Colle PC Semaine 4 2011-2012
EXERCICE 1 :
Soitα∈R. Nature de la série de terme généralun=1 + (−1)nnα n2α
EXERCICE 2 :
Démontrer que la série de terme généralun= (−1)n
3n+ 1 est convergente et que
+∞
X
n=0
(−1)n 3n+ 1 =
Z 1
0
1 1 +t3dt. En déduire le calcul deS=
+∞
X
n=0
(−1)n 3n+ 1
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Corrections
EXERCICE 1 :
Discussion suivant les valeurs de α:
• siα= 0,un= 1 + (−1)n ne tend pas vers 0 donc la série diverge grossièrement.
• siα <0,un ∼
n→+∞
n−2αet donc un ne tend pas vers 0 donc la série diverge grossièrement également.
On se place donc dans le cas où α >0.
• On a|un|n→+∞∼ 1
nα ainsi la série converge absolument si et seulement siα >1.
Il faut donc envisager le cas 0< α61 :
En écrivantun de la manière suivante : un =(−1)n nα + 1
n2α, on peut en déduire que :
• On posevn= 1
nα et la suite (vn)n>1tend vers 0 en décroissant et la série de terme généralvn converge en vertu du critère spécial des séries alternées.
• De plus, la série de terme général 1
n2α converge si et seulement siα > 1 2. Et donc la série de terme généralun converge si 1
2 < α61
EXERCICE 2 :
On conclut rapidement en utilisant le critère spécial des séries alternées : la suite 1
3n+ 1
tend vers zéro et est décroissante.
N
X
n=0
(−1)n 3n+ 1 =
N
X
n=0
(−1)n Z 1
0
t3Ndt= Z 1
0 N
X
n=0
(−1)nt3ndt= Z 1
0
1−(−t3)N+1 1−(−t3) dt=
Z 1
0
1
1 +t3dt+ (−1)N Z 1
0
t3N+3 1 +t3dt Or
(−1)N Z 1
0
t3N+3 1 +t3dt
= Z 1
0
t3N+3
1 +t3dtet comme t3N+3
1 +t3 6t3N+3 pourt∈[0; 1], on a : Z 1
0
t3N+3 1 +t3dt6
Z 1
0
t3N+3dt= 1 3N+ 4 Ainsi, on en déduit que (−1)n
Z 1
0
t3N+3
1 +t3dtN−→
→+∞0 donc
+∞
X
n=0
(−1)n 3n+ 1 =
Z 1
0
1 1 +t3dt. En utilisant la décomposition en éléments simples de l’expression 1
1 +t3, on montre que :
+∞
X
n=0
(−1)n
3n+ 1 = 3 ln 2 +π√ 3 9
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