Exerie 1
Développerensérieentière lafontionsuivante:f(x) = 1
x2−2tx+ 1 pour|t|<1.
Exerie 2
CalulerlerayondeonvergeneRdelasérieentière
+∞
X
n=0
xn 4n2−1.
ExprimerS(x)dénieommelasommedelasériesur]0;R[.
Exerie 3
SoitE=M3(R)muniduproduitsalaireusuel (∀(A, B)∈(M3(R))2,(A|B) =T r(tAB))
1.Prouverquel'orthogonaldeA3(R)estS3(R).
2.SoitM=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
.Caluler ladistane deM ausousespaevetorieldesmatriesanti-
symétriques.
Exerie 4
CalulerlerayondeonvergeneRdelasérieentière
+∞
X
n=0
ch(n)xn.
ExprimerS(x)dénieommelasommedelasériesur]−R; +R[.
Exerie 5
1.Vérierqueϕ: (P, Q)7→
Z +∞
0
P(x)Q(x)e−xdxestunproduitsalaireeulidiensurE=R3[X].
2.TrouverleprojetéorthogonaldupolynmeX3 surF =R2[X].
Exerie 6
Soitn∈N∗ et φl'appliationde(Cn[X])2 dansCdéniepar:φ(P, Q) = 1 2π
Z 2π 0
P(eiθ)Q(eiθ)dθ.
1.Montrerque φest unproduit salairehermitien et quelabase anonique deCn[X] estortho-
normale.
2.ÉtantdonnéQ=Xn+an−1Xn−1+· · ·+a0∈Cn[X],aluler||Q||2.
SoitM = sup
|z|=1|Q(z)|.MontrerqueM >1,puisqueM = 1sietseulementsian−1=· · ·=a0= 0.
Corretion1:
Onposet=cosθaveθ∈]0;π[.
Onadon:f(x) = 1
x2−2tx+ 1 = 1
x2−2cosθx+ 1 = 1
(x−eiθ)(x−e−iθ)
Ilfautdonmaintenantdéomposerlafration enélémentssimples:
1
(x−eiθ)(x−e−iθ) = 1 2isinθ
1
x−eiθ − 1 x−e−iθ
Faireapparaîtremaintenantdu
1 1−u : f(x) = 1
2isinθ
e
−iθ
xe−iθ−1+ e
iθ
1−xeiθ
= 1
2isinθ
−e−iθ 1
1−xe−iθ+eiθ 1 1−xeiθ
|xeiθ|=|xe−iθ|=|x|montrequel'onpeutdévelopperensérieentièrepourx∈]−1; 1[: f(x) = 1
2isinθ −e−iθ
+∞
X
n=0
e
−inθ
xn+eiθ
+∞
X
n=0
e inθ
xn
!
⇔f(x) = 1 2isinθ
+∞
X
n=0
e i(n+1)θ
xn
+∞
X
n=0
e
−i(n+1)θ
xn
!
⇔f(x) = 1 2isinθ
+∞
X
n=0
2isin(n+ 1)θxn
!
⇔f(x) =
+∞
X
n=0
sin(n+ 1)θ
sinθ xn.Pourx= 1,divergenegrossièredonlerayondeonvergeneest1.
Corretion2:
Lerayondeonvergenedelasérieest1.
Pourtoutx∈]−1; 1[, xn 4n2−1 =1
2 xn
2n−1− xn 2n+ 1
Ainsi,onpeutériref(x) =
+∞
X
n=0
xn 4n2−1 = 1
2 −1 +
+∞
X
n=1
xn 2n−1 −
+∞
X
n=0
xn 2n+ 1
!
Onfaitundéalaged'indie:f(x) =1
2 −1 +
+∞
X
n=0
xn+1 2n+ 1−
+∞
X
n=0
xn 2n+ 1
!
L'objetifmaintenantest defaireapparaîtreundéveloppementdelaforme :
+∞
X
n=0
u2n+1
2n+ 1, d'où la
néessitédedeposeru=√
x.Laonséqueneest desinderlealul surdeuxintervalles]0; 1[et ]−1; 0[.(l'exerienedemandeuneexpressionquesur]0; 1[
∀x∈]0; 1[,f(x) =1
2 −1 +√ x
+∞
X
n=0
(√ x)2n+1 2n+ 1 −
1
√x +∞
X
n=0
(√ x)2n+1 2n+ 1
!
⇔ ∀x∈]0; 1[,f(x) =1
2 −1 + √
x− 1
√x +∞
X
n=0
(√ x)2n+1 2n+ 1
!
Ilneresteplusqu'àdéterminerlafontiondontleDSEest :
+∞
X
n=0
u2n+1 2n+ 1
Unalulassezrapidedonne:∀x∈]−1; 1[,
+∞
X
n=0
u2n+1 2n+ 1 = ln
1 +u 1−u
Cequidonne:∀x∈]0; 1[,f(x) =1 2
−1 + √
x− 1
√x
ln
1 +√ x 1−√
x
