Feuille de TD n ◦ 1

Université de Paris

Mathématiques élémentaires (MP1) 2021-2022

Feuille de TD n ^◦ 1

2. Premières propriétés des fonctions

2.2 Domaines de définition et images de fonctions composées Exercice 16Déterminer l’image f(R)deRparf dans les cas suivants :

a. f(x) = cos(x) + 2.

Quandxprend toutes les valeurs deR,cos(x)prend toutes les valeurs entre -1 et 1.

Lorsquecos(x)prend toutes les valeurs entre -1 et 1,cos(x) + 2prend toutes les valeurs entre 1 et 3.

Finalement,f(R) = [1,3].

Supplément :

Quandxprend toutes les valeurs deR,cos(x)prend toutes les valeurs entre -1 et 1, c’est-à-dire qu’on a : Pour toutx∈R,−1≤cos(x)≤1, et de plus, pour touty∈[−1,1], il existe x∈Rtel que y= cos(x).

Lorsquetprend toutes les valeurs entre -1 et 1, t+ 2prend toutes les valeurs entre 1 et 3, c’est-à-dire qu’on a :

Pour toutt∈R,−1≤t≤1 ⇐⇒ 1≤t+ 2≤3.

b. f(x) =√ x²+ 1.

Lorsquexprend toutes les valeurs de R, x² prend toutes les valeurs deR+.

Lorsquex² prend toutes les valeurs deR+,x²+ 1prend toutes les valeurs de l’intervalle[1,+∞[.

La fonctiont7→√

t étant strictement croissante et continue surR+, lorsquex²+ 1prend toutes les valeurs de l’intervalle[1,+∞[,√

x²+ 1prend toutes les valeurs de l’intervalle[√

1,+∞[= [1,+∞[.

Supplément :

On peut voir sur le graphique suivant que lorsquet prend toutes les valeurs de l’intervalle[1,+∞[,√ tprend toutes les valeurs de l’intervalle[1,+∞[:

1

Université de Paris

Mathématiques élémentaires (MP1) 2021-2022

2.3 Composées de fonctions

Exercice 17Calculerf◦g etg◦f dans les cas suivants et vérifier quef◦g6=g◦f. Préciser les fonctions qui sont paires, impaires, périodiques.

a. f(x) =x²+ 1,g(x) =x³−3x²+ 2.

f◦g(x) =f(g(x)) = (x³−3x²+ 2)²+ 1 = (x³−3x²+ 2)(x³−3x²+ 2) + 1

=x⁶−3x⁵+ 2x³−3x⁵+ 9x⁴−6x²+ 2x³−6x²+ 4 + 1 Finalement,f◦g(x) =x⁶−6x⁵+ 9x⁴+ 4x³−12x²+ 5.

f◦g(1) = 1et f◦g(−1) = 5doncf ◦g(1)6=f ◦g(−1)et f◦g(1)6=−f ◦g(−1): la fonction f◦g n’est ni paire ni impaire.

g◦f(x) = (x²+1)³−3(x²+1)²+2 = (x²+1)²(x²+1)−3(x⁴+2x²+1)+2 = (x⁴+2x²+1)(x²+1)−3x⁴−6x²−3+2

=x⁶+x⁴+ 2x⁴+ 2x²+x²+ 1−3x⁴−6x²−1 Finalement,g◦f(x) =x⁶−3x².

D_g◦f =Rdonc pour toutx∈D_g◦f, −x∈D_g◦f.

De plus, pour toutx∈D_g◦f,g◦f(−x) = (−x)⁶−3(−x)²=x⁶−3x²=g◦f(x).

Donc la fonctiong◦f est paire.

Les fonctionsf◦g etg◦f ne sont pas périodiques : elles ont des limites infinies en l’infini, ce qui n’est pas possible pour une fonction périodique.

b. f(x) =e^x,g(x) =x²+ 4.

f◦g(x) =e^x2+4.

Df◦g=R, donc pour toutx∈Df◦g,−x∈Df◦g.

De plus, pour toutx∈Df◦g,f ◦g(−x) =e^(−x)2+4=e^x2+4=f ◦g(x).

Donc la fonctionf◦gest paire.

g◦f(x) = (e^x)²+ 4 =e^2x+ 4.

e^2×1+ 4≈11,4et e^2×(−1)+ 4≈4,1, doncg◦f(1)6=g◦f(−1) etg◦f(1)6=−g◦f(−1) doncg◦f n’est ni paire ni impaire.

Pour les mêmes raisons que dans la question précédente, les fonctionsf◦g etg◦f ne sont pas périodiques.

2