CALCUL FONCTIONNEL POUR DEUX OPERATEURS NON BORNES

(1)

Sciences &

Technologie– N°16, Décembre (2001), pp. 13-16.

CALCUL FONCTIONNEL POUR DEUX OPERATEURS NON BORNES

Reçu le 19/03/2001 - Accepté le 02/12/2001

Résumé

Ce travail est consacré à la construction du calcul fonctionnel dans le cas de deux opérateurs fermés non bornés définis sur des espaces de Banach.

Mots clés: Espace des vecteurs du type exponentiel, spectre simultané, calcul fonctionnel.

Abstract

In this paper, we build a functional calculus in the case of two unbounded closed operators defined on Banach spaces.

Key words: Exponential vector spaces type, joint spectrum, functional calculus.

e travail est consacré au calcul fonctionnel dans le cas de deux opérateurs fermés non bornés. On montre que ce calcul constitue la base principale d'une méthode de résolution de certains problèmes aux limites. On appliquera ensuite cette méthode à la résolution concrète de certaines classes de problèmes aux limites pour des équations aux dérivées partielles.

Soit A: X → X, un opérateur fermé non borné, où X est un espace de Banach, l'espace D^_A(X) = {xX, ||A^kx||  C^k, kN} est appelé espace des vecteurs de type exponentiel  , où  >0, C = C(x,  ) >0 est une constante.

Il est démontré dans [4] que:

a) D^_A(X) est de Banach pour la norme _k

k

x Sup A

x  

  0

b) A =A/D^_A(X) est borné et D_A^ (X) est invariant par rapport à A.

c)D¹_A

 

X D_A²

 

X  ....D_A^k(X)D^k_A^¹(X) ....X,avec injections canoniques continues.

d) L'espace

_  

1



 X

D_A muni de la topologie Lim indD_A^

 

X quand    est notée, ExpA(X), i.e.

 

X LimindD^

 

X ,quand .

Exp_A _A

1- CALCUL FONCTIONNEL

Soient A: X  X, B: Y  Y, où A et B sont fermés non bornés, X et Y sont deux espaces de Banach. Pour établir le calcul fonctionnel, dans ce cas, on a besoin de la notion du produit tensoriel d'opérateurs et d'espaces de Banach, ainsi que la notion de spectre simultané.

1.1- Décomposition de l'espace X Y

Soit la suite croissante des espaces de Banach X1  X2 .... Xk  Xk+1

...., avec ||x||k+1  ||x||k pour tout x  Xk, on définit les espaces

C

T. ZERZAIHI

Département de Mathématiques Centre Universitaire de Jijel B.P. 98, Ouled Aissa 18000, Jijel, Algérie

صخلم

فدهت هذه ييف يعباتلا باسحلا ةساردل ةلاقملا

ر ييم ةييلاح ي

ييقلغم ن ي د دييحم ريييغ ن ي

ن فرييعم ي ن

تاءاضف ىلع

"

خانب

"

.

تاملكلا ةيحاتفملا : ءاضف ،ةيسلأا ةعشلأا فيطلا

.يعباتلا باسحلا ،كرتشملا

(2)

T. ZERZAIHI

14

 







    



 



0 0

1 k k,k k

k k

k,X x X,x x ,x X x

X 



 

 ⁰

1 k k

x x

Inf x

k



et









 

k x

Lim x

X X

k

k k

quand



1

Si Exp_AXX et Exp_BY Y, alors on a l'égalité suivante (cf. [4]):



X_k,X



X_

1

Théorème 1. Soient X et Y deux espaces de Banach, A: X  X, et B:Y Y, deux opérateurs fermés non bornés.

Si Exp_AX X , Exp_BYY, X^** =X et Y^**= Y, alors on a l'égalité algébrique et topologique suivante

₁



^DA^

 

^X ^~^DB^

 

^Y ^,^X^~^Y



^X^~^Y (1) où ~Y

X désigne le completé deXY.

Démonstration. Comme on a par hypothèse X

X

Exp_A  etExp_BYY, on déduit, d’après les propriétés du produit tensoriel, que

Y X Y Exp X

Exp_A  _B   Et comme, d’après [8], on a déjà l'égalité

 

~D

 

Y , X

indD Lim Y

~ Exp X

Exp_A _B _A^ _B^





 





on obtient que

_

^

   





 

1

Y

~D X

D_A _B est dense dans

,

~Y

X d'où ~Y .

X Y Exp X

Exp_A  _B  

Pour démontrer (1), il suffit (cf.[4]) d'établir que

    ^u ^, u

Lim _D _X _D _Y _X _Y

B

A  





   

pour tout

_

^

   





 



1

. Y

~D X D

u _A _B

Soit

 

~D

 

Y , X

D

u _A^  _B^ donc u peut s'écrire sous la

forme









1 k xk yk

u , avec x_kD_A^

 

X ,y_k D_B^

 

Y et ^u^D^^A ^X ^^D^^B ^Y ^



^x^Inf^k^^y^k ^x^k ^D^^A ^X ^y^k ^D^B^ ^Y ^⁽²⁾ Mais il est démontré dans [4] que

  ^x ^. x

Lim _D _X _X

A 







D'où, par passage à la limite dans (2), on obtient

    ^Inf ^x ^y ^u ^. u

Lim _k _k _X _Y

y Y x

D X D

k k B k

A   





   







ce qui achève la démonstration du théorème.

Théorème 2. Soient A: X  X, B:Y  Y deux opérateurs fermés non bornés, X et Y sont deux espaces de Banach.

Dans ces conditions, on a les deux résultats suivants:

a) Les deux opérateurs

     

~D

 

Y X

D Y

~D X D : B I , I

A_ _ _ _A^ _B^ _A^ _B^

       



sont bornés et ____. b)_S



_,_

    

 A_ B_ .

où ^_S



^_,^_



est le spectre simultané de



^_,^_



dans le bicommuttant S de l'ensemble



_,_



.

Démonstration.

a) Comme A_ et B_ sont bornés (cf.[7]), alors_et _ le sont aussi car



xy



A xy

_ _ et _



xy



xB_y. Grâce à la commutativité, on a



__



xy



__



xyA_xB_y

b) D’après la définition du spectre simultané dans une algèbre de Banach (cf.[5]) et le théorème spectral, on a



,

    

.

S   



Mais d’après [6], on a: 

   

_  A_ et 

   

_ B_ . d’où:



,

    

A B .

S     



En ce qui concerne l'autre inclusion, soit



^1,^2

    

^^^_ ^^^_ , il existe alors, d’après la définition, deux fonctionnelles multiplicatives m₁M_A_et

M_B

m₂ telles que



^1,^2



^



m1

   

^_ ,m2^_



où M_A_est l'ensemble de toutes les fonctionnelles multiplicatives définies sur le bicommuttant S de l'ensemble



_,_



. Sur S, on définit une fonctionnelle multiplicative de la manière suivante

 

A m

 

B , m

) B A (

m _ _  ₁ _  ₂ _ et comme:

 

_ m



A_I



m₁

 

A_ ₁

m

et m

 

_ m



IB_



m₂

 

B_ ₂,

alors



₁,₂







m

   

_ ,m_



, ce qui signifie que



₁,₂



_S



_,_



,

d'où _S



_,_

    

 A_ B_ , ainsi, le théorème est démontré.

2- APPLICATION AUX EQUATIONS OPERATORIELLES

On sait que dans le cas borné (cf.[3]), si  est une fonction analytique dans un voisinage de 

   

A_ B_ , on peut alors définir l'opérateur

         

 

   



     

 





A B

, d d B , R A , R , B

,

A ₂

4 1

(3)

Calcul fonctionnel pour deux opérateurs non bornés.

15 où _A_et _B_sont des contours qui contiennent ^

 

A_ et

 

_

B respectivement.

Soit  une fonction analytique dans un voisinage de

   

 



1

  A  B et 

 

, un opérateur défini sur



Exp_A_*X*Exp_B_*Y*



*. On note la restriction de

 

, à X~

Y par (A,B). De plus, on définit le domaine de définition de (A,B) comme suit

  

^A^,^B

 

^u ^X^~^Y^;

 

^, ^u ^X^~^Y



^,

D      

et pour u D[ (A,B)] on a

 (A,B)u =  ( , )u.

Théorème 3. Soient A: D(A) X  X et B: D(B)  Y  Y deux opérateurs fermés non bornés définis sur des espaces de Banach et soit  une fonction analytique sur un

voisinage de 

 

1

 (A)(B), si on suppose que

, Y Y , Y Y Exp , Y Y Exp

, X X , X X Exp , X X Exp

*

* B B

*

* A A

*



alors l'ensemble de définition de l'opérateur  (A,B): X ~ Y

 X ~Y est défini comme suit:

       



^A ^,^B



^u ^,

et u

, Y

~D X D u , u u ,

~Y X u B , A D

B A









































 





  



 



1 1

1



 (3)

De plus si u  D[ (A,B)], alors   

   

1



u ) B , A ( u ) B , A

( (4)

Démonstration. A partir de la définition de  (A,B), on déduit que si u D_A^

 

X D_B^

 

Y alors (A,B)u=(A,B)u;

par conséquent, si u vérifie (3) et comme (A,B) est fermé, on a l'égalité (4). Inversement, soit u D[(A,B)]. D’après le théorème 1, on a

    



 

  



1



Y

~D X D u , u

u _A _B et



  

1

.

u (5)

Mais on a aussi

       

     



   





1 1

et

 

. y

Y

~D X D y , y u B ,

A _A _B (6) Maintenant, il faut trouver  D^_A(X)D_B^(Y),tel que

    

   

       



1

1 1

et



 

. B

, A .

,

u (7)

Pour cela, soit (0,0) (A) (B ); par conséquent, (0,0) (A) (B ), pour tout   1. En vertu du résultat sur le théorème spectral (cf. [3]), on déduit que

 (0,0) [(A) (B )]=  [(A,B)].

Donc

   

       

^ ^

 







 



















1 0 0 1

0

0 ⁰ ⁰

 

y ,

: y u , u

B , A I

,

En utilisant (5) et (6), on obtient que



 

 



 

1

0 0



y , (9)

Posons maintenant,

_R







₀,₀

  

, A,B



y^_^⁰^,^⁰^, (10) où R désigne la résolvante. A partir de (8), on aura:





1

.



u Comme (9) et (10) sont vérifiées, on obtient

   



, , A,B



y^ ^ .

R    ^, 









  





 

1 1

0

0 ⁰ ⁰

 

Et enfin

   

       

^ ^

       

^ ^ ^ ^



,



y^ ^,

y y

B , A , , R ,

y B , A , , R B , A

B , A B

, A

,

, ,

,

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0







































































et donc, on a



A ,B



u .





    

1



3- EXEMPLE

L'exemple suivant est classique, il montre l'application du calcul fonctionnel à la résolution des problèmes aux limites. Soit l'équation

f

 

x,y y

u x

u 







 (1.1) avec les conditions

u(0,y) = u(T1,y) (1.2) u(x,0) = u(x,T2) (1.3) Pour le problème (1.1)-(1.3), on a le théorème suivant qui résume le résultat de l'étude.

Théorème 4. Si ,

2 1

m k T

T  k, m  Z^* et si

2 1

T

T est un

nombre algébrique réel de premier ordre, alors pour toute f

L2[(0,T1)(0,T2)] telle que

 

^{1 2} ^

0 0

, 0 )

, (

T T

dxdy y x

f l’équation

(1.1) possède une solution unique ^u^H¹

 

⁰^,^T₁ ^~^H¹



⁰^,^T₂



qui vérifie les conditions (1.2) et (1.3).

Démonstration.

On pose x A u



 avec D

 

A 



uL₂



0,T₁



et u

   

ouT₁ .

De même y B u



 avec D

 

B 



uL2



0,T2



et u

   

o uT2 . (8)

(4)

T. ZERZAIHI

16 D'autre part, on note:

, AI



 IB,

où ,:L₂

 

0,T₁ ~L₂

 

0,T₂ L₂

 

0,T₁ ~L₂

 

0,T₂ . Il est à noter que, d’après le théorème de Fubini, on a

L[(0,T1) (0,T2)] = L[(0,T1)~_L(0,T

2).

D’après la définition du spectre, on a

 

i,k Z , T

A k







  





1

2

 

i,m Z .

T B m







  





2

L équation (1.1) peut s'écrire alors sous la forme

u  u = f (1.1)’

or D_A^k



L₂(0,T₁)



{l'ensemble des polynômes

trigonométriques de degré  k},



L₂(0,T₂)





D_B^m {l'ensemble des polynômes

trigonométriques de degré  m}.

C'est-à-dire que ^



j j

m y

T i j b y

u ( ) exp( 2 )

2

 pour um(y) 



L₂(0,T₂)



.

D_B^m Sur l'espace



L₂(0,T₁)



~D



L₂(0,T₂)



D^k_A  ^m_A l'équation (1.1)' s'écrit sous la forme

k uk,m  uk,m = fk,m. (1.1)"

Vu les résultats concernant le cas borné (c.f.[4]), on obtient que:

       

. d yd , x f B , R A , y R

, x u

Ak Bm

m , k m m k

,

k  











 



 

2 

4 1

Comme ~ [ (0, )],

)]

, 0 (

[ ₂ ₁ ₂ ₂

, D L T D L T

f_k_m ^_A  _B^m on peut

écrire f(x,y) de la manière suivante:

  

^

  

 



  



 



  

m , k

m , k m

, k

m ,

k y f x,y

T i m exp T x

i m exp a y , x f

2 1

2 2

Après calcul, on obtient

 



 



 





 



  



 



 



2 1

2

2 2

T m T

k

T y i m exp T x i k exp a y , x u

m , k m

, k

et si



m k

m

uk ,

, converge normalement dans ),

, 0

~ ( ) , 0

( ₁ ₂ ₂

2 T L T

L  alors, d’après le théorème 3, on a





m k

m k x y u y x u

,

, ( , ) )

, (

est la solution unique du problème (1.1)-(1.3). La convergence normale de la série en question est assurée lorsque 

 



 

2

1 T

m T

k est assez grand, ce qui est vérifié quand

on suppose que

2 1

T

T est un nombre algébrique réel de premier ordre [1], car il existe, dans ce cas, une constante C = C(T1,T2) > 0 telle que l'inégalité

m c m k T

T  

2 1

soit satisfaite pour tout (k,m) Z  N^*. REFERENCES

[1]- Chidlovski A.B., "Nombres transcendants", Nauka, Moscou, (1987).

[2]- Dash A.T., "Joint spectra tensor products", Bull.

Austral. Math. Soc., Vol.32, (1985), pp.119-128.

[3]- Dunford N. and Schwartz J., "Linear operators. Part 1, General theory", Intersciences Publishers, New York, (1958).

[4]- Radyno Y.V., "Vecteurs de type exponentiel dans le calcul fonctionnel et dans les équations différentielles", Diff. Equations, T.21, n°9, (1985), pp.1559-1569.

[5]- Slodkowski Z. and Zelasko W., "On joint spectra of commuting families of operators", Studia Mathematica, T.L. (1974), pp.127-148.

[6]- Takashi I., "On the spectra of tensor products of linear operators in Banach spaces", Journal Fur Mathematik, Band 244, (1970), pp.119-153.

[7]- Taylor J.L., "The analytical functional calculus for several commuting operators", Acta Mathematica, 125, (1970), pp.1-38.

[8]- Zerzaihi T., "Le calcul opératoriel dans le produit tensoriel des espaces localement convexes", Vesti Académie des Sciences de Biélorussie, n°1, (1990), pp.115-116.

[9]- Zerzaihi T. et Radyno Y.V., "Fonctions d'opérateurs commutatifs non bornés", Doklady Académie des Sciences de Biélorussie, T.33, n°8, (1989), pp.684-686.