Exercice 1 - Compléter le tableau

(1)

Exercice 1 - Compléter le tableau

Exercice 2 -

a. L’équation 2xy′ − =y 4 est-elle linéaire ? A coefficients constants ? Ecrire l’EH associée.

Linéaire, coefficients non constants. (EH) : 2xy′ − =y 0.

b. L’équation yy′ − =x² 0 est-elle linéaire ? Montrer qu’on a une ED linéaire en Y=y².

Non linéaire. ² . ² 1 ²

2 0 0

Y=y ⇒Y′= yy′ yy′− = ⇔x 2Y′− =x , qui est linéaire.

c. L’équation y′ − =y 0 est-elle linéaire ? A coefficients constants ? Homogène ? Linéaire, coefficients constants, homogène.

d. L’équation y′ =2y² est-elle linéaire ? Non linéaire

e. L’équation ^y^{′ =}^sin

( )

^xy est-elle linéaire ? Non linéaire

Exercice 3 - QCM

1) L’équation différentielle y’ – xy = 5 est :

linéaire homogène à coefficient constant du second ordre 2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ?

x−yy′=0 y′ −xy=x² 2y′ = y² y ^x

′ + =y 0 3) L’équation différentielle y′′−x y² ′+ + =y 1 0 est :

homogène du premier ordre

à variables

séparables linéaire 4) Parmi les fonctions proposées, laquelle est une solution de xy′ + =y 1^?

y= +1 x y= −1 x 1

1

y= + x 1

1 y= − x

Exercice 4 -

Trouver la solution des équations différentielles qui vérifie les conditions données : . y′ + y=

a 3 0 et f (0) = 2

Solution générale : y=Ce⁻³^x. f (0) = 2 ^⇔^C^e⁰ ^{= ⇔ =}² ^C ²^. ^{f x}

( )

⁼^2e⁻³^x^.

ordre linéaire linéaire ho- mogène

coefs constants

yy′ − =x² 0 1 NON

xy '

′′ + y1 =

0 ₂ _NON

xy′ − =y

2 4 1 OUI NON NON

y ′ − = y sin x

2

1 OUI NON OUI

y ′′ − + y ′ 2 y + = x 0

2 OUI NON OUI

(2)

. 1y′ + y=

b 3 0

2 et f (0) = 1

Solution générale : y=Ce⁻⁶^x. f (0) = 1 ^⇔^C^e⁰ ^{= ⇔ =}¹ ^C ¹^. ^{f x}

( )

⁼^e⁻⁶^x^.

Exercice 5 -

Population microbienne. La vitesse d’augmentation d’une population microbienne est à chaque instant proportionnelle – d’un facteur k – à la quantité de microbes vivants. Combien de temps faut-il pour dou- bler cette population ?

Soit ^{Q t}

( )

la quantité de microbes à l’instant t. La vitesse d’augmentation de cette population microbienne est donc ^{Q t}^′

( )

et l’énoncé signifie : ^{Q t}^′

( )

^{= ×}^{k Q t}

( )

, équation différentielle dont la solution gé- nérale est ^{Q t}

( )

⁼^C^e^kt^.

Notons t₁ et t₂ deux instants séparant le doublement de la population : ^{Q t}

( )

² ⁼²^{Q t}

( )

¹ ^{. Ainsi :}

(² ¹)

( )

^ln ^ln

2 1

2 1 2 1

e^kt 2 e^kt e^{k t} ^t 2 2 2

C C k t t t t

k

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = .

La durée de doublement de la population est fixe, indépendante de l’instant initial considéré, ce qui est caractéristique des fonctions exponentielles.

Exercice 6 -

Dans cet exercice, les températures sont exprimées en degrés celcius et le temps en heures.

La vitesse de refroidissement de la surface d’un matériau est proportionnelle à sa différence de tempéra- ture avec l’air ambiant (maintenu ici à 20°C). Si on note T(t) la température de la surface au bout d’un temps t, alors on a :

(E) : T’(t) = –a(T(t) – 20) : ED linéaire non homogène où a est une constante réelle positive.

1) En notant y(t) = T(t) – 20, montrer que la fonction y vérifie : y’ = –ay.

( ) ( )

²⁰

( ) ( )

^.

y t =T t − ⇒ y t′ =T t′ Donc (E) ^⇒ ^{y t}^′

( )

^{= −}^{ay t}

( )

^.

2) Donner la solution générale y(t) et en déduire l’expression de T(t).

( )

ê âtêt

( )

^e ^at ²⁰

y t =C ⁻ T t =C ⁻ + .

3) On constate que T(0) = 100 et T(0,25) = 60. Trouver les valeurs des constantes présentes dans l’expression trouvée en question 3 puis écrire l’expression définitive T(t).

( ( ) )

( )

^ln

ln ln

ln

0,25 0 ,25 0,25

4 2

0 100 20 100 80 80 80

0,25 60 e 20 60 80e 40 e 0,5 0,25 0,5 2

80 80e 20

4 2

a a a

t

T C C C C

T C a

C T t

a

− − −

−

 =  + =  =  =  =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

= + = = = − = = −

    



=

⇔ ⇔ = +

 =

Exercice 7 -

La vitesse ( ) d’un objet relié à un parachute suit l’équation différentielle :

’( ) + ( ) =

où est la masse totale du système et est le coefficient d’accélération de la pesanteur.

(3)

1) Montrer qu’il existe une fonction constante solution particulière de cette équation différentielle.

Posons v t

( )

=v0. L’équation donne : ₀ ₀ mg kv mg v

= ⇔ = k .

2) Déterminer l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.

Solution générale de l’équation homogène mv′ +kv=0 : ^{v t}^H

( )

⁼^C^e⁻^m^k^t^.

Solution générale de mv′ + =kv mg^:^{v t}

( )

^C^e ^k^m^t ^mg

k

= − + .

3) Donner la solution de l’équation différentielle si on suppose la vitesse initiale nulle : (0) = 0.

( )

⁰ ⁰ ^e⁰ ^mg ⁰ ^mg

( )

^mg ^{1 e} ^m^k^t

v C C v t

k k k

 − 

= ⇒ + = ⇔ = − ⇔ =  − 

 ^.

4) Calculer la vitesse limite du système, c’est-à-dire lim

→ ( ).

( )

lim e 0, donc lim

kt m

t t

v t mg k

−

→+∞ →+∞

 

= =

 

 

5) Au bout de temps le système atteindra-t-il 90% de sa vitesse limite ?

% % ln ln ln

1 e 90 1 e 90 0,9 e 0,1 0,1 10 10

k k k

t t t

m m m

mg mg k m

t t

k k m k

− − −

 

− = × ⇔ − = = ⇔ = ⇔ − = = − ⇔ =

 

 

Exercice 8 -

Résoudre les équations proposées en effectuant une séparation des variables détaillée ou en appliquant la formule directe. Ensuite, déterminer la solution vérifiant ^y

( )

¹ ⁼¹^.

1) x²y’ + y = 0

Séparation des variables : ln

1 2

2

d d 1 1

0 d e

d

y y x

x y x y K y C

x+ = ⇔ y = −x ⇔ = + ⇔ =x Formule directe : ²^.

1 1

d

e ^x ^x e^x y C ⁻∫ C

= =

( )

¹ ¹ ^e ¹ ¹_e ^e¹^x ¹

y = ⇔C = ⇔ = ⇔ =C y ⁻ 2) y′ +2xy=0

Séparation des variables : d d ln ² ²

2 0 2 d e

d

y y x

xy x x y x K y C

x y

+ = ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = −

Formule directe : y=Ce⁻∫^{2 d}^{x x}^. =Ce⁻^x²

( )

¹ ¹ ê^-¹ ¹ ê ê¹ ^x²

y = ⇔C = ⇔ = ⇔ =C y ⁻ 3) y′ − =xy 0

(4)

Séparation des variables : ln

2 2

d d 2

0 d e

d 2

y y x x

xy x x y K y C

x− = ⇔ y = ⇔ = + ⇔ = Formule directe : ^.

2

d 2

e e

x x x

y=C ^{− −}∫ =C

( )

¹ ¹ ê¹² ¹ ê ¹² ê^x²²¹

y C C y

− −

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

4) xy′ −2y=0

Séparation des variables : d d 2 ln ln ²

2 0 d 2

d

y y

x y x y x K y Cx

x− = ⇔ y = x ⇔ = + ⇔ = Formule directe : ^y⁼^C^e^{− −}^∫ ²^x^.^d^x⁼^C^e²^ln^x ⁼^C

( )

^e^ln^x ² ⁼^{C x}²⁼^Cx²

( )

¹ ¹ ¹ ²

y = ⇔ = ⇔ =C y x

Exercice 9 -

1) Résoudre l’équation y′cost−ysint=0. Formule directe :

sin . ln cos

cos

e d e

tt t t C

y C C

t

− −∫ −

= = = .

2) Vérifier que ses solutions ne sont pas définies en , t= + π ∈ℤ2π k k . En effet, cost=0 ssi ,

t= + π ∈ℤ2π k k . 3) Déterminer la solution telle que ^y

( )

^{π =}¹^.

( )

¹ ^C₁ ¹ ¹ _cos¹

y C y

t π = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −

− .

Exercice 10 -

Soit l'équation différentielle 2xyy′ +y² =0

( )

^E ^.

1) On décide d’utiliser le changement de variable u=y².

a. Montrer alors que l’équation

( )

^E peut se traduire en xu′ + =u 0

( )

^E^u ^.

( )

^.

^{( )}

2 2

2 0

y =u⇒u′= y ′= yy′ E ⇒xu′+ =u .

b. Résoudre alors l’équation différentielle linéaire

( )

^E^u ^.

Formule directe : ^. ^ln

1d

e ^x ^x e ^x C

u C C

x

−∫ −

= = = .

c. En déduire les solutions de l’équation

( )

^E ^.

2 C C

y u y

x x

= = ⇔ = ± .

2) On décide de réécrire

( )

^E ^:^y

(

²^xy^{′ +}^y

)

⁼⁰. Résoudre

( )

^E sous cette forme (on pourra discuter de la comparaison des solutions avec celles trouvées dans la question précédente).

Soit y=0 : y est la fonction nulle, soit 2xy′ + =y 0, que l’on résout :

(5)

Formule directe : ^. ^ln

1 1 1

d

2 2 2

e ^x ^x e ^x C

y C C Cx

x

−∫ − −

= = = = .

Remarque : si C=0, on retrouve la fonction nulle.

Exercice 11 -

1) On verse une quantité Q0 d’une substance chimique solide dans un réservoir d’eau. On admet qu’à chaque instant t (exprimé en minutes) la vitesse instantanée de dissolution dans l’eau (exprimée en kilogrammes par minute) est proportionnelle à la quantité non encore dissoute Q(t) (exprimée en kilogrammes).

La quantité non encore dissoute vérifie alors l’équation différentielle : dQ/dt + kQ = 0.

a. Donner la forme générale des solutions de cette équation.

L’équation est homogène, on a directement Q = C.e^-kt.

b. Déterminer la valeur de k (à 0,0001 près) sachant qu’il ne reste que 5% de la quantité initiale au bout de 10 minutes.

Quantité initiale : C.e⁰ = C ; quantité au bout de 10 minutes : C.e^-10k, qui doit valoir 0,05C.

Donc e^-10k = 0,05, ce qui donne ^ln

(

^0,05

)

_0,2996

= 10 ≈

k − .

2) Dans cette partie, la substance chimique est versée progressivement dans le réservoir. On admet alors que la quantité dissoute vérifie, pour t ∈ [0 ; +∞[, l’équation différentielle :

Q’(t) + 0,3Q(t) = 15e^-0,1t (E)

a. Chercher une solution particulière de cette équation de la forme Q(t) = A.e^-0,1toù A est une constante réelle qu'on déterminera.

Ecrivons (E) avec Q(t) = A.e^-0,1t : -0,1A.e^-0,1t + 0,3A.e^-0,1t = 15e^-0,1t , d’où A = 15/0,2 = 75.

b. Donner alors la forme générale des solutions de l’équation (E).

Forme générale : Q = QH + QP = C.e^-0,3t + 75e^-0,1t.

c. Donner Q(t) sachant que le réservoir contient initialement 50kg de substance solide.

Q(0) = C + 75. Donc C = -25. Q(t) = -25.e^-0,3t + 75e^-0,1t.

Exercice 12 -

Résoudre en utilisant l’identification :

; . cos ; . sin cos ; .

a. y+ =y′ x2 b 2y′+ =y x c y′+3y=4 x+ x d y′+ =y xe^x a. 1. Solution générale de l’équation homogène associée y′ + =y 0 (EH) : y_H =C.e⁻^x. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

identification : Posons yP = ax² + bx + c.

(E) donne : 2ax + b + ax² + bx + c = x² donc ax² + (2a+b)x + b + c = x² L’égalité de deux polynômes impose l’égalité de leurs coefficients : a = 1 ; 2a + b = 0 donc b = -2

b + c = 0 donc c = 2 yP = x² - 2x + 2

Solution générale de (E) : y = C.e⁻^x + x² - 2x + 2

b. 1. Solution générale de l’équation homogène associée 2y′ + =y 0 (EH) : y_H =C.e⁻^{0 5}^, ^x_. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

(6)

identification : Posons yP = a.cosx + b.sinx.

(E) donne : -2a.sinx + 2b.cosx + a.cosx + b.sinx = cosx

L’égalité de ces deux formes impose l’égalité des coefficients de cosx et de sinx : 2b + a = 1

b – 2a = 0 donc b = 2/5 et a = 1/5 yP = 1/5.cosx + 2/5.sinx

Solution générale de (E) : y = C.e⁻^{0 5}^, ^x + 1/5.cosx + 2/5.sinx

c. 1. Solution générale de l’équation homogène associée y′ +3y=0 (EH) : y_H =C.e⁻³^x. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

identification : Posons yP = a.cosx + b.sinx.

(E) donne : (3b-a)sinx + (3a+b)cosx = 4sinx + cosx Egalite des coefficients de cosx et sinx :

3b – a = 4

3a + b = 1 donc b = 1,3 et a = -0,1 yP = -0,1cosx + 1,3sinx

Solution générale de (E) : y = C.e⁻³^x -0,1cosx + 1,3sinx

d. 1. Solution générale de l’équation homogène associée y′ + =y 0^{(EH) :} y_H =C.e⁻^x. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

identification : Posons ^y^P ⁼

(

^ax⁺^b

)

^e^x^.

(E) donne :

(

^ax^{+ +}^b ^a

)

^e^x⁺

(

^ax⁺^b

)

^e^x ⁼^x^e^x ⁼

(

¹^x⁺^{0 e}

)

^x

Egalite des coefficients : 2a = 1

a + 2b = 0 donc b = -0,25 et a = 0,5

P

1 1

2 2 e y x  x

=  − 

 

Solution générale de (E) : . 1 1

e e

2 2

x x

y C ⁻ x 

= +  − 

 

Exercice 13 -

Résoudre l’équation différentielle suivante : xy′ −2y=x³e^x 1. yH par séparation des variables, avec (EH) : xy’ - 2y = 0 :

x.dy - 2y.dx = 0, donc dy/y = 2/x.dx, soit ln(|y|) = 2ln(|x|) + C et yH = Kx² 2. yP par variation de la constante en posant yP = K(x).x²

(E) donne ^{x K x}³ ^′

( )

⁺²^{x K x}²

( )

⁻²^{x K x}²

( )

⁼^x³^e^x ^⇔ ^{K x}^′

( )

⁼^e^x ^⇐ ^{K x}

( )

⁼^e^x

et donc yP=x²e . ^x Solution générale de l’équation : ^y⁼^x²

(

^e^x ⁺^K

)

Exercice 14 -

1) Résoudre en utilisant la formule de Lagrange : x y² ′ + =y 1 1. Solution générale de l’équation homogène associée 1₂

0

y y

′ +x = : Formule directe : ²^.

1 d 1

H e ^x ^x e^x

y C ∫⁻ C

= = .

2. Solution particulière de l’équation complète 1₂ 1₂

y y

x x

′ + = :

(7)

Formule de Lagrange :

( )

¹ ²_. ¹ ¹_. ¹ ¹

P H 1 2

H

1

e d e 1 e d e e 1

e

x x x x x

x

f x x

y y x x

y x

−  − 

= × = = =  =

 

∫ ∫ ∫

Solution générale de (E) :

1

e^x 1 y=C +

2) Parmi les solutions, déterminer l’expression exacte de celle qui vérifie ^y

( )

¹ ^{= −}¹^.

Il faut que Ce 1+ = −1^{, soit} ²

C=−e . y= − ^x⁻

1 1

1 2e .

3) Déterminer alors pour quelle(s) valeur(s) exacte(s) de x cette fonction s’annule.

ln ln

ln

x x x

x

− −

− = ⇔ = ⇔ − = = − ⇔ =

−

1 1

1 1 1 1 1 1

1 2e 0 e 1 2

2 2 1 2 (unique racine)

Exercice 15 -

Résoudre l’équation ^y^′^cos^t⁻^y^sin^t⁼^sin

( )

²^t ^.

1. Solution générale de l’équation homogène associée y′cost−ysint=0 (TD2) : Formule directe :

sin. ln cos

cos

d

H e e

t t t

t C

y C C

t

− −∫ −

= = = .

2. Solution particulière de l’équation complète ^sin ^sin

( )

cos cos

t 2t y y

t t

′ − = :

( ) ( )

( )

sin

cos . sin . sin .cos . sin

cos cos cos cos

cos

cos cos : sin

cos cos

2

P H

H

2

1 1 1

d 2 d 2 d

1

1 1

2 t

f x t t

y y t t t t t t

y t t t t

t

t t remarque on peut intégrer t autrement

t t

= × = = = =

= − = −

∫ ∫ ∫ ∫

Solution générale de (E) : cos cos

cos cos cos

1

C K

y t t

t t t

= + − = −

Exercice 16 -

On donne l’équation différentielle suivante : x y³ ′+ =xy e^x¹ (E).

1) a. Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (sans second membre) associée.

On raisonnera par séparation des variables.

( )

ln ^x

y x

x y xy x y xy x y K y

y x x λ

′ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ =

1

3 3

2 H

d d 1

0 d d e

b. Donner une solution particulière de (E).

Variation de la constante : ^y^P⁼^{a x}

( )

^{e donne}^x¹ _y _{a x}

( )

_x ^{a x}

( )

_x

′ = ′ ¹ − x ¹

P e 2 e . L’équation (E) devient ainsi : ^{x a x}³ ^′

( )

^e¹^x ⁼^{e , soit}^x¹ ^{a x}

( )

′ = x1₃

et donc ^{a x}

( )

= − 1x₂ 2 . Une solution particulière de (E) est : y ^x

= − x ¹

P 2

1 e 2

(8)

c. Donner alors l’écriture générale des solutions de (E).

Les solutions de (E) sont les fonctions y ^x λ x

 

= − 

 

1 2

1 e

2

2) On recherche ici une de ces solutions qui soit conforme à une condition particulière : si x = 1, y doit valoir e.

Ajuster ainsi la valeur de la constante présente dans l’expression trouvée à la question 1)c et donner l’expression de la fonction correspondant à cette condition particulière.

En reprenant l’expression trouvée, pour x = 1 et y = e, on a :

λ λ

 

= −  ⇔ =

 

1 3

e e

2 2. La fonction correspondante est : y ^x

x

 

= − 

 

1 2

3 1

2 2 e .

Exercice 17 -

Résoudre en utilisant la variation de la constante ou la formule de Lagrange :

; ) cos ; ) sin cos

y+ =y′ x² y′+ =y x y′+ y= x+ x

a) b 2 c 3 4

a) 1. Solution générale de l’équation homogène associée y′ + =y 0 (EH) : yH =C.e⁻^x. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

variation de la constante : Posons yP = ^{C x}

( )

^.^e⁻^x

(E) donne : ^{C x}^′

( )

^.^e⁻^x ⁻^{C x}

( )

^.^e⁻^x⁺^{C x}

( )

^.^e⁻^x ⁼^x²^donc^{C x}^′

( )

⁼^x²^{e .}^x

Après une double intégration par parties, on obtient : ^{C x}

( )

⁼

(

^x²⁻²^x⁺^{2 e}

)

^x

et ainsi yP = x² - 2x + 2 Formule de Lagrange :

( ) ( )

( )

( ) ⁽ ⁾

. . .

.

2

2 2

P H

H

2 2 2

e d e e d e e 2 e d

e

e e 2 e 2e d e e 2 e 2e 2 2

x x x IPP x x x

x

IPP x x x x x x x x

f x x

y y x x x x x x

y

x x x x x x x

− − −

−

− −

= × = = = −

= − − = − + = − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Solution générale de (E) : y = C.e⁻^x+ −x² 2x+2

b) 1. Solution générale de l’équation homogène associée 2y′ + =y 0 (EH) : y_H =C.e⁻^0,5^x. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

( )

^.^e⁻^0,5^x^.

(E) donne : ²^{C x}^′

( )

^.^e⁻^{0 ,5}^x⁻^{C x}

( )

^.^e⁻^{0 ,5}^x⁺^{C x}

( )

^.^e⁻^{0 ,5}^x ⁼^cos^x^donc^{C x}^′

( )

⁼¹₂^e^0,5^x^cos^x^.

On intègre par parties, deux fois, en posant à chaque étape u = e^0,5x, et on obtient :

( )

cos . sin sin . sin cos cos .

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

e ^x x xd =e ^x x−0,5 e ^x x xd =e ^x x−0,5 −e ^x x+0,5 e ^x x xd

∫ ∫ ∫

qui donne : ^, sin cos ^,

cos .

x x x x

x x= +

∫

^e^{0 5} ^d ⁴ ₅² ^e^{0 5} ^{et donc}^{C x}

( )

⁼¹₂

∫

^e^{0 5}^, ^x^{cos .}^{x x}^d ⁼²^sin^x₅⁺^cos^x^e^{0 5}^, ^x

soit yP = 1/5.cosx + 2/5.sinx

(9)

Formule de Lagrange : (avec IPP « inversée » par rapport à la précédente, pour l’exemple)

( ) ( )

( )

( ) ⁽ ⁽ ⁾ ⁾

( ) ( ) ( )

cos . cos sin .

cos sin cos . cos sin cos .

cos . cos sin

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

P H

H

0,5 0,5 0,5 0 ,5 0,5 0,5 0 ,5

0 ,5 0

e 1 e d e e e d

2

e e 2 e 2 e d e 2 e 2 e d

Si on note 1 e d , alors 2 e

2

x x IPP x x x

IPP x x x x x x x

x

y y f x x x x x x

y

x x x x x x x x

F x x x F x x x

− −

= × = = +

= + − = + −

= = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ( )

( ) (

^cos ^sin

) ( )

^cos ^sin ^cos ^sin

,5

0,5 0,5

P

4 , soit :

1 2 1 2

5 2 e e

5 5 5 5

x

x x

F x

F x x x F x x x y x x

−

 

= + ⇔ = +  ⇔ = +

 

Solution générale de (E) : y = C.e⁻^{0 5}^, ^x + 1/5.cosx + 2/5.sinx

c) 1. Solution générale de l’équation homogène associée y′ +3y=0 (EH) : y_H =C.e⁻³^x. 2. Solution particulière de l’équation (E) :

( )

^.^e⁻³^x^.

(E) donne : ^{C x}^′

( ) (

⁼ ⁴^sin^x⁺^cos^x

)

^{e .}³^x

On intègre par parties, deux fois, en posant à chaque étape u = e^3x, et on obtient :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

sin cos . cos sin cos sin .

cos sin sin cos sin cos .

3 3 3

4 e d 4 e 3 4 e d

4 e 3 4 e 3 4 e d

x x x

C x x x x x x x x x

x x x x x x x

= + = − + − − +

= − + − − − + +

∫ ∫

∫

qui donne : ¹⁰^{C x}

( ) (

^{= −}⁴^cos^x⁺^sin^x

)

^e³^x ^{− −}³

(

⁴^sin^x⁻^cos^x

)

^e³^x ^{= −}

(

^cos^x⁺¹³^sin^x

)

^e³^x

et donc yP = -0,1cosx + 1,3sinx

Formule de Lagrange : (la double IPP donnera le même résultat)

Solution générale de (E) : y = C.e⁻³^x -0,1cosx + 1,3sinx

Exercice 18 -

Soit à résoudre l’équation différentielle suivante : ^{x x}

(

²⁻¹

)

^y^′⁺²^y^{= −}^x ²

^{( )}

^E où y désigne une fonction de variable x, définie sur ]1 ; +∞[.

1) Résoudre l'équation homogène associée ; on aura besoin de transformer l'écriture

(

²² ¹

)

x x

−

− en une forme a bx

x +x

−

2 1 où a et b sont des coefficients réels à déterminer.

L'équation homogène est ^{x x}

(

²⁻¹

)

^y^′⁺²^y⁼⁰

^{( )}

^EH qui se différentie en ^{x x}

(

²⁻^{1 d}

)

^y⁺^{2 d}^{y x}⁼⁰

et qui donne après séparation des variables :

(

²

)

d 2

1 d

y x

y x x

= −

− . Pour intégrer la forme de droite, on a effectivement intérêt à décomposer la fraction

(

²² ¹

)

x x

−

− en éléments simples.

( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

1 2 2 2

0 2

1 1 1

souhaité

a x bx a a

a bx

ssi ssi

a b b

x x x x x x

− + −  =  =

+ = =  

+ = = −

− − −  

Reprenons l'équation à variables séparées, à intégrer :

( )

^ln ^ln ^ln

2 2

2 H 2

2

d 2 2 2

d d 2 1

1 1

1

y x Cx

x K x K y x x K y

y x x x x x

−  

= + =  −  + ⇔ = − − + ⇔ =

− −

−  

∫ ∫ ∫

(10)

(la valeur absolue sur x peut disparaître, mais aussi celle sur x² - 1 car y est définie sur ]1 ; +∞[ ; la valeur absolue sur y également, en remplaçant e^K par C réel quelconque)

2) Déterminer une solution particulière de

( )

^E sous la forme

( )

²

P 2

1 C x x y = x

− où il s'agit de déterminer l’expression ^{C x}

( )

^.

Avec

( )

²

P 2 1

C x x y = x

− ,

( ) ( ) ( ^{( )} ^{( )} )( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

2 2 2 2

2

2 2

2

2 1 2

1 2 2

1 1

C x x C x x x C x x x C x x

E x x x

x x

′ + × − − ×

⇔ − + = −

− −

( ) ( )

( ) ( ) ( ^{( )} ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( )

3 2

2 2

2

4 2

3 2 3

2 2 2 3

2 1 2 2 2

1 1

2 2 1 2

2 2 2

1 1

C x x C x x

x C x x C x x x x x

x x

C x x C x x x C x x x C x

x x x x

⇔ ′ + × − − + = −

− −

 

′ ′ ′

⇔ +  − + = − ⇔ = − ⇔ = −

− −

 

Ainsi, une solution est

( )

2

1 1

C x = − +x x et donc _P 1₂ 1

1 1

y x

x x

−  

= = − 

−  + . 3) Donner alors la forme générale des solutions de

( )

^E ^.

L'équation (E) étant une équation linéaire du premier ordre à coefficients non constants, avec second membre, on a :

2

H P 2

1 1 Cx x

y y y

x

= + = − +

− , où C est une constante réelle.

Exercice 19 -

Résoudre l'équation différentielle suivante : ^y ⁶

(

^x ¹

)

^y ^x ¹

x

′− + = + .

Solution générale de l'équation homogène :

( ) (

²

)

^ln ³ ² ² ³ ³²

d d

6 1 6 6 d 2 3 e

d

x x

H

y y

x x y x x x y x x K y C

x y

= + ⇔ = + ⇔ = + + ⇔ = +

Solution particulière de l'équation complète :

On peut se rendre compte tout de suite que l'équation permet une solution constante : 1

P 6 y =− ou alors opérer la méthode de variation de la constante : ^y^P⁼^{C x}

( )

^e²^x³⁺³^x²

( ) ( ) ( ) ₍ _{) ( )} _{( )}

( ) ( )

⁽ ⁾

^{( )}

⁽ ⁾

3 2 3 2

2 3 2 2 3

2 3 2 3 2

2 3 2 3

2

e 6 6 e

6 1 e 1 e

1 1

e e

6 6

x x x x

P

C x C x x x

x C x x C x x x

x

C x x x C x y

+ +

− + − +

′ + +

− + = + ⇔ ′ = +

− −

⇔ ′ = + ⇐ = ⇒ =

ou encore appliquer la formule de Lagrange :

( ) ( )

( )

. .

.

3 2 3 2 3 2

3 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2

2 3 2 3 2 2 3

P H 2 3

H

2 3 2 2 3 2 3 2 3

e d e e d

e

1 1 1

e 6 6 e d e e

6 6 6

x x x x x x

x x

x x x x x x x x

f x x x

y y x x x x

y

x x x

+ + − −

+

+ − − + − −

= × = + = +

= −   − − = − = −

 

∫ ∫ ∫

∫

Solution générale : ²³ ³² 1

e 6

x x

H P

y=y +y =C ⁺ −

(11)

Exercice 20 -

1) Résoudre l’équation différentielle suivante : ² ³ ² ¹

( )

x y′ + = + +y x x 2x E . On en cherchera une solu- tion particulière par identification à un polynôme du second degré.

( )

^: ² 2 ¹²^.^d ¹

0 1 0 _H e ^x ^x e^x

EH x y y y y y C C

x

∫−

′+ = ⇔ ′+ = ⇔ = =

yP = ax² + bx + c et y’P = 2ax + b. Ainsi,

( ) ( ) ( )

( )

2 2 3 2 3 2 3 2

2

1 1

donne 2 2

2 2

1

2 1 2

1 1

1 1 1

donc 1

1 2

2 2 2

2 1 0 2

0

P

E x ax b ax bx c x x x ax a b x bx c x x x

a a a b

b y x x x x

b c b

c

+ + + + = + + ⇔ + + + + = + +

 =

= 

 

 + = 

 =

 

⇔  ⇔  = + = +

 = 

=

 

=

 

  =

En additionnant, on obtient la solution générale

1

1 2 1

e 2 2

y=C x + x + x. 2) Parmi ces solutions, laquelle prend la valeur 0 lorsque x = 1 ?

Il faut :

1

1 1 1 1

0 e e 1

2 2 e

C C C −

= + + ⇔ = − ⇔ = . Cette fonction a donc pour expression :

1 1

1 2 1 2 2 e y= x + x− x⁻

Exercice 21 -

Résoudre l’équation différentielle linéaire suivante : xy′ − =y lnx Résolution de l’équation homogène associée (EH) : ^. ^ln

1d

H e ^x ^x e ^x

y =C ∫ =C =Cx. Solution particulière de l’équation complète :

ln

. ln . ln . ln ln

P 2 2

1 1 1 1

d d d 1

IPP

x x x

y x x x x x x x x x x

x x x x x x

   

= = = − − − = − − = − −

   

∫ ∫ ∫

Solution générale de l’équation (E) : y=y_H +y_P=Cx−lnx−1

Exercice 22 -

On veut déterminer les fonctions f telles que : ^f^′

( ) ( )

^x ⁺ ^{f x} ⁺

∫

₀¹^{f t}

( )

^.^d^t⁼⁰^.

a. L’intégrale donnée en énoncé est en fait un nombre réel, que l’on peut noter λ. Résoudre l’équation différentielle ^f^′

( )

^x ⁺ ^{f x}

( )

^{+ =}^λ ⁰^.

* solution générale de l’équation homogène associée :

x

y′ + = ⇔y 0 yH =Ce ⁻

* solution particulière de l’équation complète : pensons à une fonction constante : testons yP = k.

y′ + = − ⇔ = −y λ k λ, donc yP = −λ

* solution générale de l’équation complète : y=y_H + y_P =Ce⁻^x −λ

(12)

b. En utilisant la forme générale des solutions de cette équation, effectuer un calcul de

∫

₀¹^{f t}

( )

^.^d^t^{, dont}

le résultat dépendra lui-même de λ.

( )

^.

(

^t

)

^. ^t

( ) ( )

f t t= C ⁻ −λ t= −^ C ⁻ −λt^ = −C ⁻ −λ − −C − = −C C ⁻ −λ

∫

₀¹ ^d

∫

₀¹ ê ^d ê ¹₀ ê ¹ ê⁰ ⁰ ê ¹

c. En déduire alors une valeur de λ (dans laquelle apparaitra la constante arbitraire présente dans f ).

Donc : ^λ^{= −}^C ^C^e⁻¹^{− ⇔}^λ ²^λ⁼^C

(

^{1 e}⁻ ⁻¹

)

^{⇔ =}^λ ¹₂^C

(

^{1 e}⁻ ⁻¹

)

d. Donner enfin l’écriture générale des solutions de l’équation différentielle initialement posée.

Finalement : ^{f x}

( )

⁼^C^e⁻^x ^{− =}^λ ^C^e⁻^x⁻¹₂^C

(

^{1 e}⁻ ⁻¹

)

⁼^C^^_^e⁻^x⁻^{1 e}⁻₂⁻¹^^_^.