Median Printemps 2006 avec correction

MT 26 Médian Printemps 06

Jeudi 27 avril 2006

Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto, les doigts sont permis pour les calculs.

Le texte peut vous sembler un peu long, mais le barème, scandaleusement généreux, en tient compte.

I. Première partie

( 2 + 6 + 4 points )

1°) Étudier la convergence des intégrales suivantes, on ne demande pas de les calculer :

I x dx I n x

x dx

o 1

1

1 1 2

= −

F

1

HG I

F KJ

HG I

X KJ

ZY

⁼

F

⁺

HG I

X KJ ZY

∞ ∞

cos , sin

l

2°) Pour n≥1, on considère la série S u_n

n

=

=

∑

∞ 1

de terme général u = 3_n ^-n.

a) Comment s’appelle une série comme

∑

u_n. La condition de convergence est-elle vérifiée ? b) Calculer la somme partielle S_n u_n

k n

=

∑

= 1

. En déduire la valeur de S.

c) Montrer que ∀α ∈ +∞[ ,1 [, α^−t = e^{−t nlα}.En déduire une primitive de h(t) =α^-t. d) Comparer cette série S avec une intégrale. Le résultat de a) est-il confirmé ?

e) Comparer les valeurs trouvées (exactes et approchées) pour la somme de la série et pour l’intégrale. Le résultat est-il normal ?

f) On définit, pour tout réel x > 1, la fonction suivante : f x

x x dt

n

n

t

( )=

F

.

HG I

KJ

⁻

F

HG I X KJ ZY

=

∞ ∞

∑

^{1 1}

1 1

Montrer que f est strictement positive sur son domaine de définition.

3°) On considère les intégrales I n x

x dx et I x n x

x dx

n

= n

X

−

ZY

⁼

X

⁻

l

ZY

l

1 1

0 1

0 1

. a) Montrer que I et I_n sont des intégrales convergentes.

b) Montrer la relation ∀ ∈ ∀ ∈ +

− = + + + + +

−

+

n N x

x x x x x

x

n n

* [ ,0 1[ 1

1 1

1

2

1

K .

c) Soit la fonction définie par: f x x n x

x sur f f

( )= ] , [ , ( ) , ( )

− + = =

l

1 0 1 0 0 1 1. Montrer que f est

continue sur [0, +1], et en déduire qu’elle est bornée sur cet intervalle. En déduire limn

xn n x x dx

→∞

+

X

−

ZY

⁼

1

0 1

1 l 0

. d) Montrer que : I

n I puis

n

n x

x dx

n

n

= + + +

+ + =

X

−

ZY

+

=

∑

∞

1 1

1 2

1 1

1

2 2 2 1 2 1

1 0

1

K l

( ) .

La minute culturelle : nous apprendrons bientôt, ne vous impatientez pas, que 1

2 6

1

2 n= n

∑

∞ ^{= π .}

II. Deuxième partie

( 7 + 5 points )

1°) Soit x∈R et la série définie par S x u x_n C x

n

n

n n

n

( )= ( )=

=

∞

=

∑ ∑

∞ 0

2 0

. On cherche à déterminer les valeurs

de x pour lesquelles S(x) est une série convergente. L’ensemble de ces valeurs sera mis sous la forme d’intervalles ou de réunion d’intervalles (ce sera le domaine de définition de la fonction S).

a) Calculer lim ( )

( ) lim ( )

n n

n n n n

u x

u x ou u x

→∞

+

→ ∞

1 . En déduire les valeurs de x pour lesquelles on peut conclure facilement quant à la convergence et la convergence absolue.

b) On fixe maintenant x u

n n N n

= =

F

HG I

KJ

^{∈ =}

1 4

1 4

1 on note u_n et on considère la suite (v_n) _*telle que v_n 2 . Comparer u

u et v

v u v

n n

n n

n n

+¹ +¹. En déduire n∀ ∈N^* ≥ . Quelle est la nature de la série

∑

u_n ^?

c) Déterminer un équivalent de u_n au voisinage de +∞. Retrouver le résultat précédent et étudier la convergence de la série Cⁿ_n

n

n 2 0

1 4

F

−

HG I

=

KJ

∑

∞ ^.

d) Résumé des questions précédentes : Quel est le domaine de convergence de S(x) ?

2°) Soit deux constantes réelles α et β positives ou nulles, on cherche à déterminer les couples (α, β)

pour lesquels I dx

x n x et S

n n n

n

α β, =

X

α β α β, α β

ZY

⁼

∞

=

∑

∞

l l

2 2

1 convergent.

a) Montrer que l’intégrale généralisée et la série sont de même nature (cv ou div).

b) Montrer que si α α'> et β β'> alors I_α,β converge ⇒ I_α’,β’ converge.

c) La réciproque est-elle vraie ? Si non, donner un contre exemple.

d) Montrer que ∀ α > 1 I_α,β converge.

e) Soit α= 1. Pour quelles valeurs de β I_1,β est-elle convergente ?

f) Soit α < 1. Montrer que ∀β > 0 ∃ _∞ ∞ ∀ ∈ _∞ 1 > 1₊

1 2

, V / x V ,

x n x x

(voisinage de + ) _{α β α}

l . En déduire

la convergence de I_α,β pour α< 1.

g) Soit un repère orthonormé O i j, ,r r

d i

où on porte α en abscisses et β en ordonnées. Déterminer (hachurer ou mettre en couleur sur le graphique) l’ensemble des points M(α, β) pour lesquels I_α,β et S_α,β sont convergentes.

h) Application numérique : Calculer (si le calcul est possible) I dx x n x

1 3 3

2

, =

X

ZY

∞

l

La deuxième minute culturelle : I_α,β et S_α,β sont appelées intégrales et séries de Bertrand.

Résultats pouvant être utilisés sans démonstration dans les calculs

Formule de Stirling : n!≈_∞n e^{n −n} 2πn ln3=1 1 0 1, ± , ∀ ∈ =

∑

≥

x R x

n e

n

n

x 0 !

Rappel de MT 12 :

Second théorème de la moyenne sur un intervalle I = [a, b] :

Soit f continue sur I, et g intégrable, positive sur I. Alors ∃ ∈^{c a b, /}

z

^{abf x g x dx( ) ( )} = ^{f c( )}

z

^{abg x dx( )}

Il n’y a pas de vérités moyennes.

Georges BERNANOS (FRANCE 1888 - 1948 )