Étude analytique et numérique de problèmes oscillants en calcul des variations

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Étude analytique et numérique de problèmes oscillants

en calcul des variations

Vincent Lécuyer

To cite this version:

Vincent Lécuyer. Étude analytique et numérique de problèmes oscillants en calcul des variations.

Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 2000. Français. �NNT :

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REMERCIEMENTS

Je tiens à adresser mes remerciements les plus chaleureux à M. Chipot pour son enthousiasme et

la confiance qu'il a toujours su me témoigner. Au ûavers de ce travail, initié en particulier par de nombreuses

et fructueuses discussions avec B. Brighl, il a su me faire déccuvrir une application du Calcul des

Variations, et de I'Analyse Fonctonnelle plus généralement, à un domaine riche et surprenant, celui de la

gémellation des phases cristallines.

Je remercie également très sinêrement Mrs B. Dacorogna et J.-L. N'Iallet de m'avoir fait

I'honneur d'accepter d'être les rapporûeurs de ce ûavail, ainsi que Mrs J.-L. Greffe et A. Henrot pour avoir

amicalement aæepté de faire partie du Jury.

Je veux encorc remercier tout le groupe de développement du logiciel GQCAO@ d" i'École d"

Géologie de Nancy pour avoir permis les premières visualisations graphiques des résultats numériques.

Je remercie enfin ma famille et mes amis, et en particulier mon épouse Pour son soutien et ses

TABLE DES MATIÈNES

Page Tine I 2 3 7 1 0 1 1 13 T6 T 7 l 9 26 27 29 42 57 58 & 69 80 82 83 Remerciements Table des matière.s I .INTRODUCTION

I.1. Origine Physique du Problème

I.2. L'exemple du Fer (Transition Cubique ++ Quadratique) II - MATI{EMATISATON DU PROBLÎME

II. 1. Modèle Mathématique

II.2. Énoné et Dsqétisation du Problème

II.3. Mesure de Young

II.4. Rang-l Convexité et Quasi-Convexité

II.5. L'Exemple choisi

III - SIMULATION ET TiTUOg NUMERIAUE III.1. hésentation des Méthodes de Descente

III.2. Description du l.ogiciel développé pour cette Étude

III3. Mise en (Euvre du lngiciel et Ré,sultats Numériques

IV - ESTIMATIONS DE L'ENERGIE

IV.1. Estimation de l'Éaergie en Dmension 2

I V.2. Ap'plication Numérique

IV3. Un Exemple en Dmension 3

CONCLUSION lndex des tableaux

I - INTRODUCTION

-J

l 7 l

I. 1. ORTGTNE PHYSIQUE DU PROBLÈ\4E

Un cristal est un solide dont la structure atomique est ordonnée et périodique dans les trois directions de l'espace. Il peut donc êbe considéré cornme un réseau de points (ou !gplld$, qui repncduit

périodiquement un motif élémentaire (ou oailh).

[æs cristaux présentent des éléments de symétie (centres, plans ou axes) d'ordre 2,3,4 ou 6' L'étude

de ces symétries a monbé qu'il existe 7 systèmes cristallins caractérisés Par leur maille élémentaire (c/

tableaux I et2\.

Sous certaines conditions (changement de température, de pressiqr, excitation élecûique pour les

cristaux liquides), le réseau du cristal peut subir un réarrangement : c'est la hansition de phase, pendant

laquelle le-s molécules changent de position. Si cette transition de phase s'accompagne d'un changement des

symétries du cristal, cetùe transition est plus ntaumatisanten pour le cristal. Dans ce cas, la phase la plus

syméfiique est appelêAfu@ila et la phase la moins symétrique Martensiæ.

Considérons, par exemple, une transition de phase liée à la température du cristal. [a position de

référence des molécules du cristal erst choisie en phase austénitique à la température critique de tansition

(0 = 0"). On cherche les gndienS de déformation minimisant l'énergie potentielle de cetæ déformation.

Dans la phase austénitique (généralernent : 0 > 0"), la déformation nahrelle du cristal (donc celle qui

assure une énergie potentielle de déformation minimale) est une homottrétie (dilafation thermique), dont le

gmdient est de la forme

U(0) = Ic(0).1, où

, l 0 0 ,

r = [ o t o l.

La référence (déformation nulle) étant prise à la température de fansition, on a, en particulier : ft(0") - 1 et donc U(0ç) = I.

Par ailleurs, tant que 0 > 0", U(0), et en particulier U(0"), sont invariants par le goupe des symétries

de la phase austénitique.

Dans la phase martensitique (généralement: 0 < 0"), le gradient de la déformation est noté U'(0).

U'(0), et en particulier U'(0"), sont invariants par le groupe des symétries de la phase martensitique.

N{ais, la transition s'accompagne ici d'une diminution des syméties du cristal dans un rapport n égal

au rapport ente les ordres respectifs des groupes de symétries des phases ausénitique et martÊnsitique. Uapplicaton du groupe des symétries de la phase austénitique à U'(0") n'est donc Pas univalente, mais

conduit à un ensemble de n gradients {w;, 1 < i < n} possédant de nombreuses propriétés, dont celle de

type rnaille stéréogramme cubique

cubic cube

hexagonal hexagorul

pnsme droit à base losange dont un angle mesure 12Oo quadratique

tetragonal prisme droit à base canée

rhomboédrique

tigornl rhomboèdre

orthorhombique

orthorhombic parallélépipède rectangle

monoclinique

monoclinic prisme oblique à base

rectangle ûiclinique

ticlinic panalléléprpède scalène

fype Élémentsde G Ordrcde G cubique

cubic

Id, Rot(Èrrl2, e;), Rot(n,ei) pow I si s3,

Rot(n, ei*.e) pouri * j, Rot(*2nl3, e1t e2*, Q)

?A

hexagonal hexagonal

Id, Rot(n,er) pour 1 <i s3,Ro(n, er r{3.eù,

Ro(n, {2.

" t * e z ), Rot( srl 3,e g), Rot(*?n | 3, e z)

t2

quadratique

tetragonal Id, Rot(n,e;) pour I < i s 3, Rot(trrl2,er), Rot(n, e1x, e2) 8

rhomboédrique

trigonal Id, Ro(n,e r ), Rot(*bt l 3,ee ), Rot(n, e 1 *. {3 e z) 6

orthorhombique

orthorlwrnbic Id, Rot(n,ei) pour I s i < 3 4

monoclinique

motnclinic Id, Rot(n,er)

,)

niclinique

triclinic Id I

I.2. L'E)(EI prÆ DU FER (TRANSTTIoN CUBIQUE <-+ QuADRATIQUE)

Dans le fer, la phase austénitique possède la structure cubique centrée (cristal cubique, dont le grouPe

de syméties est d'ordre Z.), alors que la phase martensitique est cubique à face centrée (cristal

quadnatique, dont le grcupe de syméties est d'ordre 8). D'apràs ce qui a été dit la tansition de phase doit

engendrer 3 variants 'Jumeauxn de la Martensite. La déformation de la maille cubique centrée en maille

cubique à face centée peut, effectivement, se faire dans les 3 directions principales du cristal, ainsi que le

monfent les stéréogrammes suivants :

@tw

Austénite Martensite I Austénite

-wlw

tableau 3 : ransition de phase cubique cenlrée vers cubique à faces centrées

- lvlartensite III

-Si les 3 variants de Marænsiæ n'étaient pas présents dans des proportions identiques (gémellation, ou

twinning, de la Marænsite), le cristal subirait une déformation macroscopique due au changement de

proportions de la maille cubique centrée pendant la transition de phase. [.es observations microscopiques

font apparaltre une structure rappelant le dessin d'un tissu, et baptisê "structure en tweed' , de ces drfférents

variants (illustrée ici dans des alliages où la Martensiæ possède deux variants : long et mrnce / petit et large) :

fi7. I : observation expénmentale de tweed au microscope élecfioruque dans un alliage Ni-Al Qthoto graphie : l,æ 1 arner I22l)

rty.2 : modélisation d'un alliage Fe-Pd où apparaft une répartitionen tweed des deux variants

martensltlques.

Dans un système d'axes principaux du cristal, le gradient de la tansition de phase de I'Austénite vers

I'un des variants de lvlarænsite est donc de I'une des 3 formes suivantes :

où les coefficients À et p sont tels que :

.la masse volumique du cristal soit respectée : de(Vu) = det(l), soit I2p - I :

.la maille martensitique soit un cube: lr.û = F.

Ces deux conditions conduisent aux valeurs de l, et p :

L = 2-rt6= 0,891 et p = 2rt3 = t,290

On peut remarquer ici que les 3 gradients (Vr)1, (Vu)n et (Vz)m ne sont Pas rang l-compatibles, i.e'

la différence entre deux quelconques d'entre eux est une matice de rang > 1. Cette rem:uque est importanÛe

pour la suiæ de l'étude (cf rcnarque 23).

[r stéréogmmme cidessous reprrésente (Vn)1, (Vr)u et (Vn)tII, ainsi que la maûice identité (putsque

Vu = I avant la hansition de pha.se), dans les coordonnées de leurs trois coefficients diagonaux.

( r o

0 \

( r o

0 \

( 7 , 0 0 \

(v,),=l:

II. 1. MODÈLE MATI{ÉMATIQUE

henons comme référence le cristal dans sa phase austénitique, au voisinage des oonditions de

tansition de phase, et conhné dans R3 à l'intérieur d'un ouvert Q. Soit

z : Q - R 3

la fonction de déformation du cristal pendant la fansition de phase, c'est-àdire que, pour un atome situé à la

position r dans la phase austénitque (avant la transition), u(.r) représenæ la nouvelle position de ce même

atome dans la phase martensitique (après la tansition).

[a fonction r est supposée continue et injective. On suppose en ouhe qu'elle respecG I'orientation de

I'espa.ce. Son gradient est noté

U = V z = / P \

\ d x t /

et le tenseur syméhique positif de la déformation est C = UT.U (tenseur de Cauchy-Green). L'énergie

potentielle associê à la déformation r, due à la transition de pha,se, est de la forme :

Itr) =

Io

w(vu1xy)

ox,

où lI/est une ærtaine densité d'énergie , pcsédanq en particulier, les propriétés suivantes :

. invariance dans ûout changement de repère direct:

V R € o+, w(R.u)

= W(u) ;

. invariance par les isométie.s du groupe des syméties du cristal en phase austénitique :

V H e G, W(U.H) = W(U) ;

. 17 est positive et de minimum nul, ce minimum étant atteint en les gradients wi :

Remarque 2.1 : les gradients w; conespondant aux minima de la densité d'énergie potentielle 17 sont appel& les puits de IIr.

Fxemf.les de densités d'énergie en drmenson 2 : pour des raisons de généralisation du problème, les puits

wr ne seront tns nécessairement des matrices issues de f étude physique d'un cristal réel, mais des matrices

"bien choisiesn dans le cadre d'un type de pnoblème variationnel à résoudre. En outrre, on pæe :

W(U) = tp(C) et Ci=wl.wi t l - e 0 r t l + t , 0 \

' e x e m P l e l : w r = l

o

r * r J ' r r = l

o

1 _ r J ' " ,

w(u)

= rp(c)

_{= (t*-*i'}

-

"r)

. exemple 2z {wi, I s i < n} sont le.s n puits souhaités pour I7, et

W ( U ) = . | ( C ) =

_{f I l U - w , l z}

i = I

.exemple3 : {w;, 1 s i < n} sont les n puits de }7, et

W(U) = rP(C) = min lU - ,, I

II.2. ÉNONCÉ ET DSCRÉTISATION DU PROBLÈME

Rappelons les notations suivantes : si Q est un domaine de R',

. l$,-(Qflr) estl'espace de Sobolev des fonctions mesurables u : Q - Rn telles que r, ainsi que sa

dérivée Vu : Q -+ frnxn soient essentiellement bomées sur Q ;

. Wol'-(e11n) = {u€ tyt,-(Qg,n1 lY x € ôç1, _{r(.r) = 0 } ;}

.lyl,-(Q) = Wr,.(Qfr) et lryol'-(Q) = Iyor'-(QE).

Problème continu : soit une fonction borélienne l4l, positive, et possédant ft puiæ wi, | 3 i < k, i,e. :

I V i e { 1 , . . , , t } , w ( w ) = Q

{ (2'1)

L v r € M , ( R , ) \ { w i , 1 s i s & } , W ( F ) > 0

Il s'agit de chercher la fonction il e lryol'-(Qfr'n), minimisant l'énergie globale J sur Q, i.e. telle que :

v v € ITor''(QR,), J(a) <J(v).

Remarque 2.2 : dans le cadre des déformations d'un cristal, il est nécessaire d'imposer de plus

de(Vz) > 0

qui correspond à un respect de I'orientation (la matière ne s'ninûer-pénètre' pas). Cependant, cette condition

Problème discret: en vue d'un traitement numérique, on utilise des éléments finis standards sur le domairc

Çl, supposé polygonal. On défrnit sur Ç2 une triangulation T par:

. T réalise une partition de Q en polyèdres de Rz tous d'intérieur non vide ;

. chaque face d'un élément de T esÇ soit I'une des faces d'un autrc élément de T, soit une partie du bord ôQ de Q.

læ diamèfe d'un polyèdre K € T est défini comme étant le diamèbe de la plus petiæ boule mntenant IC On

note lr le plus grand des diamètres des polyèdres K de T.

Ondéfinitalon l'espace

Vt = {v e wJ'-(çtfrz;

/ V K€ T, vl*€

"r(K)

},

où f,G) est I'ensemble des fonctions polynomiales de degré I sur le polyèdre K. On cherche désormais une fonction u e V!,minimisant l'énergie J, i'e. telle que :

V v e vj, J(a) sJ(v).

I-emme 2.1 : soient K1 et K2 deux éléments de T ayant une face commune. Si v € Vj, les gradients (Vv)1 et

(Vv)2 de v respectivement zur K1 et sur K2 sont rang l-compatibles' i.e. :

r g ( r y r ; 2 - ( v v ) 1 ) < 1 .

heuve : soient K1 et K2 deux élémenb de T ayant une face commune.

P u i s q u e v l ç € ? 1 ( K 1 ) e t q u e v l 6 r G ? 1 ( K 2 ) , i l e x i s t e d e s r é e l s _{( d , )g ii,7l et(A, )9.i= n æls' l s j < t} ' ' l < j s n

que (avec laconvention de sommation d'Einstein) :

(i) V .r e Kl, Vi e { 1,..,n}, vi(x) = do+ drxi ' si bien que, sur K1, (Vv)1 = ( d,

\ Z i = :, t

( i i ) V - r € K 2 , V j € { 1 , . . , n } , v i ( . r ) - b i o + U r x i , s i b i e n q u e , s u r K 2 , ( V v ) 2 = ( A ,

) l : j: I t

la condition (iii) exprime que I'ensemble des solutions du sysême linéaire de z équations à z inconnues

(4 - 4).r, = ato - bio, I s i s n,

contient K1 fl K2, 1afæ commune aux polyèdres K1 et K2. Or, K1 fl K2 est, à son Ûour, un polyèdre contenu dans un hyperplan de Rn, d'intérieur non vide en tant que polyèdre de R"-1, et donc de dimension

(n- l). Ce système linâire est donc de rang au plus 1, ainsi que sa matrice

@ - 4i = i: i,

- (vv)z

- (vv)r

d'après le,s conditions (i) et (ii).

Remarque ?3 : la première difficulté de la simulation numérique apparalt maintenant :

l) comme il vient d'être dit, les gradients de ûoute fonction v ê. V{, et du minimiseur ,, en particulier,

sur 2 éléments contigiis de la tiangulation, doivent êÛe rang l-compatibles ;

2) puisque la densité d'énergie W est minimale en ses puits w1, les gradients du minimiseur r sur

chaque élément de la triangulation devront ête aussi voisins que possible de I'un des puits ;

3) or, les puits eux-mêmes ne sont pas, en général, rang 1-compatibles ; c'est le cas, en particulier, de

la transition de phase détaillée au panagraphe"l.2. L'EXEMPI-E DU FER".

II.3. MTSUNTDEYOUNG

Il est poesible (voir la thèse de M. Collins [15]) de construire des suiæs minimisanæs pour le problème

précéden! i.e. une suite (4) de fonctions de Q dans Rz telles que:

lim J(ufi = O.

& - É

Toutefois, on constate que, si l'énergie potentielle 17 possède plusieurs puie, on obtient, en général :

J(rlim_uù> O.

Cette remarque conduit à penser que la suite minimisante fait apparaltre des structures fines, laissant à la

maûice Vn(,r) la possibilté de ns'approcher" des puits de I7, mais que ces structures de plus en plus lines

disparaissent à la limite.

On considère alors le gradient de la déformation limiæ comne une mesure de Young vx = v(x) (voir

tll), définie sur I'ensemble M = Mn(R) des mahices canées nxn, de sorte que I'on puisse écrire :

tim I w(vugx)) dr = |. I Iry(A)

dvlA) dr

(2.2)

& - - J Q J Q J M

Et, puisque l'énergie minimale est supposée nulle, il vient :

f

f w(A) dvlA) dr = o

(2.3)

J o J L a

i.e.

supp(v,\ C {wi} pp. sur Q.

Remarque 2.4 : il convient cependant de se souvenir que, dans le cas d'un cristal, les stuctures lines de's

suites minimisantes ne peuvent ête raflinées à I'infini, en raison de la nature disctète du réseau cristallin.

II.4. RANG- 1 CONVDilTÉ Er QUASI-COI.TVEXITÉ

Rappelons les définitions suivanùes : si g est une fonction de [Izx't dans R',

1) q est rang l+onvexe si, pour tout couple (A,B) de matiaes cle R'txt, rang l+ompatibles ( i.e. r a n g ( A - B ) < 1 ) o n a :

v À e t 0 , 1 l , e ( ) ' A * ( 1 - À ) B ) < ^ r y ( A ) + ( 1 - l r M B ) :

2) g est quasi<onvexe si, pour ûout domaine borné D de Rz et toute fonction v € IVl'-(Dfr.n) on a :

VAeR,*,r, I q(n + Vv("r))d_r > |Dl.ç(A);

J D

3) q est pgb&ganyiÀe si q(A) est une fonction convexe des mineurs de la matrice A ;

4) q est convexe si, pour tout couple (A,B) de matices de Rzx'', on a :

V I€ [0,1], e(i'A * (1 - ]')B) < À,q(A) + (1 -iv)dB).

Rappelons également quelques résultats, qui seront utilisés plus loin :

gconvexe êqpoly*nvexe Ç gquasi-convexe + qrangl-convexe

qrqt'asi-convexe € grang l-convexesauf si m=n=2,

&Èyg: voir, en particulier, la démonsftaton de la réciproque par Vladimir Sverâk [?31, et une tenùative de

ontre-exemple dans le cas n = n=2par Vladimir Sverdk et Fablo Pedregal [21].

Corollaire 1.1 : si z = 1, convexité <à rang l-convexité, etdonc las quatre notions corncident.

Corollaire 1.2: si on noûe respectivement g**, Pg et Qg et Rg les enveloppes convexe, poly-convexe,

quasi-convexe et rang l-convexe de g, alors

q * * < P q s Q q < R q s q

Proposition 2.2 : soit une fonction g : Rzxn - R. Alors :

V A e R r x n , e { A ) = 1 r

, .

".1{o'*",

Ë J"

q(e * vv(x))

dx

Qs)

En particulier, si A = O:

Qf,o)

=,

_{. ,.13lo.*,,}

_{# J" e(vv1.r))}

a"r

Corollaire 2.1 : l'énergie potentielle minimale d'un cristal étant égale à

(2.6\

(2.7)

Jmin = Inf _{[ 9(vv1r1) o.r,}

v e W ' I . - ( Q , R ' ) J O

on peut en fait écrire :

il.5. L, EXET\IPLE CHOISI

tæprincipalexempleéhrdiédans ce travail a déiàété envisagé plusieurs fois dans d'autnas travaux.Il

s'agit d'un problème bidimensionnel (n = 2), faisant intervenir une densité d'énergie à 4 puits non 2 à 2 rang l-compatibles:

,, = ( â ; ), n,=

(3 _t,

_),,,=

( T !r),,^=

_{( i ? ) e.B)}

Pour visualiser la rang f -incompatitilité de ces 4 puits, on les représenûe dans le plan de leurs coefficients

diagonzux:

rtg. 3 z représentation des 4 puits du problème

Sur une telle rcprésentation, deux matices diagonales rang l-compatibles sont aligrrês sur une droite

parallèle à I'un des deux ates de coordonnées. On y observe ainsi, par exemple, la rang l-compatibilité de la

mafice identité I avec wr etavæw4.

xn w4 ₄ I w1 I xl w3 0 wz

[æs raisons qui ort guidé le choix de cet exemple sont les suivantes :

. cornme on l'a vu, les puits d'énergie r"; ne so[t pas rang l*omparibles, ce qui correspond à la situation physique développê en introduction ;

. on connalt la valeur de I'infimum d'énergie (théoême 2.1), ainsi que la mesure de Young minimisante (théoême 23) ;

. on sait que cet infimum ne peut êfie atteint par une fonction de W'l''(Qfr2) (théorème 2.2), et dorrc a

fortiori par une fonction discrétisée d" yJ, ce qui ne sera pas sans poser des diflîcultés dans l'étude

numérique.

Théorème 2.1 : dans le cas n = 2, si la densité d'énergie 17 possède les 4 puits (2.8), alon :

Inf _

l' w(vv1r1)

dx = o.

v € ûror,{e,Rz; J9

enveloppe

rang 1-convexe

des 4 puits

Pfegye: on délinit 4 autes malrices

,',= (â ?)'*'r= (à -tt )',n'r=

(T -0,

_{)'''*= (i ?) Q's)}

D'après la propositon 2.1, on obtient :

e p o u r t o u t i n d i c e i , 1 < i s 4 : O < Q W ( w ) s W ( w i ) = 0 , soitQW(wi)=Q;

o puisque QW est quasi-convexe, elle est également rang l-convexe.

Ainsi, par exemple :

, ' r = l ( 2 w 1 + w ' 2 ) + 0 < Q W ( w ' r )

= J Q w t r o , l * J Q w t r n ' r )

et, puisque QW(w1) = Q;

0 < Q W ( w ' 1 ) < j QWtrn'z). Il est facile de vérifter que I'on obtient ainsi :

0sew(w'11

_{s jowt,u'rl = (j)'ow(w's)< (â)'ott"'ol = (rl)oQwtr',),}

soit en fait :

QW(w'i) = 0, pour tout i € {1,2,3,4}.

Soit alors un couple de réels (cr,F) € [-t,t1z, et les mahices N4a, No et Po,p définies respectivement par:

N4,=+n'r*fr'o=(;

_?)

N"=+ n'r*}*'r=(l :, )

p..,F=$no".T*"=(i

Rrisque QIVest rang l-convexe: V (cl,p) € [0,1]2,

.0sQW(lvI.)=

+Qw(o'r)

*f

Ow(r'a) =0, soitQtv(N4..)

= 0,

.0 < Ql(No) = + Qw(r'z) .+Qw(r's) = 0, soit Qw(Na)

= 0'

ce qui permet d'obtenir le ésultat pour les matrices P.',p :

. 0 < QW(Po,e)

_{= + awct4) * f ot1*o) = o, soit QW(Po,p)}

= 0.

En particulier: QW(Po,o) = QW(O) = 0. I-a relation (2.7) petmet de conclure.

Théorème 2.2 (voir [10]) : I'inlimum n'est pas atteint dans W.I'-(QR2).

Preuve: par I'absurde : supposons qu'il existe une fonction il € W.l''(Qfl2) telle que

J"

w(vr1xv)

* =

u .

"j{n,*,,

J"

w(vv1r;)

dr = o.

I Rappelons que : V F e M z ( R ) \ { w ; , I s i < 4 } , W ( F ) > 0 . On endéduitque V n ( x ) € {wi, I < i <4} p.P..x€ Q. En particulier, les deux coellicients non diagonaux des 4 puits sont nuls, donc :

#or=ffiot-o

p.p..r€

Q.

lrrlais alors les fonctions composantes u1 et u2 sont indépendantes respectivement de x2 et de.rl : pour un

certain.ro = 1rf,.rfr) quelonque dans Q U ôQ,

n1(.r) = u1@r,xf,) et u2(;-) = uz@à,x2).

. pour tout r € Q, on choisit un.ro € ôQ æl que.rl = lô ; pour un tel choix :

u1(.r) = u1@r,xf) = u{x|,x2ù - n(ro) = 0 ;

. on prouve de la même façon que, Pour tout.r e Q : u2(x) = Q.

Donc, en fut, q et z2 sont identiquement nulles sur Q, soit finalement :

u - O , puis

Yu(x)-

_{(3 3) o.o,ree,}

ce qui est absurde puisque Vn(.r) € {wi, 1 < i < 4} p.p..r € Q'

I

Remarque 2.5 : on verra plus loin que la déformation nulle u - 0 est effectvement un attact€ur puissant des

suites minimisantes constnrites numériquement.

Théorème 2.3 (voir [10]) : soit une suite minimisante (r4), i.e. telle que

lim J(u1r) = Q'

k - o

Alors,

ul tend vers 0 uniformément sur Q. (2.10)

De plus, la mesure de Young associê à une telle suite est donnée par :

t .

v* = â (ô., + ô,,2 + ô* + ô,no ), Q.lr)

Ppgye: puisque l'injection canonique de I7.l''(QEz; Oans Co(OE2) est compacûe, il sufht" pour justifier la

première affirmarion, de pnouver que 0 est la seule limiæ pæsible pour une suite minimisante.

Soit alors une suite minimisante (il*). Quitt€ à extraire une sous-suite, il existe une fonction z telle que :

( tim (ux) = a e Wj''{Qfr.2) uniformément sur Q

I t -{

I ttm (Yup) = Vn dans (f-tQ))o - faible *

L & - æ

Si v, est la mesure de Young associée à (r4), alors on rappelle que, pour toute fonction continue I de R'2xz

o u M z ( R . ) d a n s R :

orr:_*(o"ilr1)

= q(vr1"r) =

.f"r,*,

9(A)

dvlA) p.p.x

e Q dans

z-(a) - faible

*'

En particulier, pour e = 17, on sait que

I' f

w(A) dvlA) d.r = o'

J A J M2(R)

p61rrc _{supfv") C {wr, w2, w3, wa}, i.e. il exisæ 4 fonctions mesurables} positives c; ûelles que

4

v " = I crt(r).ôr, p.p.x€Q,

i = l

et donc, en fait" pour toute f<rnction continue g :

4

q(vr1.r)) = ) cdx).q(wù p.p..r € Q. (2.12)

En particulier, pour (ft,} e U,2\2,les fonctions gn : A H A&r, sont continues. On peut leur appliquer la

relation (2.I2): 4 (Yu(x))u= ) c;(r).(w ùn p.p.r € Q, i = l soit en fait 4 Vr(.r) = X cri(x).wi p.p. x ê. Ç2, (2.13) i = l

et en particulier pour les coefficients non di4gonaux :

L'argument déjà utilisé pour prouver le thôrème 2.2 conduit finalement à r - 0 s u r Q ,

ce qui finit de prouver I'affirmation (2.10). Mais alors, la relation (2.13) s'écrit aussi :

4

X c;('r)'wi =O P'P"r€ Q,

i = l

ou, de manière équivalente zur les coefficients diagonaux des matrices :

(2.r4)

[.a fonction constante : A r+ 1, et le déærminant étant conûnues, on peut leur appliquer la relation (2.12) :

p . p . x e Q , c;(.r).det(w;)

| .rt(r) + 2o.2(x) - a3(r) - 2a.a@1 = g

I p . p . x 3 9 .

| 2cr1(x) - sz@) - 2a3@) + cq(x) = Q

soit en fait

f crr(r) + cr2(r) + a3(.r) + cra(x) - I

I p p . x € Q .

[ 2cr1(r1 - 2o.26) + 2a3@) - 2aa@) = O

On vérific facilement que les systèmes (2.14) et (2.15) mnduisent à

cr1(.r) - a2(x) -cr3(.r) = c.a@1 -t p.p. x e. Q. | , = É o,t'l I i = l

1"

l a e t ( v u t r t ) = o = 2

(2.1,s)

t

III.1. PRÉSENTATION DES MÉTHODES DE DESCENTE

S'agissant d'un problème de recherche d'envelo,ppe quasi-convexe, on applique des méthodes issues

de I'optimisaûon convexe: les méthodes de type ngradientn ou "gradient conjugué" (c/t131).

hincipe: ce sontdes méthodes iératives.

On considère une fonctionnelle dérivable J : O C Rr + R, et un élément u0 e Q, appelé vecùeur initial. On

construit, par récurrence, une suite (nn) de vecteurs de R u telle que la suite (l(zr)) soit décroissante :

. connaissant u* (k >0), on détermine une direction de descente dr € R.n, et on déærmine le minimum

de la foncûon

q : R+ -- R., ?v e I(u1, - L.dù: ( 3 . 1 )

. si g atteint son minimum en )ç, on pose u1a1 = u*-l'*.dxl

. on réÈte cette récurrence jusqu'à une certaine condition d'arrêL

Dfférentes méthodes du gradient: il existe plusieurs façons de choisir la direction de descente dr.

I) Gradient à pas optimal : la direction de descente est donnée par l'oppcé du gradient de J en u1,

soit

dp= -Y J(up).

Il s'agit, en effet, de la direction de plus forte descente locale en 4, mais qui, d'un point de vue plus global,

2) Gradient conjugué: pour améliorer cette descente, on combine le gradient de J en ur avec les

dircctions de descente antérieures en une direction optimisée :

- ( --. llvJ(ut)ll2 I

a*=-t vJ(21)

.

'vJ(,*_-:,W

.au

_I

Q.2)

(méthode de Polak-Ri bière)

ou

ao=-{ vJ(zs) + ^ (vJ(r*) - vJ(zt-r) ' vJ(at)} _{.a*-, }} (3.3)

t llvJ(u1-1)ll2 )

(méttnde de Fletcher-Reeves)

Remarques.

1) [æs méthode,s de gmdient conlugué sont plus eflicaces que la méthode de gradient à pas optimal. Par

exemple, lorsque la fonctionnelle J est elliptique*, on montre que la méthode de gradient à pas optimal

converge, alors que les méthodes de gradient conjugué convergent en au plus n itérations.

2)lla été plusieurs fois constaté empiriquement que la méthode de Polak-Ribière I'emporte sur la

méthode de Fletcher-Reeves.

*

J est dite ell iptique si elle est contintmeat dérivable et si, pour uo certain a, > 0 : < V J ( v ) - V J ( u ) , v - u > > c . l l v - u l l 2 , Y u , v .

III.2. DESCRIPTION DU LOGICIEL DÉVELOPPÉ POUR CETTE ÉTTJDE

En vue d'une étude numérique du problème discrétsé, un logiciel spécifique a été développé en

langage Pascal sur lvlaclntoshu.

Dans un premier menu figurent les comrnandes de pilotage du logiciel, accompagnéas chacune de leur

'Taccourci<lavier" :

Ce menu est composé de plusieurs blocs.

Læ premier comprend 4 commandes permettant d'agir sur tous les paramèfrres qui vont définir la suite

minimisante : déformation initiale, conhainte à certaines symétries, et choix du modèle d'énergie, que

æmplète une commande donnant accès à une visualisaton interactive de l'énergie choisie.

Sgnôlrla. lmpotést lY ÉDsrgle tt Grupir d3 l'Ôrrrgl. lz rc T 6 rll r9 ; f T T frg.5rmenuprincipal

Le second blæ permet & oontôler la séquence & calcul : séquence automatique ou manuelle,

séquence de calculs, des déformations du cristal ou des représentations de.s gradiens, avec la pmsibilité

de créer une animation Quicktime@ de la séquence :

rtç.6 : panneau de contrôle d'une animation Quicktime@

Læ bloc suivant ne oomprend qu'une seule commande, celle qui Permet de visionner la courbe de

descente en énergie du crisal.

Enlin, les trois derniers blocs gèrent différentes options de I'interface avec I'utilisateu, et la ré-initialisation de la séquence.

lll.2.I. I NnIAUSATIoNS DE l-A SÉQLIEI\ICE

æ Déformationnulle ,ô oscillations selon un axe

Défcmatim particulière à pogromer

Dans une première boîte de dialogue, on peut de définir la déformation initiale :

u r ! i ! o o o o o o o

s , ô æ t u V É *

o o o o o o o "tn[} rmootnl_l 9rl 9u2 , - l - - l r - . " l - - - T r n l n l I r n l o l I l-Tl tffiæl rt9.7 , dialogue d'initialisation

On dispoee de 7 possibilités pour chaque composante, éventuellement églables par I'intermédiaire de 3

paramètres, et dont l'échelle est déterminée en lixant les valeurs extêmes du gradient correspondant :

æ oscillations selon I'autre axe

fr |/g,--"timaléatcire

V O**Oms tidirectionnelles

Æ Oscillations obliques

111.2.2. Svurrnrrs IMPosÉEs

Par ailleurs, il est pæsible de contraindre la déformation à rcspecter certaines syménies pendant toute

la séquence :

Il est proposé 6 containtes, applicables à q, u2 ou entre u1 et u2, et cumulables entre elles : 4 symétries

axiales et 2 rotations.

III.2.3. CHOD( ET VISUALISATION DU MODÈ[.E D'É.IRGIE

Enfin, il est possible de choisir I'un des 5 modèles d'énergie suivants. Four chacun d'eux, il est en

ouhe possible d'utiliser leur logarithme, et de f-rxer par la suiæ leurs éventuels paramètres _{(cl, 1, 1, et p) :}

.rt.l-/ttr.v.rat a- E t.r(|.O Oft'l.$,1-*,|' Ottrl-,1i1'-wf o lei- Pf:1P1'-rr..1 (Dffir-LûUi!i) 91r'l.pf'- e''ltre'f O lol. |tn'. l.tctt oo"*_o,.r-, æ l.l'(tr.r.D l . 0 ( l l f f i . ? l

frg. I0: choix de la fonctionnelle d'énergie

+ $ . s 8 . É €

u t - u r O O O O O O u 2 - U 2 O O O O O O u r - U 2 O O O O O O l.Tl fiffil frg.9: conditisrs de syméhie

lorsque le modèle est choisi, il est possible de le visualiser audessus du plan des 2 coordonnês diagonales des gradients 2x2. Cetæ visualisation est interactive grâce à quelques touches virtr.relles,

permettant d'agir sur la pcition du graphique dans 2 directions de I'espace (la direction verticale de l'écran

n

-'

l+l

lfl

et une

Arection

en profon**

El

), mais

aussi

sur l'échelle

de ce graphiq""

lËf

, et sur le dommaine

*tt* t

_{EE B}

). on dispose

enlin

de la possibilité

de uoirl@lou de masquer@t* lignes

cachées.

La figure suivante monte le graphe obtenu avec le prernier modèle d'énergie pour 4 puits non rang-l

compatibles, auquel on applique la fonction logarithme pour en faire ressortir les extrema [æs lignes cachées

sont masquês et le domaine utilisé est [4 jlz :

111.2.4. A U.rREs PARAMÈTRES

Dans le second menu sont pro@es plusieurs options conc€rnant la méthode de calcul : méthodes de

gradient à pas optimal ou gradient conjugué, méthode de la direcûon cumulée (extension du gradient

conjugué qui définit la direction de descente à partir d'un certain nombre des directions précédentes, et non

plus seulement à partir de la seule direction précédente), ou à pas constanl À toute étape de la séquence, il

est par ailleurs possible d'appliquer un recuit simulé (arm'ealing) ou un simple "réchauffement" du cristal

(perturbation aléa[oire et réglable en amplitude de la déformation).

Un troisième menu propæe les options de déhnition du maillage :

Ce menu permet de choisir le nombre de subdivisions sur chaque æ<e (n, de 10 à 100), mais également

trois o$rations automatiques applicables à tout moment de la séquence :

. pour afliner le maillage en doublant le nombre de subdivisions par interpolation linéaire ; o pour alléger le maillage en divisant le nombre de subdivisions par 2 ;

. de dupliquer le maillage par deux nanslations parallèle.s aux æ(es, le maillage final ayant derx fois

plus de subdivisions que le maillage initial, et présentant 4 fois le motif de celui+i.

fiç. I2: choix de la méttrode

Enfin, un dernier menu permet de définir le nombre (de 2 à 6) et la pæition des éventuels puis de la fonctionnelle d'énergie, ainsi que la oondition au bond Ç :

rtç. 15: interface de pæitionnement des puits et de la cqrdition au bord E ; ici, dans le cas de 4 puits,

Ç et les bois premiers puits sont déjà fixés, et I'utilisateur déplace le 4ème.

frg. 14: délinition du nombre de puits

f r , l [ r | , l . . I [ . o J l . r t l ( , r l a . . l I J -il I I I

III.2. 5. F,)(EI"TPIÆ, D' UTtr.ISATION

Voici un exemple montrant les différentes visualisations des résultats qu'offre le logiciel.

rtç. 16: graphes (manæuvrables en 3D) des deux composantes de ladéformation initiale.

Les gradients sont représentés en bas et à gaucltc dans le plan de leurs 2 coordonnées diagonales.

t - ! t l - h l t l . l . . r h t . l r . { l ) . l - i . l É ( 1 , C i { | . . F * l t t r a l d - . r r F l t . È l l l t S i l r a . a l r h a l - r I ' h r l . ' - r z Ë z . t m t l a l 2 l { , f f i t a r l l I u l I l . a z K z t r r r l l { . m f f i m 3 d t t . . f f i ? s r u

[æs "fausses couleurs" ou "niveaux de gris" employés rendent compte de la zuperflicie de chacurr des

mailles du crisal : foncée si elle est dilatê, claire si elle est comprimée :

gris foné

mailledilatê, où le gradient de ladéformation est voisin du puits

, r 0 .

( o z)

gns moyen

maille peu déforrnée, où le gradient de ladéformation est voisin de l'un des puits

, 2 0 , , , 4 O

(6-"')*(î;)

gris clair maillecomprimê, où le gndient de la déformation est voisin du puits

t - l 0 \

\ o - 2 )

HHffiffiffiffiffiffiffi

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

HHffiffi

frç.21 : graphe dqs deux composantes de la déformation après 31 itérations.

rty. 22: agrandissement de la répartition des gradients de la déformation

frç. 23: déformation du cristal après 5 itérations.

frç.25: graphe de l'énergie du cristal en fonction du no de I'itération.

III.3. MISE EN GUVRE DU LOGICIEL ET I{ÉSUUTATS NUN,IÉRIQLJES

III.3. 1. Qwr.qUES GÉNÉRaLnÉs

Tous les calculs menés dans la suite de cette étude portent sur le cas détaillé au $ II.5, à savoir une

énergie de laforme

W(U)=q,(Ct=

_{f| lU - w, 1z}

t = I

où les w; sont les n = 4 puits de aene fonctionnelle, choisis comme en (2.8) :

'-,=

_{(à ;),,,=}

_{(3 -"}

_)'",=

_{(T 1),"o=}

_{(-; ?)}

Sur les différents essais, la méthode du gradient conjugué de Folak-Ribière a donné systématiquement

une descente plus rapide. Elle sera donc toujours utilisée dans les rézultats énoncés ici.

111.3.2. P]REMIER

ÉCUE[-Four initialiser la descenûe, il semblait naturel de choisir une déformation initiale nulle. [æ gradient de

l'énergie pour une déformation nulle étant malencontreusement nul également, les méthodes de descent€

conduisent alors à une séquence stationnaire et le cristal conserve sa défqmation initiale nulle, dont l'énergie

estobtentrefacilement: s i q r n o t e o = ( ô - '0 0' ô ) ' a l o r s V t e {1,2,3,4}, ll O - Ws llz = (14)2 + (0 - 0)2 + (0 - 0)2 + (2' O)2 = 5, si bien que : (3.4) 4

J(o)

_{= JI llo -W tt' = I =,62,}

i = l

rtç. 27: point-selle de la fonctionnelle minimisante.

Comme on I'observe sur le graphe de la

fonctionnelle d'énergi{c/ $ 2.f 1, la déformation

nulle (sihrê à I'intcrsection des lignes en gras)

correspond en fait à un point singulier

("point-selle") de la fo'nctionnelle. [a valeur 625 de l'énergie sera, par conséquent, considérê comme le premier écueil à franchir lors des

descentes pour s'approcher de la déformation

Ce résultat est conlirmé par le choix d'une déformation initiale alâtoire d'amplitude modérée, qui

conduit inévitablement à l'ap'parition de petites oscillations, qui s'estompent après une cenùaine d'itérations

sur un maillage 50x50 : Séquence des déformations du cristal

ffiffiffiffiffiffiffiffi8

Séquence des répartitions des gradients

trtrtrtrtrtrtrtrtr

Évolution de l'énergie pendant la descente

III.3.3. NÉCESSMÉ DES OSCLI.ATIONS

Lors des initialisations aléatoires, des oscillations appÀraissent, systérnatiquement orientês

perpendiculairement sur les deux compcantes de ladéformatiqr :

rty. 29 : oscillations issues d'une initialisation aléatoire

[æs essais qui suivent confirment cette observation : en induisant des oscillations sur la déformation

initiale, sur une ou deux cornposantes, la @uence conduit invariablement à éliminer les æcillations qui ne

respect€nt pas les orientations précédentes, pour une énergie qui ne descendjarnais sous la valeur 625 :

Désormais, la déformation initiale comportera de.s oscillations dans le.s directions observées sur la figure 29.

Déforrnation initiale

Déforrnation I-rnale

III.3.4. ESSAIS DE DIFFÉRENTES OSCLI..ATIONS INITIALES

Le problème semble avoir une extnême sensibilité vis-à-vis du choix de la déformation initiale. Suivent

quelques exemples correspondant à des déformations initiales pnésenant différents tyPes d'oscillations sur

une composante, I'aute étant nulle. L'énergie-limite est systématiquement 625 :

rtç. 32: la déformaûon finale (70 itérations) est fortement agrandie (E=625)

III.3.5. Srcowo Éctreil

Ne pouvant utiliser une déformaton initiale nulle, les essais ont ensuite porté sur une déformation

initiale utilisant (nécessairemenQ des gradients rang l-oompafibles, respectant la symétie de la mesure de

Young, et aussi voisins que possible des 4 puits. En se plaçant loin des "lissages" du bord du maillage, les

gradients de la déformation doivent alors être de la forme :

| ù . 7 t , 0 r

D ( e r , e z ) - l ^ ^ | o ù { e 1 , e 2 } c { - 1 , + 1 } .

\ u e 2 . h /

On vérifie facilement que, quels que soient les signes et et e2, grâce à la symétrie des 4 puits, l'énergie

d'un ûel gradient prend I'expression suivante:

J ( D ) = [ ( 1 - À ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 + ( 2 - À ) 2 ] t [ t t + t ' ) z + ( 0 - 0 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 + ( 2 - ] r ) z ] x . . . ... * [1t-i',;z + (0-0)2 + (0-0)2 + (2+r)2] r ftt+l,)z + (0-0)2 + (o-0)2 + (2+L)zl = (2|y2 - 61. + 5).(2L2 - ?)' + 5).(2\2 + 2L + 5).(2^2 + 6iv + 5)

=({zxz + 5)2 - 36X2).(Q^z + 5)2 - 4}?) = (4lvt-16'\2+25).(4X4+16L2+25)

= ( 4 À + + 2 5 ) 2 - 2 f f i 7 ' 4 = 1 6 À 8 - l f , ] \ 4 + 6 2 5 = 16^2- %tt+625 oùÂ=Àa

Ce dernier Einôme en  est convexe, et minimal lorsque

32tr=56 €> ^={1

= 1,1501633,

(3.s)

ce qui conduit arx 4 matrices :

( ",.<E 0 \

D ( e 1 , e 2 ) = | " * q r t l , { e r , e z } c { - 1 , + 1 } ( 3 . 6 )

\

o

_{"'V-4 /}

pour lesquelles :

l(Uer,ez))

_{= | s=761.}

Cette valeur est donc aussi l'énergie d'une déformation u dont les gradients sont tous égaux à I'une de ces quatre maûices dans d'égales proportions.

Suite à I'observation des æcillations apparues dans les esmis pécéde,nts, la défmnration initiale fut

choisie de façon à comporter elle-même des oscillæions régulières et orientês perpendiculaircment enûre les

deux composantes. Comme on le voit sur les f,rgures zuivantes, la séquence ainsi obtenue franchit alors tÈs

rapidement la valeur 625, pour s'appræher de son asymptote à 576, alors que les gradients migrent

massivement vers les 4 matrices rang l-compatibles (3.6) :

Oscillations de la déformation initiale Cristal et gradients apès 1000 itérations

frç. 34: descente vers le niveau d'énergie 576

-J

| 181

III.3.6. SMr.n-ATIoN DE ftEcurr (AN NEALI Nc)

læs difficultés à passer sous le niveau d'énergie 576 avec les déformations initiales envisagées ont fait

envisager le recours à une technique issue de la physique : le guilSimdé (en anglais : annealing\, unsi nommée par sa similitude avec le réchauffement (agitation aléatoire) du cristal. Il s'agit de perturber

aléatoirement, et modérément, la déformation du cristal, de façon à tenter de lui faire poursuivre une descente

ayant conduit à un minimum local indésirable.

Cette technique donna quelques résultats, sans pour autant permetû€ de franchir la valeur 576.

L'exemple suivant monbe bien I'efficacité du proédé : après une descente passant tout juste sous la valeur

625, un premier recuit permet de relancer la descente de façon signilicative ; un second recuit permet encore

d'accélérer la descente, mais ne modifie pas la limite de l'énergie de la séquence.

rtç. 35: amélioration de la descente par la simulation de recuit

En conclusion, la simulation de recuit permet d'atteindre plus vite l'énergie limiæ de la séquence, mats

; a) 5 É $ -'

ts

a

+ æ (fi t> qJ

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