Ch. Ausoni, M. R¨oer WWU M¨unster, Sommersemester 2010

Ch. Ausoni, M. R¨ oer WWU M¨ unster, Sommersemester 2010

UBUNGEN ZUR ¨

DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 10 ^∗ , 18.06.2010

Aufgabe 10.1. Sei M eine C ^∞ Mannigfaltigkeit und seien ω 1 ∈ Ω ^p (M), ω 2 ∈ Ω ^q (M). Beweise, dass w ₁ ∧ w ₂ eine C ^∞ (p + q)-Form ist.

Aufgabe 10.2. Sei f : M → N eine surjektive Submersion. Beweise, dass f ^∗ : Ω ^∗ N → Ω ^∗ M

injektiv ist.

Aufgabe 10.3. Betrachte die Formen ω _i ∈ Ω ^∗ ( R ³ ) und η ∈ Ω ^∗ ( R ²ⁿ ), die durch ω 1 = x 2 x 3 dx 1 + x 1 x 3 dx 2 + x 1 x 2 dx 3 ,

ω 2 = x 1 dx 1 + x ² ₁ x ² ₂ dx 2 + x 2 x 3 dx 3 ,

ω ₃ = 2x ₁ x ² ₂ dx ₁ ∧ dx ₂ + x ₃ dx ₂ ∧ dx ₃ , und

η = dx 1 ∧ dx 2 + dx 3 ∧ dx 4 + · · · + dx 2n−1 ∧ dx 2n

definiert sind.

(a) Bestimme, welche Formen aus {ω ₁ , ω ₂ , ω ₃ } exakt und welche abgeschlossen sind.

(b) Berechne η ^∧n ∈ Ω ²ⁿ ( R ²ⁿ ).

Aufgabe 10.4. Sei ω ∈ Ω ¹ ( R ² \ {0}) gegeben durch ω = − x ₂

x ² ₁ + x ² ₂ dx ₁ + x ₁

x ² ₁ + x ² ₂ dx ₂ . Zeige, dass ω abgeschlossen aber nicht exakt ist.

Aufgabe 10.5. Betrachte den Komplex

Ω ⁰ ( R ³ ) − → ^d Ω ¹ ( R ³ ) − → ^d Ω ² ( R ³ ) − → ^d Ω ³ ( R ³ ) .

Mit Hilfe der kanonischen Basen von Ω ⁱ ( R ³ ) als C ^∞ ( R ³ )-Moduln, gib explizite Formeln f¨ ur d an.

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Abgabe : Montag 28.06.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 10.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html