Chapitre n°10 : «
Chapitre n°10 : « Notion de probabilité Notion de probabilité » »
I. Activités
Activité 1 p 181
a/ Puisque la pièce est bien équilibrée, sans défaut.... il y a autant de chances d'obtenir pile que face.
b/ Il y a une chance sur deux d'obtenir pile et une sur deux d'obtenir face.
c/ Absolument pas : cela dépend des lancers. On peut, par exemple, obtenir 5 piles et 1 face.
d/ C'est la troisième proposition qui est juste.
Activité 2 p 182 1.
1 61
61 61
61 61
6=1
2. a. Les issues qui permettent de réaliser son souhait sont : 2, 4 et 6 . b. La probabilité d'obtenir une face paire est 3
6=1 2=0,5 . 3.
pA=4 6=2
3 pB=3
6=1 2=0,5 pC=6
6=1 pD=0
6=0
II. Vocabulaire
1 2 3 4 5 6
1/6
1/6 1/6
1/6 1/6
1/6
On considère un jeu aléatoire : le loto.
• On parle d'une expérience aléatoire car on ne peut prévoir le résultat, et celui-ci ne semble lié qu'au hasard.
• Une issue possible est la combinaison de six nombres différents compris entre 1 et 49 . Par exemple : 12 , 45 , 11 , 2 , 18 , 14 .
• Un événement est un ensemble d'issues possibles ; par exemple, lorsqu'on joue plusieurs grilles au loto.
Autre exemple
Dans une loterie, une roue est divisée en neuf secteurs identiques numérotés de 1 à 9.
• C'est une expérience aléatoire si la roue est lancée par des personnes différentes.
• Il y a 9 issues possibles : 1 , …, 9 .
• Des événements possibles sont : « Obtenir un résultat strictement inférieur à 5 » ;
« Obtenir un nombre pair » ; « Obtenir 3 »...
Notation
Lorsqu'on a défini un événement, on peut utiliser une lettre majuscule pour le désigner.
Par exemple : l'événement A est « obtenir un nombre différent de 0 »
III. Arbre des possibles
C'est un schéma qui permet de visualiser toutes les issues possibles d'un expérience aléatoire.
Exemple
Des boules indiscernables au toucher ont été placées dans deux urnes. La première contient trois boules rouges et une bleue, la deuxième contient deux boules numérotées 1, une boule numérotée 2 et trois boules numérotées 3.
Valérie tire au hasard une boule dans la première urne puis une autre dans la deuxième.
• Voici un « arbre » indiquant tous les tirages possibles.
IV. Calculs de probabilité
Exemples
• Détermine la probabilité de tirer un as ou un trèfle dans un jeu de 32 cartes.
R
B
1 2 3 1 2
3
L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Il y a 32 issues possibles.
Pour calculer la probabilité, il faut dénombrer les issues qu'il y a dans l'événement « Tirer un as ou un trèfle ».
Puisqu'il y a 8 cartes de chaque signe, 4 as dont l'as de trèfle ; on dénombre 83=11 issues possibles pour notre événement.
Si on note X notre événement, on écrit : pX=11
32=0,34375 .
A savoir
La probabilité d'un événement A se note pA et se dit « p de A ».
On a toujours : 0pA1 .
pA est égal au quotient du nombre d'issues contenues dans l'événement A par le nombre d'issues totales.
Vocabulaire
• Un événement impossible a une probabilité égale à 0 : pA=0 .
• Un événement certain a une probabilité égale à 1 : pA=1 .
V. Probabilités et arbre pondéré
Exemple
On considère l'expérience aléatoire suivante : « Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie ».
Représentation à l'aide d'un arbre
Vocabulaire
• Chaque « trait » de l'arbre s'appelle une branche.
• Un chemin dans l'arbre est constitué, ici, des deux branches qui permettent d'arriver à une issue.
• Un arbre pondéré est un arbre où l'on a indiqué une probabilité sur chaque branche.
Propriété
P
F
P
F P
F
Une issue possible est (P; F) : j'obtiens pile au 1er lancer et face au 2ème.
Il y a quatre issues possibles :
• (P;P)
• (P;F)
• (F;P)
• (F;F) 1/2
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
La probabilité d'une issue se calcule en faisant le produit des probabilités indiquées sur les branches qui mènent à cette issue.
Exemple
La probabilité d'obtenir (F;P) est égale à 1 2×1
2=1 4 . Propriété
La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1. Propriété
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui composent cet événement.
Exemples
• (voir n°22 p 193)
• Une boîte contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 8 boules bleues. On considère l'événement A : « Choisir une boule rouge ou verte »
VI. Événements incompatibles. Événements contraires
Exemple 1
Un sac contient des boules numérotées grises et jaunes.
1 3
2 1
3 1
1
2 2
1 R
V
B 5/16
3/16
8/16=1/2
pR= 5
16 ; pV= 3 16 pA= 5
16 3 16= 8
16=1 2
On considère les événements suivants :
• A : « Obtenir une boule grise »
• B : « Obtenir une boule numérotée 1 »
• C : « Obtenir une boule grise ou bien numérotée 1 »
Les événements A et B ne sont pas incompatibles (on pourrait dire qu'ils sont
compatibles !). Il y a des issues communes aux événements A et B ; par exemple « obtenir une boule grise numérotée 1 ».
Définition
A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire.
On dit que A et B sont incompatibles s'ils n'ont pas d'issue en commun. On dit que A et B ne se réalisent pas en même temps.
Exemple
Lors d'un jet de dé, l'événement « Obtenir un chiffre pair » et l'événement « Obtenir un chiffre impair » sont clairement incompatibles.
Propriété
A et B sont deux événements incompatible, et C est l'événement « A ou B se réalise ».
On a alors pC=pApB.
Définition
On considère un événement A. L'événement contraire de A est l'événement qui contient toutes les issues qui ne sont pas dans A. On le note non A
Exemple
Si on jette un dé à six faces, l'événement contraire de « obtenir 1 ou 4 » est « obtenir 2, 3, 5 ou 6 ».
Propriété
On a pApnon A=1 G1
G2 G3 J1
J2 J3 4/10=2/5
1/10 1/10 1/10 2/10=1/5
1/10
pA= 6 10=3
5 ; pB= 5 10=1
2 pC= 7
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VII. Fréquence et probabilité
Si, par exemple, on jette une pièce de monnaie un très grand nombre de fois, on obtiendra une fréquence d'apparition de « pile » ou de « face » proche de la théorie, c'est à dire 1
2 .
Pour lundi 07/06 Contrôle :
• probabilité
• puissances
• fonctions linéaires/affines (représentation graphique et lecture graphique)
