Dimensional reduction for heterogeneous, slit or cracked bodies

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bodies

Jean-François Babadjian

To cite this version:

Jean-François Babadjian. Dimensional reduction for heterogeneous, slit or cracked bodies. Mathe- matics [math]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2005. English. �tel-00010233v2�

présentée par

Jean-François Babadjian

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PARIS NORD

Spéialité : Mathématiques

Rédution dimensionnelle pour des

milieux hétérogènes, troués ou fissurés

Thèse soutenue le 14 otobre 2005 devant le jury omposé de

Andrea BRAIDES Rapporteur

Antonin CHAMBOLLE Rapporteur

Gilles FRANCFORT Direteur de thèse

Olivier LAFITTE Examinateur

Hervé LE DRET Examinateur

Jean-Jaques MARIGO Président du jury

Thèsepréparée au seindu

LaboratoiredesPropriétés Méaniques etThermodynamiques desMatériaux

(UPRCNRS9001), UniversitéParis Nord

stritement bidimensionnelle, elle ne méritait

pas un aussi gros mot.

Raymond Queneau (Le hiendent)

Je tiens à exprimer toute ma gratitude envers Gilles Franfort. J'admire sa gentillesse, sa

patiene,sonimpliationetsesenouragementsàmonégard,ete,bienaudelàduadredema

thèse. Je lui serai éternellement reonnaissant pour ses préieux onseils et ses si personnelles

leçons d'humanité.

JeremerieensuitemestroisollaboratriesquisontMargaridaBaía,NadiaAnsinietCaterina

IdaZeppieriavequij'airéaliséunepartiedemontravailetauprèsdequij'aiénormémentappris.

S'il faut désigner un oupable, j'ause sans onteste Jean-Jaques Marigo sans qui ette

aventure nemeseraitjamaisarrivée.Je luiensuisénormémentreonnaissant etsuis attédesa

préseneau seinde monjury.

Je voudrais aussi remerier Andrea Braides qui m'a invité à travailler à Rome durant trois

moisetquiaparailleursbienvoulurapporterettethèse.J'aisutrouverauprèsdeluiunontat

sientiqueethumaintrès épanouissant.

Mesplus vifsremeriements vont également à Hervé LeDret pour l'intérêt qu'il a manifesté

pourmes travauxetlui suis gréd'avoiraepté de faire partie demon jury.

MeriàAntoninChambolle quiaprissontravailderapporteur bienàoeur enlisantassidû-

ment leprésent manusrit. Je le remerie également pour les disussions enrihissantes que j'ai

partagéesave lui.

Je remerie enn Olivier Latte qui meonsare un peu de sontemps en partiipant à mon

jury.

Je suis par ailleurs reonnaissant envers IreneFonsea, François Murat et Gianni Dal Maso

ave qui j'ai eu des éhanges passionnants et motivants, ainsi qu'Antonio DeSimone qui m'a-

ueille pour deuxannées de post-dotorat à laSISSAde Trieste.

Je n'auraisertainement paseunilapossibilité,nilegoût etnilapatienede poursuivredes

études dotorales en mathématiques si je n'avais pas roisé sur mon hemin Jean-Paul Fréva,

Alain Rousseau,Didier GamblinetJean-Claude Guillot. Meri àhaun d'entre eux.

N'oublions pas quelques ompagnons de route du LPMTM omme André Jaubert, Miguel

Charlotte, RadhiAbdelmoula, ThibautWeller etHanenAmor.

Meri à tous mes amis qui ont su me faire rire au moment où il le fallait : Stéphane Nézot,

NiolasetMireilleMoinet etbien sûrtouslesDébildeads à savoirGrégory Wajs,Jérémie Wajs,

Virginie Wajs, Guillaume Jadeau, Damien Jadeau, Yoann Lebars, Mathias Rapaioli et Céline

mon père Simon-Jaques Babadjian qui, j'ose le prétendre et l'espérer, aurait été er de moi,

etma mère Jeannine Babadjian qui a ourageusement supporté monmauvais aratère ettant

d'autres hoses... J'adresse également une pensée toute partiulière à mes deux petites nièes

Camille etEmmaLehable de lapartde tonton Dze.

Desimplesremeriementsseraient ombieninsusantspour souligner l'immense méritede

Claire Deraeve. Sa présene etson soutien aussibien moral que physique m'ont étéd'une aide

préieuse, sans parler de ses multiples et redoutables reletures de l'introdution! Plutt qu'un

banalmeri, je termineraipar une notesurl'avenir :patienemaPetite Claire ...

milieux hétérogènes, troués ou fissurés

Résumé

Cettethèsetraitedelajustiationdemodèlesdemembranesommelimitesdeomportements

élastiques non linéaires tridimensionnels (les guillemets ont trait à l'absene de l'hypothèse

lassique d'explosion de l'énergie lorsque le Jaobien de la transformation tend vers zéro). La

rédution dimensionnelle est vueomme un problème de Γ^{-onvergene sur l'énergie élastique,}

lorsque l'épaisseur tend vers zéro. Dans un premier temps, nous dérirons des hétérogénéités

marosopiques où les fores de surfae peuvent engendrer une densité de moment éhissant,

produisant un veteur de Cosserat. Puis nous onsidérerons des hétérogénéités mirosopiques

répartiespériodiquement,donnantlieuàprendreenomptedeuxtypesdeproblèmessimultanés:

larédutiondedimension etl'homogénéisation réitérée.Ensuite,deslms minespossédantune

mirostruturedégénérée dueàlaprésenedevidesurlasurfaemoyenneserontétudiésdansle

asoùl'épaisseur estbeauouppluspetitequelapériodededistributiondesperforations.Enn,

nous envisagerons la possibilité de rupture et analyserons l'évolution quasistatique des ssures

pourune énergiede surfae detype Grith.

Motslés:Γ-onvergene,relaxation,rédutiondedimension,quasionvexité,homogénéisation, domaines perforés, apaité non linéaire, fontions à variation bornée, problèmes aux disonti-

nuités libres, méaniquede larupture.

heterogeneous, slit or raked bodies

Abstrat

This thesis is onerned with the justiation of membrane models as zero-thikness limits of

three dimensional nonlinear elasti behavior (the quotes refer to the absene of the usual

requirementthattheenergyshouldblowupastheJaobianofthetransformationtendstozero).

Thedimensional redutionisviewed asaΓ^{-onvergene problemfor theelasti energy.Werst}

onsidermarosopiheterogeneities, also takingintoaountthease wheretheexternal loads

indue a density of bending moment that produes a Cosseratvetor. Then, we study periodi

mirosopi heterogeneities, whih introdues two ompeting features : dimensional redution

and reiterated homogenization. Thin lms with omplex degenerate mirostruture due to the

preseneofvoidsonthemid-surfaeareinvestigatedwhenthethiknessismuhsmallerthanthe

period of distribution of theperforations. Finally, brittle thin lms and their quasistati rak

evolution arepresented for a Grith typesurfae energy density.

Key words : Γ-onvergene, relaxation, dimensional redution, quasionvexity, homogeniza- tion, perforated domains, nonlinear apaity, funtions of bounded variation, free disontinuity

problems,brittle frature.

Notations 3

Introdution générale 5

1 Spatial heterogeneity in 3D-2Ddimensional redution 27

1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2 Classialnonlinearmembranemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.1 Thelowerbound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.2 Theupperbound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3 Cosseratnonlinearmembranemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.1 Somepreliminaryresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3.2 Thelowerbound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.3 Theupperbound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4 Classialmembranemodelasa zerobendingmoment density . . . . . . . . . . . 49

2 Reiterated homogenization of thin lms 53 2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Propertiesof the homogenized energy densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.1 Propertiesof W_hom ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59}

2.2.2 Propertiesof W_hom^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59}

2.3 Independene on thein-planemarosopivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.1 Existeneof Γ^-onvergent subsequenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3.2 Integralrepresentation oftheΓ^{-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62}

2.3.3 Charaterization ofthe Γ^{-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66}

2.4 Thegeneral ase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.1 Existene and integralrepresentation of theΓ^{-limit . . . . . . . . . . . . . 78}

2.4.2 Charaterization oftheΓ^{-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79}

3 The Neumann sieve problem in dimensional redution 91 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.1 Someresaled Poinaré Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4.2 A joininglemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5 Energy ontribution lose to the"onneting zones" . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.5.1 Thease ℓ∈(0,+∞] ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104}

3.5.2 Thease ℓ= 0 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108}

3.5.3 Disreteapproximationfor the interfaial energy . . . . . . . . . . . . . . 111

3.6 Γ^{-onvergene result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112}

3.6.1 Theliminf inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.6.2 Thelimsup inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.7 Representation formulafor the interfaial energy density . . . . . . . . . . . . . . 123

3.7.1 Thease ℓ∈(0,+∞) ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124}

3.7.2 Thease ℓ= +∞ ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130}

3.7.3 Thease ℓ= 0 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135}

4 Quasistati evolution of a brittle thin lm 141 4.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2 Formulation oftheproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.1 Thephysial onguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.2 Theresaled onguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.3 AΓ^{-onvergene result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152}

4.3.1 A trunationargument. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.2 IntegralRepresentation of theΓ^{-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158}

4.3.3 Charaterization oftheΓ^{-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161}

4.3.4 Boundaryonditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.4 Afew tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.4.1 Convergene of sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.4.2 Transfer of jumpsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.4.3 Convergene of thestresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5 Convergene of the quasistatievolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.5.1 Energy estimatesand ompatness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.5.2 Minimalityproperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.5.3 Energy onservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.6 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Bibliographie 196

Exeptéau hapitre 3,ladimension n^{sera toujours égaleà} 2^ou 3^.

Mesures

L^{n mesurede Lebesgue}n-dimensionnelle dansRⁿ H^{n−1 mesurede Hausdor}(n−1)-dimensionnelle

# ^mesurede dénombrement

µ_⌊E µ^{restreinte à l'ensemble}E µ⊗ν ^{mesureproduit entre} µ^etν Cap_p p^-apaité

Veteurs et ensembles

R^m×n ensemble desmatriesréelles m×n xα (x1, . . . , xn−1)

Q^′_r(a) ^ube (n−1)-dimensionnel deentre a∈Rⁿ⁻¹ et deté r >0 Q^′ (0,1)ⁿ⁻¹

Q (0,1)ⁿ

B_r^′(a) ^boule(n−1)-dimensionnelle de entrea∈Rⁿ⁻¹ etderayon r >0 C_1,N {(x_α,0)∈Rⁿ: 1≤ |x_α|< N}

C1,∞ {(xα,0)∈Rⁿ: |xα| ≥1} ω ^{ouvertbornéde} Rⁿ⁻¹ I (−1,1)

Ω ω×I

A(ω) ^{famille des ouverts ontenus dans}ω

A0 ^{familles desouverts bornésontenus dans}Rⁿ⁻¹

R(ω) sous-famille de A(ω) ^{obtenue enprenant toute unionniede ubesouverts inlus}

dans ω^{,entrés en despoints rationnels etde tésrationnels}

⊂e^,=e ^{inlusion, égalitéà un ensemble de}H^{n−1-mesure nulle près} JaK ^{partie entièrede} a

Notations fontionnelles

−R

Eu dµ µ(E)⁻¹R

Eu dµ ^{moyenne de} u ^surE ^{par rapport à}µ

Supp(u) ^supportde u

Du ^dérivée distributionnelle

D^au ^{partie absolument ontinue de ladérivée} D^ju ^{partie sautde ladérivée}

D^cu ^{partie Cantorde ladérivée}

S(u) ^{ensemble dessauts} (omplémentaire despointsde Lebesgue)

ν_u ^{normaleapprohée à}S(u)

u^{± limitesapprohées}supérieures etinférieures

∇u ^{gradient (approhé)}

∇αu^(resp. ∇nu^{) gradient (approhé) parrapport à}xα ^(resp.xn⁾

Espaes fontionnels

SoitU ^unouvertde Rⁿ.

Cc^k(U;R^m) {u :U →R^mk^{-foisontinûment} diérentiables :Supp(u)⊂U} Cc^∞(U;R^m) T

k∈NCc^k(U;R^m) Cc(U;R^m) Cc⁰(U;R^m)

C0(U;R^m) ^{fermeture de} Cc(U;R^m) ^{pour laonvergene uniforme}

Mb(U;R^m) ^{espae desmesures de Radonà valeurdans}R^m,identié à [C0(U;R^m)]^′ L^p(U;R^m)

u:U →R^m mesurables:

R

U|u|^pdx <+∞ ⁽1≤p <∞⁾ L^∞(U;R^m) {u:U →R^mmesurables :ess sup_U|u|<+∞}

W^1,p(U;R^m) {u ∈L^p(U;R^m) : Du=∇u∈L^p(U;R^m×n)} ⁽1≤p≤ ∞⁾ W₀^1,p(U;R^m) ^{fermeture de} Cc^∞(U;R^m) ^dansW^1,p(U;R^m)

BV(U;R^m) {u ∈L¹(U;R^m) : Du∈ Mb(U;R^m×n)} SBV(U;R^m) {u ∈BV(U;R^m) : D^cu= 0}

SBV^p(U;R^m) {u ∈SBV(U;R^m) : ∇u∈L^p(U;R^m×n)^etHⁿ⁻¹(S(u))<+∞}