes de

tifié : le nombre de

_placettes

entrant dans le

_système

de

_krigeage

_{révèle pour}

_quelques

strates une assez

_grande

Les distributions des

_prédictions

_par

_krigeage

stratifié

sont

_plus

« uniformes » et

_{symétriques.}

Ceci est

directe-ment lié au

_système

de contraintes sur les

_poids

des observations :

_globalement

les observations _appartenant à la même strate _{que le site}

_{d’interpolation}

sont affectées d’un

_{poids plus}

_{fort que} sous

_krigeage

ordinaire si bien que l’effet de

lissage

du

_krigeage

est

_{plus important.}

Autrement

dit,

à

_{disposition géomètrique}

_égale,

les contributions des valeurs faibles des sites de la strates sont

_plus

_{élevées que} sous KO et diminuent donc la

dis-parité

des estimations.

Les variances obtenues _par

_krigeage

sont

_plus

fortes dans chacune des strates que celles issues d’un

plan

de

sondage :

c’est la

_prise

en

_compte

des covariances entre

placettes qui

augmentent les variances intra-strate.

Cependant,

les variances estimées

_globales

_pour le

bloc,

issues du

_krigeage

sont

_{beaucoup plus}

faibles _{que les} variances estimées issues du

_sondage.

Ceci

_s’explique

toutefois par la sous-estimation du seuil du

variogram-me, effet

_classique

et inévitable du

_krigeage,

et _par la minimisation

_{méthodologique}

des variances locales. Ainsi

_[8]

trouve des réductions de variances du même ordre dans une étude similaire en forêt

_tempérée.

5.2. L’inventaire en

_plein

Globalement,

la

_qualité

_{des résultats obtenus par les} deux

_types

de

_krigeage

est

_identique

et

satisfaisante,

ce

qui

corrobore les observations

_{précédentes.}

Le

_surlissage

Une

_{première comparaison}

intéressante montre _{que le}

plan

aléatoire

_simple

est celui

_qui

sous-estime le

_plus

le total. Les résultats obtenus _{pour les}

_prédictions

_par kri-geage sont très

_{légèrement supérieurs}

aux comptages

réels _par strates. Ils _masquent en réalité un biais local très fort

_puisque

sur toutes les

_{placettes qui}

ne

possé-daient _pas de

_Sapelli,

la méthode de

_krigeage

stratifié

prédit

des

_quantités

dont la somme est

_égale

à 1 553

m

2

(0,25

ha

-1

).

On retrouve évidemment cette

caractéris-tique

avec la méthode de

_sondage

où les erreurs auraient une

_répartition

uniforme. On retrouve de nouveau des différences de distribution similaires au bloc 1 des

pré-dictions par strate entre les deux _types de

_krigeage

(figures

8 à

_16).

Les

_histogrammes

_pour la strate 7 montrent une

ten-dance inverse. Ceci

_peut

_{s’expliquer}

_{par le morcellement} de la strate 7 en

_{cinq petits}

ilôts : le

_krigeage

stratifié

reporte

davantage

le

_poids

sur les observations les

_plus

proches

appartenant

à la même strate _{si bien que} les valeurs obtenues sont moins

_{hétérogènes}

_{que dans le} cas

du

_krigeage

ordinaire.

6. Conclusion

Dans le cadre de cette

_étude,

les méthodes de

_krigeage

fournissent des estimations

_globales

moins _{biaisées que} celles fournies _par les

_plans

de

_sondage.

Néanmoins,

la fiabilité de leur variance reste une source

_{d’interrogation.}

Il semble aussi _{que la}

_pertinence

de la stratification soit mise en

_question,

du moins pour évaluer la ressource de

cette

_{espèce :}

une faible corrélation avec la surface

ter-rière

_expliquerait

bien le _peu d’améliorations constatées

sur les

_{prédictions lorsqu’elle}

_{utilisée pour les redresser.} La détermination des strates est aussi

_sujette

à caution

puisque

la

_précision

des limites est estimée à 100 mètres

sur le terrain. Le

_pourcentage

de

_placettes

mal classées

augmente alors assez vite avec la surface de la strate

(puisque

le nombre de

_placettes

en bordure de strate

aug-mente)

et _par voie de

_conséquence

la variance du total. Ceci doit

_{expliquer également}

les faibles différences

apportées

par les diverses estimations par

sondage

ou _par

modèle _prenant en

_compte

la stratification. L’intérêt de l’utilisation d’un modèle

_dépend

de

_l’objectif

de

l’utili-sateur : il est _{évident que si celui-ci} ne s’intéresse

_qu’à

l’estimation du total sur une zone donnée a

_priori,

les

méthodes par

sondage

sont de loin

_{préfèrables}

à la fois pour leur

simplicité

de mise en oeuvre et pour le temps

de calcul. En

revanche,

si le

_parcellaire

n’est _pas déter-miné a

_priori,

la méthode

_{d’interpolation}

_par

_krigeage

s’avère fructueuse dans les cas suivants :

- si les corrélations entre

placettes

sont assez fortes pour la variable

d’intérêt ;

- si la variable auxiliaire est

assez corrélée à la

variable

_{d’intérêt,}

le

_krigeage

stratifié

_permet

une

meilleure estimation de la distribution des

_{prédictions,}

sinon le

_krigeage

ordinaire est suffisant.

Remerciements: Nous _{remercions G. Cornu pour} son

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