Commentarii Mathematici Helvetici
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Texte intégral
(2) Comment. Math. Helvetici. 63 (1988) 184-193. 0010-2571 /88/020184-10$01 50. ©. Sur une hypothèse de transversalité Y.. Colin. 1988. + 0. 20/0. Birkhauser Verlag, Basel. d'Arnold. Verdière. de. Arnold. introduit. certaines hypothèses de transversalité relatives aux valeurs propres d'une famille d'opérateurs autoadjoints. Après avoir donné une définition précise d'une hypothèse forte (SAH d'une Arnold's "weak et "strong hypothesis") hypothèse faible (WAH Arnold's hypothesis"), nous prouvons les résultats suivants: L'hypothèse SAH est vérifiée pour toutes les valeurs propres positives du Dans. [AD],. V.. -. de S2. pour la métrique canonique. -L'hypothèse SAH est vérifiée pour toute valeur propre multiplicité ^6 et non pour les autres. Cela fournit un. laplacien. d'un. tore plat de. contrexemple. à. l'hypothèse d'Arnold.. - Nous. traitons ensuite le cas des laplaciens discrets sur certains graphes finis. Tous ces résultats sont utilisables dans la construction de métriques riemanniennes ou de domaines euclidiens de Rn dont une partie finie du spectre est prescrit ([C-C], [CV3]). L'ensemble de ces résultats est annoncé dans [CV2]. Je tiens à remercier Michel Brion pour m'avoir aidé à traiter le cas de S2.. 1.. L'hypothèse. d'Arnold. Rappelons d'abord quelques éléments valeurs propres multiples:. de. la. théorie. des. perturbations. des. complexifié espace de Hilbert réel et (Ha)aeT une famille d'opérateurs autoadjoints réels sur H (i.e. définis sur HR) de même domaine DcH, dépendant continûment de a variant dans l'espace topologique T au sens que a -» (Ha + i)~l de T dans i?(H, D) est continue pour la norme. Soit à dire alors Ào une valeur propre isolée de multiplicité finie n0 de Ho(0 e T), soit H. HR©C. le. d'un. c'est. telle que. Âo $. rencontre. sp.ess (Ho). Soit. e. >. 0. tel que le disque D de centre. Ao. et de. rayon. e. spectre de Ho qu'en Ào. Il existe alors un voisinage U de 0 dans T tel que, si a e U, Ha admet dans D un nombre fini de valeurs propres dont la somme des multiplicités est n0. De plus, le projecteur orthogonal Po de H sur la somme Ea de ces espaces propres. ne. le. 184.
(3) Sur une hypothèse de transversalité. 185. d'Arnold. dépend continûment de a:. Z7-f (k-Hayldk. Pa. LlTt. avec. Lorsque a»0, Ea*E0 <la(f) (HaUaf Uaf) où Ua |. bD.. et. définit. on. forme quadratique qa sur E() par naturelle de E() sur Ea définie par:. la. est l'isométrie. \-l/2. l/fl. avec. y. Jy. S8jc. +. jc. S8jc. graphe (fi), fi. et Ea. e. i?(£o, £d)-. clair que (spectre (Ha)) D D. spectre 0) et que qa est définie Supposons maintenant que T est une variété Ck (k sur un voisinage de 0 homéomorphe à une boule K d'un espace modèle. On désigne par II est. de qa sur EQ est. le. >. <P:K-+. {formes quadratiques réelles sur E{)}. â(£0). l'application a. *-*qa et on pose les:. DÉFINITIONS. d'Arnold. la. On dira que la valeur propre Âo de Ho vérifie l'hypothèse forte (SAH) (resp. l'hypothèse d'Arnold faible (WAH)) relativement à. famille (Ha)aeT. Soit. K un. 0. si. est. une submersion en. a. =0 (resp.. <P. est. essentielle sur. topologique, E un espace de Banach, yoeEf <P:K^>E existe e>0 tel que, continue, on dira que 0 est essentielle sur (E, y0) VW:K-*E, continue, avec \\W- <P\\L~{K)^e, onay0e W(K). L'ensemble de ces applications est un ouvert de C(K, E). Lorsque K est une de classe C1, si ^(jco) boule yo et d<P{xQ) est espace vectoriel et est essentielle sur (£, ^0). surjective, On introduit de même les propriétés SAH et WAH pour une famille < AN de valeurs de Ho dans la ^i A2 < propres isolées de multiplicités nl famille (Ha) en considérant l'application espace. s'il. d'un. 4>. <P. <. <. <P:K-^> &(Ei)(B. -. ©â(£/v),. <*>. somme des applications précédentes.. Une condition nécessaire pour SAH et WAH est évidemment que:. dimension. (r). a. f 1=1. "l("'+. 2. ^.
(4) 186. Y. COLIN DE VERDIERE. traiter le cas non réel de manière similaire: théorie de l'opérateur de Schrôdinger en présence. On peut également. intervient pour la magnétique. La vérification de. <P :. a. >~*. c'est. SAH. de 0. qa en a. se. et on. a. ramène. à. On. et. champ. le:. il. faut et. il. suffit que. la. différentielle. de. 0.. a. a. (Hat(x + Btx) \y + Bty). qai(x,y). d'un. cas qui. celle de la surjectivité de la différentielle. CRITÈRE. Pour que Ao vérifie SAH, <P:a *-» (Ha. |. e â(£0) soit surjective en Preuve.. le. +. O(t2),. donc. y). (H()Bx\y). +. +. (H,x. |. By). {H()x \y). comme B e J£(E0, £"d), on a q{)(x, y) Lorsque H et (ou) D dépendent de a, on peut souvent modifier les Ha par des transformations unitaires explicites pour se ramener à la théorie précédente. Traitons par exemple le cas où (X, g{)) est une variété riemannienne compacte de dimension 2 et la famille Ha celle des laplaciens Aa associés aux métriques e2ûg() T), on a alors la: g(a e CX(X, R). et. PROPOSITION.. Ao(. # 0) vérifie SAH. si. \. est. surjective Preuve.. L2(X,. vg0). de. t;g. par. CX{X) dans e2aug0. et. l'isométrie. Â=e~aAae~ay où Uf e~J de L2(X,. Â. transporté de Aa sur sur L2(X, vg). Le résultat est. est. vg{). le. alors immédiat.. 2.. Cas de la sphère. THÉORÈME. Soit(Sz,g{)) Âo. /(/ +. (/>1. la. munie. métrique usuelle et entier) une valeur propre du laplacien. Alors A() vérifie SAH sphère. de. la.
(5) Sur une hypothèse de. relativement même en. la. famille. transversale. 187. d'Arnold. des. laplaciens des métriques conformes à g0 II ne considérant que les déformations invariantes par antipodie. Preuve. à. On désigne par. en est de. des. polynômes homogènes de degré sur R3 et par $f/ l'espace des harmoniques sphénques de degré / D'après le §1, suffit de montrer la surjectivité de l'application. F,. &v. l'espace. définie par. 0>2/-*â(^). P^(q((f)=t. F,. 2/ il. P<p2). q>tp transposée de F/ est l'application de $f,° 3iÇ> 3P2l définie par q) y dim (9») Comme dim (3(3*5)) (/+ 1)(2/+ 1)), il suffit de montrer la c'est à dire surjectivité de que tout polynôme homogène de degré 2/ est combinaison linéaire de produits d'harmoniques sphénques de degré / Comme tout sous-espace de $P2l contient une fonction zonale (invariante par rotation autour de Oz)> il suffit visiblement de le montrer pour les éléments zonaux de 3P2i Pour cela, on utilise des arguments classiques de la théorie des représentations linéaires qui m'ont été expliqués par Michel Bnon On note formée des aubvcw avec a=jt + *y, b z, c=x iy et on a une base de 2/ L'espace zonal est engendré u + v + w w, par les monômes tels que u l'algèbre de Lie de SO(3) par les vecteurs. La. *->. <>. 'F,,. &2l. x=y. dz. -z,. On pose W±. W+(a). Ly± iLx. et on. W+(b). 26,. etL2. Ly=. dy. a. -c, W+(c). 0. Wl(«), WL(ft). De plus cette algèbre de Lie opère sur ^2l par. - vaubl~lcw+l. W+(aubvcw). 2uau~lbv+lcw. W.(aubvcw). -va^bv-'c +. Dans le plan des. (m,. w), on. a. W+(eu w). aeu w+l 4- Peu^l. W_(eu. a'eu. w). w_x +. dérivation. donc. w. j3'ea+1. w,. 2waubv+lcw'1. -a, W-(c). 2b.
(6) 188. Y. où. a>. j8,. or'. pf. et. ne. sont. COLIN DE VERDIERE. nuls. que. s'ils. coefficients. sont. d'un. eu>tW.. avec. (iï,v')tT, où. Par applications successives de W+ et W_. partir de eu produit de deux harmoniques sphériques, on obtient monômes zonaux ekk (0</c</): le vecteur alcl est donc $Plh. 3.. ce. un vecteur cyclique de. résulat.. le. qui prouve. albl qui est visiblement tous les. (jc2 4- y2)1. à. Cas des tores plats. THÉORÈME. Soit X. un tore de. dimension. muni. métrique plate, et Ào une valeur propre non nulle du laplacien, de multiplicité N, alors Ao vérifie S AH relativement à l'ensemble de toutes les métriques riemanniennes sur X si et seulement si N < 6. 2,. d'une. Cela fournit des contre-exemples à la conjecture d'Arnold, car on sait que N peut être supérieur à 6. Je ne sais pas ce qu'il en est pour l'hypothèse WAH.. Preuve.. Soit X. difféomorphisme. avec. jx. eh. dx dy. de. 0.. R2/Z2, toute métrique sur X X et. s'écrit. (p*(g),. où. cp. est. un.
(7) Sur une hypothèse de transversalité. On est donc amené. considérer, pour valeur propre Ao¥=0 du laplacien. Soit. alors. propre où + ny)) (2m(mx exp. de. <r(*,c)|j*/. avec n,. n'. [d<î>(0. Donc,. eP,. les. exponentielles. en. g0,. efX(x,y). différentielle. la. de. <P. où. CJ(Jf, C). {/. e. le §1:. et. (or dx2 + 2/8 d* rfy +. si ju. +. ju'. #0,. fd4>(eM eM. Comme les. par. o}.. d'après. 0. engendré. une. Soit. e P.. \i. Ao dx2 + 2BQ dx dy 4- Co dy2,. g(). C)@(Cdx2. complexifiée On a,. est. Eo. l'espace. d<P:Co(X,. la. à. 189. d'Arnold. o. C%+^. oeM.). e_^). 0. ©. si ju 4-. ju'. =0,. © Ce(m2 © 2mn © n2) où |i. (m, n).. distincts lorsque {m, sont distincts, on voit que Finjectivité *d<P se réduit au fait que les vecteurs (m2, mn, n2) sont linéairement indépendants pour les différentes valeurs de fi à symétrie près (ju>-> -ju). Ce qui 3 telles paires, i.e. si N < 6. est le cas si et seulement y a moins de jU. +. ju'. sont. 2. à. 2. /i'}. s'il. 4.. Cas des graphes. Donnons. quelques définitions: les graphes que nous allons considérer sont des graphes finis, non orientés et connexes; 5 sera l'ensemble des sommets et A, l'ensemble des arêtes, est un sous-ensemble de l'ensemble des parties à 2 éléments de 5. d'abord.
(8) 190. Y. COLIN DE VERDIÈRfc. donne une mesure \i E,es V, ô(i) (Vt E,es ô(i) sera appellée 0), ju() la mesure canonique. Un laplacien combinatoire A sur F est défini par la donnée de fx et d'une forme quadratique On. se. >. S. ?(*»). est. Ca(daX)2. où. dax. -. x,. si. Xj. {/, /}. a. ;. alors donné par:. (Ax)t=~ Schrôdinger combinatoire est un opérateur de la forme A + V, où V est diagonale. H Par la transformation unitaire (/(*,) V^*, de L2{S, fi) sur L2(S,ii{)), on ramène un tel opérateur à un opérateur H de matrice symétrique (//) (altJ) avec 0 si si {«,/'} et fli,,<0 {/,/} ^^4 .4, û,t7 /#/. Ainsi nous considérons soit des laplaciens sur L2(5, //), soit des opérateurs de Schrôdinger sur L2(S, jU0). Soit CN le graphe complet à /V sommets, i.e. tel que tout couple de sommets distincts est l'ensemble des extrémités d'une arête; CN a donc N(N l)/2 arêtes. Un. opérateur. de. On désigne aussi par EN le graphe en étoile arêtes). On a les:. THÉORÈME. Si A,. 1.. 0. <. A2. <. <. -. THÉORÈME ayant. ce. Soit. 2.. A,. =0<A2<. N branches (N +. EfLi. sommets. 1. et N. ô(i) ^onr Jonné^, // ayant ce spectre avec multiplicités. {0} vérifie SAH relativement aux. kN et. laplacien combinatoire sur (CN, ja) De plus la partie Sp* (A) Sp (A) déformations de A à fi fixé. On a le même résultat, avec A, < k2 Schrôdinger H sur L2(CN, jà{)) avec SAH pour wn. à. '. '. le. ,u. Ayy,. '. K. pour. les. opérateurs. de. spectre entier.. <A,V+I,. il. existe fi et A sur (EN, fi). spectre et Sp* (A) vérifie SAH relativement aux déformations de A (fi. variable). Remarque. spectre de. Soit. A{) est 0. WAH relativement. <. A{). sur. 1. 1. aux. associé. (EN, fi()) 1. <. déformations. (N +. à. q^x,). 1) et la. Efli. valeur propre. de fi() et de A() si iV. >. x,)2,. (*<) 1. ne. alors. vérifie. le. pas. 5.. applications de ces résultats élémentaires sont à la construction de spectres prescrits, mais aussi à de curieux critères de non-plongement de graphes dans une surface (voir [CV2], [CV3] et [CV4]). Les.
(9) Sur une hypothèse de. Par exemple, de. spectre. Xx. <. si. un graphe F admet un. kk+2. Â2. relativement aux déformations Preuve du théorème. Hypothèse SAH. A. de. {arêtes. transversale. où. <. de. opérateur Â2. //, alors. est de F. n'est. 191. d'Arnold. Schrôdinger combinatoire multiplicité k et vérifie WAH de. planaire que. si k. 3.. <. 1.. Soit 4>:R^->â(£()), où. CN},. Eo. L2(5, ji). {(*,). |. <(*,). |. 1). 0},. définie par. A cause des dimensions, il suffit de vérifier l'injectivité. Cela est laissé au lecteur. Le cas de Schrôdinger est analogue.. montre par récurrence sur le nombre N et graphe. Si Test un graphe fini à N sommets {1, 2, E^i K ô(i) et d'une forme quadratique. Existence: elle suspension d'une. d'un. mesure. ju. se. la. notion. de. N}, muni. (ca>0),. on en. 0 construit pour tout Vo 0 et a joignant chaque sommet de F >. l'équipe. de la mesure. S. fi. >. Vo <5(0) 4-. un graphe au jU. S. F de sommets {0, 1, 2,. nouveau sommet 0 par une et de la forme quadratique. Af}, arête. On. Sq(x{),xu Les valeurs propres non nulles de SF, muni de ce laplacien 1, 2, k} + a (/ N), k} valeurs propres de F et la. Soit. à. réaliser pour SF. le. spectre. combinatoire sont valeur. propre. A. les.
(10) 192. Y. On choisit. 2</<N,. A;. raisonne. alors. On. (Eïli. tel que a{\ +. a. A;+1. -. COLIN DE VERDIÈRE. Vt)/V0). a >0,. récurrence. par. A2.. On doit alors avoir pour. (carA2>a).. pour. construire. F ayant. 0. <. A2. ^. ^. kN. comme spectre.. Preuve du théorème 2. Il est facile de vérifier que les valeurs propres non nulles sont les solutions de N Si. y. i. et donc. cJVt sont 2 à 2 distincts et ordonnés. On se donne la suite 0< A2<Â3<. si les. <ÂN+i. et. choisit a, tels que solutions de EfLi cJ(X on. -. kN+ï. Les A, sont alors les 1 EftLV (A A,)/(A et donc les (-c,) sont les résidus en A at de R(k) at) >0 et on pose Vt cjar a,). Il est facile de vérifier que les ct ainsi définis sont L'application (Vn c,) -» (A,);>2 est une submersion, car le procédé précédent donne un relèvement analytique local où les cJVl sont fixés, d'où SAH. Pour la deuxième partie, il suffit de compter les dimensions: à cause de. 0. <. ax. <. A2 <a2. l'invariance. <. -. <. aN. <. -. par dilatation, on peut supposer Vo=. # paramètres. dim. 2N;. (<2(£0)). N(N. 1. et on. a. - l)/2. et donc, si. N^6,. dim. &(E0). >. # paramètres.. On ne peut avoir une application essentielle, donc WAH. n'est. pas. vérifiée.. RÉFÉRENCES. [AD] [C-C]. Modes and quasi-modes, Functional Anal. Appl., 6(1972), 94-101. Colbois ET Y. Colin de Verdière, Sur la multiplicité de la première valeur propre d'une surface de Riemann à courbure constante, Comment. Math. Helv., 63 (1988).. V.. B.. Arnold,.
(11) Sur une hypothèse de transversalité. d'Arnold. 193. [CV1] Y Colin de Verdiere, Sur la multiplicité de la première valeur propre non nulle du laplaaen, Comment Math Helv 61 (1986), 254-270 [CV2] Y Colin df Verdiere, Spectres de variétés nemanniennes et spectres de graphes, Proc ÏCM Berkeley, (1986) [CV3] Y Colin de Verdiere, Constructions de Laplaciens dont une partie finie du spectre est donnée, N S (1987) soumis aux Annales de [CV4] Y Colin de Verdiere, Sur un nouvel invariant des graphes et un critère de planante, soumis à J of combinatonal theory, (1987) i'E. Université de Grenoble 1 Institut Founer Laboratoire de Mathématiques F-38402 Saint Martin d'Hères Reçu le 27 octobre 1986.
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